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4.1 因式分解
课堂知识梳理
1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解
因式.
2. 因式分解与整式乘法是互逆关系.
因式分解与整式乘法的区别和联系:
(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;
(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.
课后培优练
级练
培优第一阶——基础过关练
1．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．m(x+ y)=mx+my B．x2−4+3x=(x+2)(x−2)+3
C．(x+3)(x−3)=x2−9 D．x3−x=x(x+1)(x−1)
【答案】D
【详解】∵m(x+ y)=mx+my不是因式分解，
∴A不合题意；
∵x2−4+3x=(x+2)(x−2)+3不是因式分解，
∴B不合题意；
∵(x+3)(x−3)=x2−9不是因式分解，
∴C不合题意；
∵x3−x=x(x+1)(x−1)是因式分解，
∴D符合题意；
故选D．
2．判断下列各式从左到右的变形，其中不是因式分解的是（ ）
A．x2−2xy+ y2=(x−y) 2 B．(a+b)(a−b)=a2−b2
C．x2+3x=x(x+3) D．a3b2+a2b=a2b(ab+1)
【答案】B
【详解】A．x2−2xy+ y2=(x−y) 2是因式分解，不符合题意；
B．(a+b)(a−b)=a2−b2是乘法运算，符合题意；
C．x2+3x=x(x+3)是因式分解，不符合题意；
1D．a3b2+a2b=a2b(ab+1)是因式分解，不符合题意；
故选B．
3．若x2+kx−15能分解成(x+5)(x−3)，则k的值为______．
【答案】2
【详解】解：(x+5)(x−3)
=x2+5x−3x−15
=x2+2x−15，
∵(x+5)(x−3)是由x2+kx−15分解成的，
∴一次项系数k=2．
故答案为：2．
4．若关于x的多项式x2+kx+b因式分解为(x−2) 2，则k+b的值为___________．
【答案】0
【详解】解：多项式x2+kx+b因式分解为(x−2) 2，
∴(x−2) 2=x2−4x+4，
∴k=−4，b=4，
∴k+b=−4+4=0．
5．若多项式2x2−5x+m有一个因式为(x−1)，那么m=_____．
【答案】3
【详解】解：设另一个因式为2x+a，
∵(2x+a)(x-1)
=2x2−2x+ax−a
=2x2+(a−2)x−a，
∴2x2−5x+m=2x2+(a−2)x−a，
∴a-2=-5，m=-a，
∴a=-3，m=3．
故答案为：3．
6．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，
两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m>n（以上长度
单位：cm）．观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为
________________
2【答案】(2m+n)(m+2n)
【详解】解：根据图形面积关系可得：2m2+5mn+2n2=(2m+n)(m+2n)，
故答案为：(2m+n)(m+2n)．
7．已知整式A=x(x+3)+5，整式B=ax−1．
(1)若A+B=(x−2) 2，求a的值；
(2)若A−B可以分解为(x−2)(x−3)，求a的值．
【答案】(1)a=−7；(2)a=8
【详解】（1）解：∵A=x(x+3)+5=x2+3x+5，
∴A+B=x2+3x+5+ax−1=x2+(3+a)x+4，
∵A+B=(x−2) 2，
∴x2−4x+4=x2+(3+a)x+4，
∴3+a=−4，
∴a=−7；
（2）∵A=x2+3x+5，B=ax−1，
∴A−B=x2+3x+5−(ax−1)=x2+(3−a)x+6，
∵A−B可以分解为(x−2)(x−3)，
∴x2+(3−a)x+6=(x−2)(x−3)=x2−5x+6，
∴3−a=−5，
∴a=8．
8．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2−4x+m有一个因式是(x+3)，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为(x+n)，得x2−4x+m=(x+3)(x+n)，
则x2−4x+m=x2+(n+3)x+3n，
∴¿，解得：n=−7，m=−21，
∴另一个因式为(x−7)，m的值为−21．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
3已知二次三项式3x2+4x−k有一个因式是(x−5)，求另一个因式以及k的值．
【答案】另一个因式为(3x+19)，k的值为95．
【详解】解：设另一个因式为(x+a)，得：
3x2+4x−k=(x−5)(3x+a)，
则3x2+4x−k=3x2+(a−15)x−5a
∴¿
解得：a=19，k=95
∴另一个因式为(3x+19)，k的值为95．
9．在分解因式x2+ax+b时，小明看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；小张看错了a，分
解结果为(x−1)(x−9)，求a，b的值．
【答案】a=6，b=9
【详解】解：∵(x+2)(x+4)=x2+6x+8，小明看错了b，
∴a=6，
∵(x−1)(x−9)=x2−10x+9，小张看错了a，
∴b=9，
∴a=6，b=9．
培优第二阶——拓展培优练
10．若2(x+5)(x−2)是多项式2x2−mx−20因式分解的结果，则m的值为（ ）．
A．−3 B．3 C．−6 D．6
【答案】C
【详解】解：∵2(x+5)(x−2)=2x2+6x−20，
由题意得，2x2−mx−20=2x2+6x−20，
∴−m=6，
∴m=−6，
故选：C．
11．将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以
得到一个等式．例如，由图（1）可得等式：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．将图（2）
所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式a2+3ab+2b2分解因式为（ ）
4A．(a+b)(2a+b) B．(a+b)(3a+b) C．(a+b)(a+2b) D．(a+b)(a+3b)
【答案】C
【详解】解：如下图：
∴a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b)，
故选：C．
12．已知多项式2x2+bx+c 分解因式为2(x−3)(x+1) ，则bc的值为______．
【答案】24
【详解】 2x2+bx+c 分解因式为2(x−3)(x+1)
2(x−3)∵(x+1)=2x2−4x−6=2x2+bx+c
b=−4 ，c=−6
∴
bc=24
∴
故答案是24
∴
13．在当今“互联网+”的时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法，其原理是：将
一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2−x−2因式分解的结果是(x−1)(x+1)(x+2)，
当取x=19时，各个因式的值是：x−1=18，x+1=20,x+2=21，于是就可以把
“182021”作为一个六位数的密码．类似地，对于多项式x3+(m−3n)x2−nx−21，当取
x=66时，得到密码596769，则m=______，n=________．
【答案】 m=72 n=25
【详解】∵当x=66时，密码为596769，且x3的系数是1
∴x3+(m−3n)x2−nx−21=(x−7)(x+1)(x+3)=x3−3x2−25x−21
∴m−3n=−3,n=25
即m=72,n=25
14．如图，用一张如图A的正方形硬纸板、三张如图B的长方形硬纸板、两张如图C的正
方形硬纸板拼成一个长方形（如图D）．
5(1)请用不同的式子表示图D的面积（写出两种即可）；
(2)根据（1）所得结果，写出一个表示因式分解的等式．
【答案】(1)(a+b)(a+2b)，a2+3ab+b2
(2)a2+3ab+b2=(a+b)(a+2b)
【详解】（1）解：图D的面积可以看做一个长为a+2b，宽为a+b的长方形的面积：
(a+b)(a+2b)，也可以看做一个边长为a的正方形，三个长为a宽为b的小长方形，两个边
长为b的正方形面积之和：a2+3ab+b2；
（2）解：由（1）得a2+3ab+b2=(a+b)(a+2b)．
15．【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例
如图1可以得到(a+b) 2=a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
(1)根据图2，写出一个代数恒等式：___________．
(2)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c=20，ab+ac+bc=100，则
a2+b2+c2=___________．
(3)小明同学用图3中2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，m张边长分别为a、
b的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出m的所有可能取值___________．
【知识迁移】
(4)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长
6为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关
系，写出一个代数恒等式：___________．
【答案】(1)(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
(2)200
(3)5或者7
(4)x3−x=(x+1)(x−1)x
【详解】（1）由图2得：正方形的面积为：(a+b+c) 2；
同时，正方形的面积也等于9个小矩形的面积之和：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案为：(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴a2+b2+c2=(a+b+c) 2−2ab−2ac−2bc=(a+b+c) 2−2(ab+ac+bc)，
∵a+b+c=20，ab+ac+bc=100，
∴a2+b2+c2=(a+b+c) 2−2(ab+ac+bc)=400−200=200，
故答案为：200；
（3）根据题意可得，所拼图形的面积为：2a2+3b2+mab，
则有：2a2+3b2+mab=(a+b)(2a+3b)或者2a2+3b2+mab=(a+3b)(2a+b)，这两种
情况，
当2a2+3b2+mab=(a+b)(2a+3b)时，
即有：2a2+3b2+mab=(a+b)(2a+3b)=2a2+3b2+5ab，
即m=5；
当2a2+3b2+mab=(a+3b)(2a+b)时，
即有：2a2+3b2+mab=(a+3b)(2a+b)=2a2+3b2+7ab，
即m=7；
即m的值为5或者7；
（4）∵原几何体的体积：x3−1×1×x=x3−x，新几何体的体积：(x+1)(x−1)x，
∴根据体积相等，有：x3−x=(x+1)(x−1)x．
故答案为：x3−x=(x+1)(x−1)x．
16．问题：已知多项式x4+mx3+nx−16含有因式(x−1)和(x−2)，求m、n的值．
解答：设x4+mx3+nx−16=A(x−1)(x−2)（其中A为整式），
∴取x=1，得1+m+n−16=0，①
∴取x=2，得16+8m+2n−16=0，②
由①、②解得m=−5，n=20．
7根据以上阅读材料解决下列问题：
(1)若多项式3x3+ax2−2含有因式(x−1)，求实数a的值；
(2)若多项式2x2+mxy+n y2−4x+2y含有因式(x+ y−2)，求实数m、n的值；
(3)如果一个多项式与某非负数的差含有某个一次因式，则称这个非负数是这个多项式除以
该一次因式的余数．请求出多项式x2022+2x1011+5除以一次因式(x+1)的余数．
【答案】(1)a=−1
(2)m=1,n=−1
(3)4
【详解】（1）解：设3x3+ax2−2=A(x−1)，其中A为整式，
取x=1，得3+a−2=0，
解得a=−1．
（2）解：设2x2+mxy+n y2−4x+2y=B(x+ y−2)，其中B为整式，
取x=1,y=1，得2+m+n−4+2=0①，
取x=−1,y=3，得2−3m+9n+4+6=0②，
由①、②解得m=1,n=−1．
（3）解：由题意，设x2022+2x1011+5−b=C(x+1)，其中b是一个非负的常数，C为整式，
取x=−1，得(−1) 2022+2×(−1) 1011+5−b=0，即1−2+5−b=0，
解得b=4，
故多项式x2022+2x1011+5除以一次因式(x+1)的余数为4．
17．1637年笛卡尔（R．Descartes，1596－1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数
法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：
分解因式：x3+x2+3x−5．
解：观察可知，当x=1时，原式=0．
∴原式可分解为(x−1)与另一个整式的积．
设另一个整式为x2+bx+c．则x3+x2+3x−5=(x−1)(x2+bx+c)，
∵(x−1)(x2+bx+c)=x3+(b−1)x2+(c−b)x−c，
∴x3+x2+3x−5=x3+(b−1)x2+(c−b)x−c
∵等式两边x同次幂的系数相等，
则有：¿，解得¿．
∴x3+x2+3x−5=(x−1)(x2+2x+5)．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
(1)根据以上材料的方法，分解因式x3+2x2−3的过程中，观察可知，当x=______时，原
式=0，所以原式可分解为______与另一个整式的积．若设另一个整式为x2+bx+c．则b=
8______，c=______．
(2)已知多项式x3+ax+1（a为常数）有一个因式是x+1，求另一个因式以及a的值．
下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程，请帮小明完成他的解答过程．
解：设另一个因式为x2+bx+c，则x3+ax+1=(x+1)(x2+bx+c)．
……
(3)已知二次三项式2x2+3x−k（k为常数）有一个因式是x+4，则另一个因式为______，
k的值为______．
【答案】(1)1；(x−1)；3；3
(2)解题过程见详解，x3+1=(x+1)(x2−x+1)
(3)(2x−5)；20
【详解】（1）解：当x=1时，x3+2x2−3的值为0，
∴原式可分解为(x−1)与另一个整式的积，
设另一个整式为x2+bx+c，
∴x3+2x2−3=(x−1)(x2+bx+c)，
∵(x−1)(x2+bx+c)=x3+(b−c)x2+(c−b)x−c，
∴x3+2x2−3=x3+(b−1)x2+(c−b)x−c，
∴¿，解得，¿，
∴x3+2x2−3=(x−1)(x2+3x+3)，
故答案为：1；(x−1)；3；3．
（2）解：多项式x3+ax+1（a为常数）有一个因式是x+1，设另一个因式为x2+bx+c，
则x3+ax+1=(x+1)(x2+bx+c)，
∵(x+1)(x2+bx+c)=x3+(b+1)x2+(c+b)x+c，
∴x3+ax+1=x3+(b+1)x2+(c+b)x+c，
∴¿，解方程得，¿，
∴多项式x3+ax+1（a为常数）为x3+1，
∴x3+1因式分解为x3+1=(x+1)(x2−x+1)．
（3）解：多项式2x2+3x−k（k为常数）有一个因式是x+4，设另一个因式为mx+n，
∴2x2+3x−k=(x+4)(mx+n)，
∵(x+4)(mx+n)=mx2+(n+4m)x+4n，
∴2x2+3x−k=mx2+(n+4m)x+4n，
∴¿，解方程组得，¿，
∴多项式2x2+3x−k（k为常数）为2x2+3x−20，
∴2x2+3x−20因数分解为2x2+3x−20=(x+4)(2x−5)，
9故答案为：(2x−5)，20．
培优第三阶——中考沙场点兵
18．（2022·山东济宁·统考中考真题）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2−x−1=x(x−1)−1 B．x2−1=(x−1) 2
C．x2−x−6=(x−3)(x+2) D．x(x−1)=x2−x
【答案】C
【详解】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．
A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；
B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；
C、符合因式分解的形式，符合题意；
D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；
故选C．
19．（2020·河北·统考中考真题）对于①x−3xy=x(1−3 y)，②
(x+3)(x−1)=x2+2x−3，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】C
【详解】①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解；
②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法；
故答案选C．
10
