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第四章 因式分解
4.1 因式分解
基础篇
一、单选题
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个最简整式的乘积的形式，这种多项式的变形叫做因
式分解）逐项判断即可得．
【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；
D、等式右边中的 不是整式，不是因式分解，故此选项不符合题意.
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的意义；严格按照因式分解的定义去验证每个选项是正确解答本题的关键．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）下列因式分解错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据公式特点判断，然后利用排除法求解．
【详解】解：A.是平方差公式，故A选项正确，不符合题意；
B.是完全平方公式，故B选项正确，不符合题意；
C.是提公因式法，故C选项正确，不符合题意；D. ，故D选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分解因式的方法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
3．（2022秋·八年级课时练习）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．
【详解】A项， )，故错误；
B项， 不能因式分解，故错误；
C项， 不能因式分解，故错误；
D项， ，故正确；
故选D．
【点睛】本题考查了公式法分解因式，关键在于是否准确运用公式，还要注意分解因式一定要彻底，直到
不能再分解为止；因式分解是恒等变形．
4．（2022秋·山东泰安·八年级校联考期中）下列从左到右的变形：① ；②
；③ ；④ ；其中是因式分解的个数是（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【分析】因式分解就是把多项式分解成几个整式积的形式，根据定义即可进行判断．
【详解】解：①结果不是整式的乘积，不是因式分解；
②是多项式的乘法，不是因式分解；
③等式左边不是多项式，不是因式分解；
④符合因式分解的定义，是因式分解，是因式分解的个数是 个，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运
算．
5．（2023春·七年级课时练习）已知，多项式 可因式分解为 ，则m的值为（ ）
A． B．1 C． D．7
【答案】B
【分析】分解因式结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m的值即可．
【详解】解：根据题意得： ，
则 ，
故选：B．
【点睛】此题考查了因式分解和多项式的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（2023春·七年级课时练习）若关于x的多项式 有一个因式是 ，则实数 的值为（ ）
A．－5 B．2 C．－1 D．1
【答案】D
【分析】设 ，然后利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件
即可求出p的值．
【详解】解：根据题意设 ，
∴ ， ，
解得： ， ．
故选：D．
【点睛】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
二、填空题
7．（2022秋·全国·八年级专题练习）若 是多项式 的一个因式，则m的值为_________．
【答案】-2【分析】设 因式分解后的结果是 ．再根据多项式相等的条件列出方程求解即可．
【详解】解：设 因式分解后的结果是 ．
∴ ．
∴ ．
∴a=1，-4b=-24，-m=b-4a．
∴b=6，m=4a-b．
∴m=-2．
故答案为：-2．
【点睛】本题考查已知因式分解的结果求参数，熟练掌握该知识点是解题关键．
8．（2022秋·黑龙江大庆·九年级校联考期中）若多项式 分解因式后含有因式 ，则 的值
为______．
【答案】4
【分析】利用十字相乘的方法判断即可求出m的值．
【详解】解：∵多项式x2+mx-12分解因式后含有因式x-2，
∴x2+mx-12=（x-2）（x+6）=x2+4x-12，
则m=4，
故答案为：4．
【点睛】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
9．（2022秋·全国·八年级期末）多项式x2 +mx+5因式分解得(x+5) (x+n) ，则m=_________
【答案】6
【分析】将 展开得到n值，代入计算可得m值．
【详解】解： ，
∴5n=5，
∴n=1，
∴ ，∴m=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，解题的关键是掌握运算法则和因式分解的定义．
10．（2023春·七年级课时练习）若关于 的多项式 因式分解为 ，则 的值为
___________．
【答案】
【分析】根据完全平方公式将 展开即可求出 ， 的值，由此即可求解．
【详解】解：多项式 因式分解为 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查多项式的因式分解，掌握多项式乘法可以检验多项式因式分解是解题的关键．
三、解答题
11．（2021春·全国·八年级专题练习）下列各式的变形中，是否是因式分解，为什么？
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．
【答案】（1）不是因式分解，理由见解析；（2）不是因式分解，理由见解析；（3）不是因式分解，理
由见解析；（4）是因式分解，理由见解析；（5）不是因式分解，理由见解析．
【分析】（1）根据等式右边 不符合因式分解的定义即可得；（2）根据等式右边 不符合因式分解的定义即可得；
（3）根据等式左边 不符合因式分解的定义即可得；
（4）根据因式分解的定义即可得；
（5）根据等式右边 不符合因式分解的定义即可得．
【详解】因式分解的定义：将一个多项式化为几个整式的积的形式，称为因式分解
（1）不是因式分解，因为 是和的形式；
（2）不是因式分解，因为 是和的形式；
（3）不是因式分解，因为 是单项式；
（4）是因式分解，因为多项式 分解成两个整式 与 的积的形式，符合因式分解
的定义；
（5）不是因式分解，因为 中的 不是整式．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，熟记定义是解题关键．
12．（2023春·七年级课时练习）在分解因式 时，小明看错了b，分解结果为 ；小
张看错了a，分解结果为 ，求a，b的值．
【答案】 ，
【分析】根据题意甲看错了b，分解结果为 ，可得a系数是正确的，乙看错了a，分解结果为
，b系数是正确的，在利用因式分解是等式变形，可计算的参数a、b的值．
【详解】解：∵ ，小明看错了b，
∴ ，
∵ ，小张看错了a，∴ ，
∴ ， ．
【点睛】本题主要考查因式分解的系数计算，解题的关键在于弄清哪个系数是正确的．
提升篇
一、填空题
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知多项式 能分解为 ，则
______， ______．
【答案】 ； ．
【分析】把 展开，找到所有 和 的项的系数，令它们的系数分别为 ，列式求
解即可．
【详解】解：∵
．
∴展开式乘积中不含 、 项，
∴ ，解得： ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓
住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可．
2．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）若 是多项式 的一个因式，则 ______．
【答案】2
【分析】设多项式 的另一个因式是 ，根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的乘
积的形式，计算对比得出答案．【详解】解：设多项式 的另一个因式是 ，
∴ ，
∴ ， ，即 ， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，利用整式的系数得出另一个因式是解决问题的关键．
3．（2023·全国·九年级专题练习）若关于 的多项式 含有因式 ，则实数 的值为______ ．
【答案】1
【分析】设另一个多项式为 ，再利用整式的乘法进行整理得
得到对应各项系数，然后求得 的值．
【详解】解：设多项式的另一个因式是 ，则 ，
∴ ，
∴ ， ．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了因式分解的综合应用，设出另一个因式，再利用整式的乘法找到各项系数，使之
对应相等是解答本题的关键．
4．（2022·山东淄博·山东省淄博第六中学校考模拟预测）已知多项式 分解因式为
，则bc的值为______．
【答案】24
【分析】利用整式的乘法去括号合并同类项后，对比各项系数相等即可．
【详解】 分解因式为
∵
∴
，
∴∴故答案是24
【点睛】本题考查多项式乘以多项式，以及多项式相等时对应各项系数相等，正确利用公式计算是关键．
5．（2023春·七年级课时练习）在将 因式分解时，小刚看错了m的值，分解得 ；小
芳看错了n的值，分解得 ，那么原式 正确分解为___________.
【答案】
【分析】利用多项式乘多项式法则先算乘法，根据因式分解与乘法的关系及小刚、小明没有看错的值确定
m、n，再利用十字相乘法分解整式即可．
【详解】解：（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6，
∵小刚看错了m的值，
∴n＝﹣6；
（x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2，
∵小芳看错了n的值，
∴m＝﹣1．
∴x2+mx+n
＝x2﹣x﹣6
＝（x﹣3）（x+2）．
故答案为：（x﹣3）（x+2）．
【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法、能根据乘法与因式分解的关系确定m、n的值是
解决本题的关键．
二、解答题
6．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）已知二次三项式 有一个因式是 ，另一个因式为
（a、b为常数），求另一个因式及k的值．
【答案】另一个因为 ，k的值为65
【分析】利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得，结合 ，进而得出方程组，可得答案．
【详解】解：由题意可得： ，
而 ，
∴ ，解得： ，
∴另一个因式为 ，k的值为65．
【点睛】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解三元一次方程组，理解题意建立方程组是解题的关键．
7．（2023春·七年级课时练习）如图，用一张如图A的正方形硬纸板、三张如图B的长方形硬纸板、两张
如图C的正方形硬纸板拼成一个长方形（如图D）．
(1)请用不同的式子表示图D的面积（写出两种即可）；
(2)根据（1）所得结果，写出一个表示因式分解的等式．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）图D的面积可以看做一个大长方形面积；也可以看做一个边长为 的正方形，三个长为 宽
为 的小长方形，两个边长为 的正方形面积之和；
（2）根据图D的面积不同求法结合因式分解的定义即可求解．
【详解】（1）解：图D的面积可以看做一个长为 ，宽为 的长方形的面积： ，也
可以看做一个边长为 的正方形，三个长为 宽为 的小长方形，两个边长为 的正方形面积之和：
；（2）解：由（1）得 ．
【点睛】本题考查了因式分解的几何背景，用不同式子表示出图D的面积是解题关键，注意因式分解是
“将一个多项式化为几个整式的积的形式”，不要写反了．
8．（2023春·七年级单元测试）如果多项式 分解因式的结果为 ，则当
时可得 ，此时可把 代入 中得出 ．
利用上述阅读材料解答以下两个问题：
(1)若多项式 有一个因式为 ，求 的值；
(2)若 ， 是多项式 的两个因式，求 、 的值．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）把 代入 得到 ，求得 的值即可；
（2）分别将 和 代入 得到有关 、 的方程组求得 、 的值即可．
【详解】（1）解：令 ，即当 时，得：
，
解得： ．
∴ 的值为 ．
（2）令 ，即当 时，得：
①，
令 ，即当 时，得：
②，
由①，②得： ， ．
∴ 的值为 ， 的值为 ．
【点睛】本题考查因式分解的意义，一元一次方程，二元一次方程组．解题的关键是熟悉因式分解与整式
乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的
表现形式．
