文档内容
专题 14 三角函数与解三角形大题训练
题型一、正、余弦定理判定三角形形状
1．（2023年浙江省模拟）在 中，内角 所对的边分别为 ， ， ，已知 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， ，求 的值；
(3)若 ，判断 的形状．
2．（2023年广东省模拟）在 中， 是角 所对的边，且满足
(1)求角 的大小；
(2)设向量 ，向量 ，且向量 共线，判断 的形状.
3．在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 .已知 ，且 为锐角.
(1)求角 的大小；
(2)若 ，证明： 是直角三角形.
4．在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且
(1)若 ， ，求 ；
(2)若 ，试判断 的形状.
5．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知 ．
(1)求角A的大小；
(2)若b，a，c成等比数列，判断△ABC的形状．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1题型二、证明三角形中的恒等或不等式
1．在 中， .
(1)求 的大小；
(2)若 ，证明： .
2．如图，在 中，点D在边AB上，BD＝2AD，∠ACD＝45°，∠BCD＝90°．
（1）求证： ；
（2）若 ，求BC的长．
3．（2023年广东省衡水大联考数学试题）在 中，角 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求B；
(2)若 外接圆的半径为 ，点D为 边的中点，证明： ．
4．（2023年湖南省模拟）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， .
(1)求角A的大小；
(2)若 是 角平分线，求证： .
5．（2023年河北省模拟）已知 分别为 的三个内角 的对边， .
(1)求A；
(2)若 ，证明： .
6．（2023年湖北省模拟）在 中，角 ， ， 的对边为 ， ， ，已知 ，且 .
(1)若 ，求 ；
(2)证明： ;
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2题型三、求三角形中的边长或周长的最值
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ， .
(1)求角C；
(2)求△ABC的外接圆的半径R，并求△ABC的周长的取值范围.
2．（2023年宁夏月考数学（理科）试题）在 中， 、 、 分别是角A、B、C的对边，
.
(1)求B的大小；
(2)若 ，求 的周长 的取值范围.
3．（2023届湖南省新高考适应性考试数学试题）在锐角 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，
c，已知 ．
(1)求角B的值；
(2)若 ，求 的周长的取值范围．
4．在 中， .
ΔABC
(1)求A；
(2)若ΔABC
的内切圆半径 ，求 的最小值.
5．在锐角 中，角 的对边分别为 ，且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的取值范围．
6．（2023届山东省模拟）在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，满足
(1)求角 ；
(2)若角 的平分线交 于点 ，且 ，求 的最小值.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3题型四、几何图形中的计算
1．（2020年江苏省高考数学试题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
（1）求 的值；
（2）在边BC上取一点D，使得 ，求 的值．
2．如图，已知在 中，M为BC上一点， ，
且 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若AM为 的平分线，且 ，求 的面积．
3．如图，在平面四边形ABCD中， ， ， ．
(1)若 ，求 的面积；
(2)若 ，求BC．
4．如图，在圆内接四边形ABCD中， ， ， ， 的面积为 .
(1)求AC；
(2)求 .
5．如图，在梯形 中， ， ， ， ．
(1)若 ，求梯形 的面积；
(2)若 ，求 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 46．（2023年广东省模拟数学试题）如图，在平面四边形 中， ， ．
(1)若 平分 ，证明： ；
(2)记 与 的面积分别为 和 ，求 的最大值．
7．（2023年浙江省名校联盟联考数学试题）如图，平面四边形ABCD中， ， ，
． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ．
(1)求四边形ABCD的外接圆半径R；
(2)求 内切圆半径r的取值范围．
题型五、求三角形面积的最值或范围
类型一：用基本不等式求面积最值
1． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 .
(1)求A；
(2)若 ，求 面积的最大值.
2．已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
(1)求角A；
(2)若M为 的中点， ，求 面积的最大值．
3．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求A的大小；
(2)若A的角平分线交BC于D，且AD＝3，求△ABC面积的最小值．
三角函数+基本不等式
4．在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5(1)求 ；
(2)若 ，求 面积 的最小值.
类型二：转化为正切函数求面积取值范围
1．（2023届河北省教学质量检测数学试题）已知 内角 所对的边长分别为
.
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
2．（2023年普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷）已知锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边
分别为a，b，c，且满足 ， .
(1)求 的取值范围；
(2)若 ，求三角形ABC面积的取值范围.
3．（2022年黑龙江省期末考试数学试题）已知锐角 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
， ．
(1)求角B；
(2)求 面积的取值范围．
类型三：转化为正弦函数求面积取值范围
1．已知 中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且
(1)求角C
(2)若 ， ， 为角C的平分线，求 的长；
(3)若 ，求锐角 面积的取值范围.
2．（2023年黑龙江省八校联合模拟试题）在锐角 中，内角 的对边分别为 ，且满足
(1)求角C的大小；
(2)若 ，角A与角B的内角平分线相交于点D，求 面积的取值范围.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 63．已知 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c， 的面积为S，且满足 ，
．
(1)求A和a的大小；
(2)若 为锐角三角形，求 的面积S的取值范围．
4．在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， .
(1)求A；
(2)若 是锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
题型六、正余弦定理与三角函数性质的结合
1．已知函数
(1)求函数 的最小正周期；
(2)在锐角 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，且 ，试判断 的形
状．
2．已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 在区间 上的值域．
（Ⅱ）在 中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，若角C为锐角， ，且 ，求
面积的最大值．
3．（2022年江西省重点名校联合考试数学（文）试题）已知向量 ， ，
.
(1)求函数 的最小正周期；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7(2)在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， ，求 的面积的最大值.
4．已知函数 .
(1)求函数 的单调递减区间；
(2)在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ，求 的取值范
围.
5．设函数f (x)=m⃗⋅⃗n，其中向量 ， .
(1)求 的最小值；
(2)在△ 中， ， ， 分别是角 ， ， 所对的边，已知 ， ，△ 的面积为 ，
求 的值.
6．（2023年湖南省名校考前演练试题）已知函数 .
(1)求函数 的定义域和值域；
(2)已知锐角 的三个内角分别为A，B，C，若 ，求 的最大值.
7．（2021年北京市模拟数学试题）已知 ， ，
（1）求 的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角 的内角 的对边分别为 ，且 ， ，求 边上的高的最大值．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8题型七、正、余弦定理求代数式的取值范围问题
类型一：求角的三角函数值的代数式的取值范围
1．（2023年全国新高考仿真模拟卷（二）数学试题）已知 的内角 的对边分别为 ， 为
钝角．若 的面积为 ，且 ．
(1)证明： ；
(2)求 的最大值．
2．（2021年辽宁省联合模拟考试文科数学试题）在锐角 中，角 的对边分别为 ，已知
（1）若 ，求 ；
（2）求 的取值范围.
3．已知锐角 中， .
（1）求 ；
（2）求 的取值范围.
4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 ．
(1)若 ，且 ，求△ABC的面积；
(2)求 的最大值．
5．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围.
6．（2023年河南省质量检测（理科）数学试题）在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9c．已知 ．
(1)求A；
(2)求 的取值范围．
类型二：求边的代数式的取值范围
1．（2023年江苏省模拟试题）在 中，角A，B，C成等差数列，角A，B，C所对的边分别为a，
b，c．
(1)若 ，判断 的形状；
(2)若 不是钝角三角形，求 的取值范围．
2．在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 且
．
（1）求角A的大小；
（2）若 ，求 的面积；
（3）求 的取值范围．
3．在 中，A，B为锐角，C为钝角，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且
．
(1)求角B；
(2)求 的取值范围．
4．（2023年普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（五））记△ABC的内角A，B，C的对边分别为
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10a，b，c，已知 ．
(1)若 ，求A；
(2)若△ABC为锐角三角形，求 的取值范围．
5．（2023年陕西省模拟数学试题）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 的取值范围．
6．（2023年湖南省部分市大联考数学试题）已知 的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，
.
(1)求角 ；
(2)若 为锐角三角形，且外接圆的半径为 ，求 的取值范围.
7．（2023年广东省模拟数学试题）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)求证： .
(2)求 的取值范围.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11题型八、正、余弦定理中的结构不良问题
1．已知函数 .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)在 中， 分别是角 的对边， ，若 为 上一点，且满足
____________，求 的面积 .
请从① ；② 为 的中线，且 ；③ 为 的角平分线，且 .
这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
2．在 中， 分别为角 所对的边.在① ；② ；③
这三个条件中任选一个，作出解答.
（1）求角 的值；
（2）若 为锐角三角形，且 ，求 的面积的取值范围.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 123．（2023年黑龙江省模拟考试数学试题）在① ，② ，③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.问题：锐角
的内角 的对边分别为 ，且______.
(1)求 ；
(2)求 的取值范围.
4．在① ，② ，③ 三个条件中任选一个补充在下面的横
线上，并加以解答.
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且______，作 ，使得四边形 满足
， ， 求 的取值范围.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13题型九、正、余弦定理的实际应用
1.（2023年江苏省模拟数学试题）如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距 海里的B处有一艘走
私船，正沿东偏南45°的方向以3海里 小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以 海里 小时的速度沿
着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改
变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以 海里 小时的速度沿着直线追击
(1) 当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里.
(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船.
2．如图，一架飞机从 地飞往 地，两地相距 .飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞
以后，就沿与原来的飞行方向成 角的方向飞行，飞行到 地，再沿与原来的飞行方向成 角的方向继续
飞行 到达终点.
(1)求 、 两地之间的距离；
(2)求 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 143．由于2020年1月份国内疫情爆发，餐饮业受到重大影响，目前各地的复工复产工作在逐步推进，居民
生活也逐步恢复正常．李克强总理在考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位
的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，也是中国的商机．某商场经营者王某准备在商场门前
“摆地摊”，经营“冷饮与小吃”生意．已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地 进行改
造．如图所示，平行四边形 区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点P在弧 上，
点M和点N分别在线段 和线段 上，且 米， ．记
．
(1)当 时，求 ；
(2)请写出顾客的休息区域 的面积 关于 的函数关系式，并求当 为何
值时， 取得最大值．
4．（2023年云南省教学质量检测数学试题）“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子·离娄章句上》．
“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具。
有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，如图所示，将这块圆形木板截出一块三
角形木块，三角形顶点 都在圆周上，角 的对边分别为 ， ， ，满足
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，且 ，求 的周长
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 155．如图，在海岸边 点的观测站发现南偏西30°方向上，距离 点20海里的 处有一艘走私船，立刻通
知了停在 的正东方向上，且距离 点 海里的 处的缉私艇，缉私艇立刻奉命以 海里/时的
速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从 处沿南偏东15°方向逃窜.
(1)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多远，在缉私艇的什么方向？
(2)缉私艇至少需要多长时间追上走私船？
6．（2023年福建省模拟数学试题）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广表平
原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已
知基站高AB=50m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测
得基站底部B的仰为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.
(1)求出山高BE（结果保留整数）；
(2)如图（第二幅），当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼
睛所在位置）到基站AB所在直线的距离CD=xm，且记在C处观测基站底部B的仰角为 ，观测基站顶端
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16A的仰角为β.试问当x多大时，观测基站的视角∠ACB最大？
参考数据: .
7．文笔塔，又称慈云塔，位于保山市隆阳区太保山麓，古塔建设于唐代南诏时期．2007年4月在原址拆
除重建后的文笔塔新塔与广大市民见面．如图，某同学在测量塔高AB时，选取与塔底在同一水平面内的
两个测量基点C和D． 测得 ，在点 C测得塔顶A仰角为 ，已知
， ，且CD＝56米．
(1)求 ；
(2)求塔高AB（结果保留整数）．
题型十、强化训练第一问
1．在△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知 ．
求角B的值；
2．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17求角 的大小；
3． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 .
求角 ；
4． 的内角 的对边分别为 ，已知 .
证明： ；
5．在平面四边形 中， ， ， ， ．
求 ；
6．在 中，内角A， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 .
求 ；
7．已知 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，
求 的值；
8． 中，三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， 且
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18若 ， ，求 内切圆的半径长；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19
