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4.1 因式分解
课堂知识梳理
1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解
因式.
2. 因式分解与整式乘法是互逆关系.
因式分解与整式乘法的区别和联系:
(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;
(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.
课后培优练
级练
培优第一阶——基础过关练
1．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．m(x+ y)=mx+my B．x2−4+3x=(x+2)(x−2)+3
C．(x+3)(x−3)=x2−9 D．x3−x=x(x+1)(x−1)
2．判断下列各式从左到右的变形，其中不是因式分解的是（ ）
A．x2−2xy+ y2=(x−y) 2 B．(a+b)(a−b)=a2−b2
C．x2+3x=x(x+3) D．a3b2+a2b=a2b(ab+1)
3．若x2+kx−15能分解成(x+5)(x−3)，则k的值为______．
4．若关于x的多项式x2+kx+b因式分解为(x−2) 2，则k+b的值为___________．
5．若多项式2x2−5x+m有一个因式为(x−1)，那么m=_____．
6．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，
两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m>n（以上长度
单位：cm）．观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为
________________
17．已知整式A=x(x+3)+5，整式B=ax−1．
(1)若A+B=(x−2) 2，求a的值；
(2)若A−B可以分解为(x−2)(x−3)，求a的值．
8．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2−4x+m有一个因式是(x+3)，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为(x+n)，得x2−4x+m=(x+3)(x+n)，
则x2−4x+m=x2+(n+3)x+3n，
∴¿，解得：n=−7，m=−21，
∴另一个因式为(x−7)，m的值为−21．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式3x2+4x−k有一个因式是(x−5)，求另一个因式以及k的值．
9．在分解因式x2+ax+b时，小明看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；小张看错了a，分
解结果为(x−1)(x−9)，求a，b的值．
培优第二阶——拓展培优练
10．若2(x+5)(x−2)是多项式2x2−mx−20因式分解的结果，则m的值为（ ）．
A．−3 B．3 C．−6 D．6
11．将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以
得到一个等式．例如，由图（1）可得等式：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．将图（2）
所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式a2+3ab+2b2分解因式为（ ）
2A．(a+b)(2a+b) B．(a+b)(3a+b) C．(a+b)(a+2b) D．(a+b)(a+3b)
12．已知多项式2x2+bx+c 分解因式为2(x−3)(x+1) ，则bc的值为______．
13．在当今“互联网+”的时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法，其原理是：将
一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2−x−2因式分解的结果是(x−1)(x+1)(x+2)，
当取x=19时，各个因式的值是：x−1=18，x+1=20,x+2=21，于是就可以把
“182021”作为一个六位数的密码．类似地，对于多项式x3+(m−3n)x2−nx−21，当取
x=66时，得到密码596769，则m=______，n=________．
14．如图，用一张如图A的正方形硬纸板、三张如图B的长方形硬纸板、两张如图C的正
方形硬纸板拼成一个长方形（如图D）．
(1)请用不同的式子表示图D的面积（写出两种即可）；
(2)根据（1）所得结果，写出一个表示因式分解的等式．
15．【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例
如图1可以得到(a+b) 2=a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
3(1)根据图2，写出一个代数恒等式：___________．
(2)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c=20，ab+ac+bc=100，则
a2+b2+c2=___________．
(3)小明同学用图3中2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，m张边长分别为a、
b的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出m的所有可能取值___________．
【知识迁移】
(4)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长
为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关
系，写出一个代数恒等式：___________．
16．问题：已知多项式x4+mx3+nx−16含有因式(x−1)和(x−2)，求m、n的值．
解答：设x4+mx3+nx−16=A(x−1)(x−2)（其中A为整式），
∴取x=1，得1+m+n−16=0，①
∴取x=2，得16+8m+2n−16=0，②
由①、②解得m=−5，n=20．
根据以上阅读材料解决下列问题：
4(1)若多项式3x3+ax2−2含有因式(x−1)，求实数a的值；
(2)若多项式2x2+mxy+n y2−4x+2y含有因式(x+ y−2)，求实数m、n的值；
(3)如果一个多项式与某非负数的差含有某个一次因式，则称这个非负数是这个多项式除以
该一次因式的余数．请求出多项式x2022+2x1011+5除以一次因式(x+1)的余数．
17．1637年笛卡尔（R．Descartes，1596－1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数
法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：
分解因式：x3+x2+3x−5．
解：观察可知，当x=1时，原式=0．
∴原式可分解为(x−1)与另一个整式的积．
设另一个整式为x2+bx+c．则x3+x2+3x−5=(x−1)(x2+bx+c)，
∵(x−1)(x2+bx+c)=x3+(b−1)x2+(c−b)x−c，
∴x3+x2+3x−5=x3+(b−1)x2+(c−b)x−c
∵等式两边x同次幂的系数相等，
则有：¿，解得¿．
∴x3+x2+3x−5=(x−1)(x2+2x+5)．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
(1)根据以上材料的方法，分解因式x3+2x2−3的过程中，观察可知，当x=______时，原
式=0，所以原式可分解为______与另一个整式的积．若设另一个整式为x2+bx+c．则b=
______，c=______．
(2)已知多项式x3+ax+1（a为常数）有一个因式是x+1，求另一个因式以及a的值．
下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程，请帮小明完成他的解答过程．
解：设另一个因式为x2+bx+c，则x3+ax+1=(x+1)(x2+bx+c)．
……
(3)已知二次三项式2x2+3x−k（k为常数）有一个因式是x+4，则另一个因式为______，
k的值为______．
5培优第三阶——中考沙场点兵
18．（2022·山东济宁·统考中考真题）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2−x−1=x(x−1)−1 B．x2−1=(x−1) 2
C．x2−x−6=(x−3)(x+2) D．x(x−1)=x2−x
19．（2020·河北·统考中考真题）对于①x−3xy=x(1−3 y)，②
(x+3)(x−1)=x2+2x−3，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
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