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2021-2022学年江西省九江市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项，请将这个正
确的选项填在下西表格中．）
1．（3分）一元二次方程x2﹣4＝0的根是（ ）
A．x＝2 B．x＝±2 C．x＝4 D．x＝±4
2．（3分）如图，几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ）
A．每2次必有1次正面向上 B．必有5次正面向上
C．可能有7次正面向上 D．不可能有10次正面向上
4．（3分）已知ab＝cd，则下列各式不成立的是（ ）
A． ＝ B． ＝
C． ＝ D． ＝
5．（3分）正方形、矩形、菱形都具有的特征是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角
6．（3分）已知反比例函数y＝ 经过平移后可以得到函数y＝ ﹣1，关于新函数y＝ ﹣1，
下列结论正确的是（ ）
A．当x＞0时，y随x的增大而增大
B．该函数的图象与y轴有交点
C．该函数图象与x轴的交点为（1，0）
D．当0＜x≤ 时，y的取值范围是0＜y≤1
二、填空题（本题滿分18分，共有6道小题，每小题3分）
第1页（共26页）7．（3分）班主任从甲、乙、丙、丁四位同学中选择一位同学参加学校的演讲比赛．甲同学被选
中的概率是 ．
8．（3分）反比例函数y＝ 的图象在二、四象限，则m应满足 ．
9．（3分）两个相似多边形的周长比是3：4，其中较小的多边形的面积为36cm2，则较大的多
边形的面积为 ．
10．（3分）在平行四边形ABCD中，对角线AC长为8cm，∠BAC＝30°，AB＝5cm，则它的面积
为 ．
11．（3分）某树主干长出x根枝干，每个枝干又长出x根小分支，若主干、枝干和小分支总数
共133根，则主干长出枝干的根数x为 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，O为AC的中点，点P是射线BO上
的一个动点，当△ACP为直角三角形时，则BP的长为 ．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）解方程：
（1）x2﹣2x+1＝0；
（2）2x2﹣7x+3＝0．
14．（6分）某校准备从八年级1班、2班的团员中选取两名同学作为运动会的志愿者，已知1
班有4名团员（其中男生2人，女生2人）．2班有3名团员（其中男生1人，女生2人）．
（1）如果从这两个班的全体团员中随机选取一名同学作为志愿者的组长，则这名同学是男
生的概率为 ；
（2）如果分别从1班、2班的团员中随机各选取一人，请用画树状图或列表的方法求这两
名同学恰好是一名男生、一名女生的概率．
15．（6分）作图题：如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2，
画出图形；
（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标．
第2页（共26页）16．（6分）某食品包装盒抽象出的几何体的三视图如图所示．（俯视图为等边三角形）
（1）写出这个几何体的名称；
（2）若矩形的长为10cm，等边三角形的边长为4cm，求这个几何体的表面积．
17．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0．
（1）请说明该方程实数根的个数情况；
（2）如果方程的两个实数根为x ，x ，且（x +1）•（x +1）＝8，求m的值．
1 2 1 2
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）晚上，小亮在广场乘凉，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立
在广场上的灯杆，点P表示照明灯
（1）请你在图中画出小亮在照明灯P照射下的影子BC（请保留作图痕迹，并把影子描成
粗线）；
（2）如果小亮的身高AB＝1.6m，测得小亮影长BC＝2m，小亮与灯杆的距离BO＝13m，请
求出灯杆的高PO．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，
第3页（共26页）4）．
（1）求过点B的反比例函数y＝ 的解析式；
（2）连接OB，AC交于点H，过点B作BD∥AC交x轴于点D，求直线BD的解析式．
20．（8分）某商品每天可售出300件，每件获利2元．为了尽快减少库存，店主决定降价销售．
根据经验可知，如果每件降价0.1元，平均每天可多售出20件，店主要想平均每天获利
500元，每件商品应降价多少元？
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C．点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE＝GF
＝GC．
（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；
（2）当∠FGC与∠EFB满足怎样的关系时，四边形AEFG是矩形．请说明理由．
22．（9分）在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2．
（1）求y关于x的函数关系式，并说明x的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；
（3）若直线y＝﹣x+m与上述函数图象交于点P（x ，y ）和点Q（x ，y ），则下面四个结论中，
1 1 2 2
正确的是 （直接填序号）．
①x y ＝x y ；
1 1 2 2
②x +y ＝x +y ；
1 1 2 2
③点P，Q关于原点成中心对称；
第4页（共26页）④点P，Q关于直线y＝x成轴对称．
六．（本大题共12分）
23．（12分）回归教材
（1）北师大七年级下册P44，如图1所示，点P是直线m外一点，PO⊥m，点O是垂足，点
A、B、C在直线m上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？
最短线段是 ，于是，小明这样总结：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，
．
小试牛刀
（2）如图2所示，Rt△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a．则点P为AB边上一动点，则CP的
最小值为 ．
尝试应用
（3）如图3所示，△ABC是边长为4的等边三角形，其中点P为高AD上的一个动点，连接
BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接PE、DE、CE．
①请直接写出DE的最小值．
②在①的条件下求△BPE的面积．
拓展提高
（4）如图4，Rt△BEF顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，连接AE．∠EBF＝
∠ACD．AB＝3，BC＝4，请求出AE的最小值．
第5页（共26页）第6页（共26页）2021-2022学年江西省九江市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项，请将这个正
确的选项填在下西表格中．）
1．（3分）一元二次方程x2﹣4＝0的根是（ ）
A．x＝2 B．x＝±2 C．x＝4 D．x＝±4
【分析】应用直接开平方法，求出一元二次方程x2﹣4＝0的根是多少即可．
【解答】解：∵x2﹣4＝0，
∴x2＝4，
∴x＝± ＝±2，
∴一元二次方程x2﹣4＝0的根是x＝±2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，要熟练掌握，
2．（3分）如图，几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看，几何体的俯视图是 ．
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的视图是俯视图．
3．（3分）掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ）
A．每2次必有1次正面向上 B．必有5次正面向上
C．可能有7次正面向上 D．不可能有10次正面向上
【分析】利用不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是 ，进而得出答案．
第7页（共26页）【解答】解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，
所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是 ，
所以掷一枚质地均匀的硬币10次，
可能有7次正面向上；
故选：C．
【点评】本题考查了可能性的大小，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率
＝所求情况数与总情况数之比．
4．（3分）已知ab＝cd，则下列各式不成立的是（ ）
A． ＝ B． ＝
C． ＝ D． ＝
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项进行变形即可得解．
【解答】解：A、∵ ＝ ，∴ab＝cd，不符合题意；
B、∵ ＝ ，∴ab＝cd，不符合题意；
C、∵ ＝ ，∴ab＝cd，不符合题意；
D、∵ ＝ ，∴cd+c+d＝ab+a+b，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了比例的性质，熟记并熟练应用两内项之积等于两外项之积的性质是解
题的关键．
5．（3分）正方形、矩形、菱形都具有的特征是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角
【分析】根据正方形的性质，菱形的性质及矩形的性质进行分析，从而得到答案．
【解答】解：A、三者均具有此性质，故正确；
B、菱形不具有此性质，故不正确；
C、矩形不具有此性质，故不正确；
D、矩形不具有此性质，故不正确；
第8页（共26页）故选：A．
【点评】主要考查正方形、矩形、菱形的性质．
6．（3分）已知反比例函数y＝ 经过平移后可以得到函数y＝ ﹣1，关于新函数y＝ ﹣1，
下列结论正确的是（ ）
A．当x＞0时，y随x的增大而增大
B．该函数的图象与y轴有交点
C．该函数图象与x轴的交点为（1，0）
D．当0＜x≤ 时，y的取值范围是0＜y≤1
【分析】由反比例函数的性质可知，反比例函数y＝ 当x＞0或x＜0时，y随x的增大而减
小，且关于（0，0）对称；经过平移后得到y＝ ﹣1，关于（0，﹣1）对称，增减性不变．
【解答】解：A．当x＞0时，y随x的增大而减小，本选项错误，不符合题意；
B．该函数的图象与y轴无限接近，但是没有交点，故本选项错误，不符合题意；
C．该函数图象与x轴的交点为（1，0），故本选项正确，符合题意；
D．当0＜x≤ 时，y的取值范围是y≥1，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数图象的平移；解题的关键是掌握反
比例函数图象与系数的关系．
二、填空题（本题滿分18分，共有6道小题，每小题3分）
7．（3分）班主任从甲、乙、丙、丁四位同学中选择一位同学参加学校的演讲比赛．甲同学被选
中的概率是 ．
【分析】根据概率公式求解即可．
【解答】解：班主任从甲、乙、丙、丁四位同学中选择一位同学参加学校的演讲比赛．甲同学
被选中的概率是：1÷4＝ ．
故答案为： ．
第9页（共26页）【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．（3分）反比例函数y＝ 的图象在二、四象限，则m应满足 m ＜ 3 ．
【分析】由反比例函数图象位于第二、四象限得到k＝m﹣3＜0，即可求出m的范围．
【解答】解：∵反比例函数y＝ 的图象在第二、四象限，
∴k＝m﹣3＜0，解得m＜3；
故答案为：m＜3．
【点评】此题考查了反比例函数的图象与性质，属于基础题．
9．（3分）两个相似多边形的周长比是3：4，其中较小的多边形的面积为36cm2，则较大的多
边形的面积为 6 4 cm 2 ．
【分析】根据相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方求出面积比，
计算即可．
【解答】解：∵两个相似多边形的周长比是3：4，
∴两个相似多边形的相似比是3：4，
∴两个相似多边形的面积比是9：16，
∵较小多边形的面积为36cm2，
∴较大多边形的面积为64cm2，
故答案为：64cm2．
【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面
积之比等于相似比的平方．
10．（3分）在平行四边形ABCD中，对角线AC长为8cm，∠BAC＝30°，AB＝5cm，则它的面积
为 2 0 cm 2 ．
【分析】根据S
ABCD
＝2S△ABC ，所以求S△ABC 可得解．作BE⊥AC于E，在直角三角形ABE
▱
中求BE从而计算S△ABC ．
【解答】解：如图，过B作BE⊥AC于E．
在直角三角形ABE中，
∠BAC＝30°，AB＝5cm，
∴BE＝AB•sin∠CAB＝5× ＝2.5（cm），
S△ABC ＝AC•BE÷2＝10（cm2），
∴S
ABCD
＝2S△ABC ＝20cm2．
▱
第10页（共26页）故答案为：20cm2．
【点评】本题综合考查了平行四边形的性质，解直角三角形的应用等．先求出对角线分成
的两个三角形中其中一个的面积，然后再求平行四边形的面积，这样问题就比较简单了．
11．（3分）某树主干长出x根枝干，每个枝干又长出x根小分支，若主干、枝干和小分支总数
共133根，则主干长出枝干的根数x为 1 1 ．
【分析】根据主干、枝干和小分支总数共133根，即可得出关于x的一元二次方程，解之取
其正值即可得出结论．
【解答】解：依题意得：1+x+x2＝133，
整理得：x2+x﹣132＝0，
解得：x ＝11，x ＝﹣12（不合题意，舍去）．
1 2
故答案为：11．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，O为AC的中点，点P是射线BO上
的一个动点，当△ACP为直角三角形时，则BP的长为 2 或 +1 或 ﹣ 1 或 0 ．
【分析】分∠ACP＝90°或∠APC＝90°或∠CAP＝90°三种情形，分别画出符合题意的图形，
从而解决问题．，
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，O为AC的中点，
∴AO＝1，BO＝ ＝ ，
①若∠ACP＝90°时，
第11页（共26页）∵∠OCP＝∠OAB＝90°，CO＝AO，∠COP＝∠AOB，
∴△OCP≌△OAB（ASA），
∴OP＝BO，
∴BP＝OP+BO＝2 ；
②若∠APC＝90°，且点P在BO延长线上时，
∵O为AC的中点，
∴OP＝ ，
∴BP＝OP+BO＝1+ ；
③若∠APC＝90°，且点P在线段BO上时，
∵O为AC的中点，
∴OP＝ ，
∴BP＝BO﹣OP＝ ﹣1，
若∠CAP＝90°，则点P与B重合，此时BP＝0，
综上所述，线段BP的长为：2 或 +1或 ﹣1或0．
第12页（共26页）故答案为：2 或 +1或 ﹣1或0．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，全等三
角形的判定与性质等知识，运用分类思想是解题的关键．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）解方程：
（1）x2﹣2x+1＝0；
（2）2x2﹣7x+3＝0．
【分析】（1）利用完全平方公式将方程的左边因式分解，继而得出关于x的一元一次方程，
再进一步求解即可．
（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进
一步求解即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x+1＝0，
∴（x﹣1）2＝0，
则x﹣1＝0，
∴x ＝x ＝1；
1 2
（2）∵2x2﹣7x+3＝0，
∴（x﹣3）（2x﹣1）＝0，
则x﹣3＝0或2x﹣1＝0，
解得x ＝3，x ＝ ．
1 2
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因
式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
14．（6分）某校准备从八年级1班、2班的团员中选取两名同学作为运动会的志愿者，已知1
班有4名团员（其中男生2人，女生2人）．2班有3名团员（其中男生1人，女生2人）．
（1）如果从这两个班的全体团员中随机选取一名同学作为志愿者的组长，则这名同学是男
生的概率为 ；
（2）如果分别从1班、2班的团员中随机各选取一人，请用画树状图或列表的方法求这两
名同学恰好是一名男生、一名女生的概率．
【分析】（1）一共有7名团员，其中男生有3人，可求出抽取一人为男生的概率；
（2）用列表法列举出从1班、2班各取一名团员所有可能出现的结果情况，进而求出相应
第13页（共26页）的概率即可．
【解答】解：（1）1班、2班共有4+3＝7名团员，其中男生有2+1＝3人，
因此从这两个班的全体团员中随机选取一名同学作为志愿者的组长，则这名同学是男生
的概率为 ，
故答案为： ；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有12种能可能出现的结果数，其中一男一女的有6种，
所以这两名同学恰好是一名男生、一名女生的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查列表法或树状图法求随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果情况
是解决问题的关键．
15．（6分）作图题：如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2，
画出图形；
（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标．
【分析】（1）延长BO到B′，使OB′＝2OB，则B′就是B的对应点，同样可以作出C的
对称点，则对应的三角形即可得到；
（2）根据（1）的作图即可得到B′、C′的坐标．
【解答】解：（1）△OB′C′是所求的三角形；
第14页（共26页）（2）B′的坐标是（﹣6，2），C′的坐标是（﹣4，﹣2）．
【点评】本题考查了画位似图形及画三角形的内心．画位似图形的一般步骤为：①确定位
似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代
表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
16．（6分）某食品包装盒抽象出的几何体的三视图如图所示．（俯视图为等边三角形）
（1）写出这个几何体的名称；
（2）若矩形的长为10cm，等边三角形的边长为4cm，求这个几何体的表面积．
【分析】（1）根据三视图的知识，主视图以及左视图都是长方形，俯视图为三角形，故可判
断出该几何体是三棱柱；
（2）侧面积为3个长方形，它的长和宽分别为10cm，4cm，计算出一个长方形的面积，乘3
即可．
【解答】解：（1）这个几何体是三棱柱；
（2）三棱柱的侧面展开图形是长方形，长方形的长是等边三角形的周长即
C＝4×3＝12cm，
根据题意可知主视图的长方形的长是三棱柱的高，所以三棱柱侧面展开图形的面积为：
S＝12×10＝120cm2．
这个几何体的表面积＝120+ （cm2），
答：这个几何体的表面积为（120+8 ）cm2．
第15页（共26页）【点评】本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的面积等相关知识，考查学生的空
间想象能力．注意：棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱．
17．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0．
（1）请说明该方程实数根的个数情况；
（2）如果方程的两个实数根为x ，x ，且（x +1）•（x +1）＝8，求m的值．
1 2 1 2
【分析】（1）根据根的判别式先求出Δ的值，再即可得到结论；
（2）根据根与系数的关系得出x +x ＝2m﹣2，x •x ＝m2﹣2m，代入计算即可求出答案．
1 2 1 2
【解答】解：（1）由题意可知：Δ＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x +x ＝2m﹣2，x x ＝m2﹣2m，（x +1）•（x +1）＝8，
1 2 1 2 1 2
∴（x +1）•（x +1）＝x x +（x +x ）+1＝8，
1 2 1 2 1 2
∴2m﹣2+m2﹣2m+1＝8，
∴m2＝9，
∴m＝3或m＝﹣3．
故m的值为﹣3或3．
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次
方程的解法，本题属于中等题型．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）晚上，小亮在广场乘凉，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立
在广场上的灯杆，点P表示照明灯
（1）请你在图中画出小亮在照明灯P照射下的影子BC（请保留作图痕迹，并把影子描成
粗线）；
（2）如果小亮的身高AB＝1.6m，测得小亮影长BC＝2m，小亮与灯杆的距离BO＝13m，请
求出灯杆的高PO．
【分析】（1）直接根据题意得出影子BC的位置；
第16页（共26页）（2）根据题意得出△POC∽△ABC，进而利用相似三角形的性质得出PO的长．
【解答】解：（1）如图所示：BC即为所求；
（2）由题意可得：PO⊥OC，AB⊥OC，
∴∠POC＝∠ABC＝90°，且∠OCP＝∠BCA，
∴△POC∽△ABC，
∴ ＝ ，
又∵AB＝1.6，BC＝2，OB＝13，
∴ ＝ ，
解得：PO＝12，
答：灯杆的高PO为12m．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出△POC∽△ABC是解题关键．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，
4）．
（1）求过点B的反比例函数y＝ 的解析式；
（2）连接OB，AC交于点H，过点B作BD∥AC交x轴于点D，求直线BD的解析式．
【分析】（1）由A的坐标求出菱形的边长，利用菱形的性质确定出B的坐标，利用待定系
数法求出反比例函数解析式即可；
第17页（共26页）（2）证明△OBF∽△BDF，利用相似三角形的性质得出点D的坐标，利用待定系数法求出
直线BD解析式即可．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，垂足分别为E，F，如图，
∵A（3，4），
∴OE＝3，AE＝4，
∴OA＝ ＝5，
∵四边形OABC是菱形，
∴AO＝AB＝OC＝5，AB∥x轴，
∴EF＝AB＝5，
∴OF＝OE+EF＝3+5＝8，
∴B（8，4），
∵过B点的反比例函数解析式为y＝ ，
把B点坐标代入得k＝32，
∴反比例函数解析式为y＝ ；
（2）∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，
∵BD∥AC，
∴OB⊥BD，
∴∠OBD＝90°，
∴∠OBF+∠DBF＝90°，
∵∠DBF+∠BDF＝90°，
∴∠OBF＝∠BDF，
又∵∠OFB＝∠BFD＝90°，
∴△OBF∽△BDF，
∴ ，
∴ ＝ ，
解得DF＝2，
第18页（共26页）∴OD＝OF+DF＝8+2＝10，
∴D（10，0）．
设BD所在直线解析式为y＝k x+b，
1
把B（8，4），D（10，0）分别代入得： ，
解得 ．
∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+20．
【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，菱形的性质，相
似三角形的判定与性质，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交
点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
20．（8分）某商品每天可售出300件，每件获利2元．为了尽快减少库存，店主决定降价销售．
根据经验可知，如果每件降价0.1元，平均每天可多售出20件，店主要想平均每天获利
500元，每件商品应降价多少元？
【分析】设每件商品应降价x元，那么就多卖出20x件，根据每天可售出300件，每件获利2
元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，要想平均每天在
销售这种商品上获利500元，可列方程求解．
【解答】解：设每件童装应降价x元，
由题意得：（2﹣x）（300+200x）＝500，
解得：x＝1或x＝﹣ ．
因为减少库存，
所以应该降价1元．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，关键找到降价和卖的件数的关系，根据利润列方
第19页（共26页）程求解．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C．点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE＝GF
＝GC．
（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；
（2）当∠FGC与∠EFB满足怎样的关系时，四边形AEFG是矩形．请说明理由．
【分析】（1）要证明该四边形是平行四边形，只需证明AE∥FG．根据对边对等角∠GFC＝
∠C，和等腰梯形的性质得到∠B＝∠C，则∠B＝∠GFC，得到AE∥FG．
（2）在平行四边形的基础上要证明是矩形，只需证明有一个角是直角．根据三角形FGC的
内角和是180°，结合∠FGC＝2∠EFB和∠GFC＝∠C，得到∠BFE+GFC＝90°．则∠EFG
＝90°，于是得到结论．
【解答】（1）证明：在四边形ABCD中，∠B＝∠C，
∵GF＝GC，
∴∠C＝∠GFC，∠B＝∠GFC，
∴AB∥GF，
即AE∥GF，
∵AE＝GF，
∴四边形AEFG是平行四边形．
（2）解：当∠FGC＝2∠EFB时，四边形AEFG是矩形，
理由：∵∠FGC+∠GFC+∠C＝180o，∠GFC＝∠C，∠FGC＝2∠EFB，
∴2∠GFC+2∠EFB＝180°，
∴∠BFE+∠GFC＝90°．
∴∠EFG＝90°．
∵四边形AEFG是平行四边形，
∴四边形AEFG是矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质和判定，熟练掌握矩形的性质是解题
第20页（共26页）的关键．
22．（9分）在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2．
（1）求y关于x的函数关系式，并说明x的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；
（3）若直线y＝﹣x+m与上述函数图象交于点P（x ，y ）和点Q（x ，y ），则下面四个结论中，
1 1 2 2
正确的是 ①②④ （直接填序号）．
①x y ＝x y ；
1 1 2 2
②x +y ＝x +y ；
1 1 2 2
③点P，Q关于原点成中心对称；
④点P，Q关于直线y＝x成轴对称．
【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据题意在平面直角坐标系中画出该函数图象即可；
（3）结合一次函数和反比例函数的性质进行判断即可．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2，
∴ xy＝2，
∴xy＝4，
∴y关于x的函数关系式是y＝ ，x的取值范围为x＞0；
第21页（共26页）（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示；
（3）①∵点P（x ，y ）和点Q（x ，y ）在y＝ （x＞0）的图象上，
1 1 2 2
∴y ＝ ，y ＝ ，
1 2
∴x y ＝4，x y ＝4，
1 1 2 2
∴x y ＝x y ，故结论①正确；
1 1 2 2
②根据直线y＝﹣x+m与反比例函数y＝ （x＞0）的对称性可知：点P（x ，y ）和点Q（x ，
1 1 2
y ）关于直线y＝x对称，
2
∴x ＝y ，x ＝y ，
1 2 2 1
∴x +y ＝x +y ，故结论②正确；
1 1 2 2
③∵点P（x ，y ）和点Q（x ，y ）均在第一象限，
1 1 2 2
∴点P，Q不能关于原点成中心对称，故结论③不正确；
④由②可知，结论④正确；
综上，正确的结论有①②④，
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的性质，一次函数与几何变换，正确的理
解题意是解题的关键．
六．（本大题共12分）
23．（12分）回归教材
（1）北师大七年级下册P44，如图1所示，点P是直线m外一点，PO⊥m，点O是垂足，点
A、B、C在直线m上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？
最短线段是 OP ， ，于是，小明这样总结：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，
第22页（共26页）垂线段最短 ．
小试牛刀
（2）如图2所示，Rt△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a．则点P为AB边上一动点，则CP的
最小值为 ．
尝试应用
（3）如图3所示，△ABC是边长为4的等边三角形，其中点P为高AD上的一个动点，连接
BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接PE、DE、CE．
①请直接写出DE的最小值．
②在①的条件下求△BPE的面积．
拓展提高
（4）如图4，Rt△BEF顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，连接AE．∠EBF＝
∠ACD．AB＝3，BC＝4，请求出AE的最小值．
【分析】（1）根据垂线段最短解决问题即可；
（2）如图2中，当PC⊥AB时，CP的值最小，利用面积法求解即可；
（3）①证明△ABP≌△CBE（SAS），推出∠BAP＝∠BCE＝30°，推出点E的运动轨迹是射
第23页（共26页）线CE（∠BCE＝30°），推出当DE⊥CE时，DE的值最小，此时DE＝ CE＝1，可得DE的
最小值为1；
②利用勾股定理求出PB的长，可得结论；
（4）如图4中，过点B作BH⊥AC于点H，连接EH．由∠BEF＝∠BHF＝90°，推出E，B，
F，H四点共圆，证明∠AHE＝∠ACD＝定值，推出点E在射线HE上运动，当AE⊥EH时，
AE的值最小，求出AH，sin∠AHE，可得结论．
【解答】解：（1）由题意，观察图象可知，PC＞PA＞PB＞OP．
∵OP⊥m，
∴垂线段是OP，
结论：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
故答案为：OP，垂线段最短；
（2）如图2中，当PC⊥AB时，CP的值最小，
∵∠ACB＝90°，
∴ •AC•BC＝ •AB•CP，
∴CP＝ ，
故答案为： ；
（3）①如图3中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝4，∠BAC＝∠ABC＝60°，
第24页（共26页）∵AD⊥CB，
∴BD＝CD＝2，∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝30°，
∵∠PBE＝∠ABC＝60°，
∴∠ABP＝∠CPE，
∵BA＝BC，BP＝BE，
∴△ABP≌△CBE（SAS），
∴∠BAP＝∠BCE＝30°，
∴点E的运动轨迹是射线CE（∠BCE＝30°），
∴当DE⊥CE时，DE的值最小，此时DE＝ CE＝1，
∴DE的最小值为1；
②∵DE⊥EC，CD＝2，∠DCE＝30°，
∴EC＝CD•cos30°＝ ，
∵△ABP≌△CBE，
∴AP＝EC＝ ，
∵AD＝2 ，
∴DP＝AD﹣AP＝2 ﹣ ＝ ，
∴PB＝ ＝ ＝ ，
∴S△PBE ＝ ×（ ）2＝ ；
（4）如图4中，过点B作BH⊥AC于点H，连接EH．
∵∠BEF＝∠BHF＝90°，
∴E，B，F，H四点共圆，
第25页（共26页）∴∠EHB＝∠EFB，
∵∠AHE+∠EHB＝90°，∠EBF+∠EFB＝90°，
∴∠AHF＝∠EBF，
∵∠EBF＝∠ACD，
∴∠AHE＝∠ACD＝定值，
∴点E在射线HE上运动，当AE⊥EH时，AE的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，∠D＝90°，
∴AC＝ ＝ ＝5，
∴sin∠AHE＝sin∠ACD＝ ＝ ，
∵S△ACB ＝ •AB•CB＝ •AC•BH，
∴BH＝ ，
∴AH＝ ＝ ＝ ，
∴AE的最小值＝AH•sin∠AHE＝ × ＝ ．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判
定和性质，解直角三角形，轨迹等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学
会利用垂线段最短解决最值问题．
第26页（共26页）
