文档内容
专题 07 函数的基本性质
目录
01 思维导图
02 知识清单
03 核心素养分析
04 方法归纳
一、函数的单调性
1.增函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I, 如果对于定义域 I 内某个区间D上的任意两个自变量x₁,xz, 当x₁
f(x₂), 那么就说函数 f(x)在区间 D上是减函数.
小结：对任意的x₁,x₂ ∈D, 且x₁ ≠x₂有：
（1）
（2）(x₁-x₂)[f(x₁)-f(x₂)]>0=f(x)在D上是增函数；
(x₁-x₂)[f(x₁)-f(x₂)]<0⇔f(x)在D上是减函数.
二、单调区间
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x) 在这一区间上具有(严格的)单调
性，
区间D叫做y=f(x)的单调区间.
温馨提示：
1. 函数的单调性是针对定义城内某段区间而言的 .
2. 函数单调性定义中的x₁,xg 有三个特征：①任意性；②有大小；③同属一个单调区间，三者缺一不
可.
3. 求函数的单调区间，应先求其定义域 .
三、单调函数的运算性质
1.函数f(x) 与 f(x)+c(c 为常数)具有相同的单调性.
2.当 a>0时，f(x)与a·f(x)的单调性相同，当a<0时，f(x)与a·f(x)的单调性相反.
3.当f(x)恒为正值或恒为负值时，f(x) 与 的单调性相反.
4.当 f(x),g(x )同为增(减)函数时，f(x)+g(x)是增(减)函数.
5.当f(x),g(x) 同为增(减)函数时，若两者都恒大于零，则f(x)·g(x)也是增 (减)函数；若两者都小于零，
则f(x)·g(x) 是减(增)函数.
四、复合函数的单调性
复合函数 y=f(g(x)), 在其定义域内单调性满足：
f(x) g(x) f(g(x)
增函数 增函数 增函数
增函数 减函数 减函数
减函数 增函数 减函数减函数 减函数 增函数
温馨提示:复合函数的单调性符合“同增异减”的法则.
五、函数的最值
1. 函数的最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足：(1)任意的x ∈I, 都有f(x)≤M;(2)存在x₀
∈I,
使得f(x₀)=M. 那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值，
2. 函数的最小值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为 I, 如果存在实数M满足：(1)任意的x ∈I, 都有f(x)≥M;(2) 存在
x₀ ∈I, 使得f(xo)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值
六、函数的奇偶性
Ⅰ、奇函数与偶函数的定义
1.奇函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=-f(x) 那么函数 f(x) 就叫做奇函数.
2. 偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x) 就叫做偶函数.
温馨提示 ：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件. 若函数的定义域不关于原点对称，
则此类函数为非奇非偶函数.
Ⅱ、奇、偶函数的性质
1.具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称.
2.奇函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；偶函数的图象是以y 轴 为对称轴的轴对称图
形.
3.若一个奇函数在x=0 处有意义，则 f(0)=0.
4.若一个函数既是奇函数又是偶函数，则有f(x)=0.
5.四则运算及复合函数的奇偶性
f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) f(x)·g(x) f(g(x)
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数七、函数 y=f(x)的图象的对称性
1.函数y=f(x) 的图象关于直线x=a 对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(2a-x)=f(x).
2.若函数 y=f(x)(x∈R),f(x+a)=f(b-x) 恒成立，则y=f(x)的图象的对称轴是直线
3.画数y=f(a)的图象关于直线 对称⇔f(a+mx)=f(b-mx)⇔f(a+b-mx)=f(mx).
4.若f(x)=-f(-x+a), 则函数y=f(x) 的图象关于点 对称 .
八、两个函数图象的对称性
1.函数y=f(x)与函数y= f(-x)的图象关于直线x=0 ( 即y轴)对称.
2.函数y=f(x+a)与 y=f (b-x) 的图象关于直线 对称 .
3.函数y=f (mx-a) 与函数y=f(b -mx) 的图象关于直线 对称.
九、函数的周期性
Ⅰ、周期函数及最小正周期
1.周期函数
对于函数y=f(x), 如果存在一个非零常数T, 当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x), 那么就称
函数y=f(x) 为周期函数，T为这个函数的周期.
2.最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做 f(x) 的最小正周
期.
Ⅱ、函数周期性的重要结论
1. 若f(x+a)=f(x+b)(a≠b), 则T=la-b|.
2.若 f(x+a)=-f(x), 则 T=2lal.
3.若 ,则 T=2la|.
4.若函数 f(x) 是偶函数，其图象关于直线x=a 对称，则T=2|al. 5.若函数f(x)是奇函数，其图象关于
直线x=a对称，则T=4|al. 6.若函数f(x) 关于直线x=a与 x=b对称，则T=2|b-al.7.若函数f(x) 关于点(a,0) 对称，又关于点(b,0) 对称，则T=2|b-al.
8.若 函 数f(x) 关于直线x=a 对称，又关于点(b,0) 对称，则 T=4|b-al.
高中常常将函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性结合起来考查，大多以选择题、填空题的形式出
现；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。
重点提升数学抽象、逻辑推理素养.
一、确定函数的单调性
命题点1 求具体函数的单调区间
例1 (多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x|
C．y＝x＋cos x D．y＝
答案 AC
解析 ∵y＝ex与y＝－e－x为R上的增函数，
∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确；
由y＝|x2－2x|的图象知，故B不正确；
对于选项C，y′＝1－sin x≥0，
∴y＝x＋cos x在R上为增函数，故C正确；
y＝的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故D不正确．
命题点2 判断或证明函数的单调性
例2 试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
解 方法一 设－10，x－1<0，x－1<0，
2 1 1 2
故当a>0时，f(x)－f(x)>0，即f(x)>f(x)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
1 2 1 2
当a<0时，f(x)－f(x)<0，
1 2
即f(x)0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
拓展1．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是__________．
答案 [0,1)
解析 由题意知g(x)＝该函数的图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．
2．已知a>0，函数f(x)＝x＋(x>0)，证明：函数f(x)在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增．
证明 方法一 (定义法)设x>x>0，
1 2
f(x)－f(x)＝x＋－x－
1 2 1 2
＝(x－x)＋
1 2
＝，
∵x>x>0，∴x－x>0，xx>0，
1 2 1 2 1 2
当x，x∈(0，]时，0a，
1 2 1 2
∴xx－a>0，∴f(x)－f(x)>0，
1 2 1 2
∴f(x)>f(x)，
1 2
∴f(x)在[，＋∞)上单调递增．
方法二 (导数法)
f′(x)＝1－＝(x>0)，
令f′(x)>0⇒x2－a>0⇒x>，
令f′(x)<0⇒x2－a<0⇒0 >f(ln )，
即a0成立，则实数a的取值范围是( )
1 2
A．[4,8) B．(4,8)
C．(1,8] D．(1,8)
答案 A
解析 函数f(x)＝满足对任意的实数x≠x 都有>0，
1 2
所以函数f(x)＝是R上的增函数，
则由指数函数与一次函数的单调性可知应满足
解得4≤a<8，
所以实数a的取值范围为[4,8)．
拓展
1．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}
2
的最大值是______．答案 1
解析 方法一 在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象，
依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分．
易知点A(2,1)为图象的最高点，
因此h(x)的最大值为h(2)＝1.
方法二 依题意，h(x)＝
当02时，h(x)＝3－x单调递减，
因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.
方法归纳： (1)比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)求解函数不等式，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图
象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．
三、函数的奇偶性
命题点1 判断函数的奇偶性
例1 判断下列函数的奇偶性．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
答案 (1)奇函数
(2)偶函数
(3)既不是奇函数也不是偶函数
(4)既不是奇函数也不是偶函数．
解析 （1） 的定义域为 ，关于原点对称，又 ，
是奇函数．
（2） 的定义域为 ，关于原点对称，
又 ，
是偶函数．
（3）由 ，得 ，
即函数 的定义域是 ，不关于原点对称，
既不是奇函数也不是偶函数．
（4） 的定义域为 ， ，
，
既不是奇函数也不是偶函数．
方法归纳： 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式
(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
命题点2 函数奇偶性的应用
例2 (1)(2022·哈尔滨模拟)函数f(x)＝x(ex＋e－x)＋1在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M
＋N的值为( )
A．－2 B．0 C．2 D．4
答案 C
解析 依题意，令g(x)＝x(ex＋e－x)，
显然函数g(x)的定义域为R，
则g(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－g(x)，即函数g(x)是奇函数，
因此，函数g(x)在区间[－2,2]上的最大值与最小值的和为0，而f(x)＝g(x)＋1，
则有M＝g(x) ＋1，N＝g(x) ＋1，
max min
于是得M＋N＝g(x) ＋1＋g(x) ＋1＝2，
max min
所以M＋N的值为2.
(2)(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.
答案 1
解析 方法一 (定义法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的
x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意
的x∈R恒成立，所以a＝1.
方法二 (取特殊值检验法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以－
＝2a－，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.
方法三 (转化法)由题意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数．设g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，
因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数，
所以h(0)＝a·20－2－0＝0，
解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，
所以a＝1.
方法归纳： (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知
区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
四、函数的周期性
例3 (1)(2022·重庆质检)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数 x，f(x－2)＝f(x＋2)，当
x∈(0,2)时，f(x)＝x2，则f 等于( )
A．－ B．－
C. D.
答案 A
解析 由f(x－2)＝f(x＋2)，知y＝f(x)的周期T＝4，
又f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f ＝f
＝f ＝－f ＝－.
(2)函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(1)＝2，则f(2 023)＝________.
答案
解析 ∵f(x)f(x＋2)＝13，
∴f(x＋2)＝，
∵f(x＋4)＝＝＝f(x)，
∴f(x)的周期为4，
∴f(2 023)＝f(3)＝＝.拓展
若函数f(x)＝则f(2 023)＝________.
答案 －1
解析 当x>0时，
f(x)＝f(x－1)－f(x－2)， ①
∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)， ②
①＋②得，f(x＋1)＝－f(x－2)，
∴f(x)的周期为6，
∴f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)
＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.
方法归纳： (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而
解决问题．
五、函数的对称性
例4 (1)(多选)(2022·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝
f(x)，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的图象关于直线x＝2对称
B．f(x)的图象关于点(2,0)对称
C．f(x)的周期为4
D．y＝f(x＋4)为偶函数
答案 ACD
解析 ∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；
∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，
∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确；
∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确．
(2)已知函数y＝f(x)－2为奇函数，g(x)＝，且f(x)与g(x)图象的交点分别为(x ，y)，(x ，y)，…，(x ，y)，
1 1 2 2 6 6
则y＋y＋…＋y＝________.
1 2 6
答案 12
解析 ∵函数y＝f(x)－2为奇函数，
∴函数y＝f(x)的图象关于点(0,2)对称，
又g(x)＝＝＋2，其图象也关于(0,2)对称，
∴两函数图象交点关于(0,2)对称，
则y＋y＋…＋y＝3×4＝12.
1 2 6
延伸探究 在本例(2)中，把函数“y＝f(x)－2”改为“y＝f(x＋1)－2”，把“g(x)＝”改为“g(x)＝”，其他不
变，求x＋x＋…＋x＋y＋y＋…＋y 的值．
1 2 6 1 2 6解 ∵y＝f(x＋1)－2为奇函数，
∴函数f(x)的图象关于点(1,2)对称，
又g(x)＝＝＋2，
∴g(x)的图象也关于点(1,2)对称，
则x＋x＋…＋x＋y＋y＋…＋y＝3×2＋3×4＝18.
1 2 6 1 2 6
方法归纳： (1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴
或对称中心．
(2)解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题．
