文档内容
专题 14 三次函数
一、考情分析
函数与导数一直是高考中的热点与难点, 我们知道二次函数是重要的且具有广泛应用的基本初等函数,学生
对此已有较为全面、系统、深刻的认识,并在某些方面具备了把握规律的能力,由于三次函数的导数是二次
函数,使得我们可以利用二次函数研究三次函数的图象与性质,这使得三次函数成为高考数学的一个热点.
二、解题秘籍
(一) 三次函数的图象与性质
三次函数 的图象有六种,如图：
图(1) 图(2)
图(3)
图(4)图(5) 图(6)
2.对函数 进行求导： 是二次函数,原函数的极值点
与单调性与导函数的正负有关,所以容易发现导函数中的参数 与 的符号起决定性作用.当 为正时,原函
数的图象应为上图中的（1）、（3）、（5）三种情况；而当 为负时,原函数的图象则为（2）、（4）、
（6）三种情况.当 时,二次方程 有两相异实根 ,且在 的两边 的符号相反,故
函数 存在两个极值点,图象为上图中的（3）、（4）两种；当 时,二次方程 有两相等实
根,且在根的两边 的符号相同,这时函数 只存在驻点（但不是极值点）,函数的图象为上图中
（1）、（2）两种,当 时；方程 无实根, 的值恒为正（或负）,函数的图象为上图中的
（5）、（6）两种.
仔细观察图象,我们还不难发现三次函数是中心对称曲线,这一点可以得到进一步的验证:设
f (m−x)+f (m+x)=2n
,得
[a(m−x) 3 +b(m−x) 2 +c(m−x)+d]+[a(m+x) 3 +b(m+x) 2 +c(m+x)+d]=2n
整 理 得 ,
b
m=−
(6ma+2b)x2 +(2am3 +2bm2 +2mc+2d)=2n 3a
.据多项式恒等对应系数相等 ,可得 且
n=am3 +bm2 +mc+d
,从而三次函数是中心对称曲线,且由
n=f (m)
知其对称中心
(m,f(m))
仍然在曲b
m=−
3a f (x) f'' (x)=6ax+2b
线上.而 是否具有特殊的意义？对函数 进行两次求导, 再令等于 0,得
b
x=−
3a
,恰好是对称中心的横坐标,这可不是巧合,因为满足
f'' (m)=0
的m正是函数拐点的横坐标,这一
性质刚好与图象吻合.除此,三次函数的对称中心还有一个很少引起注意的性质---过三次曲线的对称中心且
与该三次曲线相切的直线有且仅有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点与该三次曲线相切的直线
有二条.由于三次曲线都是中心对称曲线,因此,将其对称中心移至坐标原点便可将三次函数的解析式简化为
f (x)=ax3 +bx
.
f (x)=ax3 +bx
若M（x,y ）是三次曲线 上的任一点,设过M的切线与曲线y=f（x）相切于（x,y ）,则切
1 1 0 0
y−y =f' (x )(x−x ) y −y =f' (x )(x −x )
线 方 程 为 0 0 0 , 因 点 M 上 此 切 线 上 , 故 1 0 0 1 0 , 又
y =ax +bx ,y =ax +bx ax +bx−(ax +bx )=(3ax +b)(x −x )
0 0 3 0 1 1 3 1 , 所 以 1 3 1 0 3 0 0 2 1 0 , 整 理 得 ：
x
(x −x ) 2 (2x +x )=0 x =x x 0 =− 2 1
0 1 0 1 ,解得, 0 1或 .
x =0
综上所述,当点M是对称中心即 1 时,过点M作曲线的切线切点是惟一的,且为M,故只有一条切线；当
x ≠0
点M不是对称中心即 1 时,过点M作曲线的切线可产生两个不同的切点,故必有两条切线,其中一条就是
以M为切点（亦即曲线在点M处）的切线.
由此可见,不仅切线与曲线的公共点可以多于一个,而且过曲线上点的切线也不一定惟一求以曲线上的点
(x,f(x))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x)；③写出切线方
0 0 0
程y－f(x)＝f′(x)(x－x),并化简．
0 0 0
【例1】（2023届黑龙江省哈尔滨市高三上学期12月月考）设函数
(1)若 ， ，求曲线 在点 处的切线方程；(2)若 ，不等式 对任意 恒成立，求整数k的最大值．
【解析】（1）当 ， 时， ，所以 ，即切点为
因为 ，所以 ，
所以切线方程为 ，即 ，
（2） ，由 ，所以 ，
所以函数 在R上单调递增
不等式 ，对 恒成立，
构造 ， ，
构造 ， ，对 有 ，
所以 在 递增， ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，即 ， 在 递减，
， ，即 ， 在 递增，
所以 ，结合 ，故 ，
所以 对 恒成立 ，故 ，
所以整数k的最大值为3；
(二)三次函数的零点
1.若三次函数 没有极值点,则 有1个零点；
2. 三次函数 有 2 个极值点 ,则 时 有 1 个零点； 时有2个零点； 时 有3个零点.
【例2】（2023届江西省赣抚吉十一校高三第一次联考）已知函数 ,其中 .
(1)若 的极小值为－16,求 ；
(2)讨论 的零点个数.
【解析】（1）由题得 ,其中 ,当 时, , 单调递
增, 无极值；当 时,令 ,解得 或 ；令 ,解得 ,所以
的单调递减区间为 ,单调递增区间为 , ,所以当 时, 取得极小值
,所以 ,解得 .
（2）由（1）知当 时, 的极小值为 , 的极大值为 ,
当 ,即 时, 有三个零点,如图①曲线 ；当,即 时, 有两个零点,如图②曲线；当 ,即 时, 有一个零点,
如图③曲线；当 时, ,易知 有一个零点. 综上,当 时, 有一个零点；
当 时, 有两个零点；当 时, 有三个零点.
(三)过平面上一点P作三次函数图象的切线的条数
此类问题一般是先设出切点Q ,写出曲线 在 处的切线方程,把点P坐标代入,整理出一个
关于t的三次方程,该方程实根个数就是切线条数.
【例3】（2024届江苏省南通市高三上学期期初质量监测）已知函数 的极小值
为 ，其导函数 的图象经过 ， 两点.
(1)求 的解析式；
(2)若曲线 恰有三条过点 的切线，求实数 的取值范围.
【解析】（1） ，
因为 ，且 的图象经过 ， 两点.
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
所以 在 处取得极小值，所以 ，
又因为 ， ，所以 ， ，解方程组 得 ， ， ，
所以 .
（2）设切点为 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以切线方程为 ，
将 代入上式，得 .
因为曲线 恰有三条过点 的切线，所以方程 有三个不同实数解.
记 ，则导函数 ，
令 ，得 或1.
列表：
0 1
+ 0 - 0 +
极
↗ 极大 ↘ ↗
小
所以 的极大值为 ， 的极小值为 ，
所以 ，解得 .故 的取值范围是 .
(四)含参数的三次函数的单调性的讨论
求含参数的三次函数在闭区间上的最值,一般根据函数极值点与闭区间的位置关系进行讨论.
【例4】（2024届内蒙古包头市高三上学期调研）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；(2)若 有2个零点，求 的值．
（注： ）
【解析】（1） ， ，
当 ，即 时， ，所以 在 上单调递增，
当 ，即 或 时，
令 ，解得 ， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
综上所述，当 时， 在 上单调递增，
当 或 时， 在 上单调递增，在 上单
调递减；
（2）当 时， ，此时函数无零点，
当 时， 等价于 ，
设 ， ，则 ，
当 时， ，故 单调递增，且 ，
当 时， ，故 单调递减，
当 时， ，故 单调递增，又 ，当 且 时， ，当 时， ，
如图作出函数 的大致图象，
由图可知，要使 ， 两个函数有两个交点，则 ，
即当 时， 有且只有2个零点．
(五)三次函数与韦达定理的交汇
由于三次函数的导数是二次函数,而二次函数常与韦达定理交汇,故有时可以用定理交汇处理三次函数问题
a b
f (x)= x3 + x2 −a2x(a>0)
x ,x 3 2 |x |+|x |=2
【例5】设 1 2是函数 的两个极值点,且 1 2
(1)求a的取值范围；
4√3
|b|≤
9
(2)求证： .
f' (x)=ax2 +bx−a2
【解析】(1) , 的两个实根,又a＞0
b √b2
x x =−a<0,x +x =− |x |+|x |=|x −x |= +4a
1 2 1 2 a 1 2 1 2 a2
,
|x |+|x |=2
由 1 2 得
∵b2 ≥0∴0
