专题 06 函数及其表示
目录
01 思维导图
02 知识清单
03 核心素养分析
04 方法归纳
一、函数的概念
1.函数的定义
设A,B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合A中的任意一个数x, 在集合B 中都有唯
一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y =f(x),x∈A.其中，x 叫
做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域.显然，值域是集合 B 的子集.
2.函数的构成要素
函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.三者缺一不可，其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义
域和对应关系确定了，值域也就确定了.
二、函数的定义域
1.函数的定义域是自变量x的取值集合，它是函数的重要组成部分.
2.求函数定义域的注意事项
(1)分式的分母不为0;
(2)偶次根式的被开方数大于等于0;
(3)零次幂的底数不为0;
(4)实际问题中自变量的范围；
(5)多个式子构成的函数，其定义域要满足每个式子都有意义.
三、函数的值域
1.函数的值域是在对应关系 f 的作用下，自变量x在定义域内取值时相应的函数值组成的集合四、同一个函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两
个函数是同一个函数.
温馨提示：当一个函数的对应关系和定义域确定后，其值域就随之确定，所以两个函数当且仅当定义城和对
应关系相同时，才为同一函数.换言之，(1)定义域不同，两函数不同；(2)值域不同，两函数不同；(3)对应关
系不同，两函数不同，即使定义域和值城分别相同的两个函数，也不一定是同一函数，如y=5x 与它们的定
义域和值域都是实数集R, 但不是同一个函数.
五 、区 间
1. 一般区间的表示(a,b 为实数，且a<b
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b]
{x|a<x<b} 开区间 (a,b)
{x|a≤x<b} 半闭半开区间 (a,b)
{x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a,b)
2.特殊区间的表示
六、函数的表示法
1.解析法
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.
2.图象法
用图象表示两个变量之间的对应关系，
3. 列表法
列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
温馨提示：
(1)解析法必须注明函数的定义域；
(2)列表法必须罗列出所有的自变量的值与函数值的对应关系； (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还
是“线”,
七、复合函数
如果函数y=f(t)的定义域为A, 函数t=g(x) 的定义域为B, 值域为C, 则 当C≤A时，称函数y=f(g(x)) 为
f(t) 与g(x)在B的复合函数，其中t 叫做中间变量，t=g(x) 叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.
温馨提示：
1. 内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集.
2. 函数f(g(x))的定义域是指x 的取值范围，而不是g(x)的取值范围.
八、分段函数
在函数y=f(x) 的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数通常称
为分段函数
本专题的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语
言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系。
重点提升数学抽象、逻辑推理、数学运算素养。
一、函数的定义域例1 (1)(2022·武汉模拟)函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2] D．(－1,2]
答案 B
解析 要使函数有意义，
则需
解得－1<x≤2且x≠0，
所以x∈(－1,0)∪(0,2]．
所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,2]．
(2)若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(x－1)的定义域为________．
答案 [1,3]
解析 ∵f(x)的定义域为[0,2]，
∴0≤x－1≤2，即1≤x≤3，
∴函数f(x－1)的定义域为[1,3]．
延伸探究 将本例(2)改成“若函数f(x＋1)的定义域为[0,2]”，则函数f(x－1)的定义域为________．
答案 [2,4]
解析 ∵f(x＋1)的定义域为[0,2]，
∴0≤x≤2，
∴1≤x＋1≤3，
∴1≤x－1≤3，
∴2≤x≤4，
∴f(x－1)的定义域为[2,4]．
拓展
1．(2022·西北师大附中月考)函数y＝lg(x2－4)＋的定义域是( )
A．(－∞，－2)∪[0，＋∞)
B．(－∞，－6]∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
D．(－∞，－6)∪[2，＋∞)
答案 B
解析 由题意，得
解得x>2或x≤－6.
因此函数的定义域为(－∞，－6]∪(2，＋∞)．
2．已知函数f(x)＝，则函数的定义域为( )
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)
D．(－∞，－1)∪(－1,1)
答案 D
解析 令1－2x>0，
即2x<1，即x<0.
∴f(x)的定义域为(－∞，0)．∴函数中，有解得x<1且x≠－1.
故函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)．
方法归纳：（1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义．
(2)求复合函数的定义域
①若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
②若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．
二、函数的解析式
例2 (1)(2022·哈尔滨三中月考)已知f ＝lg x，则f(x)的解析式为________．
答案 f(x)＝lg (x>1)
解析 令＋1＝t(t>1)，
则x＝，
所以f(t)＝lg (t>1)，
所以f(x)＝lg (x>1)．
(2)已知y＝f(x)是二次函数，若方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)＝________.
答案 x2＋2x＋1
解析 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b，∴2ax＋b＝2x＋2，
则a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋c，
又f(x)＝0，
即x2＋2x＋c＝0有两个相等实根．
∴Δ＝4－4c＝0，则c＝1.
故f(x)＝x2＋2x＋1.
(3)已知函数对任意的x都有f(x)－2f(－x)＝2x，则f(x)＝________.
答案 x
解析 ∵f(x)－2f(－x)＝2x，①
∴f(－x)－2f(x)＝－2x，②
由①②得f(x)＝x.
拓展
已知f(x)满足f(x)－2f ＝2x，则f(x)＝________.
答案 －－
解析 ∵f(x)－2f ＝2x，①
以代替①中的x，得f －2f(x)＝，②
①＋②×2得－3f(x)＝2x＋，
∴f(x)＝－－.
方法归纳： 函数解析式的求法
(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．
三、分段函数
例3 (1)已知f(x)＝则f ＋f 的值为( )
A. B．－ C．－1 D．1
答案 D
解析 f ＝f ＋1＝f ＋1＝cos ＋1＝，
f ＝cos
＝cos ＝－，
∴f ＋f ＝－＝1.
(2)已知f(x)＝若f(a)＝5，则实数a的值是__________；若f(f(a))≤5，则实数a的取值范围是__________．
答案 1或－3 [－，－1]
解析 ①当a>0时，2a＋3＝5，解得a＝1；
当a≤0时，a2－4＝5，
解得a＝－3或a＝3(舍)．
综上，a＝1或－3.
②设t＝f(a)，由f(t)≤5得－3≤t≤1.
由－3≤f(a)≤1，解得－≤a≤－1.
拓展
1．已知函数f(x)＝则f(f(2 022))等于( )
A．－ B. C. D.
答案 B
解析 f(2 022)＝sin＝sin ＝，
∴f(f(2 022))＝f ＝ ＝.
2．(2022·百校联盟联考)已知函数f(x)＝若对于任意的x∈R，|f(x)|≥ax，则a＝________.
答案 0
解析 当x≥0时，|f(x)|＝x3≥ax，即x(x2－a)≥0恒成立，则有a≤0；
当x<0时，|f(x)|＝x2≥ax，即a≥x恒成立，
则有a≥0，所以a＝0.
方法归纳： 分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检
验．
