专题 14 三次函数
一、考情分析
函数与导数一直是高考中的热点与难点, 我们知道二次函数是重要的且具有广泛应用的基本初等函数,学生
对此已有较为全面、系统、深刻的认识,并在某些方面具备了把握规律的能力,由于三次函数的导数是二次
函数,使得我们可以利用二次函数研究三次函数的图象与性质,这使得三次函数成为高考数学的一个热点.
二、解题秘籍
(一) 三次函数的图象与性质
三次函数 的图象有六种,如图：
图(1) 图(2)
图(3)
图(4)图(5) 图(6)
2.对函数 进行求导： 是二次函数,原函数的极值点
与单调性与导函数的正负有关,所以容易发现导函数中的参数 与 的符号起决定性作用.当 为正时,原函
数的图象应为上图中的（1）、（3）、（5）三种情况；而当 为负时,原函数的图象则为（2）、（4）、
（6）三种情况.当 时,二次方程 有两相异实根 ,且在 的两边 的符号相反,故
函数 存在两个极值点,图象为上图中的（3）、（4）两种；当 时,二次方程 有两相等实
根,且在根的两边 的符号相同,这时函数 只存在驻点（但不是极值点）,函数的图象为上图中
（1）、（2）两种,当 时；方程 无实根, 的值恒为正（或负）,函数的图象为上图中的
（5）、（6）两种.
仔细观察图象,我们还不难发现三次函数是中心对称曲线,这一点可以得到进一步的验证:设
f (m−x)+f (m+x)=2n
,得
[a(m−x) 3 +b(m−x) 2 +c(m−x)+d]+[a(m+x) 3 +b(m+x) 2 +c(m+x)+d]=2n
整 理 得 ,
b
m=−
(6ma+2b)x2 +(2am3 +2bm2 +2mc+2d)=2n 3a
.据多项式恒等对应系数相等 ,可得 且
n=am3 +bm2 +mc+d
,从而三次函数是中心对称曲线,且由
n=f (m)
知其对称中心
(m,f(m))
仍然在曲b
m=−
3a f (x) f'' (x)=6ax+2b
线上.而 是否具有特殊的意义？对函数 进行两次求导, 再令等于 0,得
b
x=−
3a
,恰好是对称中心的横坐标,这可不是巧合,因为满足
f'' (m)=0
的m正是函数拐点的横坐标,这一
性质刚好与图象吻合.除此,三次函数的对称中心还有一个很少引起注意的性质---过三次曲线的对称中心且
与该三次曲线相切的直线有且仅有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点与该三次曲线相切的直线
有二条.由于三次曲线都是中心对称曲线,因此,将其对称中心移至坐标原点便可将三次函数的解析式简化为
f (x)=ax3 +bx
.
f (x)=ax3 +bx
若M（x,y ）是三次曲线 上的任一点,设过M的切线与曲线y=f（x）相切于（x,y ）,则切
1 1 0 0
y−y =f' (x )(x−x ) y −y =f' (x )(x −x )
线 方 程 为 0 0 0 , 因 点 M 上 此 切 线 上 , 故 1 0 0 1 0 , 又
y =ax +bx ,y =ax +bx ax +bx−(ax +bx )=(3ax +b)(x −x )
0 0 3 0 1 1 3 1 , 所 以 1 3 1 0 3 0 0 2 1 0 , 整 理 得 ：
x
(x −x ) 2 (2x +x )=0 x =x x 0 =− 2 1
0 1 0 1 ,解得, 0 1或 .
x =0
综上所述,当点M是对称中心即 1 时,过点M作曲线的切线切点是惟一的,且为M,故只有一条切线；当
x ≠0
点M不是对称中心即 1 时,过点M作曲线的切线可产生两个不同的切点,故必有两条切线,其中一条就是
以M为切点（亦即曲线在点M处）的切线.
由此可见,不仅切线与曲线的公共点可以多于一个,而且过曲线上点的切线也不一定惟一求以曲线上的点
(x,f(x))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x)；③写出切线方
0 0 0
程y－f(x)＝f′(x)(x－x),并化简．
0 0 0
【例1】（2023届黑龙江省哈尔滨市高三上学期12月月考）设函数
(1)若 ， ，求曲线 在点 处的切线方程；(2)若 ，不等式 对任意 恒成立，求整数k的最大值．
【解析】（1）当 ， 时， ，所以 ，即切点为
因为 ，所以 ，
所以切线方程为 ，即 ，
（2） ，由 ，所以 ，
所以函数 在R上单调递增
不等式 ，对 恒成立，
构造 ， ，
构造 ， ，对 有 ，
所以 在 递增， ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，即 ， 在 递减，
， ，即 ， 在 递增，
所以 ，结合 ，故 ，
所以 对 恒成立 ，故 ，
所以整数k的最大值为3；
(二)三次函数的零点
1.若三次函数 没有极值点,则 有1个零点；
2. 三次函数 有 2 个极值点 ,则 时 有 1 个零点； 时有2个零点； 时 有3个零点.
【例2】（2023届江西省赣抚吉十一校高三第一次联考）已知函数 ,其中 .
(1)若 的极小值为－16,求 ；
(2)讨论 的零点个数.
【解析】（1）由题得 ,其中 ,当 时, , 单调递
增, 无极值；当 时,令 ,解得 或 ；令 ,解得 ,所以
的单调递减区间为 ,单调递增区间为 , ,所以当 时, 取得极小值
,所以 ,解得 .
（2）由（1）知当 时, 的极小值为 , 的极大值为 ,
当 ,即 时, 有三个零点,如图①曲线 ；当,即 时, 有两个零点,如图②曲线；当 ,即 时, 有一个零点,
如图③曲线；当 时, ,易知 有一个零点. 综上,当 时, 有一个零点；
当 时, 有两个零点；当 时, 有三个零点.
(三)过平面上一点P作三次函数图象的切线的条数
此类问题一般是先设出切点Q ,写出曲线 在 处的切线方程,把点P坐标代入,整理出一个
关于t的三次方程,该方程实根个数就是切线条数.
【例3】（2024届江苏省南通市高三上学期期初质量监测）已知函数 的极小值
为 ，其导函数 的图象经过 ， 两点.
(1)求 的解析式；
(2)若曲线 恰有三条过点 的切线，求实数 的取值范围.
【解析】（1） ，
因为 ，且 的图象经过 ， 两点.
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
所以 在 处取得极小值，所以 ，
又因为 ， ，所以 ， ，解方程组 得 ， ， ，
所以 .
（2）设切点为 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以切线方程为 ，
将 代入上式，得 .
因为曲线 恰有三条过点 的切线，所以方程 有三个不同实数解.
记 ，则导函数 ，
令 ，得 或1.
列表：
0 1
+ 0 - 0 +
极
↗ 极大 ↘ ↗
小
所以 的极大值为 ， 的极小值为 ，
所以 ，解得 .故 的取值范围是 .
(四)含参数的三次函数的单调性的讨论
求含参数的三次函数在闭区间上的最值,一般根据函数极值点与闭区间的位置关系进行讨论.
【例4】（2024届内蒙古包头市高三上学期调研）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；(2)若 有2个零点，求 的值．
（注： ）
【解析】（1） ， ，
当 ，即 时， ，所以 在 上单调递增，
当 ，即 或 时，
令 ，解得 ， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
综上所述，当 时， 在 上单调递增，
当 或 时， 在 上单调递增，在 上单
调递减；
（2）当 时， ，此时函数无零点，
当 时， 等价于 ，
设 ， ，则 ，
当 时， ，故 单调递增，且 ，
当 时， ，故 单调递减，
当 时， ，故 单调递增，又 ，当 且 时， ，当 时， ，
如图作出函数 的大致图象，
由图可知，要使 ， 两个函数有两个交点，则 ，
即当 时， 有且只有2个零点．
(五)三次函数与韦达定理的交汇
由于三次函数的导数是二次函数,而二次函数常与韦达定理交汇,故有时可以用定理交汇处理三次函数问题
a b
f (x)= x3 + x2 −a2x(a>0)
x ,x 3 2 |x |+|x |=2
【例5】设 1 2是函数 的两个极值点,且 1 2
(1)求a的取值范围；
4√3
|b|≤
9
(2)求证： .
f' (x)=ax2 +bx−a2
【解析】(1) , 的两个实根,又a＞0
b √b2
x x =−a<0,x +x =− |x |+|x |=|x −x |= +4a
1 2 1 2 a 1 2 1 2 a2
,
|x |+|x |=2
由 1 2 得
∵b2 ≥0∴0<a≤1
b2 =g(a)=4a2 −4a3, g' (a)=8a−12a2 =4a(2−3a)
(2)设 则上单调递增
4√3
∴b≤
9
,
三、典例展示
【例1】（2024届海南省琼中县高三上学期9月全真模拟）已知函数 ， ．
(1)当 时，求 在 上的值域；
(2)若 的极小值为 ，求m的值．
【解析】（1）当 时， ，则 ，
令 ，得 或 ，
当x变化时， ， 的变化情况如表所示：
x 0 1
＋ 0 － 0 ＋
单调递增 极大值0 单调递减 极小值 单调递增 0
所以 在 上的值域为 ．
（2）由 ，得 ，
令 ，得 或 ，
因为 ，
令 ，得 ；
令 ，得 或 ，所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
在 处取得极小值，
令 ，
解得 ，故m的值为6．
【例2】（2024届贵州省贵阳第一中学高三上学期适应性月考）已知函数 .
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)若过点 存在3条直线与曲线 相切，求 的取值范围；
(3)请问过点 ， ， ， ， 分别存在几条直线与曲线 相切？
（请直接写出结论，不需要证明）
【解析】（1）因为 ，所以 .
又 ，
根据导数的几何意义可知，函数 在 处的切线的斜率为 ，
所以，切线方程为 .
（2）设切点为 ，则 ，
切线方程为 ，
整理可得， .
又点 在切线上，则 .
要使过点 存在3条直线与曲线 相切，则该方程有 个解.
令 ，则 .解 ，可得 ，所以 在 上单调递增；
解 ，可得 或 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递减.
所以， 在 处取得极小值，在 处取得极大值.
又 ， ，由题意可知， .
（3）设切点为 ，则 ，
切线方程为 .
①当点 在切线上时，有 ，此时 ，即点 为切点.
由（1）知，切线为1条；
②当点 在切线上时，
由（2）知， 在 处取得极小值，且 ，
所以，此时 ，只有1个解，即只存在1条切线；
③当 在切线上时，
由（2）知， ，解得 或 .
所以此时存在2条切线；
④设切线过
此时有 .
令 ，则 .
解 ，可得 ，所以 在 上单调递增；
解 ，可得 或 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递减.所以， 在 处取得极小值，在 处取得极大值.
又 ， ，
所以，当 时，有3条切线.
所以，过点 的切线有3条.
又方程 ，可化为 ，
解得 或 ，
所以，过点 的切线有2条.
【例3】（2023届江苏省徐州市睢宁县高三下学期5月模拟）已知函数 ， ，且
在 上的极大值为1．
(1)求实数 的值；
(2)若 ， ， ，求 的值．
【解析】（1） ， ，
① 时， ，∴ ，无极值．
② 时， ，∴ ，
当 ，即 时， ，无极大值；
当 时， 时， ； 时， ，
∴ 在 处取极大值，即 ，∴ ，舍去．
③ 时， ，∴ ，
时， ； 时， ； 时， ．
∴ 在 处取极大值 ，∴ 符合题意．
综上， ．
（2）由（1）可知， ， ，
令 可得 ，令 可得 或 ，
如图所示．
① 当 时， ，
当 时， ，则 ，矛盾；
当 时， ，∴ ，矛盾．
② 当 时，符合题意．
③ 当 时， 时， ，∴ ，
则 ， ，∴ ，矛盾．
④ 当 时，符合题意．
⑤ 当 时， 时， ，∴ ，则 ， ，∴ ，矛盾．
⑥ 当 时，符合题意．
⑦ 当 时， ，则 ，∴ ，与 矛盾．
⑧ 当 时， ， ，∴ ，与 矛盾．
综上， ，或 ，或 ．
【例4】（2023届重庆市第十一中学校高三上学期11月质量检测）已知函数 ，
在 处取极大值，在 处取极小值.
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)在方程 的解中，较大的一个记为 ，在方程 的解中，较小的一个记为 ，证
明： 为定值.
【解析】（1）当 时， ，定义域为R， ，
当 时， 或 ；当 时， ；
即函数 的单调增区间为 ， ；单调减区间为 .
（2）由 ，
根据题意，得 的两根为 ，且 ，
即 ，得 ，
，
所以 ，因为 ，则 ，
可知 ，
因为 ，即 ，
即 ，
可知 ，同理，由 ，
可知 ；
得到 ，
所以 .
【例5】（2023届上海市嘉定区高三三模）已知函数 ，其导函数为 ，
(1)若函数 有三个零点 ，且 ，试比较 与 的大小.
(2)若 ，试判断 在区间 上是否存在极值点，并说明理由.
(3)在（1）的条件下，对任意的 ，总存在 使得 成立，求实数 的最大值.
【解析】（1）因为 ，故 一正一负，
，所以 ，所以 是方程 的两根，
由韦达定理得 ，
因为
所以 ，故 ， ， ，
因为 ， ，所以 ；
（2） ，开口向上，， ， ，
①当 时， ，
根据零点存在定理可知，存在 使得 ，
且 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减，
所以 在区间 上存在极大值点，
②当 时， ， ，
根据零点存在定理可知，存在 使得 ，且 时， ，
时， ，所以 在区间 上存在极小值点；
（3）对任意的 ，总存在 使得 成立，
设 ， 的最大值为 ，则 ，
即 ①， ②， ③，
由①+③ 得 ④，
由② 得 ⑤，
④+⑤得 ，即 ，
当且仅当 ，即 时取等，所以 的最大值为2.
【例6】设函数 ,其中 , 为常数．
(1)讨论 的单调性；
(2)若函数 有且仅有3个零点,求 的取值范围．
【解析】 (1) ．当 时, , 或 , , ,
当 时, , 或 , , ,
当 时, ,
综上,当 时, 在 , 上单调递增, 上单调递减；
当 时, 在 和 上单调递增, 上单调递减；
当 时, 在 上单调递增．
(2)由（1）可知, 有3个零点,
则 且 ,
∴ ,
∴ ．
四、跟踪检测
1.（2024届江苏省镇江市丹阳市高三上学期期初检测）已知函数 在 处
有极小值.
(1)求m的值；
(2)求函数 在 上的最大值.
2.（2023河南省新未来3月联考）已知函数 ．
(1)若 ，求函数 的极值；
(2)当 时，若对 ， 恒成立，求 的最小值．
3．（2023届安徽省卓越县中联盟高三上学期第一次联考）已知函数 ， ．(1)若 在 上的值域为 ，求 在 上的单调区间；
(2)若函数 ，则当 时，求 的零点个数．
4．（2023届湖南省湘潭市部分学校高三上学期期末联考）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)已知函数 ( 是自然对数的底数)，若 ，曲线 与曲线 都有唯一的
公共点，求实数m的取值范围．
5．（2023届北京市第五中学高三下学期3月检测）设函数 ，
(1)当 时，求函数 的单调增区间；
(2)若函数 在区间 上为减函数，求 的取值范围；
(3)若函数在区间 内存在两个极值点 ， ，且 ，求 的取值范围.
6．已知函数 （ ）有极值，且导函数 的极值点是 的零点．
(1)求 关于 的函数关系式，并写出定义域；
(2)求证： ；
(3)若 这两个函数的所有极值之和不小于 ，求 的取值范围．
7．已知 .
(1)当 时，求函数 的单调减区间；
(2)当 时，曲线 在相异的两点 点处的切线分别为 和 和 的交点位于直线 上，证
明： 两点的横坐标之和小于4.
8．（2024届江西省稳派上进教育高三上学期摸底考试）已知函数 ，， ， 分别为 ， 的导函数，且对任意的 ，存在 ，
使 ．
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明： ，有 ．
9.已知函数 , , ,
（1）若函数 在区间 上不单调,求 的取值范围；
（2）求 的最大值；
（3）若 对任意 恒成立,求 的取值范围．
10.已知函数 在 处的切线与 轴平行．
（1）求 的值和函数 的单调区间；
（2）若函数 的图象与抛物线 恰有三个不同交点,求 的取值范围．
a
f(x)=x(x−a) 2,g(x)= x2,x∈(−∞,0)且a<0.
2
11.已知函数
y=f(x)与y=g(x)
（1）（i）求函数 的图象的交点A的坐标；
（ii）设函数 的图象在交点A处的切线分别为 是否存在这样的实数a,
l ⊥l
使得 1 2？若存在,请求出a的值和相应的点A坐标；若不存在,请说明理由.
F(a)
y=f(x)在[−1,0) a
（2）记 上最小值为F（a）,求 的最小值.
12.已知函数 在 时有极小值.
(1)当 时,求 在 处的切线方程；(2)求 在 上的最小值.
13.已知函数 ,其中 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)设函数 在区间 上的最大值为 ,证明： ．
f xx3ax2a2x1
a0
14.已知函数 ,其中 .
y f x a, f a
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
f x0 ,t
t a
（2）若存在实数 ,使得不等式 的解集为 ,求 的取值范围.
f xx33axaaR
15.已知函数 ．
f x
(1)讨论函数 的单调性；
f x 0,3 ga ga
(2)若函数 在区间 上的最大值与最小值之差为 ,求 的最小值．
1 1 1
16.已知函数 f(x) x3 ax2(aR)在0,1上的最小值为 ．
3 2 6
（1）求a的值；
g(x) f(x)2xb(bR)
（2）讨论函数 的零点个数．
