文档内容
2.2.4 平方根与立方根（第 4 课时） 导学案
1.掌握无理数估算的基本方法，学会比较无理数与有理数、无理数与无理数的大小.
2.经历平方运算估算无理数范围的过程，体会转化思想在数学中的作用．在 “夹逼法” 缩小无理数范围
的过程中，培养数感和近似计算能力.
3.结合生活实例，感受无理数估算在建筑安全、测量等实际场景中的应用，体会 “数学源于生活、用于生
活 ”.
重点：利用有理数的平方（或立方）“夹逼” 无理数范围.
难点：估算的合理性与精度控制：如何快速找到合适的 “参考有理数”.
第一环节 自主学习
温故知新：
本节课将进入无理数的估算与大小比较的学习，先回顾以下问题：
1、立方根的概念：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x就叫作a的_____．
2、无理数的定义：无理数是__________，如__________就是一个无理数.
3、无限不循环小数的发现过程：通过平方运算不断确无限不循环小数的_____部分，最终发现这样的
小数不仅小数部分__________，更是无法完全计算出来.
新知自研：自研课本第36-37页的内容
【学法指导】
自研课本P36页思考交流上方的内容，完成下列问题：
1.某块地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园。已知这块荒地的长是宽的2倍，
它的面积为400000 m²。
（1）公园的宽大约是多少？它有1000 m吗？
①设公园的宽为xm，则长为_____m，根据面积公式得：2xx=400000
②x2=_____（化系数为1），则x=__________（⋅等号两边同时开平方）
③因为10002=1000000，而200000_____1000000，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以√200000<1000，公园的宽没有1000 m。
（2）如果要求结果精确到10 m，它的宽大约是多少？与同伴进行交流？
①针对计算的精度，题目要求计算到10m,因此计算10的倍数的平方：
②4402=__________（与200000差_____）
③4502=__________（与200000差_____）
因为_____v 更接近200000，所以√200000≈__________m
（3）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800 m²，你能估计它的半径吗（结果精确到1 m）？
√S
①圆形面积公式S=__________，得r= 。
π
②代入S=800m2，π≈3.14：
r≈__________≈√254.78
③因为152=_____，162=_____，所以15<√254.78<16
④因为152×3.14=_____
162×3.14=__________，__________更接近800，所以半径大约是_____m.
2.在例题中，每一小问都涉及都无理数的估算，我们发现估算无理数时，总是通过找到临近的数字的平方，
并取更加__________无理数的那个数，该过程可归结如下：
（1）确定 “夹逼” 方向，锁定整数范围：
先找两个邻近的整数，使它们的平方（立方，对应开平方、开立方）分别__________、_____被开方数；
（2）细化精度，缩小范围：
若需要更精确的估算，则在第一步的整数区间内，找一位小数的_____继续 “夹逼”；
（3）确定近似值（结合需求取整或截断）：
根据题目要求的精度（如 “精确到 ”“精确到 ” ），从夹逼出的范围中取__________无理数的
近似值。
1 0.1
以上步骤称为“夹逼法”，“夹逼法” 的核心是用已知有理数的 ________ _ 、 ____ _等，逼近
未知无理数的范围，通过“大范围→__________”， 逐步缩小边界，最终根据需求确定近似
3.
值。
请你用夹逼法估算√11，结果精确到小数点后一位
4. ①首先，寻找两个整数，使得它们的平方分别小于和. 大于11：
；
32=_____ 42=_____
因此，√11的整数部分是_____，即：3<√11<4
②接下来，在3.0到4.0之间，寻找一位小数，使得它们的平方分别小于和大于11：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司试3.3：3.32=_____
试3.4：3.42=_____
此时，√11在3.3和3.4之间：3.3<√11<3.4
③11−3.32=11−10.89=_____
3.42−11=11.56−11=_____
由于0.11<0.56，因此√11≈_____
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下，思考以下问题：
1.（ ）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流。
， ，
1√0.43 √3 900 √2536
≈0.066 ≈96 ≈60.4
①√0.43≈0.066：_____.
理由：0.0662=0.004356 ，远小于0.43 ，因此√0.43应_____0.066 ；
②√3 900≈96：_____.
理由： =884736，远大于900，因此 应_____96；
963 √3 900
③√2536≈60.4：_____.
理由：60.42=3648.16，远大于2536，因此√2536应_____60.4。
（2）你能估计√3 900的大小吗（结果精确到1）？
①寻找整数 和 ，使得 ：
a a+1 a3<900<(a+1) 3
， ，因此 。
93=_____ 103=__________ 9<√3 900<10
②计算中间值的立方，缩小范围：
， .
9.63=884.736 9.73=912.673
③比较差值：
900−884.736=__________，912.673−900=__________
由于_____更接近900，故√3 900≈_____（精确到1）.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司√5−1 √5−1 1
（3）宽与长之比为 的长方形称为“黄金矩形”。你能比较 与 的大小吗？你是
2 2 2
怎么想的？
√5−1 1
①结论： _____
2 2
②理由如下：
代数推理：√5_____2，因此√5−1_____1
√5−1 1
两边除以2： _____
2 2
2.经过以上的计算，我们对于无理数的估算已经有了方法技巧，在比较大小的时候，我们发现可以将两个
数都_____，将他们化为有理数进行比较.如√5与2在比较时，若是比较它们的平方，那么两数的大小将
会很直观的呈现.
以上比较方法叫做__________，适用于有理数与无理数或无理数与无理数之间的比较.
3. 平方法：将两个无理数__________转化为有理数，比较__________后的结果.
4. 典例分析
1
例 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端到墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子比较稳定。
3
如图，现有一架长度为6 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达5.6 m高的墙头吗？
5.总结归纳立方根的定义、性质与运算性质.（完成在随堂笔记处）
第三环节 自研自探
1.除了估算，我们也可以利用计算器进行开方运算
（1）观察你的计算器面板，对于开方运算，可能用到哪些按键？利用计算器求下列各式的值（结果
精确到0.0001）：①√5.89；②√3−1285
解：常用按键：平方根用“√”（或“sqrt”）键，立方根用“x√y（任意根）键或专门的“³√”键。
①√5.89：按“√”→输入“_____”→按“=”，结果精确到0.0001为__________.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司②√3−1285：按“x√y”→输入“_____”→按“x√y”→输入“3”→按“=”，结果精确到0.0001为
__________
（2）任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运
算……随着开平方次数的增加，你发现了什么？改另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似的
规律。
①很大的正数（如10000）：反复开平方→_____→_____→_____→1.772→1.331→…→趋近于_____。
②小于1的正数（如0.0001）：反复开平方→_____→_____→_____→0.562→0.750→…→趋近于
_____。
③结论：无论初始是很大的正数还是小于1的正数，反复开平方后结果均趋近于_____。
2.计算机开方操作总结.
（1）平方根：①按“_____”键；② 输入__________；③按“=”键
（2）立方根：① 按 “ _____ ”键；②输入__________；③按“ ____ _”键；④输入根指数“3”；⑤按“=”
键。
3.拓展提升
物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，叫作第一宇宙速度，它的计算公式为
，其中 ， ，求第一宇宙速度（结果精确到100 m/s）。
v=√gR g=9.8m/s2 R=6.37×106m
1.估计下列各数的大小：
（1）√13.6（结果精确到0.1）；
（2）√3800（结果精确到1）.
2.比较√6与2.5的大小。你是怎么做的？
3.利用计算器比较 和 的大小.
√33 √2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司类型一：估算无理数的近似值
1.估算 √10的值，精确到 0.1.
类型二：无理数与有理数的大小比较
2.比较 与 2.7 的大小;
√7
类型三：两个无理数的大小比较
4.比较 √15 与 √17的大小;
5.比较√3 与√36的大小.
类型四：利用估算解决实际问题
6某物体的长度为√50 厘米，已知一个盒子的内部长度为 7.2 厘米，这个物体能否放入盒子？
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司1.（2024・天津）估算√10的值在（ ）
A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间
2.（2024·重庆） 题目：已知m=√35，则实数mm的范围是（ ）
A. 2、<或=）
1、无理数的估算方法：“夹逼法”：
_____________________________________________________________________________________.
2、用计算机计算无理数的近似数的步骤：
（1）平方根：______________________________
（2）立方根：___________________________________。
3、无理数与其他数的大小比较方法：平方法：_____________________________________________.
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