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2021-2022学年河北省保定市安新县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题有16小题，共42分.1-10小题各3分，11-16小题各2分.在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的选项填在下表中）
1．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．实心铁球投入水中会沉入水底
B．从车间刚生产的产品中任意抽取一个是次品
C．早上的太阳从西方升起
D．从一个只装有红球的盒子里摸出一个球是红球
3．正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，米粒随机地撒在如图所示的正方形地板
上，那么米粒最终停留在黑色区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，有A（2，﹣1），B（﹣1，﹣2），C（2，1），D（﹣2，1）四点．其中，关于原
点对称的两点为（ ）
A．点A和点B B．点B和点C C．点C和点D D．点D和点A
5．在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（ ）
第1页（共8页）A．四边形NPMQ B．四边形NPMR C．四边形NHMQ D．四边形NHMR
6．如图，矩形ABCD～矩形DEFC，且面积比为4：1，则AE：ED的值为（ ）
A．4：1 B．3：1 C．2：1 D．3：2
7．新冠肺炎传染性很强，曾有1人同时患上新冠肺炎，在一天内一人平均能传染x人，经过
两天传染后64人患上新冠肺炎，则x的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，在 O中，直径AB⊥弦CD，若∠OCD＝25°，则..的度数是（ ）
⊙
A．25° B．65° C．32.5° D．50°
9．一个圆锥的底面半径为km，侧面积为4 cm2，现将其侧面展开平铺成的扇形的圆心角为（
） π
A．90° B．135° C．60° D．45°
10．给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y′＝n×xn﹣1．若函数y＝x4，则有y′＝4×x3，已知函
数y＝x3，则方程y′＝9x的解是（ ）
第2页（共8页）A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x ＝0，x ＝3 D．x ＝0，x ＝﹣3
1 2 1 2
11．如图，AB是 O的直径，BC是弦，OD∥AC交 于点D交BC于点E，若BC＝8，ED＝2，
O半径是（⊙ ）
⊙
A．3 B．4 C．5 D．2
12．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的
方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为（ ）
A．﹣4，3 B．﹣5，2 C．﹣3，2 D．﹣2，1
13．《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，
密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：
“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的
长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为（ ）
A． B． C． D．
14．某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气的含药量y（毫克）与
时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图），现测得药物8min燃毕，此
第3页（共8页）时室内空气中每立方米含药量为6mg．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg
才有效，那么此次消毒的有效时间是（ ）
A．10分钟 B．12分钟 C．14分钟 D．16分钟
15．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0）和x轴正半轴于点B，且BO
＝3AO，交y轴正半轴于点C．有下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③x＝1时y有最大
值﹣4a；④3a+c＝0．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．如图，在矩形ABCD中，AD＝8，E是边AB上一点，且AE＝ AB．已知 O经过点E，与
⊙
边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且GE：EF
＝ ：2，当边AD或BC所在的直线与 O相切时，AB的长是（ ）
⊙
A．9 B．4 C．12或4 D．12或9
二、填空题（本大题有3小题，每小题有2个空，每空2分，共12分.请把答案写在题中横线
上）
17．将方程x2﹣2（3x﹣2）+x+1＝0化成一般形式是 ，方程根的情况是 ．
18．定义：如果几个全等的正n边形依次有一边重合，排成一圈，中间可以围成一个正多边形，
那么我们称作正n边形的环状连接．如图1，我们可以看作正八边形的环状连接，中间围
成一个正方形．
（1）若正六边形作环状连接，如图2，中间可以围成的正多边形的边数为 ；
（2）若边长为a的正n边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的外
轮廓长为 ．（用含a的代数式表示）
第4页（共8页）19．如图，在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，有点P
1
，P
2
，P
3
，P
4，…
，它们的横坐标依次为
2，4，6，8，…分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右
依次记为S ，S ，S ，…，则S +S +S ＝ ，S +S +S +…+S ＝ （用含n的代数
1 2 3 1 2 3 1 2 3 n
式表示，n为正整数）．
三、解答题（本大题有7小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．小明同学解一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的过程如图所示．
解：x2﹣6x＝1①
x2﹣6x+9＝1②
（x﹣3）2＝1③
x﹣3＝±1④
x ＝4，x ＝2⑤
1 2
（1）小明解方程的方法是 .（填选项字母）
A．直接开平方法 B．因式分解法C．配方法D．公式法
他的求解过程从第 步开始出现错误．
（2）解这个方程．
21．为庆祝中国共产党成立100周年，某校团委将举办文艺演出．小明和小亮计划结伴参加
该文艺演出．小明想参加唱红歌节目，小亮想参加朗诵节目．他们想通过做游戏来决定参
加哪个节目，于是小明设计了一个游戏，如图，分别把转盘A，B分成4等份和5等份，并
在每一份内标上数字．游戏规则是：小明转动A转盘，同时小亮转动B转盘，当两个转盘
第5页（共8页）停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，则按照小明的想法参加唱红歌节目；当数字
之积为偶数时，则按照小亮的想法参加朗诵节目．如果指针恰好在分割线上时，则需要重
新转动转盘．
（1）A转盘停止后，指针指向奇数的概率为 ；
（2）请利用画树状图或列表的方法，分别求他们参加唱红歌和朗诵节目的概率，并说明这
个游戏规则对小明、小亮双方公平吗？
22．如图，在△ABC中，AF⊥BC于点F．将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，
点B的对应点D恰好落在BC边上．
（1）若∠B＝50°，求∠DAF的度数；
（2）若∠E＝∠CAD，求证：AD＝CD．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝2x与反比例函数y＝ 的图象交于A，B
两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数y＝ 图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，求点
P的坐标．
第6页（共8页）24．如图，点E为△ABC边BC上一点，过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D，交EA的
延长线于点F，且DF•DC＝DB•DA．
（1）求证：AE⊥BC；
（2）如果BE＝CE，求证：BC2＝2BD•AC．
25．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长
度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具
为“曲柄连杆机构”．
小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，
BP的连接点P在 O上，当点P在 O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑
动，OM⊥ON．当⊙AP与 O相切时⊙，点B恰好落在 O上，如图2．
请仅就图2的情形解答下⊙列问题． ⊙
（1）求证：∠PAO＝2∠PBO；
（2）若 O的半径为5，AP＝ ，求BP的长．
⊙
第7页（共8页）26．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a，b是常数，且a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
并且A，B两点的坐标分别是A（1，0），B（﹣3，0），抛物线顶点为D．
（1）①求出抛物线的解析式；
②顶点D的坐标为 ；
③直线BD的解析式为 ；
（2）若E为线段BD上的一个动点，其横坐标为m，过点E作EF⊥x轴于点F，求当m为何
值时，四边形EFOC的面积最大？
（3）若点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′
恰好也落在此抛物线上，请直接写出点P的坐标．
第8页（共8页）
