文档内容
4.1 函数
1．掌握函数的概念，以及函数的三种表示方法；
2．会判断两个变量之间是否是函数关系.
学习重点：理解函数概念（变量间的唯一对应关系）及三种表示方法.
学习难点：从实际问题中准确抽象出函数模型.
第一环节 自主学习
温故知新：
思考：
（1）早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜，说明 ： 随 的变化而变化.
（2）高处不胜寒， 说明 ： 随 的变化而变化.
（3）在一个变化过程中，如果一个变量y随着另一个变量x的变化而变化.我们就把x叫做 ，y叫做
.
新知自研：自研课本P75-76页的内容，思考：
【学法指导】
情景引入
生活中存在着许许多多变化的量，如水龙头漏水量与漏水时间，弹簧的长度与所挂物体的质量，行走的路
程与所用的时间……你了解这些变量之间的关系吗？了解这些关系，可以帮助我们更好地认识世界.
●探究一：函数的概念及表示方法
◆1.情景一：想一想：如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？
下图反映了摩天轮上某一点离地面的高度 h (单位：m)与旋转时间 t (单位：min) 之间的关系.（1）根据图填表：
t/min 0 1 2 3 4 5 …
h/m …
（2）对于给定的时间 t ，相应的高度 h 确定吗？
◆2.情景二：圆柱形物体常常像下图那样堆放。随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
（1）填写下表：
n 1 2 3 4 5 …
y …
（2）对于给定任一层数 n ，相应的物体总数 y 确定吗？有几个 y 值和它对应？
◆3.情景三：一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到 -273℃ ，则气体的压强为零 . 因此，物理
学把 -273℃ 作为热力学温度的零度 . 热力学温度 T(K) 与摄氏温度 t(℃) 之间有如下数量关系：
T=t+273,T≥0.
(1)当t分别等于﹣43，﹣27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？
【解答】
（2）给定任一个大于-273 ℃的摄氏温度t值，相应的热力学温度T确定吗？有几个T值和它对应？
◆4.上面三个情景中都研究了两个变量之间的关系，它们有什么相同点和不同点?三个情景 相同点 不同点
都有两个
情景一 图象法
变量，给
定其中某
一个变量
的值，相
情景二 法
应地就确
定了另一
个变量的
情景三 T ＝ t ＋273.15,T≥0 值. 法
◆5.总结归纳
（1）函数概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x 和 y，并且对于变量 x 的每一个值，变量
y 都有 的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的 ，其中 x 是 .
注意： 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的 .
（2）函数的一般表示方法： 、 、 .
●探究二：自变量的取值范围
上述的三个情景中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？
情景一：下图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系.
自变量 t 的取值范围: .
情景二：罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
自变量 n 的取值范围： .
情景三:一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学
把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0.
自变量 t 的取值范围： .
●探究三：函数值
◆1.思考 上述问题中，自变量能取哪些值?
（1）在摩天轮问题中：
t/min 0 1 2 3 4 5 …
h/m …
（2）在圆柱形物体的堆放问题中:n 1 2 3 4 5 …
y …
（3）在气体与压强的问题中：
当 t ＝－43时，T ＝ ＝ （K）.
◆2.在上述三个问题中，你有什么发现？什么是函数值？
函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a , 函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自
变量等于 a 时的函数值.
即：如果y是x的函数，当 x＝a 时，y＝b，那么 b 叫做当 x＝a时的 .
注意：函数值是一个数，它是自变量确定时对应的 的值.
【例题导析】
自研下面的例1和例2的内容，回答问题：
典例分析
例1：下列关系式中哪些是 y 关于 x 的函数，哪些不是?
(1) y = x；(2) y = x2 + 2；(3) y2 = x；(4) y = ±❑√x
【分析】根据函数的定义判断即可解答.
【解答】
例2：汽车的油箱中有汽油 50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y (单位：L) 随行驶里程 x (单
位：
km)
的增加而减少，平均耗油量为 0.1 L/km.
(1)写出表示 y 与 x 的函数关系的式子.
(2)指出自变量 x 的取值范围；
(3)汽车行驶 200 km 时，油箱中还有多少油？
【分析】(1)每行程x，耗油0.1，即总油量减少 ，则油箱中剩下的油为 ；
（2）从实际出发，x代表的实际意义为 ，所以x不能为 又行驶中的耗油量为0.1x，不能超过
油箱中的汽油量 L，即可得自变量的取值范围；
（3）将x=200时，代入第一问中求出的x，y的关系式即可得出答案:【解答】
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨函数定义、函数的表示方法以及什么是函数值；
B.交流例题的解题思路和易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
1．下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A B C D
2．下列四个选项中，说法不正确的是（ ）
A．在匀速运动公式 中，s是t的函数，v是常量.
B．入射光线照射到平面镜上，如果入射角的角度为α，反射角的角度为β，那么 β是α的函数.
C．在圆的周长公 式中，2是常量，π ，r，C均为变量.
D．一种金属，其质量是体积的函数.
❑√x
3.函数y= 的自变量x的取值范围是 .
x−1
4.已知y＝𝑥2＋2x－1，当 x＝1 时，函数值y＝ .
5.地表以下岩层温度是研究地球内部热传递和热平衡的关键因素．通过对不同深度岩层温度的测量和分
析，科学家可以构建地球内部的热结构模型．
测量发现，地表以下岩层的温度与它所处的深度有下表中的关系：(1)在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是 ，表格中m的值为 ；
(2)请直接写出岩层的温度t与岩层的深度h之间的关系式；
(3)当岩层的温度为335时求岩层的深度．
题型一：函数的识别
1．（2024春•巴彦县校级月考）下列关于y与x的关系式中，y是x的函数的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝±x C．|y|＝x+1 D．y2＝x
2．下列各关系中，不是函数关系的是（ ）
A．y＝﹣x（x≤0） B．y＝±x（x≥0） C．y＝x（x≥0） D．y＝﹣x（x≥0）
3．下面选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的是（ ）
A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长
B．y：正方形的周长，x：这个正方形的边长
C．y：圆的面积，x：这个圆的直径
D．y：一个正数的平方根，x：这个正数
4．（2024春•巴南区期末）下列各图中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：确定函数自变量的取值范围
3
5．（2024秋•包河区校级期中）函数y= 中自变量x的取值范围是（ ）
x−2
A．x≠2 B．x＞2 C．x＜2 D．x≤26．（2024秋•七星关区校级期中）函数y=❑√x−2中自变量x的取值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．﹣2
1
7．（2024•中卫模拟）已知函数y= +❑√x−1，自变量x的取值范围是（ ）
x−2
A．x＞1 B．x≥1且x≠2 C．x≥1 D．x≠2
❑√x+1
8．（2024秋•定陶区期末）函数y= 的自变量的取值范围是 ．
2−x
题型三：求函数值
9．（2023秋•梧州期末）当x＝2时，函数y=❑√6−x的函数值是（ ）
A．y＝4 B．y＝3 C．y＝2 D．y＝1
10．（2024春•海沧区校级期末）下面四个函数中，符合当自变量 x为1时，函数值为 1的函数是
（ ）
2
A．y＝2x﹣2 B．y= C．y＝x2 D．y＝x+1
x
11．（2024秋•西安期中）用如图所示的程序框图来计算函数 y的值，当输入x为﹣1和7时，输出y的
值相等，则b的值是（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2
12．（2024春•博山区期末）变量x，y的一些对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣8 ﹣1 0 1 8 27 …
根据表格中的数据规律，当x＝﹣5时，y的值是 ．
题型四：列函数表达式
13．（2024春•商河县期中）为打造“比、学、赶、帮、超”良好的班风和浓厚的学风，数学白老师为 8
班孩子购买了5包卡通橡皮和x包表扬信，卡通橡皮每包12元，表扬信每包30元，共花费y元，则关
系式为（ ）
A．y＝5x+6 B．y＝12x+30 C．y＝8x+12 D．y＝30x+60
14．（2023秋•大埔县期末）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，
最后一个三角形中y与n之间的关系式是（ ）A．y＝2n+1 B．y＝2n+n C．y＝2n+1+n D．y＝2n+n+1
15．（2024春•陈仓区期中）小丽给新办的饭卡充值 100元，学校餐厅每顿午饭均为5元，则饭卡余额y
（元）与购买午饭的次数x（次）之间的关系是 ．
16．（2024•南山区校级开学）长方形的周长为 20cm，其中一边为x cm（其中x＞0），面积为y cm2，
则y关于x的关系式为 ．
题型五：实际问题中的函数图象
17．（2024•连云港开学）妈妈骑自行车去超市，骑了一会下雨了，她立刻加快速度返回家开车去超市
（取车、停车时间忽略不计），下列图（ ）能正确反映妈妈去超市的情况．
A． B．
C． D．
18．（2024春•渭南期中）如图是某汽车从A地去B地，再返回A地的过程中汽车离开A地的距离与时
间的关系图，下列说法中错误的是（ ）A．A地与B地之间的距离是180千米
B．前3小时汽车行驶的速度是40千米/时
C．汽车中途共休息了5小时
D．汽车返回途中的速度是60千米/时
19．（2024秋•广饶县校级期末）如图，折线ABCDE描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车
离出发地的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的
选项是（ ）
①汽车在行驶途中停留了0.5小时；
②汽车在整个行驶过程的平均速度是60km/h；
③汽车共行驶了240km；
④汽车出发4h离出发地40km．
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
20．（2024春•卢龙县期中）某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在操控无人机时应根据
现场状况调节高度．已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人
机的时间x（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：
（1）在上升或下降过程中，无人机的速度是 米/分；
（2）图中a表示的数是 ，b表示的数是 ；（3）无人机在60米高的上空停留的时间是 分钟．
题型六：函数的三种表示方法
21．（2024春•榆树市校级月考）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一
些数据如下：
温度（℃） ﹣20 ﹣10 0 10 20 30
声速（m/s） 318 324 330 336 342 348
下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是温度，声速是温度的函数
B．温度越低，声速越慢
C．当温度每升高10℃时，声速增加6m/s
D．当空气温度为40℃时，声音可以传播354m
22．（2024春•秦都区期末）课外科技小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机飞行高度 h
（米）随飞行时间t（秒）变化的规律如下表所示．
t/秒 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 …
h/米 1.8 7.3 11.8 15.3 17.8 19.3 19.8 19.3 17.8 15.3 …
下列说法正确的是（ ）
A．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就增加5.5米
B．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就减少5.5米
C．飞行时间t为2秒和4秒时，飞行高度h相同
D．从0秒到2秒飞机飞行的高度是15米23．（2024秋•让胡路区校级期中）在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，如表是海拔高
度h（千米）与此高度处气温t（℃）的关系．
海拔高度 0 1 2 3 4 5 …
h（千
米）
气温t 20 14 8 2 ﹣4 ﹣10 …
（℃）
根据如表，回答以下问题：
（1）自变量是 ；因变量是 ；
（2）写出气温t与海拔高度h的表达式： ；
（3）当海拔是10千米时，求气温是多少？
24．（2024秋•紫金县期中）小英在家里整理内务时发现：把一些相同规格的塑料凳子整齐地叠放在水平
地面上，这摞塑料凳子的高度随着凳子的数量变化有一定的关系．于是小英对凳子的高度进行测量，具
体变化的情况如下表所示：
凳子的数量/个 1 2 3 4 5 …
高度/cm 50 55 60 65 70 …
（1）上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）用h（cm）表示这摞凳子的高度，x（个）表示这摞凳子的数量，请写出h与x之间的函数关系式；
（3）当这摞凳子的高度为105cm时，求这摞凳子的数量．
1. 函数概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x 和 y，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y
都有 的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的 ，其中 x 是 .注意： 函数不是数，它是指某一变化过程中两个 之间的关系.
2．函数的一般表示方法： 、 、 .
3．函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a , 函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为
当自变量等于 a 时的函数值.
