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专题05 解析几何（解答题10种考法）
1．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知 ， 分别是椭圆 ： 的右顶点和
上顶点， ，直线 的斜率为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)直线 ，与 ， 轴分别交于点 ， ，与椭圆相交于点 ， .
（i）求 的面积与 的面积之比；
（ⅱ）证明： 为定值.
【答案】(1)
(2)（i）1（ⅱ）证明见解析
【解析】（1）∵ 、 是椭圆 ，的两个顶点，且 ，
直线 的斜率为 ，由 ， ，得 ，
又 ，
解得 ， ，
∴椭圆的方程为 ；
（2）
设直线 的方程为 ，则 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】联立方程 消去 ，
整理得 ， ，得
设 ， ，∴ ， .
（i） ， ，
∴ ，
∴ 的面积与 的面积之比为1；
（ii）证明：
综上， .
2．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知椭圆 的左右焦点分别为
是椭圆的中心，点 为其上的一点满足 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设定点 ，过点 的直线 交椭圆 于 两点，若在 上存在一点 ，使得直线 的斜率与直线
的斜率之和为定值，求 的范围．
【答案】(1)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2) 或
【解析】（1）设 ，在 中，设 ，
，
，
，
，
所以椭圆 的方程为：
（2）设 ，直线 的方程为 ，
，
，
，
设
，
若 为常数，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，而此时 ，
又 ，即 或 ，
综上所述， 或 ，存在点 ，使得直线 的斜率与直线 的斜率之和为定值
3（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知椭圆 的左、右顶点分别为
，长轴长为短轴长的2倍，点 在 上运动，且 面积的最大值为8．
(1)求 的方程；
(2)若直线 经过点 ，交 于 两点，直线 分别交直线 于 ， 两点，试问
与 的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2) 与 的面积之比为定值
【解析】（1）由题意得 ，即 ①．
当点 为 的上顶点或下顶点时， 的面积取得最大值，
所以 ，即 ②．
联立①②，得 ．
故 的方程为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）
与 的面积之比为定值．
由（1）可得 ，
由题意设直线 ．
联立 得 ，
则 ，
，
所以 ．
直线 的方程为 ，
令 ，得 ，即 ．
同理可得 ．
故 与 的面积之比为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
即 与 的面积之比为定值 ．
4．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，且直线 是
抛物线 的一条切线．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的动直线 交椭圆 于 两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点 ，使得以
为直径的圆恒过定点 ？若存在，求出 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【解析】（1）由 得
直线 是抛物线 的一条切线．所以
，所以椭圆
（2）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当直线 与 轴平行时，以 为直径的圆方程为
当直线 与 轴重合时，以 为直径的圆方程为
所以两圆的交点为点 猜想：所求的点 为点 ．
证明如下．当直线 与 轴垂直时，以 为直径的圆过点
当直线 与 轴不垂直时，可设直线 为：
由 得 ，设 ， 则
则
所以 ，即以 为直径的圆过点
所以存在一个定点 ，使得以 为直径的圆恒过定点 ．
5．（2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测）椭圆E的方程为 ，左、右顶点分别为
， ，点P为椭圆E上的点，且在第一象限，直线l过点P
(1)若直线l分别交x，y轴于C，D两点，若 ，求 的长；
(2)若直线l过点 ，且交椭圆E于另一点Q（异于点A，B），记直线 与直线 交于点M，试问点
M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，说明理由．
【答案】(1) ；
(2)点M在定直线 上，理由见解析.
【解析】（1）设 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ①， ②，
由①②可得 ，
，即 ，
（2）依题可设直线l的方程为 ， ， ， ．
联立方程组 ，整理得 ，
，
则 ，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立方程组 ，得 ，
因为
，
，
由 ，得 ，得 ．
所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故点M在定直线 上．
6．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知椭圆 ： 的离心率为 ，右焦点为 ，
， 分别为椭圆 的左、右顶点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作斜率不为 的直线 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，记直线 的斜率为 ，直线 的
斜率为 ，求证： 为定值；
(3)在（2）的条件下，直线 与直线 交于点 ，求证：点 在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）依题可得 ，解得 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 ．
（2）设 ， ，因为直线 过点 且斜率不为 ，
所以可设 的方程为 ，代入椭圆方程 得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】其判别式 ，所以 ， .
两式相除得 ，即 ．
因为 分别为椭圆 的左、右顶点，所以点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
所以 ， ．
从而 ．
（3）由（1）知 ，设 ，则 ，
所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立 可得 ，
所以直线 与直线 的交点 的坐标为 ，
所以点 在定直线 上.
7．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知曲线 ．
(1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围．
(2)设 ，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线 与曲线C交于不同的
两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不
是，说明理由．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)
(2)在定直线 上，理由见详解.
【解析】（1）因为曲线C是椭圆，所以 ，解得 ；.
（2）是在定直线 上，理由如下：
当 时，此时椭圆 ，设点 与直线l联立得
，
，且 ，
所以
易知 ，则 ，
两式作商得 是定值，
故G在定直线 上.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】8．（2023·河南·襄城高中校联考三模）设双曲线 的左、右焦点分别为 ，
，且E的渐近线方程为 ．
(1)求E的方程；
(2)过 作两条相互垂直的直线 和 ，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意，得 的渐近线方程为 ，
因为双曲线 的渐近线方程为 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，则 ，
故 的方程为 ．
（2）根据题意，直线 ， 的斜率都存在且不为0，
设直线 ， ，其中 ，
因为 ， 均与 的右支有两个交点，所以 ， ，所以 ，
将 的方程与 联立，可得 ，
设 ，则 ， ，
所以
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
用 替换 ，可得 ，
所以 ．
令 ，所以 ，
则 ，
当 ，即 时，等号成立，
故四边形 面积的最小值为 ．
9．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知双曲线 的离心率为 ，点 ，
分别是其左右焦点，过点 的直线交双曲线的右支于P，A两点，点P在第一象限.当直线PA的斜
率不存在时， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求双曲线的标准方程.
(2)线段 交圆 于点B，记 ， ， 的面积分别为S，S，S，求
1 2
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：因为双曲线 的离心率为 ，
所以 ，又过点 的直线PA的斜率不存在时， ，
所以 .
解得 ，
所以双曲线的方程为： ；
（2）设 ，则 ，且 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
，
由双曲线定义得 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
，
，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值 .
10．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，
焦点到渐近线的距离为 .
(1)求 的方程；
(2)过双曲线 的右焦点 作互相垂直的两条弦（斜率均存在） 、 .两条弦的中点分别为 、 ，那
么直线 是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)
(2)直线 过定点
【解析】（1）设双曲线的焦点坐标为 ，
依题意渐近线方程为 ，即 ，
有 ，解得 ， ；
（2）由（1）可知右焦点 ，
设直线 ： ， ， ，
由联立直线与双曲线 ，
化简得 ， ，
故 ， ，
，
又 ，则 ，
同理可得：
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
化简得 ，
故直线 过定点 .
11．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点
分别为 ， ，A，B分别是C的右、上顶点，且 ，D是C上一点， 周长的最大值为8.
(1)求C的方程；
(2)C的弦 过 ，直线 ， 分别交直线 于M，N两点，P是线段 的中点，证明：以 为
直径的圆过定点.
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【解析】1）依题意， ，
周长 ，当且仅当 三点共线时等号成立，
故 ，
所以 ，所以 的方程 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）设 ，直线 ，代入 ，整理得 ，
， ，
易知 ，令 ，得 ，同得 ，
从而中点 ，
以 为直径的圆为 ，
由对称性可知，定点必在 轴上，
令 得， ，
，
所以 ，即 ，因为 ，
所以 ，即 ，
解得 ，所以圆过定点 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】12．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知抛物线 ： ，过点 作斜率互为相反数的直线 ，
分别交抛物线 于 及 两点．
(1)若 ，求直线 的方程；
(2)求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）设 ， ，∵ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ， ．
又∵ ，∴ ，即 ，
又∵ ，∴ ， 或 ，
当 时， ，∴ ， ；
当 时， ，∴ ， ，此时直线AB的斜率不存在，舍去，
∴ ， ，∴直线 的方程为： ．
（2）设直线 ： ，则直线 ： ，
设 ， ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，即 ，则 ，所以 ， ，
又∵ ， ，
∴
，同理可证： ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ．
13．（2023·广东梅州·统考三模）已知双曲线 的右焦点，右顶点分别为 ， ，
， ，点 在线段 上，且满足 ，直线 的斜率为1， 为坐标原点.
(1)求双曲线 的方程.
(2)过点 的直线 与双曲线 的右支相交于 ， 两点，在 轴上是否存在与 不同的定点 ，使得
恒成立？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)存在，
【解析】（1）设 ，所以 ， ， ，
因为点 在线段 上，且满足 ，所以点 ，
因为直线 的斜率为1，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，解得 ， ， .
所以双曲线 的方程为 .
（2）假设在 轴上存在与 不同的定点 ，使得 恒成立，
当直线l的斜率不存在时，E在x轴上任意位置，都有 ；
当直线l的斜率存在且不为0时，设 ，直线l的方程为 ，
直线 与双曲线 的右支相交于 ， 两点，则 且 ，
设 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，得 ， ， ，
所以 ， ，
因为 ，即 ，所以 平分 ， ，
有 ，即 ，得 ，
所以 ，由 ，解得 .
综上所述，存在与 不同的定点 ，使得 恒成立，且 .
14．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知椭圆 的左顶点为 ，过右焦点 且平行
于 轴的弦 ．
(1)求 的内心坐标；
(2)是否存在定点 ，使过点 的直线 交 于 ，交 于点 ，且满足 ？若存在，
求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在定点
【解析】（1）
∴椭圆 的标准方程为 ，
不妨取 ，则 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 中， ，所以 的内心在 轴，设直线 平分 ，交 轴于 ，则 为
的内心，且 ，所以 ，则 ；
（2）∵椭圆和弦 均关于 轴上下对称．若存在定点 ，则点 必在 轴上∴设
当直线 斜率存在时，设方程为 ，直线方程与椭圆方程联立 ，
消去 得 ，
则 ①
∵点 的横坐标为1， 均在直线 上，
，整理得 ，
因为点 在椭圆外，则直线 的斜率必存在．∴存在定点 满足题意
15（2023·广东佛山·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，点 为坐标原点， ， ， 为线
段 上异于 的一动点，点 满足 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)点 是曲线 上两点，且在 轴上方，满足 ，求四边形 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1） ， ， ，
，
点轨迹是以 为焦点，长轴长为 的椭圆，
设椭圆方程为 ，则 ， ， ，
点 的轨迹 的方程为： .
（2）连接 ，延长交椭圆 于点 ，连接 ，
由椭圆对称性可知： ，又 ， 四边形 为平行四边形，
， ， 且 三点共线
四边形 的面积 ，
设直线 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 得： ，
， ，
，
又 ， 点 到直线 的距离即为点 到直线 的距离，
点 到直线 的距离 ， ，
设 ，则 ， ， ，
又 ， 当 ，即 时，四边形 面积取得最大值，最大值为 .
16．（2023·四川成都·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆 过点
，且左焦点为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2) 内接于椭圆 ，过点 和点 的直线 与椭圆 的另一个交点为点 ，与 交于点 ，满足
，求 面积的最大值.
【答案】(1) ；
(2) .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）令椭圆 的半焦距为c，依题意， ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）设点 的坐标分别为 ，
显然 均不为零，依题意，令 ，有 且 ，
又 四点共线，从而 ，
即 ， ，
于是 ，从而 ①， ②，
又点 在椭圆 上，即 ③， ④，
①+② 并结合③，④得 ，即动点 总在定直线 上，因此直线 方程为
，
由 消去y得 ， ，
设 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】于是 ，设 ，
则点 到直线 的距离 ，其中锐角 由 确定，
因此 ，当且仅当 时
取等号，
所以 的面积最大值为 .
17．（2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆 过点
，且左焦点为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2) 内接于椭圆 ，过点 和点 的直线 与椭圆 的另一个交点为点 ，与 交于点 ，满足
，证明： 面积为定值，并求出该定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定值为
【解析】（1）由题意得 ，
解得 ，
所以椭圆C的方程为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）设点 的坐标分别为 ， ， ．
由题设知 ， ， ， 均不为零，
记 ，则 且
又 四点共线，从而 ，
于是 ， ， ，
从而 ①， ②，
又点 在椭圆 上，即 ③， ④，
①＋②×2并结合③、④得 ，
即点 总在定直线 上．
∴ 所在直线为 上．
由 消去y得 ， ，
设 ，则 ，
于是 ，
又 到 的距离 ，
∴
∴ 面积定值为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】18（2023·河北·统考模拟预测）已知椭圆 的左焦点为 ，过点 作直线 交 于点 ， .
(1)若 ，求直线 的斜率；
(2)设 ， 是 上异于 的点，且 ， ， 三点共线，求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【解析】（1）依题意，椭圆 的左焦点 ，
当直线 的斜率为0时，此时 、 两点是椭圆长轴上的两点，
向量 ， 或 ， 均不满足 ，
不合题意，所以直线 的斜率不为0.
故可设直线 的方程为 ， ， ，
由 得： ，
，
则 ， ①，
由 可得 ，
所以 ，即 ②，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由①②可得 ， ，
化简整理得 ，所以 ，
所以直线 的斜率为 .
（2）证明：由 ， 可得直线 的方程为 ，
由 得： ，
所以 ，结合
可得： ， ，即 ，
又 ，则 ，
所以 ，所以 .
19．（2023·重庆巴南·统考一模）在平面直角坐标系 中，已知点 、 ， 的内切
圆与直线 相切于点 ，记点M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线 上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，连接 .若直线 的
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】斜率与直线 的斜率之和为0，试比较 与 的大小.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为点 、 ， 的内切圆与直线 相切于点 ，
所以 ，
因此根据双曲线的定义可知，点 的轨迹为以 ， 为焦点的双曲线的右支，
设点 的轨迹C的方程为 ，焦距为 ，
所以 ， ，
所以 ， ， ，
所以点 的轨迹方程C为
（2）由题意，直线 的斜率互为相反数，记 ，
则 ， ， ， ， ，
设 ，则直线 ， .
联立直线 和双曲线方程 ，
整理得 .
该方程有两个不等实根 ， ，
则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】根据韦达定理可得 ， ，
同理可得 ， .
又因为 ， .
， .
则 ，
同理可得
即
进而可得 相似于 ，
即 ， ，
也即A，B，Q，P四点共圆，可得
从而得 .
因此
20．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知椭圆 ， ， 为C的左右焦点.
点 为椭圆上一点，且 .过P作两直线与椭圆C相交于相异的两点A，B，直线PA、
PB的倾斜角互补，直线AB与x，y轴正半轴相交.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点M满足 ，求M的轨迹方程.
【答案】(1)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)
【解析】（1）因为 ，所以 ，即 ，
把 代入 ，得 ，所以 ，
故椭圆C的方程为 ；
（2）由题意，直线AB斜率存在，不妨设其方程为 ，
设点 ，
联立椭圆方程 ，得 ，
其中 ，则 ，
所以 ，
因为直线 、 的倾斜角互补，所以 ，
所以 ，化简得 ，
即 ，
所以 ，若 ，此时直线AB过点P，不合题意舍去；
故 ，所以 ，所以直线AB方程为 ，
设 ，因为 ，所以M为AB的中点，
所以 ，则 ，
消去m得 ，又 ，且 ，所以 ，
所以 ，所以点M的轨迹方程为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】21．（2023·重庆·统考模拟预测）已知椭圆 ： 的长轴长是短轴长的2倍，直线
被椭圆截得的弦长为4．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设M，N，P，Q为椭圆 上的动点，且四边形MNPQ为菱形，原点О在直线MN上的垂足为点H，求H
的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意可得 ，则椭圆 ： ，
联立 ，解得 或 ，
所以弦长 ，解得 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 ，即 ；
（2）因为四边形MNPQ为菱形，所以 垂直且平分，
设 ，
则 ，
两式相减得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，
设菱形的中心为 ，
若直线 的斜率都存在，设直线 的斜率分别为 ，
由 ，得 ，
所以 ，即 ，
同理 ，
所以 ，
由 得 ，所以 ，即菱形的中心为原点，
则直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，
所以 ，
同理 ，
因为 ，
所以
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
所以点 在圆 上；
若直线 中有一条直线的斜率不存在，由对称性可知棱形的中心为原点，
四点分别为椭圆的顶点，不妨设 为右顶点， 为上顶点，
则 ，
同理可得 ，
点 任在圆 上，
综上所述，H的轨迹方程为 .
22（2023·海南海口·海南中学校考二模）已知过点 的直线 与双曲线 ： 的左右两支分别
交于 、 两点.
(1)求直线 的斜率 的取值范围；
(2)设点 ，过点 且与直线 垂直的直线 ，与双曲线 交于 、 两点.当直线 变化时，
恒为一定值，求点 的轨迹方程.
【答案】(1)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)
【解析】（1）当 时，显然符合题意，
当 时，设直线 的方程为 ，其中 ，设 、 ，
与双曲线方程联立可得 ，
因为直线 与双曲线交于不同的两支，所以 ，又 ，
所以 ，解得 ，即 ，所以 且 ，解得 或 ，
综上可得 ；
（2）由（1）知，因为 ，
所以 ，
设 ，则直线 的方程为： ，设 ，
直线 与双曲线方程联立可得 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
得 ，
又因为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
当 时，
即 时， 为定值 ，
所以 或 ，又因为 ，
所以点 的轨迹方程为 .
23．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知双曲线 ： （ ， ）的离心率
为 ，右顶点 到渐近线的距离等于 .
(1)求双曲线 的方程.
(2)点 ， 在 上，且 ，直线 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)直线 过定点
【解析】（1）由题意，取渐近线 ，
右顶点 到该渐近线的距离 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ， ，解得 ， ， ，
的方程为 .
（2）由题意知直线 的斜率存在且不为 ，
设直线 ： ，
与 的方程联立，消去 得 ，
易知 ，
由韦达定理得 ，则 .
因为 ，所以 ，
用 代替 （显然此时 ），
同理得 ，
得 ，
直线 ： ，
过定点 .
当 时，直线 的斜率不存在，
易知直线 的方程为 ，过左焦点 .
综上，直线 过定点 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】24．（2023·福建三明·统考三模）已知 是椭圆 的右焦点， 为坐标原点， 为
椭圆上任意一点， 的最大值为 .当 时， 的面积为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2) 、 为椭圆的左、右顶点，点 满足 ，当 与 、 不重合时，射线 交椭圆 于点 ，
直线 、 交于点 ，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：设点 ，则 ， ，
因为
，
所以， ，
设椭圆左焦点为 ，因为 ，所以 .
即 ，
又因为 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，所以 ，所以 ，
因为此时 ，所以 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 ， ，所以椭圆 的方程为 .
（2）解：设点 ， ， ，
因为点 满足 ，则 ，解得 ，所以 ，
由题知 不与 轴重合，设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，消 整理得 ，
，
设 、 ，则 ， .
因为 的方程为 ， 的方程为
两直线方程联立得： .
因为 .
所以 ，解得 ，
所以动点 的轨迹方程为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由椭圆的对称性不妨设 ，直线 、 的倾斜角为 、 ，
由图可知 ，且 ，
因为 ，则 ，
因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，此时 ， ，
所以 的最大值为 .
25．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测） 中， 是边 上的点， ，
且 ．
(1)若 ，求 面积的最大值；
(2)若 内是否存在点 ，使得 ？若存在，求 ；若不存
在，说明理由．
【答案】(1)
(2) 存在，
【解析】（1）由面积公式可得：
，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，故 ，
由 可得 即 ，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则 ，设 ，
则 ，整理得到： ，
即点A的轨迹是以 圆心， 为半径的圆，
故 的 边上的高的最大值为 ，故其面积的最大值为 .
（2）因为 ，故 ，又 ，故 ，
故 为直角三角形，且 ，
假设 内存在点 ，使得 ，
法一：如图，设 ，
则 ，故 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 中，由正弦定理可得 ，即 ，
故 ，故 ，
因为 为锐角，故 ，
故 存在且 ．
法二：如图，设 ，则 ，故 ，
同理 ，故 ，
而 ，故 ，
在 中，由余弦定理可得： ，
整理得到： ，
所以 ，
整理得到： ，解得 或 ，
但 为锐角，故 ，故 ，
故 存在且 ．
26．（2023·河北·校联考三模）已知椭圆 ，其焦距为 ，连接椭圆 的四个顶点
所得四边形的面积为6．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知点 ，过点 作斜率不为0的直线交椭圆 于不同两点 ，求证：直线 与直线
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所成的较小角相等．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意得， ，
解得 ， ， ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）证明：由题意，直线 的斜率一定存在，
设直线 的方程为 ， ，设 ， ，
联立 ，整理得 ，
所以 ，即 ，且 ，
， ，
因为直线 平行于 轴，
所以要证直线 与直线 所成的较小角相等，
即证直线 的倾斜角互补，
即证 ，下面进行证明：
所以直线 与直线 所成的较小角相等.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】27．（2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希腊）不仅是
著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 等于椭圆
的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的面积为 ，
两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.过点 的直线 与椭圆C交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为P，Q，直线PA与直线 交于点F，试证明B，Q，F三点共线.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）依题意有 ，解得 ，所以椭圆C的标准方程是 .
（2）（i）当直线 的斜率不存在，易知 ， ，或 ， ，
当 ， 时，直线PA的方程为： ，所以点 ，
此时， ， ，显然B，Q，F三点共线，
同理 ， 时，B，Q，F三点共线；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（ii）当直线 的斜率存在时，显然斜率 ，设直线 的方程： ，
设 ， ，
由 整理可得： ，
， ，
由（1）可得左右顶点分别为 ， ，
直线PA的方程为 ，又因为直线 与 交于F，所以 ，
所以 ， ，
因为
，
又
，
所以 ，所以 ，所以B，Q，F三点共线；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】28．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）椭圆 的焦距为 为椭圆右焦
点， .
(1)求椭圆 的方程与离心率；
(2)设 为原点， 为椭圆上一点， 的中点为 .直线 与直线 交于点 ，过 且平行于 的直
线与直线 交于点 .求证： .
【答案】(1) ， .
(2)证明见解析.
【解析】（1）椭圆的焦距为 ，所以 ， ，
又 ，所以 ，椭圆 的方程是 ，
离心率为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由（1）得 .设 的中点为 ， .
设直线 的方程为: ，
将其代入椭圆方程，整理得
，所以 ，
所以 ， ，即 ，
所以直线 的斜率是 ，
所以直线 的方程是 ，令 得 ，
直线 的方程是 ，令 得 ，
由 ，得直线 的斜率是 ，所以 ，记垂足为 ;
因为直线 的斜率是 ，所以 ，记垂足为 .
在 和 中， 和 都与 互余，所以 .
29．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知椭圆C： 经过圆 ：
的圆心，C的左焦点F到圆 上的点的距离的最小值为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求C的标准方程．
(2)过点F作斜率之积为－1的两条直线 ， ， 与C相交于A，B两点， 与C相交于M，N两点，点
P，Q分别满足 ， ，问：直线PQ是否过定点?若过定点，求出该定点的坐标；
若不过定点，试说明理由．
【答案】(1)
(2)直线PQ过定点 ．
【解析】（1）圆 的方程可化为 ，故 ，半径 ，将 代入椭圆方程得 ．
设C的左焦点F的坐标为（－c，0），则 ，解得 ，
所以 ，所以C的标准方程为 ．
（2）直线PQ过定点 ，理由如下．
由（1）知 ，因为 ， 的斜率之积为－1，所以 ，易知 ， 的斜率存在且不为0．
由 ， ，可知点P为线段AB的中点，点Q为线段MN的中点．
设 的方程为 ， ， ，
由 消去y，得 ，
则 ，所以 ，
所以点P的坐标为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】将点P坐标中的k换成 ，可得
当 时，解得 ，此时直线PQ的方程为 ，恒过x轴上的点 ；
当 时， ， ，
所以 ，即直线PQ过定点 ．
综上所述，直线PQ过定点 ．
30．（2023·浙江·校联考三模）已知双曲线 为其左右焦点，点 为其右支上一点，
在 处作双曲线的切线 .
(1)若 的坐标为 ，求证： 为 的角平分线；
(2)过 分别作 的平行线 ，其中 交双曲线于 两点， 交双曲线于 两点，求 和
的面积之积 的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）解：由题意点 处的切线为 ，
所以过点 处的切线方程为 ，
交 轴于点 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，所以 为 的角平分线；
（2）过 的切线 ，
当 时，即 不为右顶点时， ，
即 ，
（或由直线与单支有两个交点，则 也可）
联立
设 ，则
所以
又
所以 ，
，
当 时，即点 为右顶点时， ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 的最小值为 .
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