文档内容
2.2.4 平方根与立方根（第 4 课时） 教学设计
1.教学内容
本节课是北师大版《义务教育教科书•数学》八年级上册（以下统称“教材”）第二章“实
数”2.2.4无理数的估算与大小比较（4），内容包括：掌握无理数估算的基本方法，学会比较无理数与
有理数、无理数与无理数的大小．
2.内容解析
学生在学习本节课前，已掌握有理数的运算（尤其是平方运算）、平方根的基本概念，
能识别无理数是无限不循环小数，对 “开平方与平方互为逆运算” 有初步认识，这为利用
平方数估算无理数范围奠定了基础. 但学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶
段，对 “夹逼法” 等抽象估算方法的理解可能存在障碍. 本节内容将有理数与无理数纳入
同一比较体系，帮助学生建立 “实数范围内数的大小关系” 的整体认知，完善数系知识网
络，为后续学习实数的性质和运算扫清障碍.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：无理数估算与比较的核心方法：利用有理数的平方
（或立方）“夹逼” 无理数范围.
1.教学目标
（1）掌握无理数估算的基本方法，学会比较无理数与有理数、无理数与无理数的大小.
（2）经历平方运算估算无理数范围的过程，体会转化思想在数学中的作用．在 “夹逼
法” 缩小无理数范围的过程中，培养数感和近似计算能力.
（3）结合生活实例，感受无理数估算在建筑安全、测量等实际场景中的应用，体会
“数学源于生活、用于生活 ”.
2.目标解析
（1）掌握无理数估算的基本方法（如通过平方数逼近无理数范围），能运用“夹逼法”
精确到指定精度，并能运用计算器进行开方运算；学会比较无理数与有理数、无理数与无理
数的大小，能结合具体例子选择合适的比较方法.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）学生在学习过程中，要能够自主估算出无理数的大致范围. 能够借助有理数来比较
无理数的大小. 在这一过程中，逐步渗透逼近思想和转化思想，并提升估算能力与逻辑推理
能力.
（3）学生估算无理数范围的过程中，感受“估算”这一数学能力在生活中的必要性感受
无理数估算与大小比较的实际应用价值，体会“数学源于生活、用于生活”. 在“逐步缩小
无理数范围”的过程中，培养耐心细致的学习习惯与严谨的数学思维.
学生在之前掌握有理数的概念、大小比较的一些方法（数轴法、作差法）， 同时能理解
平方根、立方根的定义，会计算简单的平方根，知道无理数的定义，但对其具体大小缺乏直
观认知. 不会用夹逼法估算无理数的范围；不熟悉平方比较法；缺乏“用无理数解决生活问
题”的经验.
1.在进行估算时，用有理数逐步逼近无理数”是无理数的本质，而非“近似值”，如学
生可能认为“√2≈1.414”就是最终结果，忽略“无限逼近”的过程. 因此，教师在引导时，
需要明确估算的精度，更要渗透“无限逼近”的思想.
2.在学习“夹逼法”估算的过程中，学生可能因计算繁琐而放弃，因此在学习的过程中
要对学生多进行鼓励，同时组织小组，进行小组合作交流，培养学生的团队协作能力.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：估算的合理性与精度控制：如何快速找到合
适的 “参考有理数”.
1.温故知新
本节课将进入无理数的估算与大小比较的学习，先回顾以下问题：
(1) 立方根的概念是什么？
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x就叫作a的立方根．
(2) 回想一下什么是无理数？结合所学的立方根，你能举例说明吗？
无理数是无限不循环小数，如√32就是一个无理数，因为没有任何一个有理数满足x3=2.
(3) 回想一下我们是如何得出“无限不循环小数”这一概念的？
通过平方运算不断确无限不循环小数的小数部分，最终发现这样的小数不仅小数部分没
有规律，更是无法完全计算出来.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司通过以上问题，猜测一下：怎样估算无理数？无理数如何与其他数进行比较？让我们赶紧进
入本节课的学习吧！
（设计意图：由学生回忆并回答，为学习本节的知识做铺垫）
（教学建议：教师提问，指定学生代表回答．回顾无限不循环小数的有关概念，有利于学生
类比无限不循环小数的学习过程展开估算无理数的学习）
2.情景引入
教师在多媒体设备上展示学校将要建造的正方形花坛。
问题: 学校准备在教学楼前修建一个正方形环保主题花坛，用于种植绿植和宣传环保知识。
已知花坛的规划面积为 30 m²，施工队需要确定花坛的边长，才能购买合适的瓷砖和划分施
工区域？
“正方形花坛的面积是30 m²，边长是整数吗？该如何将它转化为小数，以便购买材料？”
(设计意图：以校园常见场景为背景，让学生感受到无理数的估算与大小比较在实际测量、材
料购买中的应用，体现估算的实际应用价值)
探究点1 无理数的估算技巧
1.某块地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园。已知这块荒地的长是宽的2倍，
它的面积为400000 m²。
（1）公园的宽大约是多少？它有1000 m吗？
解：设公园的宽为xm，则长为2xm，根据面积公式得：2xx=400000
x2=200000，则x=√200000 ⋅
因为10002=1000000，而200000<1000000，
所以√200000<1000，公园的宽没有1000 m。
（2）如果要求结果精确到10 m，它的宽大约是多少？与同伴进行交流.
解：计算10的倍数的平方：
4402=193600（与200000差6400）
4502=202500（与200000差2500）
因为202500更接近200000，所以√200000≈450m
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（3）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800 m²，你能估计它的半径吗（结果精确到1
m）？
√S
解：圆形面积公式S=πr2，得r= 。
π
代入S=800m2，π≈3.14：
√ 800
r≈ ≈√254.78
3.14
因为152=225，162=256，所以15<√254.78<16
验证162×3.14=256×3.14=803.84≈800，所以半径大约是16 m.
2.在例题中，每一小问都涉及都无理数的估算，我们发现估算无理数时，总是通过找到临近
的数字在平方，并取更加逼近无理数的那个数，你能总结该过程吗？
（1）确定 “夹逼” 方向，锁定整数范围：
先找两个邻近的整数，使它们的平方（立方，对应开平方、开立方）分别小于、大于被开方数；
（2）细化精度，缩小范围：
若需要更精确的估算，则在第一步的整数区间内，找一位小数的平方继续 “夹逼”；
（3）确定近似值（结合需求取整或截断）：
根据题目要求的精度（如 “精确到 ”“精确到 ” ），从夹逼出的范围中取更接近无理数的近似
值。
1 0.1
以上步骤称为“夹逼法”，“夹逼法” 的核心是用已知有理数的幂（平方、立方等），逼
近未知无理数的范围，通过“大范围→小范围”， 逐步缩小边界，最终根据需求确定近似值。
3.
请你用夹逼法估算√11，结果精确到小数点后一位
4. ①首先，寻找两个整数，使得它们的平方分别小于和大. 于11：
32=9（9<11）
42=16（16>11）
因此，√11的整数部分是3，即：3<√11<4
②接下来，在3.0到4.0之间，寻找一位小数，使得它们的平方分别小于和大于11：
试3.3：3.32=10.89（10.89<11）
试3.4：3.42=11.56（11.56>11）
此时，√11在3.33和3.4之间：3.3<√11<3.4
③11−3.32=11−10.89=0.11
3.42−11=11.56−11=0.56
由于0.11<0.56，因此√11≈3.3
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（设计意图：引入无理数的估算方法——“夹逼法”）
（教学建议：教师引导学生通过计算与总结，引导学生使用并总结“夹逼法”，培养学生主
动参与、合作交流、归纳总结的意识）
探究点2 无理数的大小比较
1.（ ）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流。
√0.43 ， √3 900 ， √2536
1
解：√0≈.403.0 ≈ 660.066：错误 ≈.96 ≈60.4
理由：0.0662=0.004356 ，远小于0.43 ，因此√0.43应大于0.066 ；
√3 900≈96：错误.
理由： =884736，远大于900，因此 应远小于96；
963 √3 900
√2536≈60.4：错误.
理由：60.42=3648.16，远大于2536，因此√2536应小于60.4。
（2）你能估计√3 900的大小吗（结果精确到1）？
解：寻找整数 和 ，使得 ：
a a+1 a3<900<(a+1) 3
93=729，103=1000，因此9<√3 900<10。
计算中间值的立方，缩小范围：
9.63=884.736，9.73=912.673.
比较差值：
900−884.736=15.264，912.673−900=12.673
由于 更接近900，故 ≈10。
9.73 √3 900
√5−1 √5−1 1
（3）宽与长之比为 的长方形称为“黄金矩形”。你能比较 与 的大小吗？你
2 2 2
是怎么想的？
√5−1 1
解：结论： >
2 2
理由如下：
代数推理：√5>2，因此√5−1>1
√5−1 1
两边除以2： >
2 2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司2.经过以上的计算，我们对于无理数的估算已经有了方法技巧，在比较大小的时候，我们发现可以将两个
数都平方，将他们化为有理数进行比较.如√5与2在比较时，若是比较它们的平方，那么两数的大小将会
很直观的呈现.
以上比较方法叫做平方法，适用于有理数与无理数或无理数与无理数之间的比较.
3. 平方法：将两个无理数平方（或立方）转化为有理数，比较平方（或立方）后的结果
（设计意图：通过解决以上例题，再归纳与总结，得出用平方法比较无理数与其他数的结
论.）
（教学建议：引导学生利用无理数的估算方法逐步完成练习，实现了知识的自然迁移，使学
生在自主探索的过程中不知不觉地学到了新知识，理解并掌握了无理数的估算方法，同时在
解决无理数的比较大小的过程中，总结出平方法。教学重点得以基本达成，教学难点也取得
相应突破．再这一学习过程中，体会转化思想，提升学生的数感．）
典例分析
1
例 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端到墙的距离约为梯子长度的 ，则
3
梯子比较稳定。如图，现有一架长度为6 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能抵
达5.6 m高的墙头吗？
1
解：设梯子稳定摆放时它的顶端抵达的高度为x m，此时梯子底端到墙的距离恰为梯子长度的 。
3
根据勾股定理，有
1
x² + (6× )² = 6²，
3
即x²=32，x=√32
因为5.6²=31.36＜32，所以√32＞5.6;
因此，梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达5.6 m高的墙头。
探究点3 用计算器进行开方运算
1.除了估算，我们也可以利用计算器进行开方运算
（1）观察你的计算器面板，对于开方运算，可能用到哪些按键？利用计算器求下列各式的值（结果
精确到0.0001）：①√5.89；②√3−1285
解：常用按键：平方根用“√”（或“sqrt”）键，立方根用“x√y（任意根）键或专门的“³√”
键。
①√5.89：按“√”→输入“5.89”→按“=”，结果精确到0.0001为2.4269
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司②√3−1285：按“x√y”→输入“-1285”→按“x√y”→输入“3”→按“=”；
或计算√3−1285后加负号，结果精确到0.0001为-10.8700
（2）任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运
算……随着开平方次数的增加，你发现了什么？改另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似的
规律。
解：很大的正数（如10000）：反复开平方→100→10→3.162→1.772→1.331→…→趋近于1。
小于1的正数（如0.0001）：反复开平方→0.01→0.1→0.316→0.562→0.750→…→趋近于1。
结论：无论初始是很大的正数还是小于1的正数，反复开平方后结果均趋近于1。
2.计算机开方操作总结.
（1）平方根：①按“√”键；② 输入被开方数；③按“=”键
（2）立方根：① 按“x√y”键；②输入被开方数；③按“x√y”键；④输入根指数“3”；⑤按“=”键。
（设计意图：通过解决以上问题，自主总结出计算机开方操作的步骤.）
（教学建议：教师引导学生自主操作计算机，使用计算机独立完成以上例题，并就结果与同
桌交流，培养学生主动参与、合作交流、归纳总结的意识）
物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，叫作第一宇宙速度，它的计算公式为
v=√gR，其中 g=9.8m/s2，R=6.37×106m，求第一宇宙速度（结果精确到100 m/s）。
解：v=√gR
gR=9.8m/s2×6.37×106m=62.426=6.2426×107m2/s2
要计算 ，先寻找接近624260000的平方数：
√6.2426×107
79002=62410000，由于结果精确到100m/s.
因此第一宇宙速度约为7900 m/s
（设计意图：将无理数的估算与其他学科结合，加强巩固了所学知识的同手，提高数学运用
能力.）
（教学建议：学生分组讨论探究作答，教师汇总后订正．提醒学生：此类跨学科结合其他知
识的题目．在求解时，先确定其中的数量关系，再用数学知识进行解答，思路清晰，逻辑严
密）
1.估计下列各数的大小：
（1）√13.6（结果精确到0.1）；
（2）√3800（结果精确到1）.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司解：寻找相邻的一位小数，使其平方接近13.6：
3.62=12.96，3.72=13.69.
13.6−12.96=0.64，13.69−13.6=0.09
13.69更接近13.6。
结论：√13.6≈3.7
2.比较√6与2.5的大小。你是怎么做的？
解:寻找相邻的整数，使其立方接近800：
93=729，103=1000
计算中间值的立方：9.33=804.357，9.23=778.688
比较差值：800−778.688=21.312，804.357−800=4.357，
9.33更接近800
结论：√800≈9
3.利用计算器比较 和 的大小.
√33 √2
解：用计算器计算：√33≈1.442，√2≈1.414.
比较数值：1.442>1.414.
结论：√33>√2
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学
生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策
略.
类型一：估算无理数的近似值
1.估算 √10的值，精确到 0.1.
解：确定整数范围：
32=9<10，42=16>10精确到 0.1：
计算一位小数的平方：
3.12=9.61<10， 3.22=10.24>10
10−9.61=0.39， 10.24−10=0.24
3.2更接近 √10，因此√10的近似值时3.2
类型二：无理数与有理数的大小比较
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司2.比较 与 2.7 的大小;
√7
3.比较 与 3.1416 的大小.
π
2.解：
√7 2=7 2.72=7.29
7<7.29→ √7<2.7
3. 解：π≈3.1415926535...
3.1415926535<3.14160 → π<3.1416
类型三：两个无理数的大小比较
4.比较 √15 与 √17的大小;
5.比较√3 与√36的大小.
4.解：15<17 → √15<√17
5.解：统一为 6 次方（2 和 3 的最小公倍数）：
（√3）
6=33=27
（√36） 6=62=36
因为36>27，所以√3 <√36.
类型四：利用估算解决实际问题
6、某物体的长度为√50 厘米，已知一个盒子的内部长度为 7.2 厘米，这个物体能否放入盒子？
解： =50； =51.84
（√50） 2 7.22
因为51.84>50所以√50<7.2
因此这个物体能够放入这个盒子。
1.（2024・天津）估算√10的值在（ C ）
A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间
2.（2024·重庆） 题目：已知m=√35，则实数m的范围是（ D ）
A. 2___ 2（填>、<或=）
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉
考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.
设计意图：运用思维导图将本节课主要知识点清晰呈现，增强学习的主动性与连贯性.
1.必做题：随堂练习第1、2、3题
2.探究性作业：习题2.2 第15题.
2.2.4 无理数的估算与大小比较
1. 无理数的估算方法：“夹逼法”
2. 用计算机计算无理数的近似数的步骤
3. 无理数与其他数的大小比较方法：
平方法（立方法）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司
