文档内容
2021-2022学年江西省萍乡市莲花县八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列数中，是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
π
2．（3分）P（4，﹣3）关于x轴对称点的坐标是（ ）
A．（4，3） B．（﹣4，﹣3） C．（﹣4，3） D．（﹣3，4）
3．（3分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，6，8 B．1，2， C．12，15，20 D．32，42，52
4．（3分）如图，在数轴上表示实数 的点可能是（ ）
A．点M B．点N C．点E D．点F
5．（3分）已知点A（m+1，﹣2）和点B（3，m﹣1），若直线AB∥x轴，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣4 C．﹣1 D．3
6．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A． ＝±2 B． ＝﹣5 C．﹣ ＝ D． ＝﹣
7．（3分）等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）
A．4 B． C．2 D．3
8．（3分）一次函数y＝（k﹣1）x+3中，函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＞1 C．k≠1 D．k≤1
9．（3分）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ）
A．﹣ B．﹣1﹣ C．1﹣ D．﹣1+
10．（3分）在同一坐标系中，函数y＝kx与y＝x﹣k的图象大致是（ ）
第1页（共19页）A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分） 的平方根是 ．
12．（3分）若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
13．（3分）当k＝ 时，函数y＝（k﹣1）x+k2﹣1是一个正比例函数．
14．（3分）将直线y＝﹣2x+3向下平移3个单位可得直线 ．
15．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边向外作正方形，面积分别为S ，
1
S ，若S ＝2，S ＝5，则BC＝ ．
2 1 2
16．（3分）如图，长方体的棱AB长为3，棱BC长为4，棱BF长为2，P为CG中点，一只蚂蚁
从点A出发，在长方体表面沿如图所示的路径到点P处吃食物，那么它爬行的最短路程是
．
17．（3分）图中每个小格都是正方形，点A，B，C，D都落在格点上，则图中∠BCD的度数为
．
第2页（共19页）18．（3分）如图：直线l ：y＝x+3与直线l ：y＝﹣x+7，若直线l ⊥x轴且交直线l 于点A，交直
1 2 3 1
线l 于点B，交x轴于点C（m，0），AB＝6，则点m的值为 ．
2
三、（本大题共2个小题，共16分）
19．（12分）计算与解方程：
（1） + × ﹣ ；
（2） ﹣|1﹣ |；
（3）求满足方程中未知数的值：4（x﹣1）2＝1．
20．（4分）在平面直角坐标系中，有A（1，2）、B（3，1）、C（﹣2，﹣1）三点．请完成以下两个小
题．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A B C ；
1 1 1
（2）求△ABC的面积．
四、（本大题共2个小题，21，22每小题5分，共10分）
21．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8.5，BD＝4.5，AD＝5，求阴影部分的面积．
第3页（共19页）22．（5分）如果：①（f 1）＝ ；②（f 2）＝ ；③（f 3）＝ ＝ ……．
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，求f（n）＝ ；
（2）计算（2 +2）[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2021）]．
五、（本大题共2个小题，每小题6分，共12分）
23．（6分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣ x+ 与y轴交于点C，且点A（﹣1，
m），B（n，﹣2）．
求：
（1）m，n的值和点C的坐标．
（2）△AOB的面积．
24．（6分）2021年秋季开学，某校为做好新型冠状病毒感染的防治工作，计划为教职工购买
一批洗手液（每人2瓶）．学校派总务处李老师去商场购买，他在商场了解到，某个牌子的
洗手液单价为5元/瓶，且买得多时还有优惠活动：当购买量不超过100瓶时，按原价销售；
当购买量超过100瓶时，超过的部分打8折．若所需费用为y（元），购买洗手液的数量为x
（瓶）．
（1）请写出y与x之间的函数关系式（注明自变量x的取值范围）
（2）如果李老师此次购买洗手液花费了596元，则他学校的教职工有多少人．
六、（本大题共1小题，共8分）
第4页（共19页）25．（8分）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，b+ ）（其中k
为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k系好友点”；例如：P（3，2）的“3系好友点”
为P′（3+3×2，2+ ），即P′（9，3）．请完成下列各题．
（1）点P（﹣2，1）的“2系好友点”P′的坐标为 ；
（2）若点P在y轴的正半轴上，点P的“k系好友点”为P′点，若在△OPP′中，PP′＝
2OP，求k的值；
（3）已知点A（x，y）在第四象限，且满足xy＝﹣12；点A是点B（m，n）的“﹣3系好友点”，
求m﹣3n的值．
第5页（共19页）2021-2022学年江西省萍乡市莲花县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列数中，是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
π
【分析】直接利用无理数以及有理数的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A． 是无理数，故此选项不合题意；
B. ＝3 是无 π 理数，故此选项不合题意；
C. 是有理数，故此选项符合题意；
D. 是无理数，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数以及有理数的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（3分）P（4，﹣3）关于x轴对称点的坐标是（ ）
A．（4，3） B．（﹣4，﹣3） C．（﹣4，3） D．（﹣3，4）
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答．
【解答】解：P（4，﹣3）关于x轴对称点的坐标是（4，3）．
故选：A．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐
标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3．（3分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，6，8 B．1，2， C．12，15，20 D．32，42，52
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角
形．只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
【解答】解：A．∵42+62≠82，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
第6页（共19页）B．∵12+（ ）2＝22，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C．∵122+152≠202，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵32＝9，42＝16，52＝25，92+162≠252，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，
注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角
三角形．
4．（3分）如图，在数轴上表示实数 的点可能是（ ）
A．点M B．点N C．点E D．点F
【分析】估计 的范围，再根据几个点的位置判断即可．
【解答】解：∵ ＜ ＜ ．
∴2＜ ＜3．
数轴上在这个范围内的只有点E．
故选：C．
【点评】本题考查无理数的估计，正确估计 的范围是求解本题的关键．
5．（3分）已知点A（m+1，﹣2）和点B（3，m﹣1），若直线AB∥x轴，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣4 C．﹣1 D．3
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，列出方程求解即可．
【解答】解：∵点A（m+1，﹣2），B（3，m﹣1），直线AB∥x轴，
∴m﹣1＝﹣2，
解得m＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，熟记平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同是解题
的关键．
6．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A． ＝±2 B． ＝﹣5 C．﹣ ＝ D． ＝﹣
【分析】根据二次根式的性质以及立方根的性质即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝2，故A不符合题意．
B、原式＝5，故B不符合题意．
第7页（共19页）C、 ＝3≠﹣ ，故C不符合题意．
D、 ＝﹣ ，故D符合题．
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的性质以及立方根，本题属于基础题型．
7．（3分）等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）
A．4 B． C．2 D．3
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD＝CD，在直角三角形
ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可
解题．
【解答】解：∵等边三角形高线即中点，AB＝2，
∴BD＝CD＝1，
在Rt△ABD中，AB＝2，BD＝1，
∴AD＝ ，
∴S△ABC ＝ BC•AD＝ ×2× ＝ ，
故选：B．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”的性质是解题的
关键．
8．（3分）一次函数y＝（k﹣1）x+3中，函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＞1 C．k≠1 D．k≤1
【分析】利用一次函数图象与系数的关系列出关于m的不等式k﹣1＜0，然后解不等式即
可．
【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣1）x+3中，y随x的增大而减小，
∴k﹣1＜0，
解得k＜1；
故选：A．
【点评】本题主要考查一次函数图象与系数的关系．解答本题注意理解：k＞0时，直线必经
过一、三象限，y随x的增大而增大；k＜0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小．
9．（3分）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ）
第8页（共19页）A．﹣ B．﹣1﹣ C．1﹣ D．﹣1+
【分析】根据勾股定理求出BD的长度，根据弧的半径相等得到BA的长度，从而求出a．
【解答】解：∵BD＝ ＝ ，
∴BA＝ ，
∴a＝﹣1﹣ ，
故选：B．
【点评】本题考查了实数与数轴，勾股定理，根据勾股定理求出BD的长度是解题的关键．
10．（3分）在同一坐标系中，函数y＝kx与y＝x﹣k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别利用一次函数和正比例函数的图象性质，分析得出即可．
【解答】解：A、由y＝kx经过第二、四象限，则k＜0，y＝x﹣k与y轴交于负半轴，则﹣k＜0，
则k＞0，故此选项错误；
B、由y＝kx经过第二、四象限，则k＜0，y＝x﹣k与y轴交于正半轴，则﹣k＞0，则k＜0，故
此选项正确；
C、由y＝kx经过第一、三象限，则k＞0，y＝x﹣k与y轴交于正半轴，则﹣k＞0，则k＜0，故
此选项错误；
D、由y＝kx没经过原点，图象不合题意，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数与正比例函数图象的性质，正确得出k的符号是解题关
键．
第9页（共19页）二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分） 的平方根是 ± 2 ．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的
平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵ ＝4
∴ 的平方根是±2．
故答案为：±2
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平
方根是0；负数没有平方根．
12．（3分）若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x ≤ 3 ．
【分析】直接利用二次根式的定义得出3﹣x≥0，进而求出答案．
【解答】解：∵若 在实数范围内有意义，
∴3﹣x≥0，
解得：x≤3．
故答案为：x≤3．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出3﹣x的取值范围是解题关键．
13．（3分）当k＝ ﹣ 1 时，函数y＝（k﹣1）x+k2﹣1是一个正比例函数．
【分析】根据正比例函数的定义可得出k的值．
【解答】解：∵函数y＝（k﹣1）x+k2﹣1是正比例函数，
∴k﹣1≠0，k2﹣1＝0，
∴k＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了正比例函数的定义．解题的关键是能够正确理解正比例函数和一次函
数的概念．形如y＝kx（k≠0）为正比例函数；y＝kx+b（k≠0）为一次函数．
14．（3分）将直线y＝﹣2x+3向下平移3个单位可得直线 y ＝﹣ 2 x ．
【分析】直接根据“上加下减”的平移规律求解即可．
【解答】解：将直线y＝﹣2x+3向下平移3个单位，所得直线的解析式为y＝2x+3﹣3，即y
＝﹣2x．
故答案为：y＝﹣2x．
【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样
一个规律“左加右减，上加下减”．
第10页（共19页）15．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边向外作正方形，面积分别为S ，
1
S ，若S ＝2，S ＝5，则BC＝ ．
2 1 2
【分析】根据正方形的面积公式分别求出AC、AB，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：∵以AC、AB为边向外作正方形，S ＝2，S ＝5，
1 2
∴AC＝ ，AB＝ ，
在Rt△ACB中，BC＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为
c，那么a2+b2＝c2．
16．（3分）如图，长方体的棱AB长为3，棱BC长为4，棱BF长为2，P为CG中点，一只蚂蚁
从点A出发，在长方体表面沿如图所示的路径到点P处吃食物，那么它爬行的最短路程是
5 ．
【分析】画出图形，利用勾股定理求出AP的长即可．
【解答】解：如图1，AP＝ ＝ ＝5 ，
故它爬行的最短路程是5 ．
故答案为：5 ．
第11页（共19页）【点评】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，画出图形是解题
关键．
17．（3分）图中每个小格都是正方形，点A，B，C，D都落在格点上，则图中∠BCD的度数为
135° ．
【分析】连接AC，AD，利用勾股定理得出AB，BC，AC，AD，CD的长，进而利用勾股定理的
逆定理和角的关系解答即可．
【解答】解：连接AC，AD，
由勾股定理可得，AB＝AC＝CD＝ ，BC＝AD＝ ，
∴AB2+AC2＝BC2，AC2+CD2＝AD2，
∴△ABC和△ACD是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°，∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝135°，
故答案为：135°．
【点评】此题考查勾股定理，关键是利用勾股定理得出AB，BC，AC，AD，CD的长．
18．（3分）如图：直线l ：y＝x+3与直线l ：y＝﹣x+7，若直线l ⊥x轴且交直线l 于点A，交直
1 2 3 1
线l 于点B，交x轴于点C（m，0），AB＝6，则点m的值为 5 或﹣ 1 ．
2
【分析】由题意得点A（m，m+3），点B（m，﹣m+7），根据AB＝6可得关于m的方程，解方
程即可得点m的值．
【解答】解：由题意：点A（m，m+3），点B（m，﹣m+7），
第12页（共19页）∵AB＝6，
∴|m+3﹣（﹣m+7）|＝6，
解得m＝5或﹣1．
故答案为：5或﹣1．
【点评】此题主要考查了两直线的交点问题，以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的
关键是表示出点A，点B的坐标．
三、（本大题共2个小题，共16分）
19．（12分）计算与解方程：
（1） + × ﹣ ；
（2） ﹣|1﹣ |；
（3）求满足方程中未知数的值：4（x﹣1）2＝1．
【分析】（1）先计算乘法，然后化简二次根式，最后合并；
（2）根据二次根式的除法法则，绝对值的意义先化简，然后合并即可；
（3）利用直接开平方法即可求得x的值．
【解答】解：（1）原式＝2 + ﹣ ＝ ；
（2）原式＝ + ﹣（ ﹣1）
＝4+ ﹣ +1
＝5；
（3）4（x﹣1）2＝1，
（x﹣1）2＝ ，
∴x﹣1＝ ，
∴x ＝ ，x ＝ ．
1 2
【点评】此题考查二次根式的混合运算，直接开平方法解一元二次方程，此题难度不大，属
于基础题．
20．（4分）在平面直角坐标系中，有A（1，2）、B（3，1）、C（﹣2，﹣1）三点．请完成以下两个小
题．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A B C ；
1 1 1
第13页（共19页）（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征得到A 、B 、C 的坐标，然后描点即可；
1 1 1
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，△A B C 为所作；
1 1 1
（2）△ABC的面积＝3×5﹣ ×2×1﹣ ×3×3﹣ ×5×2＝4.5．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图
形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
四、（本大题共2个小题，21，22每小题5分，共10分）
21．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8.5，BD＝4.5，AD＝5，求阴影部分的面积．
【分析】设CD＝x，则BC＝x+4.5，由勾股定理得出8.52﹣（x+4.5）2＝52﹣x2，解方程求出x
第14页（共19页）＝3，则可得出AC＝4，由三角形面积公式可求出答案．
【解答】解：设CD＝x，则BC＝x+4.5，
∵∠C＝90°，
∴AC2＝AB2﹣BC2，
又∵AC2＝AD2﹣CD2，
∴AB2﹣BC2＝AD2﹣CD2，
∴8.52﹣（x+4.5）2＝52﹣x2，
解得，x＝3，
∴CD＝3，
∴AC＝ ＝ ＝4，
∴阴影部分的面积S＝ ×4.5×4＝9．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积，由勾股定理求出CD＝3是解题的关键．
22．（5分）如果：①（f 1）＝ ；②（f 2）＝ ；③（f 3）＝ ＝ ……．
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，求f（n）＝ ；
（2）计算（2 +2）[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2021）]．
【分析】（1）利用题中等式的特征求解；
（2）先利用新定义得到原式＝2（ +1）×（ + + +•••+
），然后把后面括号内合并，再利用平方差公式计算．
【解答】解：（1）f（n）＝ ；
故答案为 ；
（2）原式＝（2 +2）×（ + + +•••+ ）
＝2（ +1）×
＝（ +1）×（ ﹣1）
第15页（共19页）＝2022﹣1
＝2021．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法
则和除法法则是解决问题的关键．也考查了规律性问题的解决方法．
五、（本大题共2个小题，每小题6分，共12分）
23．（6分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣ x+ 与y轴交于点C，且点A（﹣1，
m），B（n，﹣2）．
求：
（1）m，n的值和点C的坐标．
（2）△AOB的面积．
【分析】（1）将x＝﹣1坐标代入直线AB：y＝﹣ x+ ，即可求出m的值，将y＝2代入直
线AB：y＝﹣ x+ 即可求出n的值，令x＝0，则y＝ ，即可得点C的坐标；
（2）根据S△AOB ＝S△AOC +S△COB 求得即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，m），B（n，﹣2）在直线AB：y＝﹣ x+ 上．
∴m＝﹣ ×（﹣1）+ ＝3，
﹣ n+ ＝﹣2，解得：n＝3，
令x＝0，则y＝ ，
∴点C的坐标为（0， ）；
第16页（共19页）（2）∵C的坐标为（0， ），
∴OC＝ ，
∴S△AOB ＝S△AOC +S△COB ＝ × ×1+ × ×3＝ ．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟记函数图象上点的坐
标一定适合函数解析式是解题的关键．
24．（6分）2021年秋季开学，某校为做好新型冠状病毒感染的防治工作，计划为教职工购买
一批洗手液（每人2瓶）．学校派总务处李老师去商场购买，他在商场了解到，某个牌子的
洗手液单价为5元/瓶，且买得多时还有优惠活动：当购买量不超过100瓶时，按原价销售；
当购买量超过100瓶时，超过的部分打8折．若所需费用为y（元），购买洗手液的数量为x
（瓶）．
（1）请写出y与x之间的函数关系式（注明自变量x的取值范围）
（2）如果李老师此次购买洗手液花费了596元，则他学校的教职工有多少人．
【分析】（1）分两种情况讨论，由费用＝单价×数量，即可求解；
（2）由“购买洗手液花费了596元”代入解析式，即可求解．
【解答】解：（1）当0≤x≤100时，y＝5x，
当x＞100时，y＝5×100+0.8×5×（x﹣100）＝4x+100，
综上所述：y＝ ；
（2）∵购买费用596＞5×100，
∴购买的数量超过100瓶，
由题意可得：4x+100＝596，
解得：x＝124，
∴职工人数＝ ＝62（人），
答：学校职工共有62人．
【点评】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键．
六、（本大题共1小题，共8分）
25．（8分）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，b+ ）（其中k
第17页（共19页）为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k系好友点”；例如：P（3，2）的“3系好友点”
为P′（3+3×2，2+ ），即P′（9，3）．请完成下列各题．
（1）点P（﹣2，1）的“2系好友点”P′的坐标为 （ 0 ， 0 ） ；
（2）若点P在y轴的正半轴上，点P的“k系好友点”为P′点，若在△OPP′中，PP′＝
2OP，求k的值；
（3）已知点A（x，y）在第四象限，且满足xy＝﹣12；点A是点B（m，n）的“﹣3系好友点”，
求m﹣3n的值．
【分析】（1）根据“k系好友点”的定义列式计算即可求解；
（2）设P（0，t）（t＞0），根据定义得到点P′（kt，t），则PP′＝|kt|＝2OP＝2t，即可求解；
（3）点A是点B（m，n）的“﹣3系好有点”，可得点A（m﹣3n，n﹣ ），由xy＝﹣12得到
（m﹣3n）2＝36，即可求解．
【解答】解：（1）∵﹣2+2×1＝0， ，
∴P′的坐标为（0，0）．
故答案为（0，0）．
（2）设P（0，t）其中t＞0，
∴P′（kt，t），
∴PP'∥x轴，
∴PP'＝|kt|，
又∵OP＝t，PP'＝2OP，
∴|kt|＝2t，
∴k＝±2．
（3）∵B（m，n）的﹣3系好有点A为（m﹣3n，n﹣ ）．
∴x＝m﹣3n， ，
又∵xy＝﹣12，
∴ ，
∴m﹣3n＝±6，
第18页（共19页）∵点A在第四象限，
∴x＞0，
即m﹣3n＝6．
【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握新定义并列出相关的方程和方程组是
解题的关键．
第19页（共19页）
