文档内容
专题 05 解三角形（角平分线问题问题）(典型题型归类训
练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................1
方法一：等面积法.......................................1
方法二：角互补.........................................7
三、专项训练.............................................10
一、必备秘籍
角平分线
如图，在 中， 平分 ，角 , , 所对的边分别为 ， ，
核心技巧1：内角平分线定理：
或
核心技巧2：等面积法(使用频率最高）
核心技巧3：边与面积的比值：
核心技巧4：角互补：
在 中有： ;
学科网（北京）股份有限公司在 中有：
二、典型题型
方法一：等面积法
1．（23-24高一下·山东·阶段练习） 的内角 的对边分别为 ，满足
(1)求 ；
(2) 的角平分线与 交于点 ，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由诱导公式正弦定理倍角公式化简已知等式，即可求解；
（2）由 ，得 ，利用基本不等式求 的最小值.
【详解】（1）由 得： ，
由正弦定理得： ，倍角公式得 ，
由 ，有 ，所以 ，
得 ，所以 .
（2）由 ，得 ，
即 ，得 ，
，
当且仅当 即 时等号成立
所以 的最小值为 .
学科网（北京）股份有限公司2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在 中，内角 的对边分别是
，且 ，
(1)求角 ；
(2)若 ，求边 上的角平分线 长．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式化简即可求
出 .
（2）利用余弦定理及已知求出 ，然后利用三角形面积公式列方程求解即可.
【详解】（1）在 中，由正弦定理及 ，得
，即 ，
而 ，解得 ，又 ，
所以 .
（2）由 及余弦定理得 ，又 ，解得 ，
由 得 ，
即 ，则 ，
所以 .
3．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）如图在 中， ， ， 分别是角 ， ，
所对的边， 是边 上的一点.
(1)若 ， ， ， ，求 的面积.
(2)试利用“ ”证明：“ ”；
学科网（北京）股份有限公司(3)已知 ， 是 的角平分线，且 ， ，求
的面积.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据 ，利用三角形面积公式求解即可；
（2）由 得 ，两边同时乘以 ，再利用向量的数量积即可证
明；
（3）根据正弦定理将角化边求出 ，利用 和余弦定理求出 的
值即可求出 的面积.
【详解】（1） ， ，
，
的面积为 ；
（2） ， ，
两边同时乘以 得 ，
即 ,
，
两边同时除以 ，得 ，
；
（3） ，
根据正弦定理有 ，即 ，
， ， ，即 ，
， ，即 ，
是 的角平分线， ，
，
，
学科网（北京）股份有限公司即 ，
整理得 ①，
在 中， ,
即 ②，
①②联立解得 （舍）或 ，
,
的面积为 .
4．（2024·四川遂宁·二模）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求角C；
(2)若CD是 的角平分线， ， 的面积为 ，求c的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化角为边，结合和差角公式以及弦切互化可得 ，即
可求解，
（2）由 ，可得 ，根据等面积法可求 ，由余弦定理即可求 的
值．
【详解】（1）由 可得
故 ，进而 ，
由于 所以
（2）由面积公式得 ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司， ，
即 ， ，
又 ， ，
．
5．（22-23高一下·江苏连云港·期中）已知 的内角A，B，C的对边为a，b，c，且
．
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ；
①已知E为BC的中点，求 底边BC上中线AE长的最小值；
②求内角A的角平分线AD长的最大值．
【答案】(1)
(2) 长的最小值为 ， 的最大值
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到 ，进而求出 ；
（2）由面积公式求出 ，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解 的最值，
根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解 的最值.
【详解】（1）由正弦定理，得 ，即 ，
故 ，
因为 ，所以 ，
所以 ；
（2）①由（1）知 ，
因为 的面积为 ，所以 ，解得 ，
由于 ，所以
学科网（北京）股份有限公司，
当且仅当 时，等号取得到，所以 ；
②因为 为角 的角平分线，所以 ，
由于 ，
所以 ，
由于 ,所以 ，
由于 ，
又 ，所以
由于 ，当且仅当 时，等号取得到，
故 ，故 ，
方法二：角互补
1．（23-24高二上·云南玉溪·期中）已知 的三个内角 所对的边分别为 ，
满足 ，且 ．
(1)求 ；
(2)若点 在边 上， ，且满足 ，求边长 ；
请在以下三个条件：
① 为 的一条中线；② 为 的一条角平分线；③ 为 的一条高
线；
其中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，借助三角恒等变换公式化简即可；
（2）由（1）问，分析边角关系，利用余弦定理等知识求解即可.
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
由倍角公式可得 ，则 ，
又因为 ，则 ，
所以 ，
即 ．
且 ，则 ，可得 ，
又因为 ，所以 ．
（2）若选择①：若 为 的中线，设 （ ），
由余弦定理可得 ， ，
因为 ，可得 ，
即 ，整理得 ，可知 ，
又因为 ，解得 或 （舍去），
所以 ；
若选择②：若 为 的角平分线，则 ，
在 中，由余弦定理得 ，即 ，
可知 ，即 ，可知 ， ，
所以 ；
若选择③：若 为 的高线，则 ，
则 ，即 ，则 ，
可知 ，可知 ， ,
所以 ．
2．（2023高三上·全国·专题练习）在 中，记角 、 、 所对的边分别为 、 、
，已知 ，中线 交 于 ，角平分线 交 于 ，且 ，
学科网（北京）股份有限公司，求 的面积．
【答案】
【分析】由三角恒等变换化简可得出 ，利用角平分线定理可得出 ，结合
可得出 ， ，然后在 、 中，应用余弦定理可得出
，结合已知条件可得出 的值，分析可知 ，再利用三角
形的面积公式可求得 的面积.
【详解】解：因为 ，
所以， ，
即 ，由正弦定理可得 ，
因为 的角平分线 交 于 ，则 ，所以，
．
又因为 ， ，由 可得 ，
即 ，则 ， ．
在 中，由余弦定理得 ，①
在 中，由余弦定理得 ．②
因为 ，
则① ②可得， ，即 ，
即 ，即 ，解得 ，
此时满足 ，故 ，所以， ．
3．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、
， ， ，点 满足 .
(1)若 为 的角平分线，求 的周长；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)
学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】（1）由 和 ，根据 为 的角
平分线，得到 ，再与 求解.
(2)由 和 ，得到 ，再
结合 ，得到 求解.
【详解】（1）在 中， ，①
在 中， ，②
因为 为 的角平分线，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ， ，
所以 的周长为 .
（2）在 中， ，
在 中， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以
学科网（北京）股份有限公司所以 所以 ，
令 ，则 ，
则 ， ，
，
当 时， ，当 时， ，
所以在 上单调递减，在 上单调递增
所以 ，所以 的取值范围为 .
三、专项训练
1．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）在 中， ， ， ，
的角平分线交 于 ，则 ．
【答案】
【分析】由余弦定理求得 ，然后由角平分线定理求得 ， ，再由余弦定理利用
，求得 ．
【详解】 中，由余弦定理 得
，
解得 （ 舍去），
是角平分线，则 ，
所以 ， ，
又由余弦定理得：
，
，
而 ，
学科网（北京）股份有限公司因此 ，
，
， ．
故答案为： ．
2．（2024·浙江·模拟预测）在 中， 是 的角平分线且
，若 ，则 ， 的面积为 ．
【答案】 6
【分析】根据给定条件，求出边AB，AC长的关系，再利用余弦定理、三角形面积定理求
解作答.
【详解】在 中， 是 的角平分线，且 ，则有：
，令 ，则
，
在 与 中，由余弦定理得： ，
，
因此， ，得 ，即有 ，解得
，
的面积为 .
故答案为： ；6
3．（23-24高三下·浙江·开学考试）在△ 中， 是 的角平分线， 且交
学科网（北京）股份有限公司于 . 已知 ， 则 ，
.
【答案】
【分析】由角平分线的性质可得 ，设 结合
列方程求参数m，即可求 ，再由余弦定理求 .
【详解】由角平分线的性质知： ，若 ，
因为 ，则 ，
所以 ，整理得 ，解得 或 （舍）.
所以 ，则 .
故答案为：
4．（23-24高三上·江西赣州·）在 中，内角 的对边分别为 ，满足
为 的角平分线，且 ，则 .
【答案】6
【解析】根据题意先求出 的三角函数值，在 中，已知两边夹一角，可以利用
余弦定理求出 ， 再求出 的三角函数值，在 中，已知 和
，先求出 ，再利用正弦定理求解 即可.
【详解】记 ，因为 ，所以 ， ，
学科网（北京）股份有限公司在 中，由余弦定理， ，代入数据，解得 ，
，
，所以 ， ，
在 中， ，
由正弦定理， ，即 ，解得， ，即 .
故答案为：6
【点睛】本题主要考查解三角形正弦定理和余弦定理的综合应用，考查学生对三角形中角
和边关系的分析能力，同时还考查学生的计算能力，属于中档题.
5．（2024·江苏常州·模拟预测）已知 中内角 的对边分别是 ，
.
(1)求 的值；
(2)设 是 的角平分线，求 的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角形的正弦定理，结合诱导公式以及两角和的正弦公式可得所求值；
（2）设AD x，运用三角形的面积公式，结合等积法可得 ，解方程可
得所求值．
【详解】（1） ，由 ，可得 ，
，可得B为锐角，则 ，
所以 sin = ，
由 = 可得 ，解得 ；
（2）由（1）可得 ，
学科网（北京）股份有限公司因为 是 的平分线，
所以 ,
设 ，由 ，
可得 ，
化为 ，
解得 ，
则 ．
6．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， 且满
足 .
(1)求角 ；
(2)若 的面积为 ，点 在边 上， 是 的角平分线，且 ，求
的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题中等式和二倍角公式，正弦定理，余弦定理整理可得.
（2）利用三角形面积公式，先求 ，再利用余弦定理求 即可.
【详解】（1） ，
，
由正弦定理得 ，
，
又 ， .
（2）
，
学科网（北京）股份有限公司，
，
由题意知 ，
，
，
，
，
，故 .
的周长为 .
7．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ，
， .
(1)求角A的大小；
(2)若 是 角平分线，求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用正弦定理边化角结合同角的三角函数关系即可求得答案；
（2）根据角平分线性质可得 ，利用 展开化简即可
证明结论.
【详解】（1）由 ，由正弦定理可得 ，
因为 ，可得 ，所以 ，即 ，
又因为 ，可得 .
（2）因为 是 角平分线，且 ，所以 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司可得 ，
可得 ，
所以 ，所以 ，
即 .
8．（2024·广东深圳·模拟预测）已知 的内角 的对边分别为 ，且
.
(1)求角B；
(2)设 的角平分线 交 于点D，若 ，求 的面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简求值，可得答案.
（2）根据三角形的面积之间的关系，即 ，可得 ，结合基
本不等式，即可求得答案.
【详解】（1）由已知及正弦定理得： ，
又在 中， ,
∴ ，
即 ，
又 ，∴ ,
又 ，∴ ，即角B的大小为 .
（2）∵ .
是 的角平分线，而 ，
∴ ，
即 ，∴ .
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，即 ,
学科网（北京）股份有限公司当且仅当 时取等号，则 ，
即 的面积的最小值为 .
9．（2024·广东惠州·模拟预测）条件① ，
条件② ，
条件③ ．
请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知 的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且满足________，
(1)求 ；
(2)若 是 的角平分线，且 ，求 的最小值．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选①，利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出 的值，结合角 的
取值范围可得出角 的值；
选②，利用正弦定理结合余弦定理可得出 的值，结合角 的取值范围可得出角 的
值；
选③，利用正弦定理结合三角恒等变换化简可得出 的值，结合角 的取值范围可得出
角 的值；
（2）由已知 结合三角形的面积公式可得出 ，将 与
相乘，展开后利用基本不等式可求得 的最小值.
【详解】（1）解：选①：因为 ，由正弦定理可得
，
即 ，
所以 ，
而 ， ，故 ，因为 ，所以 ；
选②：因为 ，由正弦定理 ，
学科网（北京）股份有限公司即 ，由余弦定理 ，
因为 ，所以 ；
选③：因为 ，
正弦定理及三角形内角和定理可得 ，
即 ，
因为 、 ，则 ，所以， ， ，
所以 ，所以 ，即 .
（2）解：由题意可知， ，
由角平分线性质和三角形面积公式得 ，
化简得 ，即 ，
因此 ，
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
10．（23-24高三上·河北·阶段练习）已知 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，其中 ， .
(1)若点D为 的中点且 ，求 的余弦值；
(2)若 的角平分线与 相交于点E，当 取得最大值时，求 的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）延长 到F，构造平行四边形，转化角后由余弦定理计算；
（2）设 ， ，由余弦定理用 表示出 ，由面积
把 用 表示，然后计算出 ，利用基本不等式得最大值．
【详解】（1）根据题意，延长 到F，使得 ，连接 ，
可得四边形 为平行四边形，
所以 ；
学科网（北京）股份有限公司（2）设 ， ，
可得 ，
因此 ，
又
当且仅当 时等号成立，
所以 .
学科网（北京）股份有限公司
