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4.1 函数
题型一 函数图象识别
1.下列四个图象中，不表示某一函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】函数的概念、函数图象识别
【分析】本题考查了函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量 和 ，如果给定了一个 值，相应地
就确定惟一的一个 值，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量，根据函数的定义逐项分析即可得解，熟练掌握函数的定义是解此题的关键．
【详解】解：A、由图象可得，每一个 的值都有唯一确定的 值，故 是 的函数，不符合题意；
B、由图象可得，每一个 的值都有唯一确定的 值，故 是 的函数，不符合题意；
C、由图象可得，每一个 的值都有唯一确定的 值，故 是 的函数，不符合题意；
D、由图象可得，每一个 的值不都是有唯一确定的 值，故 不是 的函数，符合题意；
故选：D．
2.周六下午，皓皓从家去乐高编程班上课，时长2小时的课程结束后，皓皓以同样速度原路返回，如图正
确描述这一过程的图像是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】函数图象识别
【分析】本题考查运动的图像，皓皓从家去上课，离家的距离越来越远，在上课的2小时内，离家的距离
不变，故排除C选项，课程结束后，皓皓回家，离家的距离越来越小，可排除D选项，由于皓皓是以相同
的速度返回，故B选项符合题意．
【详解】解：皓皓从家去上课，离家的距离越来越远，在上课的2小时内，离家的距离不变，皓皓回家时
离家的距离越来越小，且皓皓是以相同的速度返回，所以B选项的图像能正确描述这一过程．
故选：B．
题型二 判断一个关系式是否为函数
3.下列各式，不能表示 是 的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】函数的概念
【分析】本题考查了函数的定义，当自变量 取一个确定的量时，因变量 有唯一一个值与之相对应，则
称因变量 是自变量 的函数，解决本题的关键是根据函数的定义进行判断．【详解】解：A选项： 当 取一个值时， 有唯一的一个值 与之对应，
能表示 是 的函数，
故A选项不符合题意；
B选项： 当 取一个值时， 有唯一的一个值 与之对应，
能表示 是 的函数，
故B选项不符合题意；
C选项： 当 取一个大于 的数时， 有两个值 与之对应，
不能表示 是 的函数，
故C选项符合题意；
D选项： 当 取一个值时， 有唯一的一个值 与之对应，
能表示 是 的函数，
故D选项不符合题意．
故选：C．
4.有下列6个等式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．其中表
示“ 是 的函数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】函数的概念
【分析】本题主要考查函数的概念，根据函数的概念，对于自变量 的每一个值， 都有唯一的值与它对
应，据此判断即可．
【详解】解：在下列6个等式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥
．其中表示“ 是 的函数有① ；③ ；⑥ ，共3个．
故选：B．
题型三 辨别生活中的函数关系5.水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为 ，则圆周长 与 的关系式为 ．下列判断正确
的是（ ）
A．2是变量 B． 是变量 C． 是 的函数 D． 是常量
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】函数的概念
【分析】本题考查变量与常量的概念，能够熟练掌握变量与常量的概念为解决本题的关键．根据变量与常
量的定义分别判断，并选择正确的选项即可．
【详解】解：2与 为常量，C与r为变量， 是 的函数．
故选：C．
6.下列变化过程中，两变量间存在函数关系的是（ ）
A． 和 是变量， B．人的身高与年龄
C．三角形的底边长与面积 D．速度一定的汽车所行驶的路程与时间
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】函数的概念
【分析】本题考查函数的定义，根据函数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A：对于任意的 ，一个x的值，有两个y的值与之对应，不符合函数定义；
B：人的身高与年龄之间没有一个确定的关系，故不存在函数关系；
C：三角形的面积公式为：面积 底 高，即面积还与高有关，故三角形的底边长与面积不存在函数关
系；
D：路程 速度 时间，速度一定，则对于给定的任意一个时间，均有且仅有一个确定的路程与之对应，这
符合函数关系的定义．
故选：D．
题型四 自变量的取值范围
7.函数 中自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.94【知识点】求自变量的取值范围、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．二
次根式有意义的条件为被开方数为非负数，据此解答即可．
【详解】解：根据题意，
，
∴ ，
故选：C．
8．（2025·甘肃武威·模拟预测）在函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求自变量的取值范围、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求自变量的取值范围，解题关键是掌握上述知识点并能熟练
运用求解．
根据函数 有意义，列出不等式求解．
【详解】解：∵函数 有意义，
∴ ，解得： ，
故选：A．
9.已知等腰三角形的周长为 ，将底边长表示为 ，腰长表示为 ， 、 的关系式是 ，
则其自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C．一切实数 D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】三角形三边关系的应用、求自变量的取值范围
【分析】本题考查了函数关系式、等腰三角形三边关系的性质、三角形三边关系定理，得出不等式组是解
题的关键．根据三角形两边之和大于第三边及周长的限制，确定自变量的取值范围．
【详解】解：根据三角形的三边关系得：，
解得： ．
故选：B．
10.函数 的自变量x的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】求自变量的取值范围
【分析】本题主要考查了函数的自变量的取值范围，
根据代数式的分母不等于0，可知 ，即可得出答案.
【详解】解：函数 中， ，
解得 .
所以函数 的自变量的取值范围是 .
故答案为： .
11．函数 的自变量x的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求自变量的取值范围、二次根式有意义的条件
【分析】本题主要考查函数自变量的范围及二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握函数自变量的范围及
二次根式与分式有意义的条件是解题的关键；由题意易得 ，然后问题可求解
【详解】解：根据题意得， ，
解得 ；
故答案为： ．
题型五 求函数解析式或变量的值
12.对于 ，当 时， ．
【答案】【难度】0.94
【知识点】求自变量的值或函数值
【分析】根据函数值的计算方法解答即可．
本题考查了函数值的计算，熟练掌握计算方法是解题的关键．
【详解】解：当 时， ，
故答案为： ．
13.汽车油箱内有油 ，每行驶 耗油 ，若不再加油，则行驶过程中油箱内剩余油量 与行
驶路程 之间的函数关系式为 ，自变量 的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】函数解析式、求自变量的取值范围
【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系，理解数量关系是得出关系式的前提．求出 的耗油量，
再根据余油量=原有油量 耗油量，从而得出关系式．
【详解】解：每行驶 耗油 ，则每行驶 耗油为： ，由余油量=原有油量
耗油量得， ，
油可行驶 ，
∴自变量的取值范围为 ，
故答案为： ， ．
14.一个蓄水池有 水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表：
放水时间 1 2 3 4 …
水池中的水量
48 46 44 42 …
水池中的水量V（单位： ）与放水时间t（单位： ）之间的函数关系式为 ．当放水
后，水池中还有 水．
【答案】 22【难度】0.85
【知识点】用关系式表示变量间的关系、求自变量的值或函数值
【分析】本题主要考查了函数的表示方法，需要通过读懂题意，识别函数关系式是解题的关键．
依据题意，通过水池中的水量和放水时间的关系表，分析出水池中水量每分钟减少 ，从而可得函数关
系式，最后可求出当放水 min时水池中的水量．
【详解】解：由题意知，水池中水量每分钟减少 ，设水池中剩余水量为 ，放水时间为 min，
∴ ，
∴当 时， ．即当放水 min时，水池中有水 ．
故答案为： ， ．
15.用若干火柴首尾相接摆成一个长方形．设一根火柴的长度为1，长方形的两邻边的长分别为 ， ，要
求摆成的长方形的面积为18．
(1)求 关于 的函数解析式和自变量的取值范围；
(2)能否摆成正方形？请说明理由．
【答案】(1) ，自变量的取值范围为：1，2，3，6，9，18
(2)不能摆成正方形，理由见解析
【难度】0.85
【知识点】函数解析式、求自变量的取值范围、利用二次根式的性质化简
【分析】本题重点考查根据实际问题列函数解析式以及自变量取值范围的确定，对正方形概念的理解，理
解长方形面积与边长的关系，依据面积为 列出等式求解是解题的关键．
（1）根据长方形的长 面积 宽列出函数解析式即可；
（2）正方形的边长相等，说明 相等，进一步开方，是整数即可，否则不成立．
【详解】（1）由题意得： 且 均为整数，
∴ ，自变量的取值范围为：1，2，3，6，9，18．
（2）不能摆成正方形．
理由如下：
当摆成正方形时，得 ，则求出 （负值已舍去），不能使其边长为正整数．
16．已知一根长为20米的铁丝围成一个长方形，若宽为 米，长为 米．(1)写出 关于 的函数表达式；
(2)写出自变量 的取值范围；
(3)求当 时所对应的函数值；
【答案】(1)
(2)
(3)
【难度】0.85
【知识点】函数解析式、求自变量的取值范围、求自变量的值或函数值
【分析】本题考查了函数关系式，自变量取值范围的求解，函数值的计算，难度较小．
（1）根据长方形的周长公式列式整理即可得解；
（2）根据长方形的长大于宽列式求出x的最大值，从而得解；
（3）把x的值代入函数关系式计算即可得解．
【详解】（1）解：根据题意得： ，
整理得， ，
即 关于 的函数表达式为 ；
（2）解：因为宽为 米，长为 米，
所以 ，
所以 ，
解得 ，
所以自变量 的取值范围为 ；
（3）解：当 时， ．
题型一 用表格表示函数关系
1．（24-25七年级下·广东深圳·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出
现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位 与时间 的实验数据如下表：
数据记 …
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
录 …
…
0 2 4 6 8
…
…
2 2.8 3.6 4.2 5.2
…
下列说法错误的是（ ）
A．在实验开始时，漏刻水位是
B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是
C．第7次数据记录时，漏刻水位应为
D．当漏刻水位为 时，对应实验的时间是
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数的三种表示方法、函数解析式、求自变量的值或函数值
【分析】本题考查的是列函数关系式，从表格中获取信息，通过分析漏刻水位随时间的变化规律，判断各
选项的正确性即可.
【详解】解：选项A：当 时， ，符合表格数据，不符合题意；
选项B：由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加 ，
当 时，对应
∴第4次数据是不准确的；选项B不符合题意
选项C：修正第4次数据后，每2分钟水位仍增加 ，第7次对应 ，水位为
，选项C不符合题意；
4. 选项D：由题意可得水位 与时间 的函数关系式为 ，
当 时， ，而非 ，选项D符合题意；
故选：D
2．（24-25七年级下·江西吉安·期末）通过地理知识学习我们知道：“随着距离地面越高，温度越低”，
某地距离地面高度与温度的关系如下面表格所示：距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5
温度（ ） 20 14 8 2
请根据上面表格，回答下列问题：
(1)如果用 表示距离地面的高度，用 来表示温度，那么随着 的变化， 如何变化？
(2)当高空温度是 时，此时距离地面_____千米．
(3)请你写出 与 的函数表达式，并求出当 千米时，此时温度 的值．
【答案】(1)随着 的升高， 在降低
(2)3
(3) ，
【难度】0.65
【知识点】函数的三种表示方法、函数解析式、求自变量的值或函数值
【分析】本题主要考查函数的表格表示法的识别能力，函数的表示法有：解析式法，图象法，表格法，都
需要熟悉并熟练掌握．
（1）根据表格数据，距离地面越远，温度越低，所以随着h的升高，t在降低；
（2）根据表格求解即可；
（3）根据规律，高度每升高1千米，温度降低 求解即可．
【详解】（1）解：随着 的升高， 在降低．
（2）解：由表格可知，当高空温度是 ，此时距离地面3千米．
（3）解：∵根据表格可得，高度每升高1千米，温度降低 ，
∴ ，
当 千米时， ℃；
3.如图，某种型号的自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．
(1)观察图形并补全下表：
链条节数/节 3 4 6
链条长度/cm
(2)如果n节链条的总长度是ycm，写出y与n之间的关系式．【答案】(1)5.9，7.6，19
(2)y=1.7n+0.8
【难度】0.85
【知识点】函数的三种表示方法、其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）根据图形找出规律计算链条的长度即可；
（2）由（1）写出表示链条节数的一般式．
【详解】（1）解：根据图形可得出：
3节链条的长度为：2.5×3-0.8×2=5.9（厘米），
4节链条的长度为：2.5×4-0.8×3=7.6（厘米），
6节链条的长度为：2.5×6-0.8×5=19（厘米），
故答案为：5.9，7.6，19；
（2）由（1）可得n节链条长为：y=2.5n-0.8（n-1）=1.7n+0.8；
∴y与n之间的关系式为：y=1.7n+0.8．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意得出n节链条的长度与每节长度之间的关系是解决问
题的关键．
题型二 用图象表示函数关系
4.如图， 、 分别表示甲、乙两名学生的运动状态，其中s和t分别表示运动的路程和时间．根据图像
判断快者的速度比慢者的速度每秒快 米．
【答案】3
【难度】0.65
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了函数图像，从函数图像中正确获取信息是解题关键．根据函数图像可得学生甲用6秒
跑了42米，学生乙用6秒跑了 米，利用速度等于路程除以时间分别求出他们的速度，由此即可得．【详解】解：由函数图像可知，学生甲的速度为 （米/秒），
学生乙的速度为 （米/秒），
则快者的速度比慢者的速度每秒快 （米），
故答案为：3．
5.李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地
的路程 （千米）与行驶时间 （小时）的关系如图所示，当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示
加油提醒，设货车平均耗油量为 升/千米，请根据图象解答下列问题：
(1)工厂距目的地的路程为___________千米；
(2)求 关于 的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)运输过程中，当货车显示加油提醒时， 是多少？
【答案】(1)880
(2)
(3) 小时
【难度】0.65
【知识点】函数的三种表示方法、求自变量的取值范围、从函数的图象获取信息
【分析】本题主要考查了函数图象的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用函数图象中的关键信息是关键．
（1）依据题意，由货车从工厂去目的地送一批物资，结合图象可以得解；
（2）依据题意，货车的速度为 （千米 小时），从而 ，又令
，求出 可得自变量的取值范围；
（3）依据题意得， ，进而计算可以得解．
【详解】（1）解： 货车从工厂去目的地送一批物资，
当 时， 就是表示工厂距目的地的路程，即为880千米．
故答案为：880；（2）解：货车的速度为 （千米 小时），
则 ，
当 时，解得 ，
关于 的函数解析式为 ．
（3）解： ，
解得： ．
即运输过程中，当货车显示加油提醒时， 是 小时．
6.下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是( )
①圆的周长 是半径 的函数；②表达式 中， 是 的函数；
③如表， 是 的函数；④如图，曲线表示 是 的函数．
n
A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数的三种表示方法、函数的概念
【分析】本题考查的是函数的定义，函数的表示方法，理解函数定义与表示方法是解本题的关键．根据函
数的定义与函数的表示方法逐一分析即可得到答案．
【详解】解：①圆的周长C是半径r的函数，每一个半径 都只有一个周长C与之对应，表述正确，故①
符合题意；
②表达式 中，y是x的函数，每一个 都只有一个 与之对应，表述正确，故②符合题意；
③由表格信息可得：对应m的每一个值，n都有唯一的值与之对应，故③符合题意；在④中的曲线，当 时的每一个值，y都有两个值与之对应，故④不符合题意；
故选：C．
7.如左图：三角形的一边 ，将其固定不变，当顶点A在 的垂直平分线l上运动时，三角形的面积
也随之发生变化，图表示了这种变化规律．根据下面两个图回答问题：
(1)在这个变化过程中，自变量是___________，因变量是___________；
(2)图中P点表示的意义是：___________；
(3)等腰 中，底边 ___________ ；
(4)写出 的面积 随 边上的高 变化的关系式___________；
(5)当 的面积是 时， 边上的高等于___________ ．
【答案】(1) 边上的高，三角形的面积
(2) 边上的高是 时，三角形的面积是
(3)10
(4)
(5)24
【难度】0.65
【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值、从函数的图象获取信息
【分析】（1）根据自变量和因变量的概念进行求解即可；
（2）结合图形的横坐标和纵坐标，表述出其意义即可；
（3）借助（2），根据三角形的面积公式，列出方程求解即可；
（4）借助（3），根据三角形的面积公式，列出解析式即可；
（5）借助（4），求根据函数值，求自变量的值即可．
【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是BC边上的高，因变量是三角形的面积，故答案为：BC边上的高，三角形的面积；
（2）解：图中P点表示的意义是： 边上的高是 时，三角形的面积是 ，
故答案为： 边上的高是 时，三角形的面积是 ；
（3）解：由（2）得， ，
解得 ，
即 ，
故答案为：10；
（4）解：由（3）得 ，
∴
故答案为： ；
（5）解：由（4）得， ，
当 时， ，
解得 ，
故答案为：24．
8.如图1，在直角梯形 中，动点P从点B出发，沿 匀速运动，设点P运动的路程为
x， 的面积为y，y与x之间的关系图象如图2所示．
(1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；（用字母表示）
(2)当 时， ；
(3)求 的长以及梯形 的面积；
(4)当 的面积为12时，求点P运动的路程．
【答案】(1)x，y
(2)16
(3) 的长为8，梯形 的面积为26
(4)3或【难度】0.65
【知识点】动点问题的函数图象
【分析】（1）依据点P运动的路程为x， 的面积为y，即可得到自变量和因变量；
（2）直接观察图2，即可解答；
（3）根据图象得出 的长，以及此时 面积，利用三角形面积公式求出 的长即可；由函数图象
得出 的长，利用梯形面积公式求出梯形 面积即可；
（4）当点P在 边上时，直接由三角形的面积公式列方程求解；当点P在 边上时，由函数图象求得
随变化的规律，进而由面积 列出关于x的方程求解便可．
【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是x，因变量是y；
故答案为：x；y
（2）解：由图2得：当 时， ；
故答案为：16
（3）解：由图象得：当 时，点P运动到点C，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
由图象得：当 时，点P运动到点D，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为8，梯形 的面积为26；
（4）解：当点P在 边上时， ，
解得： ；
当点P在 边上时，由图象得：y随x增大而匀速减小，且x每增加1，y则相应减小 ，
当 时，有 ，
解得： ，综上所述，当 的面积为12时，点P运动的路程为3或 ．
【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，弄清函数图象上的信息是解本题的关键．
题型三 函数图象识别
9.从深圳到南宁的铁路路程约为615千米，“复兴号”直达高铁速度为300千米/小时，“和谐号”动车速
度为200千米/小时，行驶180千米后，中途要停靠佛山西站10分钟，若“和谐号”动车先出发18分钟，
两车与深圳之间的距离 （千米）与动车行驶时间 （小时）之间的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】函数图象识别
【分析】本题主要考查了函数的图象．先根据两车并非同时出发，得出A选项错误；再根据高铁速度大于
动车的速度，动车比高铁早出发18分钟，中途停靠10分钟，即可得出结论．
【详解】解：由题可得，两车并非同时出发，故A选项不符合题意；
（小时），
小时 分钟，
（小时），
小时 分钟，
（分钟），
所以当动车到达佛山西站时，高铁正好到达佛山西站，B、C、D三个选项中只有C选项符合题意．故选：C．
10.水龙头向如图所示的容器内注水，下列能大致表示容器中水位高度随时间变化而变化的图象是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】函数图象识别
【分析】此题主要考查了函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
由于两个容器的大小不同，那么水面高度随时间变化而分两个阶段，再结合每个选项进行分析，即可作答．
【详解】解：观察图形，得下面的容器的半径较大，上面的容器的半径较小，
∴函数图象的水面高度先随时间的增大而增长,且增长速度缓慢，再随着时间的增大而增长,且增长速度较
快，
符合题意的是B选项，
故选：B．
11.长方体水槽里面放有一酒瓶，示意图如图所示，现向水槽内匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水
的深度y与注水时间x的关系是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】函数图象识别
【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象
上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．根据水槽的横断面示意图，
可知注水速率不变时，水面上升的快慢取决于当时水面所“拥有”的横截面积大小，瓶底较窄，水初淹没
瓶底时，周围可盛水的面积较大，水面上升较慢；随着瓶身最鼓处被淹没，瓶子占去的空间最大，水可盛
放的面积减小，水面上升加快；继续往上到瓶颈较细处时，瓶子占用的面积又变小，水面上升又转慢，故
水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，进而求解即可．
【详解】解：由水槽的横断面示意图可得，水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，
故选：B．
12.从甲地到乙地，汽车先以速度 ，行驶了路程的一半，随后又以速度 （ ）行驶了余下的一半，
则下列图象，能反映汽车离乙地的距离（ ）随时间（ ）变化的函数图象的应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题主要考查了函数的图象，理清汽车离乙地的距离与速度的变化关系是解答本题的关键．根据
汽车速度的变化可知，汽车离乙地的距离开始缩小的快，改变速度后汽车离乙地的距离缩小变慢，最后变
为 ，据此判断即可．
【详解】解：根据题意得，汽车离乙地的距离开始缩小的快，即对应的线段比较陡；
改变速度后汽车离乙地的距离缩小变慢，即对应的线段比较缓，最后变为 ，故只有选项C符合题意．
故选：C．
题型四 程序流程图求值
13.根据如图所示的计算程序，若笑笑输入的 的值为4，则输出 的值为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求一个数的算术平方根、求自变量的值或函数值、程序流程图与代数式求值
【分析】本题考查了代数式求值和算术平方根，解答本题的关键就是弄清楚图中给出的计算程序．先根据
x的值为4，选择代入正确的关系式中，再计算即可．
【详解】解：∵输入的x的值为4，
则输出y的值为 ，
故答案为： ．
14.课堂上老师设计了程序图，若输出的 值是 ，则 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求自变量的值或函数值
【分析】本题考查了求自变量的值，将 分别代入两个函数解析式，求出自变量的值，然后检验即可，
掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：将 代入 得，
，解得 ，不符合题意；将 代入 得，
，解得 ，符合题意；
故答案为： ．
15．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）按如图所示的程序计算 的值，若输入的 的值是 ，输出 的值
为 ；若输入的 的值是 ，输出 的值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】实数的大小比较、求自变量的值或函数值
【详解】本题主要考查了求函数值，实数的大小比较；解题关键是理解已知条件中的计算程序．先判断
与 的大小，然后把 代入 ，求出 即可．
【解答】解： ，
，
输出的 的值为： ，
故答案为： ．
16.已知自变量 与因变量y的关系如图所示，当 从1变化到4时，y的值增加了 ．
【答案】6
【难度】0.85
【知识点】求自变量的值或函数值
【分析】本题考查了常量与变量，准确熟练地进行计算是解题的关键．分别把 和 代入
中进行计算，即可解答．【详解】解：当 时， ；
当 时， ；
当 从1变化到4时， 的值增加了6，
故答案为：6．
题型五 根据题意求变量的值
17.自由落体运动是由于引力的作用而造成的，月球上物体自由下落的时间 和下落的距离 的关系
大约是 ， 物体下落 时，在月球上下落的距离是 米．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求自变量的值或函数值
【分析】此题考查了函数求值，把 的值代入公式 ，求解即可．
【详解】解：把 代入公式得： ，
则物体下落 时，在月球上下落的距离是 米．
故答案为： ．
18.如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加 ．根据小球速度 （单位：
）关于时间 （单位： ）的函数关系，第 时小球的速度为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值
【分析】本题考查了求函数值，根据小球速度 （单位： ）关于时间 （单位： ）的函数关系为
，将 代入求值即可，解题的关键是正确列出函数关系式．
【详解】解：由题意，得 ，
当 时， ，
故答案为： ．题型一 函数图象识别
1.王红骑自行车去与家相距 的樱花园赏花游玩，王红以 的速度匀速骑行，出发 后，
王红的哥哥发现王红的身份证落在了家中，于是哥哥按照王红行驶的路线骑电动车以 的速度追
王红，当哥哥将身份证送给王红后，又按原路原速返回，哥哥从家出发到返回家中所用的时间是 ，王
红到达目的地时，哥哥恰好也同时到达家中．若从王红出门开始，则哥哥和王红之间的距离 与王红
的行驶时间 的函数关系图象为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】函数图象识别
【分析】本题主要考查了函数图象的确定，解题的关键是掌握数形结合的数学思想．
根据题意逐段进行分析，求出每个关键点的函数值和自变量的值，然后对比选项函数图象即可．
【详解】解：根据题意，当王红出门开始时，哥哥和王红的距离逐渐增大，当 时， ；
当哥哥开始追王红时，哥哥和王红的距离逐渐减小，哥哥追上王红所用时间为： ，
当 时， ；当哥哥和王红离开时，哥哥和王红的距离逐渐增大，此时，哥哥到家和王红到达终点所用时间为 ，
即当 时， ；
通过选项对比，只有B选项符合要求，
故选：B．
题型二 动点问题的函数图象
2．（2025·河南开封·一模）在学习两点间的距离、直线外一点到这条直线的距离的过程中，同学们积累了
一定的研究经验，如果定义：平面内，一点与一个图形上所有点的最短距离叫做这个点到该图形的距离．
如图①，正方形 的边长为2，中心为点O，在该正方形外有一点P， ，且 ．当点P
绕着点O顺时针旋转时，设旋转角的度数为x，点P到正方形的距离为y，如图②是点P在旋转过程中，y
随x的变化而变化的函数图象，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】动点问题的函数图象
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据正方形的性质和函数的图象求出函数的最大值和最小值，
即a和b的值，再代入求解．
【详解】解：连接 ， ，
∵正方形 的边长为2，中心为点O， ，且 ，
∴四边形 为平行四边形，∴ ，此时y值最大， ，
当旋转 ，即 时， 经过D，此时y最小，为 ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：C．
3.如图1， 的边 与长方形 的边 都在直线 上，且点 与点 重合， ，将
沿着射线 方向移动至点 与点 重合时停止，设 与长方形 重叠部分的面积是 ，
的长度为 ， 与 之间的关系图象如图2所示，则长方形 的面积为（ ）
A．8 B．10 C．6 D．15
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】动点问题的函数图象
【分析】本题主要考查了动点问题函数图象，解题的关键是数形结合，求出长方形 的长和宽．从图
2看， 向右平移2个单位时， 整体在长方形 中，可得到长方形的宽，再向右平移3
个单位时，点 重合，可得到长方形 的长，即可求出长方形的面积．
【详解】解：从图2看， 向右平移2个单位时， 整体正好在长方形 中，此时
与长方形 重叠部分的面积为 的面积为 且 ，
的面积为 ，
解得： ，
，
再向右平移3个单位时，点 重合，
故： ，
长方形 的面积为 ，
故选：B．4.如图，在四边形 中，动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速前进到D为止．在这个过程中，
的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象
【分析】本题考查的是函数图象，解题的关键是根据点P到直线 的距离来判断S与t的关系．根据点P
的运动过程可知： 的边 始终不变，点P到直线 的距离为 的高，根据高的变化即可判
断S与t的函数图象．
【详解】解：设点P到直线 的距离为h，
∴ 的面积为： ，
当P在线段 运动时，此时h不断增大，S也不断增大；
当P在线段 上运动时，此时h不变，S也不变；
当P在线段 上运动时，此时h不断减小，S不断减少；
又因为匀速行驶且 ，所以在线段 上运动的时间大于在线段 上运动的时间．
故选：C．
5.（2025·青海西宁·中考真题）如图1，在 中， ，动点P从点A出发，沿着
的路径运动到点C停止，过点P作 ，垂足为Q．设点P的运动路程为x， 的值为y，y随
x变化的函数图象如图2所示，则 的长为 ．【答案】 /
【难度】0.4
【知识点】用勾股定理解三角形、动点问题的函数图象
【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，由图象可知，当点 到达点 时，此时点 与点 重合，
当点 在 上运动时，点 的位置始终保持不变，当点 运动到 时，此时 ，当 点与 点重
合时，此时 ，即： ，设点 运动到 时， ，进而得到 ，
，利用勾股定理列出方程求出 的值，进而求出 的值即可．
【详解】解：由图象可知，当点 到达点 时，此时点 与点 重合，当点 在 上运动时，点 的位
置始终保持不变， 的值为 的长，为定值， 随着 的增大逐渐减小，当点 运动到 时，此
时 ， ，当 点与 点重合时，此时 ， ，即： ；
设点 运动到 时， ，则： ， ，
在 中，由勾股定理，得： ，
解得 ，
∴ ；
故答案为： ．
题型三 确定函数的解析式6.如图，在矩形 中， ，动点 从点 出发沿 边向终点 运动，连接 ，以
为边在 上方作正方形 ，在点 运动的过程中，阴影部分面积 关于点 所走的路程 之
间的解析式为 ．
【答案】
【难度】0.65
【分析】本题考查矩形的性质，正方形的性质，设 ，则 ，由勾股定理得
，则正方形 面积为 ， 的面积为 ，
故可求出阴影部分的面积．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ；
设 ，则 ，
由勾股定理得 ，
则正方形 面积为 ，
又 的面积 ，
所以，阴影部分的面积 ．
即 ．
故答案为： ．
题型四 新定义函数问题
7.阅读下面材料，再回答问题．一般地，如果函数 对于自变量取值范围内的任意 ，都有 ，那么 就叫偶函
数．如果函数 对于自变量取值范围内的任意 ，都有 ，那么 就叫奇函数．
例如：
当 取任意实数时，
是偶函数．
又如： ．
当 取任意实数时，
是奇函数．
(1)下列函数中：① ；② ；③ ；④ ；⑤
是奇函数的有________；是偶函数的有________．（填序号）
(2)仿照例证明：函数④或⑤是奇函数还是偶函数（选择其中之一）．
【答案】(1)奇函数，②④；偶函数，①⑤
(2)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】函数解析式、新定义下的实数运算、求自变量的值或函数值、函数的概念
【分析】本题考查了奇函数与偶函数的定义，熟练掌握新定义，互为相反数的乘方运算，是解题的关键．
（1）根据题目信息，求出 的表达式，如果 ，则是偶函数，如果 ，则是
奇函数；
（2）同（1）的思路进行计算即可证明．
【详解】（1）解：① ，∴①是偶函数；
② ，
∴②是奇函数；
③ ，
∴③既不是奇函数，也不是偶函数；
④ ，
∴④是奇函数；
⑤ ，
∴⑤是偶函数，
故答案为：奇函数有②④；偶函数有①⑤；
（2）证明：④∵当 时， ，
∴ 是奇函数，
⑤∵ ，
∴ 是偶函数．
