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解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法
——直接法、间接法一网搜罗
类型一 找线段对应的三角形，利用相 线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于E，
似证明 交AD于F.求证：DE2＝BE·CE.
1．如图，四边形ABCD的对角线AC，
BD 交于点 F，点 E 是 BD 上一点，并且
∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.求证：＝.
类型三 找中间比利用等积式代换
4．如图，在△ABC中，点D为BC的中
点，AE∥BC，ED交AB于P，交AC的延长
线于Q.求证：PD·EQ＝PE·DQ.
类型二 利用等线段代换
2．如图，在四边形 ABCD中，AB＝
AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB.
求证：＝.
3．★如图，已知AD是△ABC的角平分
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解题技巧专题：比例式、等积式
的常见证明方法
1．证明：证法一：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE，即
∠BAE＝∠CAD.∵∠BAC＝∠BDC，∠BFA
＝∠CFD，∴180°－∠BAC－∠BFA＝180°
－∠BDC－∠CFD，即∠ABE＝∠ACD，
∴△ABE∽△ACD，∴＝.
证法二：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC
＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE，即∠BAE＝
∠CAD.∵∠BEA＝∠DAE＋∠ADE，∠ADC
＝∠BDC＋∠ADE，∠DAE＝∠BDC，
∴∠AEB＝∠ADC.∴△ABE∽△ACD，∴＝.
2．证明：∵AB＝AD，∴∠ADB＝
∠ABE.∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝
∠ ABE. 又 ∵ ∠ CAB ＝ ∠ BAE ，
∴△ACB∽△ABE，∴＝.又∵AB＝AD，∴
＝.
3．证明：如图，连接AE.∵EF垂直平分
AD，∴AE＝DE，∴∠DAE＝∠4.∵AD是
△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2.∵∠DAE
＝∠2＋∠3，∠4＝∠B＋∠1，∴∠B＝∠3.
又∵∠BEA＝∠AEC，∴△BEA∽△AEC.∴
＝，∴AE2＝BE·CE，∴DE2＝BE·CE.
4．证明：∵AE∥DC，∴∠QDC＝∠E，
∠QCD＝∠QAE，∴△QCD∽△QAE，∴
＝.∵AE∥BD，∴∠B＝∠PAE，∠BDP＝
∠AEP，∴△BDP∽△AEP，∴＝.∵点D为
BC的中点，∴BD＝CD，∴＝，即PD·EQ＝
PE·DQ.
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