文档内容
第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组
2.6 一元一次不等式组
基础篇
一、单选题
1．（2022春·福建厦门·七年级统考期末）将不等式组 的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先定界点，再定方向即可得．
【详解】解：不等式组 的解集在数轴上表示如下：
，
故选：D．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定
界点；二是定方向，注意“实心点”、“空心点”的用法．
2．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）若关于x的不等式组 无解，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式组无解得出 ，求出即可．【详解】解：∵关于x的不等式组 无解，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次不等式，熟练掌握利用一元一次不等式组无解求相关字母的取值是解题的关
键．
3．（2022春·广东河源·八年级校考期中）若 ，则（ ）
A． B． C． D．x为一切实数
【答案】A
【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式即可求解．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故选A．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，能够熟练运用二次根式被开方数的非负性列不等式是解题
关键．
4．（2023春·七年级课时练习）下列说法错误的是（ ）
A． 是不等式 的解 B． 不是不等式 的解
C． 的解集是 D． 的解集就是 、 、
【答案】D
【分析】根据不等式的性质即可求解．
【详解】解： 选项， 是不等式 的解，把 代入不等式，不等式成立，故正确；
选项， 不是不等式 的解，把 代入不等式，不等式成立，故正确；
选项， 的解集是 ，解不等式 得， ，故正确；
选项， 的解集就是 、 、 ， 不是不等式的解，故错误．
故选： ．
【点睛】本题主要考查不等式的性质解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题的关键．5．（2022秋·浙江·八年级期中）不等式组 的整数解的和为（ ）
A．1 B．0 C．29 D．30
【答案】B
【分析】先求出不等式组的解集，在取值范围内可以找到整数解，进而求其和．
【详解】解：
由①式，解得： ，
由②式，解得 ，
∴不等式组的解集为： ，
∴不等式组的整数解为 ， ， ，
∴其和为0．
故选：B．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，
小大大小中间找，大大小小解不了．
6．（2022秋·湖南邵阳·八年级统考期末）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明
让他们猜．甲说：“至多15元．”乙说：“至少12元．”丙说：“至少10元．”小明说：“这本书的价
格是你们三个人所说价格的公共部分”．则这本书的价格 （元）所在的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“这本书的价格是你们三个人所说价格的公共部分”得出不等式组解答即可．
【详解】根据题意可得： ，
可得： ，
∴这本书的价格 （元）所在的范围为
故选：D．
【点睛】此题考查一元一次不等式组的应用，关键是根据题意得出不等式组．二、填空题
7．（2022秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考期末）不等式组 的整数解是________．
【答案】 ，
【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分，再确定整数解即可．
【详解】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
∴不等式组的解集为： ，
∴不等式组的整数解为： ， ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，求解不等式组的整数解，掌握“解一元一次不等式组的
方法与步骤”是解本题的关键．
8．（2023春·七年级课时练习）已知不等式组 的解集是 ，则 =______________．
【答案】4
【分析】先根据条件求出 ， ，然后直接计算即可．
【详解】由 的解集是 可知，
， ，
则 ，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数以及乘方运算，解题关键是找到a，b所对应的值．
9．（2023·全国·九年级专题练习）已知不等式 的解集为 ，则 ______；
【答案】
【分析】现将不等式 的解集用含 的式子表示出来，再根据 ，即可求解．【详解】解：
，
∴ ，解方程得， ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查根据不等式的解集求参数，解方程，掌握解不等式的方法，解方程的方法是解题的
关键．
10．（2022秋·八年级单元测试）一个不等式组的解集如图所示，请写出它的解集___________．
【答案】
【分析】根据数轴可得 ，即可求解．
【详解】解：根据题意得：该不等式组的解集为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，
“>”要用空心圆点表示．
三、解答题
11．（2023春·全国·八年级专题练习）解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出每个不等式的解集，再求出公共部分即可；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可．【详解】（1）解：
解不等式①得， ，
解不等式②得， ，
∴不等式组的解集是 ；
（2）
去分母得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为1得， ，
∴不等式组的解集为 ．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
12．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）在我校“数学项目化学习”中，学生使用甲、乙两种原料配制
奶茶．两种原料的蛋白质含量及价格如下表：
原料 甲 乙
蛋白质的含量/（单位/kg） 600 100
原料价格/（元/kg） 8 4
(1)现配制这种奶茶10kg，要求至少含有4200单位的蛋白质，求出所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围．
(2)如果仅要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，求所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设需要甲种原料 ，则需要乙种原料 ，然后根据要求至少含有4200单位的蛋白
质列出不等式求解即可；
（2）根据购买甲、乙两种原料的费用不超过72元结合（1）所求，建立关于x的不等式组进行求解即可．
【详解】（1）解：设需要甲种原料 ，则需要乙种原料 ，由题意得 ，
∴ ，
解得 ；
（2）解：由题意得 ，
解得 ．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意找到
不等关系是解题的关键．
提升篇
一、填空题
1．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）若关于x的一元一次不等式组 无解，则a的取值范
围______．
【答案】 ##
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组无解进行求解即可．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∵不等式组无解，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了不等式组无解的无解的问题，正确求出两个不等式的解集，再根据大小小大无解
进行求解即可．2．（2023春·七年级课时练习）不等式 的最大整数解是______．
【答案】
【分析】先求得两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分可确定出不等式组的解集，进而可得到最
大整数解．
【详解】解：不等式 化为 ，
由①得： ，
由②得： ，
不等式组的解集为 ，
则不等式组的最大整数解为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答的关键．
3．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）已知关于x的不等式组 的解集是 ，
则 ______．
【答案】
【分析】先求出不等式组中各个不等式的解集，再根据不等式组的解集是 得到 ，再
利用 求出 ，即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得， ，
解不等式②， ，
∵不等式组 的解集是 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法、完全完全平方公式的变形、平方根等相关知识，读懂题意
正确计算是解题的关键．
4．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试）某超市在元宵节这天对几种零食进行清仓促
销．已知巧克力、薯片和瓜子的成本价分别为12元/袋、8元/袋、6元/袋，折后售价之比为 ，白天
三种商品销量之比为 ．下午六点后，超市进行大促，每种商品都参加“买4送1”活动（即每5袋捆
绑在一起销售，只付4袋的费用）．截止到营业时间结束时，三种商品均售出了白天销量的一半，且全天
总销量超过250袋且不足350袋（商品的销量为整数）．已知这天薯片的销售额为1344元，则全天的利润
为______元．
【答案】
【分析】设巧克力、薯片和瓜子的折后售价分别为 元， 元， 元，设巧克力、薯片和瓜子白天三种
商品的销量分别为 袋， 袋， 袋，则巧克力、薯片和瓜子三种商品活动后的销量分别为 袋， 袋，
袋，根据全天总销量超过250袋且不足350袋，这天薯片的销售额为1344元，列出不等式组和方程，求
解出 的值，最后计算全天的利润即可．
【详解】由题意得，
设巧克力、薯片和瓜子的折后售价分别为 元， 元， 元，
设巧克力、薯片和瓜子白天三种商品的销量分别为 袋， 袋， 袋，
则巧克力、薯片和瓜子三种商品活动后的销量分别为 袋， 袋， 袋，
∵全天总销量超过250袋且不足350袋，这天薯片的销售额为1344元，
∴ ，
解得 ，∴巧克力、薯片和瓜子的折后售价分别为 元， 元， 元，
设巧克力、薯片和瓜子白天三种商品的销量分别为 袋， 袋， 袋，
则巧克力、薯片和瓜子三种商品活动后的销量分别为 袋， 袋， 袋，
∴全天的利润为
（元），
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，列出方程是解题的关键．
5．（2021春·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考期中）我国已研制出新型新冠疫苗一一重组亚单位
疫苗（ 细胞），预计4月初开始接种．3月底我市部分小区率先开始了新型新冠疫苗接种预约，这部
分小区平均每个小区有144名业主申报，其中申报人数低于120名的小区平均每个小区有112名业主申报，
申报人数不低于120名的小区平均每个小区有168名业主申报．根据统计结果发现，若每个小区同时新增
20名业主申报，则此时申报人数低于120名的小区平均每个小区有116名，申报人数不低于120名的小区
平均每个小区有180名业主申报，且该市这部分小区个数高于100，且低于130，则这部分小区有______个．
【答案】112
【分析】先设低于120名的有x个小区，不低于120名的有y个小区，每个小区增加20名业主，则设低于
120名的会在x个小区的基础上减少e个，根据“这部分小区平均每个小区有144名业主参加”可知一共有
名业主，再根据增加20户前与后两种情况的等量关系列式，可以得到x，y含有e的关系式，再
结合“该市这部分小区个数高于100，且低于130”即可得出答案．
【详解】解：设低于120名的有x个小区，不低于120名的有y个小区，再设每个小区增加20名业主后，
低于120名的会在x个小区的基础上减少e个小区，不低于120名的会在y个小区的基础上增加e个小区
∴增加20名业主后，低于120名的有 个小区，不低于120户的有 个小区，
由题意得： ，
∴ ①，
同时有： ，
化简得： ②，由①②解得： ，
∵x，y，e都是正整数，且
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为：112．
【点睛】本题主要考查方程与实际问题，能够读懂题意，找到等量关系并准确的表达出来是解题的关键．
二、解答题
6．（2023·全国·九年级专题练习）已知，不等式组 的解集是 ．
(1)求 的取值范围；
(2)若 是方程 的一组解，化简： ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出含m的不等式组，再根据解集是 即可得出m的取值；
（2）把 代入方程 求出a的值，再根据m的取值即可化简．
【详解】（1）解：解原不等式组得 ，
∵不等式组的解集为 ，
∴ ，
即 ；
（2）解：∵ 是方程 的一组解，∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴原式
．
【点睛】此题主要考查不等式组的应用，解题的关键是熟知不等式的性质进行求解．
7．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试）为了迎接兔年的到来，广大市民纷纷开始购
买兔年装饰物，某网店上架了“玉兔灯笼”和“玉兔摆件”这两款产品，已知10个“玉兔灯笼”和15个
“玉兔摆件”的售价为2400元；30个“玉兔灯笼”和20个“玉兔摆件”的售价为5200元．
(1)每个“玉兔灯笼”和“玉兔摆件”的售价分别为多少元？
(2)已知“玉兔灯笼”和“玉兔摆件”的成本分别为80元/个和50元/个．进入2023年一月后，这两款产品
持续热销，于是网店再购进了这两款产品共600个，其中“玉兔摆件”的数量不超过“玉兔灯笼”数量的
2倍，且购进总价不超过37800元．为回馈新老客户，网店决定对“玉兔灯笼”降价10%后再销售，若一
月份购进的这两款产品全部售出，则“玉兔灯笼”购进多少个时该网店当月销售利润最大？最大利润为多
少？
【答案】(1)每个“玉兔灯笼”的售价为 元，每个 “玉兔摆件”的售价为 元．
(2)“玉兔灯笼”购进 个，所获得的利润最大，最大利润为 元．
【分析】（1）设每个“玉兔灯笼”的售价为 元，每个 “玉兔摆件”的售价为 元，再根据10个“玉兔
灯笼”和15个“玉兔摆件”的售价为2400元；30个“玉兔灯笼”和20个“玉兔摆件”的售价为5200元，
建立方程组，可得答案；
（2）设当月销售利润为 元，“玉兔灯笼”购进 个，则“玉兔摆件”购进 个，再根据总利润
等于两种商品的利润之和建立一次函数关系式，再根据一次函数的性质解决问题即可．
【详解】（1）解：设每个“玉兔灯笼”的售价为 元，每个 “玉兔摆件”的售价为 元，则
，解得： ，答：每个“玉兔灯笼”的售价为 元，每个 “玉兔摆件”的售价为 元．
（2）设当月销售利润为 元，“玉兔灯笼”购进 个，则“玉兔摆件”购进 个，
∴
，
又∵ ，
解得： ，
∵ ，
∴ 随 的增大而减小，
∴当 时， 取得最大值，
此时 ；
∴“玉兔灯笼”购进 个，所获得的利润最大，最大利润为 元．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，确定相等关
系与不等关系建立方程，函数关系式或不等式组是解本题的关键．
8．（2022秋·浙江杭州·八年级统考期末）甲、乙两地相距 千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发
驶向乙地，如图，线段 表示货车离甲地距离 千米 与时间 小时 之间的函数关系；线段 表示轿
车离甲地距离 千米 与时间 小时 之间的函数关系．点 在线段 上，请根据图象解答下列问题：
(1)试求点 的坐标；
(2)当轿车与货车相遇时，求此时 的值；
(3)在整个过程中 ，问 在什么范围时，轿车与货车之间的距离小于 千米．【答案】(1)
(2)
(3) 或 或
【分析】（1）设 的函数解析式为 ，将点 ， ，代入，待定系数法求
解析式，令 ，即可求解；
（2）由 的函数解析式： ， ，求得 的函数解析式： ，联立解析式
即可求解；
（3）根据当两车都在行驶时，由题意列出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】（1）设 的函数解析式为 ．
， 在其图象上，得
，
解得： ， ，
，
令 ，解得
故
（2） 的函数解析式： ， ；
∵ ，设 的解析式为 ，
则 ，解得：
的函数解析式： ，
，
解得 ，当 时，轿车与货车相遇；
（3）当 时， ，轿车还未行驶，两车相距 千米，故 时，轿车与货车之间的距离
小于 千米．
当 时， ，两车相距 千米，故 时，轿车与货车之间的距离小于 千米
当两车都在行驶时，由题意可得：
，
解得： ．
故 ， ， 时两车相距小于 千米，
答：在整个过程中 当轿车与货车相距小于 千米时， 的取值范围为 或 或
．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意求出函数关系是解题的关键．
