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专题18 分式的运算重难点题型专训（13大题型）
【题型目录】
题型一 分式乘法
题型二 分式除法
题型三 分式乘除混合运算
题型四 分式乘方
题型五 含乘方的分式乘除混合运算
题型六 同分母分式加减法
题型七 异分母分式加减法
题型八 整式与分式相加减
题型九 已知分式恒等式，确定分子或分母
题型十 分式加减混合运算
题型十一 分式加减的实际应用
题型十二 分式加减乘除混合运算
题型十三 分式化简求值
【知识梳理】
【知识点1 分式的乘除法法则】
分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：
a c ac
1）分式的乘法：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。即： × =
b d bd
a c a d ad
2）分式的除法：除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。即： ÷ = × =
b d b c bc
a n an
3）分式的乘方：分子、分母分别乘方。（ ）=
b bn
4）运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减。同级从左至右依次计算。有括号的，先算括号中的，在算括
号外的。
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式
【知识点2 分式的加减法则】
a b a±b
1）同分母分式：分母不变，分子相加减 ± =
c c c
a d ac bd ac±bd
2）异分母分式：先通分，变为同分母分式，再加减 ± = ± =
b c bc bc bc
注：①计算结果中，分子、分母若能约分，要约分;②运算顺序中，加减运算等级较低。若混合运算种有乘
除或乘方运算，先算乘除、乘方运算，最后算加减运算。【经典例题一 分式乘法】
1．（2022下·河北保定·八年级统考期末）若分式“ ”可以进行约分化简，则“○”不可以是
（ ）
A．1 B．x C． D．4
【答案】C
【分析】将1，x，-x，4，逐一代替“○”，分解因式后可以约分化简的不合题意，不可以约分化简的符合
题意．
【详解】A． ，可以进行约分化简，“○”可以是1，不合题意；
B． ，可以进行约分化简，“○”可以是x，不合题意；
C． ，不可以进行约分化简，“○”不可以是-x，合题意；
D． ， 可以进行约分化简，“○”可以是4，不合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的乘法，解决问题的关键是熟练掌握分解因式，约分化简．
2．（2022·全国·九年级专题练习）若x＜0， ，则 的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【答案】A
【分析】结合题意，根据完全平方公式的性质计算，得x2 的值；再结合完全平方公式的性质计算，即
可得到答案．
【详解】∵x ，
∴（x ）2=5，∴x2﹣2 =5，
∴x2 =7，
∴x2+2 =9，
∴（x ）2=9，
∴x =±3，
∵x＜0，
∴
∴x <0，
∴x =-3，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式的性质，从而完成求解．
3．（2022上·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）计算 ．
【答案】
【分析】先算分式的乘方，然后再按分式的乘法运算法则计算即可．
【详解】解： ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了分式的乘方和运算乘法运算，掌握分式的乘方运算法则是解答本题的关键．
4．（2023下·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期中）已知 ，则 ．
【答案】7
【分析】根据完全平方公式计算即可．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式 是解答本题的关键．
5．（2022上·全国·八年级专题练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用分式的乘除法运算法则约分化简即可得到答案；
（2）利用分式的乘除法运算法则和平方差公式即可得到答案
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式 •
．
【点睛】本题考查了分式的乘除法，正确找公因式约分是解题关键．【经典例题二 分式除法】
1．（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）下列化简结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，进行
逐一化简，即可求解．
【详解】解：A. ，结果不正确，故不符合题意；
B. ，结果不正确，故不符合题意；
C. 结果正确，故符合题意；
D.已是最简分式，无法化简，结果不正确，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式化简求值，掌握分式化简的步骤是解题的关键．
2．（2023下·河北衡水·九年级校考期中）若分式 能进行约分化简，则“□”内的正数是
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【分析】分式可以进行约分化简，则分子与分母有公因式，据此分析即可解答．
【详解】解：∵分式 可以进行约分化简，
∴“□”是2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查分式的乘除法，明确分式可以进行约分化简，则分子与分母有公因式是解答的关键．3．（2022上·河北石家庄·八年级统考期末）计算 的结果是 ．
【答案】
【分析】利用分式的乘除法运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式= ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了分式的乘除，掌握分式的乘除法运算法则是解题的关键．
4．（2022·湖北武汉·统考二模）计算： ．
【答案】
【分析】把被除式的分子分母分别因式分解，然后除变乘颠倒除式的分子分母进行约分，即可得到答案．
【详解】解：
=
=
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的除法运算，解题的关键是熟练掌握分式乘除法的运算法则，分解因式进行约分．
5．（2023下·辽宁沈阳·八年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校联考期中）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先算分式的乘方，再算分式乘法即可；
（2）将除法变成乘法，分子分母能因式分解的进行因式分解，然后约分即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则以及因式分解的方法是解题的关键．
【经典例题三 分式乘除混合运算】
1．（2023下·河南南阳·八年级统考期中）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据分式乘除运算法则计算即可．
【详解】解：A、 ，故此选项不符合题意；
B、 ，故此选项不符合题意；
C、 ，故此选项符合题意；
D、 ，故此选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查分式的乘除混合运算，掌握分式的乘除运算法则是解题的关键，注意运算顺序：从左到
右依次进行．
2．（2022上·全国·八年级专题练习）计算： ，结果为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式乘除运算法则计算即可．
【详解】解：
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的乘除运算，灵活运用分式乘除运算法则是解答本题的关键．
3．（2023上·湖南邵阳·八年级校考阶段练习）计算： ．
【答案】
【分析】直接根据分式的乘方以及乘除法法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分式的乘方以及乘除法混合运算，正确掌握运算法则是解答本题的关键．4．（2023下·山西太原·八年级山西实验中学校考阶段练习）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘
以2，再除以它与1的和，多次重复进行，这种运算的过程如下：
则第4次运算的结果 ．
【答案】
【分析】根据题干中的程序图分别计算出 ， ， ，找到规律，可以得到 ．
【详解】解： ，
，
，
观察上式可得： ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了找规律-数字的变化类，分式的运算，根据程序图计算找到规律是解题的关键．
5．（2023上·八年级课时练习）计算：
(1) ．
(2) ．(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
【点睛】本题考查分式乘除法混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
【经典例题四 分式乘方】
1．（2021下·辽宁沈阳·八年级沈阳市第四十三中学校考期中）下列分式运算，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的运算法则解题．
【详解】解：A. ，故A错误，不符合题意；B. ，故B错误，不符合题意；
C. ，故C错误，不符合题意；
D. ，正确，故D符合题意
故选：D．
【点睛】本题考查分式的运算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
2．（2020上·八年级课时练习）下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的乘法法则计算依次判断即可．
【详解】A、 ，故该项错误；
B、 ，故该项错误；
C、 ，故该项错误；
D、 ，故该项正确；
故选：D．
【点睛】此题考查分式的乘方计算法则：等于分子、分母分别乘方，熟记法则是解题的关键．
3．（2020上·八年级课时练习） ．【答案】
【分析】先计算分式的乘方，再根据分式的除法法则解答即可．
【详解】解：
=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了分式的乘方和分式的除法运算，属于常考题型，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
4．（2021·全国·八年级假期作业）计算 的结果是 ．
【答案】
【分析】先算乘方，再算乘除即可得到答案．
【详解】解：
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查分式的化简求值，属于基础题．
5．（2023·上海·七年级假期作业）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)2
(2)【分析】（1）根据分式的乘除混合计算法则求解即可；
（2）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除混合计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了分式的乘除混合计算，分式的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【经典例题五 含乘方的分式乘除混合运算】
1．（2023上·山东威海·八年级山东省文登第二中学校联考阶段练习）下列计算不正确的题是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案．
【详解】解：A、 ，原计算正确，本选项不符合题
意；
B、 ，原计算正确，本选项不符合题意；
C、 ，原计算错误，本选项符合题意；D、 ，原计算正确，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
2．（2021·陕西·九年级专题练习） 的结果是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】先计算分式的乘方，再把除法转换为乘法，约分后即可得解．
【详解】解：
故选：B．
【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
3．（2021·全国·九年级专题练习）计算（﹣ ）3÷（﹣ ）2的结果是 ．
【答案】﹣
【分析】原式先计算乘方运算，再计算除法运算即可得到结果．
【详解】解：原式＝
=
= ．
故答案为：﹣ ．
【点睛】本题考查含乘方的分式乘除混合运算，熟练掌握含乘方的分式乘除混合运算的法则和顺序是解题关键．
4．（2021上·八年级课时练习）（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．
【答案】
【分析】（1）根据分式的乘法法则计算即可；
（2）先算乘方，再算乘法即可；
（3）先算乘方，再算除法即可；
（4）先算乘方，再算乘除法即可；
（5）先算乘方，再算除法即可；
【详解】解：（1）
（2） ；
（3）原式= ；
（4）原式= ；
（5） ；故答案为： ， ， ， ，
【点睛】本题考查了分式的乘、除、乘方的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键
5．（2023上·八年级课时练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先计算乘方，然后将除法转化成乘法，进而计算乘法即可；
（2）首先计算乘方，然后将除法转化成乘法，进而计算乘法即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．【经典例题六 同分母分式加减法】
1．（2023·天津河西·统考一模）计算 的结果为（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】根据分式运算法则计算即可．
【详解】
故选：D．
【点睛】此题考查了分式的运算，解题的关键是熟悉分式运算法则．
2．（2023下·浙江宁波·七年级校考期中）已知 ， ，其中 ，则P、Q的大
小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【分析】作差比较，将 化简之后，结合 即可判断．
【详解】∵ ， ，
∴
，
∵ ，
∴ ， ，∴ ，
即 ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查分式的化简，作差比较两个数的大小等，正确对分式进行化简是解题的关键．
3．（2023下·河南南阳·八年级校考阶段练习）已知分式 的值为整数，则满足条件的整数 值有
个．
【答案】4
【分析】将 化为 ，根据题意得出 的值为整数，即可得解．
【详解】解： ，
∵分式 的值为整数，
∴ 的值为整数，
∵x为整数，
∴ ，共4个，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握同分母分式的加法：分母不变，只把分子相
加．
4．（2023·山东烟台·统考一模）对于正数 ，规定 ，例如 ，则
的值是 ．
【答案】 / /
【分析】根据已知规定，可得 ，进而可以解决问题．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，分式的加减计算，正确理解题意得到 是解
题的关键．
5．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）本题考查了分式的加减，利用同分母分式加减法法则进行计算，即可解答；（2）本题考查了分式的混合运算，先算分式的除法，再算加减，即可解答；
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【经典例题七 异分母分式加减法】
1．（2023上·浙江杭州·八年级统考开学考试）已知分式 ， ，其中 ，则A
与B的关系是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将B通分后变为同分母分式相加，再观察A、B关系即可得答案．
【详解】解：
，
而 ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的加减，解题的关键是将B通分变为同分母分式相加．2．（2022下·贵州·八年级校联考期末）有一道分式化简题： ，甲、乙两位同学的解答过程分
别如下：
甲同学： ，
乙同学：
下列说法正确的是（ ）
A．只有甲同学的解答过程正确 B．只有乙同学的解答过程正确
C．两人的解答过程都正确 D．两人的解答过程都不正确
【答案】D
【分析】将分式 化简，再比较甲乙两人的结果即可．
【详解】解：
，
∴两人的解答过程都不正确，
故选： ．
【点睛】此题考查分式了的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
3．（2023上·山东威海·八年级山东省文登第二中学校联考阶段练习）若 ，对任意自然数 都成立，则 ．
【答案】 /
【分析】先通分，使得等式左右两边式子分母一致，从而得到 ，进而得到关于a、b的
方程组，解方程得出a、b的值，即可得到答案．
【详解】解：
，
，对任意自然数 都成立，
，即 ，
解得： ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的加法运算，解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
4．（2022下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）计算： ．
【答案】
【分析】先通分，再加减，利用完全平方公式对分子进行因式分解，再约分，即可解答．
【详解】解： ，，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟知运算法则是解题的关键．
5．（2023上·广西贵港·八年级统考期中）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任
务．
，
…第一步，
…第二步，
…第三步，
…第四步，
…第五步，
…第六步．
任务一：填空：以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 或填为： ；
第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果是 ；
任务三：根据小明同学进行分式化简的过程：完成下列分式的计算： ．
【答案】任务一：①三，分式的基本性（分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的数，分式
的值不变）；②五，去括号时，括号前面是“ ”号，去括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：
；任务三：
【分析】任务一：本题考查的是分式的基本性质的应用，去括号法则的应用；①根据通分的概念及分式的
基本性质进行填空；②根据去括号法则进行分析判断；
任务二：本题考查的是分式的混合运算；先将能进行因式分解的分子分母进行因式分解，然后进行通分，
再计算即可；
任务三：本题考查的是分式的混合运算；先将能进行因式分解的分子分母进行因式分解，先计算乘法运算，
再通分进行分式加减法运算即可．
【详解】解：任务一：①化简步骤中，第三步进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质或填为分式
的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变，
②第五步开始出现错误，错误原因是去括号时，括号前面是“ ”号，去括号后，括号里的第二项没有变
号，
任务二：
，任务三：
．
【经典例题八 整式与分式相加减】
1．（2023下·四川成都·八年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质和运算法则，逐一判断，即可解答．
【详解】解： ，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误，
故选：C．【点睛】本题考查了分式的基本性质和运算法则，熟知该法则是解题的关键．
2．（2021·河北·统考中考真题）由 值的正负可以比较 与 的大小，下列正确的是
（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】C
【分析】先计算 的值，再根c的正负判断 的正负，再判断 与 的大小即可．
【详解】解： ，
当 时， ， 无意义，故A选项错误，不符合题意；
当 时， ， ，故B选项错误，不符合题意；
当 时， ， ，故C选项正确，符合题意；
当 时， ， ；当 时， ， ，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行
准确判断．
3．（2022下·河南南阳·八年级统考期中）计算 的结果是 ．
【答案】
【分析】根据分式的加减运算法则，先通分，再加减．
【详解】解：原式．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
4．（2021上·贵州铜仁·八年级统考期末）计算： 的结果是 ．
【答案】 ．
【分析】先把分式化成同分母，再根据同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，即可得出答案．
【详解】解：
=
=
=
故答案为 ．
【点睛】本题考查了分式的加减．熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．（2023上·八年级课时练习）若分式 的值是整数，求整数x的值．
【答案】 ， ， ，
【分析】根据 的值是整数，得出 的值是整数，从而得出 或 ，
进一步求解即可.
【详解】解： ．
∵ ，∴ ．
∵分式的值为整数，且x为整数，
∴ 或 ，
∴ ， ， ， ．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的加法法则．
【经典例题九 已知分式恒等式，确定分子或分母】
1．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如果 ， ，那么，
的值为（ ）
A．36 B．16 C．14 D．3
【答案】A
【分析】利用完全平方公式 ，得
，利用这个公式变形即可得出答案．
【详解】解：由 ，去分母，得
，
则
∵ ，
∴原式 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式是解题的关键．
2．（2023下·重庆北碚·八年级重庆市朝阳中学校考阶段练习）对于任意的 值都有
，则 ， 值为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】B【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得： ．
故选：B．
【点睛】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
3．（2022上·湖南长沙·七年级校联考阶段练习）已知 ，其中 ， ， ，
为常数，则 ．
【答案】6
【分析】由于 ，利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，
然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于 、 、 、 的方程组，解方
程组即可求解．
【详解】解： ，且 ，
当 时， ①
当 时， ②
当 时， ③
∵ ,
即∴ ④
联立 解之得
、 、 ，
．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出
关于 、 、 、 的方程组即可解决问题．
4．（2022下·陕西西安·八年级西北大学附中校考期中）若 ，则 ，
．
【答案】 2 1
【分析】根据同分母分式的加减计算，再按对应项相同可得答案．
【详解】解：
∴A=2，B=1
故答案为：2，1．
【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是掌握分式加法的运算法则．
5．（2022下·江西鹰潭·八年级校考阶段练习）对于分式A与B，若 （k为常数），则称A是B的
“k级牵挂分式”，如分式 ， ， ，则A是B的“3级牵挂分式”．
(1)若分式 是分式C的“ 级牵挂分式”，则分式C为（ ）
A． B． C． D．
(2)已知分式 ， ，且分式P是分式Q的“2级牵挂分式”，
①求E（用含x的式子表示）；
②若P的值为正整数，x为正整数，求P的值．
(3)已知分式 ， （a，b为整数），M是N的“1级牵挂分式”，求a，b的值．
【答案】(1)D
(2)① ；②当 时， ；当 时，
(3)
【分析】（1）根据定义列式计算即可；
（2）①分式P是分式Q的“2级牵挂分式”列式求出E的值即可；
②根据 ，再根据P的值为正整数，x为正整数，求出结果即可；
（3）由M是N的“1级牵挂分式”，得出 ，整理得出
，列出a、b的方程组，解方程组即可．
【详解】（1）解：∵分式 是分式C的“ 级牵挂分式”
∴
，
故选：D．
（2）解：①可得 ，
，
∵P是Q的“2级牵挂分式”，∴ ，
∵ ；
②由①可得： ，
∵P的值为正整数，x为正整数，
∴当 时， ；
当 时， ．
（3）解： ，
，
由M是N的“1级牵挂分式”，可得：
，
∴ ，
整理得 ，
由上式恒成立，得 ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了分式化简求值，新定义运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握分式混合运算法
则，准确计算．
【经典例题十 分式加减混合运算】
1．（2023下·浙江宁波·七年级校考期末） 为整数，符合条件的整数 的个数是（ ）A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【分析】当 时，去掉绝对值后利用分离常数法得到 ，再根据题意可得 为整数，
由此可得 或 ；同理当 时，可得 为整数，求出 （舍去）；由此即可得到答案．
【详解】解：当 时，
，
∵ 为整数，
∴ 为整数，
∴ 或 ，
∴ 或 ；
当 时，
，
∵ 为整数，
∴ 为整数，
∴ ，
∴ （舍去）；
综上所述， 或 ；
故选B．
【点睛】本题主要考查了根据分式值的情况求未知数，熟知分离常数法和分式的运算法则是解题的关键．
2．（2022下·河北保定·八年级统考期末）数学课上，老师让计算 ．佳佳的解答如下：
解：原式 ①②
③
＝3④
对佳佳的每一步运算，依据错误的是（ ）
A．①：同分母分式的加减法法则 B．②：合并同类项法则
C．③：逆用乘法分配律 D．④：等式的基本性质
【答案】D
【分析】根据分式的加减法法则计算即可．
【详解】解：①：同分母分式的加减法法则，正确；
②：合并同类项法则，正确；
③：提公因式法，正确；
④：分式的基本性质，故错误；
故选：D．
【点睛】此题考查了分式的加减，熟练掌握法则及运算律是解本题的关键．
3．（2022上·福建福州·八年级校考期末）若 ， ， 都有意义，下列等式① ；②
；③ ；④ ；中一定不成立的是 ．
【答案】②
【分析】根据分式的基本性质逐项进行判断即可．
【详解】解：∵ ， ， 都有意义，
∴ ， ， ，
当 时，① ，④ ，
∴①④可能成立，
∴①④不符合题意；
根据分式的基本性质可得 ，
∴③不符合题意；若 成立，则有 ，
∴ ，
关于m的一元二次方程， ，
∴不存在这样的m、n的值使原式成立，
∴②一定不成立；
故答案为：②．
【点睛】本题考查了分式的加减、分式有意义的条件、分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质及加减
运算法则是解题关键．
4．（2022·云南昆明·云大附中校考模拟预测）已知： 且 ， ， ， ，
，则 等于 ．
【答案】
【分析】分别求出 、 、 ，发现：每三个为一个循环，用2020除以3即可得到答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
，
∴发现：每三个为一个循环，∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了数字计算类的规律探究，分式的加减法计算法则，分式的化简，正确掌握运算法则得
到计算结果的规律是解题的关键．
5．（2023上·北京石景山·八年级校考期中）阅读下列材料：
我们知道，假分数可以写成带分数的形式，在这个计算过程中，先计算分子中含有几个分母，求出整数部
分，再把剩余部分写成一个真分数．例如： ．
对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的
次数小于分母的次数时，称之为“真分式”．类似地，我们可以把一个“假分式”写成整式和一个“真分
式”的和的形式．例如：
；
．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)请写出一个假分式：_______；
(2)请将分式 化为整式与真分式的和的形式；
(3)设 ，则当 时， 的取值范围是______．
【答案】(1) (答案不唯一)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了分式的加减法，分式的基本性质，不等式的性质；
（1）用“假分式”的定义解答即可；
（2）利用题干中的方法化简运算即可；（3）将 化成整式和一个“真分式”的和的形式后，利用分式值的意义解答即可．
【详解】（1）解： ，则 是假分式
故答案为： (答案不唯一)．
（2）解：
；
（3）解：∵ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ．
【经典例题十一分式加减的实际应用 】
1．（2022上·山东泰安·八年级统考期中）一项工程甲单独做 天完成，乙单独做 天完成，两人合作可
比乙单独做提前（ ）天完成A． B． C． D．
【答案】C
【分析】可求甲的工作效率为 天，乙的工作效率为 天，从而可求两人合作完成工作的天数 ，即
可求解．
【详解】解：由题意得
；
故选：C．
【点睛】本题考查了工程问题，分式运算，理解工作效率，列出分式是解题的关键．
2．（2023下·四川遂宁·八年级统考期末）一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为 千米/小时，
下山速度为 千米/小时，则货车上、下山的平均速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】平均速度=总路程 总时间，设单程的路程为 ，表示出上山下山的总时间，把相关数值代入化
简即可；
【详解】设上山的路程为 千米
则上山的时间 小时，下山的时间为 小时
则上、下山的平均速度
千米/时
故选：D
【点睛】本题考查了列代数式，得到平均速度的等量关系是解决本题的关键，得到总时间的代数式是解决
本题的突破点．3．（2021下·上海嘉定·六年级校考期中）已知一项工程，甲工程队单独完成需要x天，乙工程队单独完成
需要y天，则两队合作需要 天完成．
【答案】
【分析】根据题意得出甲工程队每天完成 ，乙工程队每天完成 ，则两队合作，每天可完成 ，即
可求解．
【详解】解：根据题意可得：
∵甲工程队每天完成 ，乙工程队每天完成 ，
∴两队合作，每天可完成 ，
∴两队合作需要时间： ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握工作时间、工作总量、工作效率三者之间的
关系．
4．（2023下·河南新乡·八年级校考阶段练习）用漫灌方式给绿地浇水，a天用水12吨，改用滴灌方式后，
同样的水量可以比原来多用6天，那么滴灌比漫灌平均每天节约用水 吨（用含a的代数式表示）.
【答案】
【分析】漫灌时平均每天的用水量为 吨，喷灌平均每天用水量为 吨，然后求它们的差即可．
【详解】解：喷灌比漫灌平均每天节约用水量为 （吨）．
故答案为： ．【点睛】本题考查了列代数式（分式）：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式
子表示出来，就是列代数式．列代数式五点注意：①仔细辨别词义． ②分清数量关系． ③注意运算顺序．
④规范书写格式．⑤正确进行代换．
5．（2023上·河北邢台·八年级统考阶段练习）【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一
般是利用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差 ，若 ，则 ；若
，则 ；若 ，则 ．
【解决问题】
(1)若 ，则 ______0（填“ ”“ ”或“ ”）；
(2)已知 ， ，当 时，比较A与 的大小，并说明理由；
(3)小王和小张的加油习惯不同，小王每次加300元的油（油箱未加满），而小张每次都把油箱加满．现实
生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为x元/升，第二次油价为y元/升 ．
①小王两次加油的平均单价为______元/升，小张两次加油的平均单价为______元/升（用含x，y的代数式
表示，化简结果）；
②请通过计算判断，小王和小张的两种加油方式中，哪种平均单价更低？
【答案】(1)
(2) ；
(3)① ， ；②小王加油的平均单价更低．
【分析】（1）根据分式的基本性质化简得到 ，进而求解；
（2）化简 ，由 可得 ，进而求解；
（3）①根据加油量=费用÷油的单价，平均单价=两次加油花的钱÷两次加油的总量列代数式即可；
②用小王的平均油价减去小张的平均油价，如果大于0则小张的省钱，如果小于0则小王的省钱，等于0
则费用一样；【详解】（1）解： ，
，
，
则 ，
，
故答案为： ；
（2）解：∵ ， ，
∴
，
∵ ，∴ ，∴ ，即 ；
（3）解：①小王两次所加油的平均单价为：
元/升；
设小张油箱加满能加a升．
小张两次加油的平均单价为 元/升；
故答案为： ， ；
② ，
∵ ， ，∴当 时， ，即 ，
两种加油方式的平均单价相同；
当 时，
即 ，即 ，
答：小王加油的平均单价低，小王的加油方式更省钱．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题关键是掌握分式的基本性质，通过题干方法作差求解．
【经典例题十二 分式加减乘除混合运算】
1．（2023上·北京昌平·八年级校联考期中）若 （a不取0和 ）， ， ，…，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意对前面几个数进行计算，直到结果出现重复现象，由此得出规律，再按规律解答便可．
【详解】解： ，
，
，
，
由上可知， ， ， ， ， ，这列数依次按 ， ， 三个结果进行循环，，
，
故选： ．
【点睛】本题考查了规律的变化类问题，分式的混合运算，解题的关键是通过计算得出规律．
2．（2023上·山东淄博·八年级校考阶段练习）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C．7 D．4
【答案】C
【分析】先由 得到 ， 即 ， 再根据完全平方公式可求 的值；
【详解】
故选C
【点睛】此题主要考查了分式的值，关键是要熟练掌握完全平方公式
3．（2022上·广东深圳·九年级深圳中学校考自主招生）已知 ， ，则
．
【答案】5
【分析】将两式相乘得， ，即 ．再由第二个式子，所求的值即为 ．
【详解】解：∵ ， ，
∴ 得 ，
∴ 即 ，∴ ，
故答案为∶5．
【点睛】本题主要考查饿了分式的化简求值，求得将两式相乘得 是解题的关键．
4．（2023上·河北石家庄·八年级统考期中）1.如图，甲杯和乙杯中分别盛有体积均为 的橙汁和苹果汁
（如下操作，果汁均不溢出）．
（1）当 时，从甲杯取 橙汁放入乙杯并搅拌均匀，则乙杯中橙汁与混合果汁的体积比
为 ；
（2）把两杯中的果汁进行如下操作：
第一步：从甲杯取出 橙汁，倒入乙杯并搅拌均匀．此时，乙杯中的橙汁与混合果汁的体积比为
第二步：从乙杯取出 混合果汁，倒入甲杯并搅拌均匀．经过两次调和后，设此时甲杯中含苹果汁 ，
乙杯中含橙汁 ，则 .
【答案】 1
【分析】本题主要考查了列代数式，分式混合运算的应用；
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）第一步：根据题意列出代数式即可；
第二步：先求出此时甲杯中含苹果汁 ，乙杯中含橙汁 ，即可求出结果．
解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
【详解】解：（1）从甲杯取 橙汁放入乙杯并搅拌均匀，乙杯中的果汁总体积为： ，则乙杯中橙汁混合果汁的体积比为： ；
故答案为： ；
（2）第一步：从甲杯取出 橙汁，倒入乙杯并搅拌均匀，乙杯中的果汁总体积为： ，
则乙杯中橙汁与混合果汁的体积比为： ；
第二步：从乙杯取出 混合果汁，则此时混合果汁中含有苹果汁： ，
即此时甲杯中含苹果汁 ；
此时乙杯中含橙汁 ，
即此时乙杯中含橙汁 ，
∴ ．
故答案为： ；1．
5．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）计算
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】该题主要考查了分式的混合运算问题；
（1）先算除法再算减法即可；
（2）先算括号再算除法即可．【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
【经典例题十三 分式化简求值】
1．（2023上·安徽芜湖·七年级校考阶段练习）已知 ，则式子 化简的结果是
（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据绝对值的定义即可得到结论．
【详解】解：∵ ，
，故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，分式的化简，熟记绝对值的性质是解题的关键．
2．（2023上·八年级课时练习）如果 ，那么 的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】方法一：将 变形为 ，再代入原式化简即可得出答案；
方法二：根据 ，分式的分子、分母同时除以 再化简即可得出答案．
【详解】解：方法一（条件变形）
，
∴ ，
∴ ．
方法二（所求变形）
由题意得 ，分式的分子、分母同时除以 ，得 ．
答案：C．
【点睛】在给定的条件下求分式的值时，有时难以直接代入求值，需要根据题目的特点，将已知条件或所
求分式适当变形，然后巧妙求解．
3．（2022下·北京·九年级校考阶段练习）如果 ，那么代数式 的值为
．
【答案】 /0.5
【分析】先算括号里，再算括号外，然后把 的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【详解】解：
，
，
，
原式 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
4．（2023上·河北邢台·八年级统考阶段练习）已知a，b满足 ．
（1） 的值为 ；
（2） 的值为 ．
【答案】 / 2
【分析】由 整理得 或 ，再对所求式子化简整理，整体代入即
可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
（1） ，故答案为： ；
（2）
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握整体代入法是解题的关键．
5．（2023上·山东淄博·八年级统考期中）（1）计算： ；
（2）先化简： ，再从 ，0，1，2中选取一个合适的x的值代入求值．
【答案】（1） ；（2） ，当 时，原式
【分析】此题考查了分式的化简与求值．
（1）先通分，再把分子相加减即可；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结
果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：（1）
；
（2），
当 或2或 时，原式没有意义；
则当 时，原式 ．
【重难点训练】
1．（2023上·山东聊城·八年级统考期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式的乘方，分式的基本性质，分式的除法，熟练掌握分式的乘方法则，分式的
基本性质，分式的除法法则，是解题的关键．根据分式的乘方法则，分式的基本性质，分式的除法法则，
逐一计算判断即可．
【详解】A. ，
∵ ，
∴A错误；
B. ，∵ ，
∴B正确；
C. ，
∵ ，
∴C错误；
D. ，
∵ ，
∴D错误．
故选：B．
2．（2023上·河北石家庄·八年级统考期中）若 运算的结果为整式，则“□”中的式子可能
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式的乘除法和整式，根据分式的乘除法的运算法则进行解题即可得到答案．
【详解】解： ，
∵运算的结果为整式，
∴ 中式子一定有 的单项式，
∴只有D项符合，
故选：D．
3．（2023上·山东烟台·八年级统考期中）设 ， ，则m，n的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：
故选：D
【点睛】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
4．（2023上·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）当 分别取 ，0，1， ，
，…， ， ， 时，计算分式 的值，再将所得结果相加，其和等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出 和 时，分式 的值的和，再归纳出一般规律，由此即可得．
【详解】解：当 和 时，
当 时， ，
则所求的和为 ，
故选A．
【点睛】本题考查了分式的求值，熟练掌握分式的运算法则和归纳出一般规律是解题关键．5．（2022上·八年级单元测试）若 ，则代数式 的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】由 可得 ，代入分式，化简即可．
【详解】解：由 可得
将 代入 可得：
原式
故选：A
【点睛】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的四则运算．
6．（2023上·湖南株洲·八年级校联考期中）计算： ．
【答案】
【分析】利用分式乘法和除法法则变形约会即可得到结果．
【详解】解：原式 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查分式的计算，熟练掌握分式的乘除法的运算法则是解题的关键．
7．（2022·湖北武汉·统考模拟预测）计算 ÷ 的结果是 ．
【答案】
【分析】将能因式分解的多项式进行分解，把除法化成乘法再计算．
【详解】解：原式＝
＝ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查分式的混合运算，先把分式的各项因式分解是解题的关键．
8．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）已知： ， ， ， ，…，
，那么 的值为 ．（用含 的代数式表示）
【答案】
【分析】本题主要考查了数字的变化规律与分式的混合运算，分别求出 的值得到 的值3个一次
循环，再由 ，即可求解．
【详解】解： ，
，
，
则 的值3个一次循环，
因为 ，
则 ，
故答案为： ．
9．（2022下·黑龙江绥化·九年级绥化市第八中学校校联考阶段练习）已知a是不等式 的最大整数
解，代数式 的值是 ．
【答案】2
【分析】根据分式的减法和加法及除法法则可以化简题目中的式子，然后根据a是不等式 的最大整数解，可以得到a的值，然后将a的值代入化简后的式子即可解即答本题．
【详解】解：
由 ，解得 ，
∵a是不等式 的最大整数解，
∴ ，
当 时，原式
故答案为：2
【点睛】本题考查分式的化简求值、一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方
法．
10．（2023上·湖南娄底·八年级统考阶段练习）已知 （ 且 ）， ， ，
…， ，则 等于 （用含 的代数式表示）．
【答案】 /
【分析】分别求出 、 、 ，发现：每三个为一个循环，用2023除以3即可得到答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，，
，
，
∴发现：每三个为一个循环，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了数字计算类的规律探究，分式的加减计算法则，分式的化简，正确掌握运算法则得到
计算结果的规律是解题的关键．
11．（2023上·山东聊城·八年级校联考期中）计算：
(1)
(2) ，其中
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分式的混合计算，分式的化简求值，熟知分式的相关计算法则是解题的关键．
（1）先计算小括号内的分式得到 ，再把 变形为 ，接着把除法变成乘法，最后
进行约分计算即可；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式进行分解因式，然后把除法变成乘法，然后进行约分化简，最后
代值计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
，
．
12．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）计算：
(1)化简下列各式：
① ；
② ．
(2)先化简： ，再从 中选一个适合的整数代入求值．
【答案】(1)① ；②
(2) ，当 时，原式 ；或当 时，原式
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分式的混合计算，分式的除法计算，熟知分式的相关计算法则
是解题的关键．
（1）①根据分式的除法计算法则求解即可；②根据分式的混合计算法则求解即可；（2）先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件选取合适的值代值计算即可．
【详解】（1）解：①
；
②
；
（2）解：
，
∵分式要有意义，
∴ ，∴ 且 ，
∴当 时，原式 ；或当 时，原式 ．
13．（2023上·河北石家庄·八年级统考期中）先化简，再求值： ，其中， ．
【答案】 ，1
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据分式的混合计算法则化简，再代值计算即可．
【详解】解：
，
∵ ，
∴当 时，原式 ．
14．（2023上·山东威海·八年级校联考期中）材料阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数
时，我们称之为“假分式”，例如： 这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，
我们称之为“真分式”，例如： 这样的分式就是真分式.我们知道，假分数可以化为带分数，
例如： ．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：
请
根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：①分式 是_____分式（填“真”或“假”）；
②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：．
(2)把分式 化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为
整数．
【答案】(1)①真；②
(2) 或 或 或
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）①根据真分式的定义判断即可；②根据材料中的方法变形即可得到结果；
（2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数x的值；
【详解】（1）解：①分式 中，分子的次数小于分母的次数，
∴分式 是真分式；
② ，
故答案为：①真；②
（2）解：
若这个分式的值为整数，
则 或 或 或 ，
∴ 或 或 或
15．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式
的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如 ，则 和 都是
“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）；
① ；② ；③ ；④
(2)将“和谐分式 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为： ______．
(3)应用：先化简 ，并求 取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】(1)①③④
(2)
(3) 时，该式的值为整数
【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算，
（1）根据同分母分式加法将各分式变形，即可判断；
（2）根据同分母分式加法将各分式变形；
（3）将分式变形结果为 ，根据分式的性质得到x的值．
【详解】（1）① ，② ；③ ，④ ，
故答案为①③④；
（2） ，
故答案为 ；
（3）原式当 或 时，分式的值为整数，
此时 或 或1或 ，
又 分式有意义时 ，
．
