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4.1 因式分解
题型一 判断是否是因式分解
1．（山西省朔州市朔州市部分学校2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题）下列关于甲、乙两名
同学自左向右的两个变形，说法正确的是（ ）
甲： ．
乙： ．
A．甲是整式的乘法，乙是因式分解 B．甲是因式分解，乙是整式的乘法
C．甲、乙均为因式分解 D．甲、乙均不是因式分解
2．（25-26八年级上·福建福州·月考）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
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学科网（北京）股份有限公司4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列由左边到右边的式子变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（25-26八年级上·北京西城·月考）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是 ．（填序
号）
① ；② ；③ ；④ ．
6．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）在下列等式中：① ②
；③ ．其中属于因式分解的是 ，属于
整式乘法的是 ．（填序号）
7．（25-26八年级上·新疆·月考）有下列变形：① ；② ；
③ ．其中是整式乘法的有 ，是因式分解的有 ．
题型一 已知因式分解的结果求参数
1．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）若多项式 可分解为 ，则 的值为
（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式 ，其中a、b为整数，能使这
个因式分解过程成立的m的值共有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
3．（2025·福建·中考真题）因式分解 ，其中 、 、 都为整数，则这样的
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学科网（北京）股份有限公司的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级上·山西忻州·月考）已知多项式 分解因式为 ，则 ， 的值分
别是 （ ）
A． ， B． ，4 C． ， D． ，
5．（25-26八年级上·天津蓟州·月考）若 能因式分解为 ，则 的值为（ ）
A． B． C．5 D．7
6．（25-26八年级上·山东日照·月考）多项式 分解因式后有一个因式是 ，则 等于（ ）
A．1 B． C．5 D．7
7．（25-26八年级上·山东烟台·期中）已知关于x的二次三项式 能分解因式成两个一次多项式的
积，其中一个一次多项式是 ，则另一个一次多项式是（）
A． B． C． D．无法确定
8．（25-26八年级上·湖南永州·期中）若多项式 可分解为 ，则 的值为
．
9．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）已知整式 ，整式 ，若 可以分解为
，求 ．
题型二 由因式分解错值求参数
1．（25-26八年级上·全国·单元测试）因式分解 时，甲看错了 的值，分解的结果是
，乙看错了 的值，分解的结果是 ，那么 因式分解的正确结果为
（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司2．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）甲、乙两个同学因式分解 时，甲看错了 ，分解结果为
，乙看错了 ，分解结果为 ，则 ，
题型三 与因式分解有关的材料阅读题
1．（25-26八年级上·全国·期末）仔细阅读下面例题，回答问题：
例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值．
解：设另一个因式为 ，得 ，则 ，
∴ 解得 ．
∴另一个因式为 ，m的值为 ．
仿照以上方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值．
(2)已知多项式 中含有一个因式 ，试求 ， 的值．
2．（25-26八年级上·吉林·期末）自学能力是新时代个人发展的核心竞争力，它不仅关乎生存，更关乎如
何在快速变化的世界中实现自我价值．通过培养自学能力，人们能够更好地适应社会变革，提升个人竞争
力，实现终身成长．例：已知二次三项式 分解因式后，有一个因式 ，求另一个因式及m
的值．
解：设另一个因式为 ，得 ，
则 ，
，解得 ，
另一个因式为 ，m的值为 ．
请你根据上述信息，解答下列问题：
(1)若 ，则 _______， _______．
(2)已知二次三项式 分解因式后，有一个因式 ，求另一个因式以及k的值．
(3)若 ，则 _______．
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学科网（北京）股份有限公司(4)当多项式 （m，n是常数）分解因式后，有一个因式是 时，直接写出代数式 的值．
3．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料，并解决问题．
已知关于x的整式 可以写成两个因式的积，其中一个因式是 ．求另一个因式和m的值．
解：设另一个因式是 ，则 ．
可得： ．
所以
解得
所以另一个因式是 ，m的值是22．
请你理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：已知关于x的整式 可以写成两个因式的积，
其中一个因式是 ．求另一个因式和m的值．
4．（25-26七年级上·上海·期中）课本上在面对整式除法的时候告诉了我们长除法的方法，根据因式分解
的定义我们可以发现，如果我们知道一个整式其中的一个因式，那么通过长除法得到的余式一定是0，商
式则是这个整式的另一个因式，所以现在我们也可以利用长除法帮助我们一起分解因式．下面请先阅读课
本上的材料并解决下列问题．
整式除以整式——长除法
类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是：
（1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）；
（2）用竖式进行运算；
（3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．
例如，求 的商式和余式，可以计算：
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学科网（北京）股份有限公司因此，商式是 ，余式是 ．
(1)小明在对 进行因式分解后检查答案，答案中有一个因式 中的符号被墨水遮挡
看不清了，请使用长除法来帮助小明判断这个因式是什么？
(2)已知整式 有一个因式是 ，请试着运用长除法将整式
进行因式分解．
(3)①已知 有一个因式是 ，请问★处的数字应该是几？
(4)②已知整式 有一个因式是 ，求 ， ， 之间存在的关系．
5．（25-26八年级上·重庆万州·期中）阅读材料，完成下列问题．
材料一：已知多项式 有一个因式是 ，求 的值．
解：设 （A为整式）；
由于上式为恒等式，为方便计算取 ， ，故 ．
材料二：已知多项式 除以 所得的余数为3，求 的值．
解：设 （A为整式）；
由于上式为恒等式，为方便计算取 ， ，故 ．
(1)已知多项式 有一个因式是 ，则 的值为 ；
(2)已知多项式 有两个因式分别是 和 ，求 和 的值；
(3)已知多项式 除以 所得的余数，比该多项式除以 所得的余数少11，求 的值．
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学科网（北京）股份有限公司6．（25-26八年级上·重庆·期中）因为 ，这说明多项式 有一个因式为 ，
我们把 代入此多项式发现 能使多项式 的值为0．
利用上述阅读材料求解：
(1)若 是多项式 的一个因式，求 的值；
(2)若 和 是多项式 的两个因式，试求m，n的值；
(3)若 能使多项式 的值0，请将多项式 进行因式分解．
题型一 因式分解的综合运用
1．（24-25八年级上·重庆·期中）关于x的三次三项式
（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式 （e，f均为非零常数），下列说法有
几个正确（ ）
①当 的结果为关于x的三次三项式时，则 ；
②若二次三项式 能分解成 ，则 ；
③当多项式A与B的乘积中不含 项时，则 ；
④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022·重庆九龙坡·模拟预测）某水果店售卖A，B，C，D四种水果套餐，其中A，B两种水果的单价
相同，D种水果的单价是C种水果单价的7倍，第一天，A，C两种水果的销量相同，B种水果的销量是D
种水果销量的7倍，结果第一天A，B两种水果的总销售额比C、D两种水果的总销售额多126元，且四种
水果第一天的单价与销量均为正整数，到了第二天的时候，由于D种水果不易保存，摊主便将D种水果打
八折售卖，其他三种水果单价不变，结果第二天除了B种水果销量下降了20%，其他几种水果的销量跟第
一天一样，若A种水果与C种水果的单价之差超过6元但不超过13元，B种水果和D种水果第一天的单价
之和不超过35元，则第二天四种水果总销售额最多为 元．
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学科网（北京）股份有限公司3．（21-22八年级上·湖南长沙·期末）方法探究：
已知二次多项式 ，我们把 代入多项式，发现 ，由此可以推断多项式中有因
式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成 ，则有
，因为对应项的系数是对应相等的，即 ，解得 ，因此多项式
分解因式得： ．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．
问题解决：
(1)对于二次多项式 ，我们把x＝ 代入该式，会发现 成立；
(2)对于三次多项式 ，我们把x＝1代入多项式，发现 ，由此可以推断多项式
中有因式（ ），设另一个因式为（ ），多项式可以表示成 ，
试求出题目中a，b的值；
(3)对于多项式 ，用“试根法”分解因式．
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