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第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程
第2课时 利用二次函数求方程的近似根
学习目标：
1．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根；(重点)
2．进一步体会二次函数与一元二次方程的关系．(难点)
自主学习
一、复习回顾
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的交点与
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系
合作探究
一、要点探究
知识点一：利用图象法求一元二次方程的近似根
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程 x2 + 2x - 10 = 0 的根吗?
由图象可知，方程 x2 + 2x - 10 = 0有_____根，
一个根在____和____之间，
y
另一个根在____和____(填两个整数）. 2
1 x
–5–4–3–2–1O 1 2 3
–1
（1）先求－5 和－4 之间的根.
–2
利用计算器进行探索： –3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–10
1（2）另一个根可以类似地求出:
归纳总结
做一做
利用二次函数的图象求一元二次方程 x2 + 2x - 10 = 3 的近似根.
做一做
你还能利用二次函数 y = x2 + 2x - 10 的图象求一元二次方程 x2 + 2x - 10 = 3 的近似根
吗？
归纳总结
利用二次函数求一元二次方程的近似根的一般方法：
①直接作出二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象；图象与 x 轴交点的横坐标就是一元二次方
程 ax2 + bx + c = 0 的根.
②先将一元二次方程变形为 ax2 + bx =－c，再在同一直角坐标系中画出抛物线 y = ax2 +
bx 和直线 y =－c；两图象的交点的横坐标就是方程 ax2 + bx + c = 0 的根.
练一练
1. 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的近
似根为 ( )
A. x ≈－2.1，x≈0.1 B. x ≈－2.5，x≈0.5
1 2 1 2
2C. x ≈－2.9，x≈0.9 D. x ≈－3， x≈1
1 2 1 2
知识点二：*利用函数的图象求一元二次不等式的解集
合作探究
问题1：函数 y = ax2 + bx+ c 的图象如图，
那么方程 ax2 + bx + c = 0 的根是______________；
不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集是______________；
不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集是____________.
拓广探索：
函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图，
那么方程 ax2 + bx + c = 2 的根是______________；
不等式 ax2 + bx + c > 2 的解集是______________；
不等式 ax2 + bx + c < 2 的解集是____________.
问题2：如果不等式 ax2 + bx + c＞0 (a ≠ 0) 的解集是 x ≠ 2 的一切实数，
那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有____ 个公共点，坐标是 ；
方程 ax2 + bx + c = 0 的根是 .
问题3：如果方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 没有实数根，
那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有______个公共点；
不等式 ax2 + bx + c＜0 的解集是什么？
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式：
(1)① -x2+x+2=0； ② -x2+x+2>0；③ -x2+x+2<0.
(2)① x2-4x+4=0； ② x2-4x+4>0；③ x2-4x+4<0.
(3)① -x2+x-2=0； ② -x2+x-2>0； ③ -x2+x-2<0.
3归纳总结
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴公共点的坐标与一元二次不等式的关系
链接中考
1. 二次函数 y = x2 - x - 2 的图象如图所示，则函数值 y＞0 时，
x 的取值范围是( )
A．x＜-1
B．x＞2
C．-1＜x＜2
D．x＜-1 或 x＞2
二、课堂小结
当堂检测
1.根据下列表格的对应值:
判断方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0,a,b,c 为常数)一个解 x 的范围是（ ）
A. 3< x < 3.23
B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 0 ？
（3）x 取什么值时，y < 0 ？
5参考答案
一、创设情境，导入新知
二、小组合作，探究概念和性质
知识点一：利用图象法求一元二次方程的近似根
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程 x2 + 2x - 10 = 0 的根吗?
x =－4.3 是方程的一个近似根. y
2
x = 2.3是方程的另一个近似根.
1 x
–5–4–3–2–1O 1 2 3
–1
归纳总结 –2
–3
利用二次函数求一元二次方程的近似根的一般步骤：
–4
① 画出二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象； –5
–6
② 确定抛物线与 x 轴的交点的横坐标在哪两个数之间； –7
–8
③ 列表，在②中的连个数之间取值，进行估计.
–9
近似根就出现在对应 y 值正负交换的位置. –10
做一做
利用二次函数的图象求一元二次方程 x2 + 2x - 10 = 3 的近似根.
解：x2 + 2x - 13 = 0
由图象可知方程有两根，一个在－5和－4 之间，另一个在 2 和 3 之间.
一个近似根：－4.7；另一个近似根：2.7
做一做
你还能利用二次函数 y = x2 + 2x - 10 的图象求一元二次方程 x2 + 2x - 10 = 3 的近似根
吗？
y = x2 + 2x - 10 和直线 y = 3 交点和横坐标
就是方程 x2 + 2x - 10 = 3 的根
归纳总结
利用二次函数求一元二次方程的近似根的一般方法：
①直接作出二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象；图象与 x 轴交点的横坐标就是一元二次方
程 ax2 + bx + c = 0 的根.
6②先将一元二次方程变形为 ax2 + bx =－c，再在同一直角坐标系中画出抛物线 y = ax2 +
bx 和直线 y =－c；两图象的交点的横坐标就是方程 ax2 + bx + c = 0 的根.
练一练
1. 答案：B
知识点二：*利用函数的图象求一元二次不等式的解集
合作探究
问题1：
答案：x = −1，x = 3；
1 2
x < −1 或 x > 3；
−1 < x < 3.
拓广探索：
答案：x = −2，x = 4；
1 2
x < −2 或 x > 4；
−2 < x < 4.
问题2：
答案：1；(2 ，0)；x = x = 2
1 2
问题3
解：① 当 a＞0 时，ax2 + bx + c＜0 无解.
② 当 a＜0 时，ax2 + bx + c＜0的解集是全体实数.
试一试：
答案：(1) ①x = -1，x = 2；②-1＜x＜2；③x＜-1或 x＞2
1 2
(2) ① x = x = 2 ② x ≠ 2 ③ 无解
1 2
(3) ① 无解 ② 无解 ③ x 为全体实数
归纳总结
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴公共点的坐标与一元二次不等式的关系
a＞0
（1） （2） （3）
（1）y＜0，x＜x＜x；y＞0，x＜x 或 x＞x.
1 2 1 2
（2）y＜0，x 之外的所有实数；y＞0，无解.
0
（3）y＞0，所有实数；y＜0，无解.
7a＜0
（1） （2） （3）
（1）y＞0，x＜x＜x；y＜0，x＜x 或 x＞x.
1 2 1 2
（2）y＜0，x 之外的所有实数；y＞0，无解.
0
（3）y＜0，全体实数；y＞0，无解.
链接中考
2.D
当堂检测
1.
答案：C
2.
答案：D
3.
解：（1）x=2，x=4；
1 2
（2）x < 2 或 x > 4；
（3）2 < x < 4.
8
