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专题05 解析几何（解答题10种考法）考法一 定点
【例1-1】（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知点 为双曲线
上一点， 的左焦点 到一条渐近线的距离为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)不过点 的直线 与双曲线 交于 两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线
过定点，并求该定点的坐标.【例1-2】（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆 的离心率是 ，点 在
上．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的中点为
定点．
【例1-3】（2023·江西九江·统考一模）已知过点 的直线 与抛物线 交于 两点，
过线段 的中点 作直线 轴，垂足为 ，且 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)若 为 上异于点 的任意一点，且直线 与直线 交于点 ，证明：以 为直径的圆
过定点.【变式】
1．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过
两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足
．证明：直线HN过定点．
2．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知椭圆 的离心率是 ，上、下顶点分别为
， .圆 与 轴正半轴的交点为 ，且 .
(1)求 的方程；
(2)直线 与圆 相切且与 相交于 ， 两点，证明：以 为直径的圆恒过定点.3（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆 的焦距为2，圆 与椭圆 恰有
两个公共点．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知结论：若点 为椭圆 上一点，则椭圆在该点处的切线方程为 ．若椭圆
的短轴长小于4，过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ，求证：直线 过定点．
考法二 定值
【例2】（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆 的左、右焦点
为 ， ，离心率为 ．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线 、 分别与椭圆C交于点
A、B， 的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；(2)若 ， ，求证： 为定值．
【变式】
1．（2023·河北保定·统考二模）已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，长轴长为短轴长的2倍，若椭
圆 经过点 ，
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 是椭圆上不同于点 的两个动点，直线 与 轴围成底边在 轴上的等腰三角形，证明：直
线 的斜率为定值．
2．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆 的左、右焦点为
，离心率为 .点 是椭圆 上不同于顶点的任意一点，射线 分别与椭圆 交于点 ，
的周长为8.(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设 ， ， 的面积分别为 .求证： 为定值.
3.（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知抛物线T的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过
， ， ， 四点中的两点.
(1)求抛物线T的方程：
(2)已知圆 ，过点 作圆的两条切线，分别交抛物线T于 ，
和 ， 四个点，试判断 是否是定值?若是定值，求出定值，若不是定值，
请说明理由.
考法三 定直线【例3】（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率为 ．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线
与 交于点P．证明:点 在定直线上.
【变式】
1．（2023·湖南永州·统考一模）已知点A为圆 上任意一点，点 的坐标为
，线段 的垂直平分线与直线 交于点 ．
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)设轨迹E与 轴分别交于 两点（ 在 的左侧），过 的直线 与轨迹 交于 两点，直
线 与直线 的交于 ，证明： 在定直线上．2．（2023·江苏常州·校考一模）已知椭圆 ： 的短轴长为 ，离心率为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的动直线 与椭圆 相交于不同的 两点，在线段 上取点 ，满足 ，
证明：点 总在某定直线上．
考法四 最值
【例4】（2023·全国·统考高考真题）已知直线 与抛物线 交于 两点，且
．
(1)求 ；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点， ，求 面积的最小值．【变式】
1．（2023·浙江·模拟预测）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合
百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点
满足 .
(1)化简曲线 的方程；
(2)已知圆 （ 为坐标原点），直线 经过点 且与圆 相切，过点A作直线 的垂
线，交 于 两点，求 面积的最小值.
2．（2023·浙江·模拟预测）已知椭圆 ，点 ，斜率不为0的直线 与椭圆 交于点 ，
与圆 相切且切点为 为 中点.
(1)求圆 的半径 的取值范围；
(2)求 的取值范围.3．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）已知双曲线 实轴的一个端点是 ，虚轴的一个端
点是 ，直线 与双曲线的一条渐近线的交点为 .
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线 与曲线 有两个不同的交点 是坐标原点，求 的面积最小值.
考法五 轨迹问题
【例5】（2023·湖南·校联考二模）已知 为双曲线 的左右焦点，且该双曲线离
心率小于等于 ，点 和 是双曲线上关于 轴对称非重合的两个动点， 为双曲线左右顶点，
恒成立．
(1)求该双曲线 的标准方程；
(2)设直线 和 的交点为 ，求点 的轨迹方程．【变式】
1（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知过右焦点 的直线交双曲线
于 两点，曲线 的左右顶点分别为 ，虚轴长与实轴长的比值为 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)如图，点 关于原点 的对称点为点 ，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ，
求 的轨迹方程．
2．（2023·江西·校联考二模）已知过曲线 上一点 作椭圆 的切线 ，则切线
的方程为 .若 为椭圆 上的动点，过 作 的切线 交圆 于 ，
过 分别作 的切线 ，直线 交于点 .(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)已知 为定直线 上一动点，过 的动直线 与轨迹 交于两个不同点 ，在线段 上取一点 ，
满足 ，试证明动点 的轨迹过定点.
3．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知椭圆C： ，直线l与椭圆C交于A，B两点．
(1)点 为椭圆C上的动点（与点A，B不重合），若直线PA，直线PB的斜率存在且斜率之积为 ，
试探究直线l是否过定点，并说明理由；
(2)若 ．过点O作 ，垂足为点Q，求点Q的轨迹方程．
考法六 长度比值
【例6】（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau算法：已知三个
定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成
比例的结论．如图所示，抛物线 ，其中 为一给定的实数.
(1)写出抛物线 的焦点坐标及准线方程；
(2)若直线 与抛物线只有一个公共点，求实数k的值；
(3)如图，A，B，C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，证明：
．【变式】
1．（2023·云南·校联考三模）如图，已知椭圆 的上、下顶点为 ，
右顶点为 ，离心率为 ，直线 和 相交于点 ，过 作直线交 轴的正半轴于 点，交椭圆于
点，连接 交 于点 .
(1)求 的方程；
(2)求证： .2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， .过 的直
线l交C的右支于M，N两点，当l垂直于x轴时，M，N到C的一条渐近线的距离之和为 .
(1)求C的方程；
(2)证明： 为定值.
考法七 存在性
【例7】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知椭圆 经过点 ，过点
的直线交该椭圆于 ， 两点.
(1)求 面积的最大值，并求此时直线 的方程；
(2)若直线 与 轴不垂直，在 轴上是否存在点 使得 恒成立？若存在，求出 的值；
若不存在，说明理由.【变式】
1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）椭圆 的离心率为 ，过椭圆焦点并
且垂直于长轴的弦长度为1．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与椭圆 相交于 ， 两点，与 轴相交于 点，若存在实数 ，使得 ，
求 的取值范围．
2．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知动点 到定点 的距离与动点 到定直线 的距离之比
为 ．
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)对 ，曲线 上是否始终存在两点 ， 关于直线 对称？若存在，求实数 的取值范围；
若不存在，请说明理由．3．（2023·四川成都·模拟预测）已知椭圆 的中心为O，左、右焦点分别为 ， ，
M为椭圆C上一点，线段 与圆 相切于该线段的中点N，且 的面积为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C上是否存在三个点A，B，P，使得直线AB过椭圆C的左焦点 ，且四边形 是平行四边形？
若存在，求出直线AB的方程；若不存在.请说明理由.
考法八 角度关系转斜率
【例8】（2022·全国·统考高考真题）已知点 在双曲线 上，直线l交C于P，Q
两点，直线 的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若 ，求 的面积．【变式】
1．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知点P是平面直角坐标系 异于O的任意一点过点P作直线
及 的平行线，分别交x轴于M，N两点，且 ．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)在x轴正半轴上取两点 ，且 ，过点A作直线l与轨迹C交于E，F两点，证明：
．
2．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知椭圆 的三个顶点所确定的三角形的面积为
， （ 是 的离心率）是 上一点.
(1)求 的方程；
(2)若直线 与 交于 两点，设 ，直线 与 分别交于 （不同于 ）两点，当 时，记直线 的倾斜角分别为 ， ，求 的最大值.
考点九 三点共线
【例9】（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知 是抛物线 的焦点，过点 的直线交抛
物线 于 两点，当 平行于 轴时， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)若 为坐标原点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线与抛物线 的另一
交点为 的中点为 ，证明： 三点共线.
【变式】
1．（2022秋·云南昆明 ）过抛物线 ： 上一动点 作x轴的垂线，记垂足为 ，设线段 的中
点为 ，动点 的轨迹为曲线 ，设 为坐标原点
(1)求曲线 的方程；(2)过抛物线 的焦点 作直线与曲线 交于 两点，设抛物线 的准线为 ，过点 作直线 的垂线，记
垂足为 ，证明： 、 、 三点共线，
2．（2023·江苏镇江）已知过抛物线 的焦点，斜率为 的直线交抛物线于两点 、
，其中 ，且 .
（1）求该抛物线的方程；
（2）设O为坐标原点，过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为C，证明：B、O、C三点共线.
3．（2023·江苏南京）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ： 的准线方程为 ： .（1）求抛物线 的方程；
（2）过抛物线 的焦点 作直线与抛物线相交于 ， 两点，过点 作直线 的垂线，交 于点 ，求证：
， ， 三点共线.
考法十 三角形类型的转化
【例10】（2022·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考三模）已知椭圆 ，左焦点为
，上顶点为 ，直线BF与椭圆交于另一点Q，且 ，且点 在椭圆上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设 ， ，M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线 与直线 交于点P，直线
与直线 交于点 .证明： 是等腰三角形.【变式】
1.（2022·浙江·模拟预测）已知直线l： 为双曲线C： 的一条渐近线，且双
曲线C经过点 .
(1)求双曲线C的方程；
(2)设A，B是双曲线右支上两点，若直线l上存在点P，使得 为正三角形，求直线AB的斜率的取值
范围.2．（2023·福建·统考一模）已知椭圆 的离心率为 ，其左焦点为 ．
(1)求 的方程；
(2)如图，过 的上顶点 作动圆 的切线分别交 于 两点，是否存在圆 使得 是以 为斜边
的直角三角形？若存在，求出圆 的半径；若不存在，请说明理由．
