文档内容
4.1 函数 教学设计
1.教学内容
本节课是背师大版《义务教育教科书•数学》八年级上册（以下统称“教材”）第四章“一次函
数”4.1 函数，内容包括：函数的概念及一般表示方法；自主量的取值范围 ；函数值．
2.内容解析
《函数》是北师大版八年级上册第四章第一节的内容。在教材体系中，它承接七年级下册所学的“变
量之间的关系”，学生在之前的学习中已经对变量、常量有了初步认识，也体会到现实世界中变量之间存
在联系 ，这为学习函数奠定了基础。而本节课正式给出函数定义，是后续学习一次函数、反比例函数、二
次函数等具体函数类型的基石，起到承上启下的关键作用。教材从多个实际问题出发，引导学生观察变量
之间的关系，抽象出函数概念，符合学生从具体到抽象的认知规律，同时体现数学与生活的紧密联系。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：函数概念的建立，理解“唯一对应”关系.
1. 教学目标
（1）理解函数的概念，了解函数的三种表示方法（图象法、列表法、关系式法）.
（2）通过函数概念的探索过程，体会归纳思想、数形结合和建模思想．
（3）在探索函数概念的过程中，培养合作和团队精神，发展抽象能力，培养应用意识．
2.目标解析
（1）学生能准确理解变量、常量的概念，深入理解函数的概念，熟练判断两个变量之间的关系是否
为函数关系；学会用含一个变量的代数式表示另一个变量，清晰了解函数的三种表示方法（图象法、列表
法、关系式法、）。
（2）通过对大量实际问题的分析、探究，培养学生观察、分析、归纳、抽象的思维能力；经历从具
体实例中抽象出函数概念的过程，提升学生运用数学语言表达和交流的能力，初步形成利用函数观点认识
现实世界的意识和能力。
（3）通过丰富的生活实例，激发学生对数学的好奇心和求知欲，使学生积极主动参与数学活动；在
小组合作探究中，培养学生的合作意识和团队精神 ，让学生体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心 。八年级学生已具备一定的数学基础和思维能力，在之前学习有理数运算、一元一次方程以及“变量之
间的关系”时，积累了初步的代数知识和研究变量的经验 ，能够理解简单的数量关系和变化规律。但函
数概念较为抽象，其动态变化和抽象的对应关系，与以往知识差异较大，学生理解两个变量间复杂的依赖
关系可能存在困难，从实际问题中抽象出函数模型对部分学生来说挑战较大。此外，该阶段学生好奇心强，
对贴近生活的实例兴趣浓厚，但注意力易分散，自主探究能力有待提升 。
1．具象化引入，突破概念抽象性。从学生熟悉的生活实例入手（如“打车费用与里程的关系”“电
费与用电量的关系”），通过具体数据列表让学生观察“一个里程对应一个费用”的规律，直观感知“唯
一性对应”。
2．分步拆解，降低建模难度。针对复杂实际问题，采用“问题分层”策略：第一步，引导学生识别
问题中的“变化量”（变量）和“不变量”（常量）；第二步，确定哪个变量“主动变化”（自变量），
哪个变量“随之变化”（因变量）；第三步，用文字描述两者关系，再转化为代数式、列表或图象。
3．任务驱动与互动设计，提升探究主动性与注意力。采用“小组合作探究”模式：将复杂问题拆解
为小任务（如“观察实例→讨论变量关系→归纳函数特征”），明确小组分工（记录员、发言人、质疑
者），通过同伴交流激发思维，降低个体探究压力。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：从实际问题中准确抽象出函数模型，深刻理解函数概念中
“对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应”这一核心要点 。.
1.情景引入
生活中存在着许许多多变化的量，如水龙头漏水量与漏水时间，弹簧的长度与所挂物体的质量，行走
的路程与所用的时间……你了解这些变量之间的关系吗？了解这些关系，可以帮助我们更好地认识世界。
(设计意图：从学生熟悉的生活场景入手，激发学生兴趣和好奇心，让学生感受生活中变量无处不在，为
后续引出函数概念做铺垫。)
2.温故知新
（1）.早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜，说明 ：气温随时间的变化而变化.
（2）.高处不胜寒， 说明 ：温度随 海拔高度的变化而变化在一个变化过程中，如果一个变量y随着另一个变量x的变化而变化.我们就把x叫做自变量，y叫做
因变量。
（设计意图：由学生回忆并回答，为学习本节的知识做铺垫。）
（教学建议：教师提问，指定学生代表回答．变量有关概念，有利于学生在变量的基础上学习函数，同时
也体现了学科融合特征。）
探究点1 函数的概念及表示方法
情景一：想一想：如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？
下图反映了摩天轮上某一点离地面的高度 h (单位：m)与旋转时间 t (单位：min) 之间的关系。
(1)根据图填表：
t/ 0 1 2 3 4 5 …
min
h/m 3 10 37 45 37 11 …
(2)对于给定的时间 t ，相应的高度 h 确定吗？
确定；唯一一个
情景二：圆柱形物体常常像下图那样堆放。随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
（1）填写下表：
1 2 3 4 5 …
1 3 6 10 15 …
（2）对于给定任一层数 n ，相应的物体总数 y 确定吗？有几个 y 值和它对应？
对于给定的层数n,相应的物体总数y随之确定. 唯一一个
情景三：一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到 -273℃ ，则气体的压强为零 . 因此，物理学把
-273℃ 作为热力学温度的零度 . 热力学温度 T(K) 与摄氏温度 t(℃) 之间有如下数量关系： T=t+273,T≥0.
(1)当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？
解：当 t=-43 时， T=-43+273=230 （ K ）
当 t=-27 时， T=-27+273=246 （ K ）
当 t=0 时， T=0+273=273 （ K ）
当 t=18 时， T=18+273=291 （ K ）
（2）给定任
一个大于-273 ℃的摄氏温度t值，相应的热力学温度T确定吗？有几个T值和它对应？
确定 唯一一个T值
上面三个情景中都研究了两个变量之间的关系，它们有什么相同点和不同点?
三个情景 相同点 不同点都有两个
情景一 变量，给 图象法
定其中某
一个变量
情景二 的值，相 表格法
应地就确
定了另一
个变量的
情景三 T ＝ t ＋273.15,T≥0 关系式法
值。
函数概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x 和 y，并且对于变量 x 的每一个值，变量
y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量。
注意： 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
函数的一般表示方法：图象法、表格法、关系式法。
（设计意图：引入函数的概念）
（教学建议：教师引导学生通过三个情景的具体实例抽象出函数概念，同时也让学生知道函数的三种表示
方法。培养学生主动参与、合作交流、归纳总结的意识）
探究点2 自变量的取值范围
上述的三个情景中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？
情景一：下图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系.
自变量 t 的取值范围: t ≥ 0 .
情景二：罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
自变量 n 的取值范围： n 取正整数 .
情景三:一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学
把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0.
自变量 t 的取值范围： t ≥ -27 3.
（设计意图：通过三个情景中的实际应用，引导学生认识自变量的取值范围.）
（教学建议：立足生活情境，强化“现实合理性”认知．在每一个情景中，引导学生关注具体限制条件的
来源，在教学中始终渗透研究函数先考虑自变量取值范围的理念，让学生认识到脱离实际情境的函数表达
式是不完整的，取值范围是函数概念的重要组成部分，为函数后续学习奠定严谨的思维基础。）
探究点3 函数的值
思考 上述问题中，自变量能取哪些值?
（1）在摩天轮问题中：
（2）在圆柱形物体的堆放问题中:
（3）在气体与压强的问题中：
当 t ＝－43时，T ＝－43＋273.15＝230.15（K）。
在上述三个问题中，你有什么发现？函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a , 函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自
变量等于 a 时的函数值。
即：如果y是x的函数，当 x＝a 时，y＝b，那么 b 叫做当 x＝a时的函数值。
注意：函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值。
典例分析
例1 下列关系式中哪些是 y 关于 x 的函数，哪些不是?
(1) y = x；(2) y = x2 + 2；(3) y2 = x；(4) y = ±❑√x
解析：对于 (1)、(2)、（3） x 的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，则 y 是 x 的函数；
（4）中当 x = 1 时， y = ±1对于 x 的每一个确定的值，y 不唯一，则 y 不是 x 的函数。
例2 汽车的油箱中有汽油 50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y (单位：L) 随行驶里程 x (单位：
km) 的增加而减少，平均耗油量为 0.1 L/km。
(1)写出表示 y 与 x 的函数关系的式子。
(2) 指出自变量 x 的取值范围；
(3)汽车行驶 200 km 时，油箱中还有多少油？
解：（1）函数关系式为： y = 50－0.1x
（2）由 x≥0 及 50－0.1x≥0 得 0≤x≤500，
∴自变量的取值范围是: 0≤x≤500.
(3) 当 x＝200 时，函数 y 的值为:
y＝50－0.1×200＝30。
因此，当汽车行驶 200 km 时，油箱中还有油 30 L
（设计意图：通过不同类型例题，让学生运用函数概念进地判断和计算，加深对函数概念的理解和应用能
力.）
（教学建议：教学过程中紧扣概念核心，强化“函数定义”的精准理解；例 1中引导出两个变量间存在确
定的依赖关系，x每取一值，y唯一确定，帮助学生从具体实例中提炼函数概念的本质属性，避免死记硬背
定义；例2中强化计算类问题的规范训练，通过生活实例与例题的联动，理解判断函数关系和计算函数值
是解决实际问题的基础工具。）
1．下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（ D ）
A B C D
2．下列四个选项中，说法不正确的是（ C ）
A．在匀速运动公式 中，s是t的函数，v是常量.
B．入射光线照射到平面镜上，如果入射角的角度为α，反射角的角度为β，那么 β是α的函数.
C．在圆的周长公 式中，2是常量，∏ ，r，C均为变量.
D．一种金属，其质量是体积的函数.
3.函数𝐲=√ /( − )的自变量𝐱 的取值范围是 x ≥ 0 且 x ≠ 1 .
𝐱 𝐱 𝟏4.已知y＝𝑥^2＋2x－1，当 x＝1 时，函数值y＝ 2 .
5.地表以下岩层温度是研究地球内部热传递和热平衡的关键因素．通过对不同深度岩层温度的测量和分析，
科学家可以构建地球内部的热结构模型．
测量发现，地表以下岩层的温度与它所处的深度有下表中的关系：
岩层的深度h/km 1 2 3 4 5 6 …
岩层的温度t/C 55 90 125 m 195 230 …
(1)在上述变化过程中，自变量是 岩层的深度 h，因变量是 岩层的温度 t，表格中m的值为 160；
(2)请直接写出岩层的温度t与岩层的深度h之间的关系式；
t=55+35(h-1)=35h+20
(3)当岩层的温度为335时求岩层的深度．
当t=335时，35h+20=335 ,解得h=9
即岩层的深度为9km.
设计意图：基础巩固本节课所学内容，培养学生运用知识解决实际问题的能力和创新思维。
设计意图：帮助学生梳理知识，构建知识体系，加深对本节课内容的理解和记忆，同时了解学生学习
情况，以便后续教学调整.
1.必做题：习题4.1 第1题，第2题.
2.探究性作业：习题4.1 第3题,第4题.
4.1 函数
1. 函数概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x 和 y，并且对于变量 x 的每一个值，变量
y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量。
注意： 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
2．函数的一般表示方法：图象法、表格法、关系式法。3．自变量的取值范围及函数值。
4．核心思想：归纳总结、数形结合、建模思想、转化与化归。
5. 例题区：（学生板演区域）
