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2021-2022学年江西省萍乡市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．）
1．（3分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．x3+x＝3 B．（x﹣1）2＝x2﹣x
C．x2＝0 D．ax2+bx+c＝0
2．（3分）若3a＝5b，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）若反比例函数y＝ 的图象经过点P（﹣2，2），则该函数图象不经过的点是（ ）
A．（1，4） B．（2，﹣2） C．（4，﹣1） D．（1，﹣4）
4．（3分）如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆柱体组成的，则它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．
各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概
率是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行
线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（ ）
A．22 B．24 C．48 D．44
7．（3分）某县2019年投入教育经费2500万元，2021年投入教育经费3600万元．已知2019
第1页（共31页）至2021年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2020年该县投入的教育经费为（
）
A．2700万元 B．2800万元 C．2900万元 D．3000万元
8．（3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，
那么线段EF的长为（ ）
A．2 B． C． D．
9．（3分）如图，反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为
C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接AO，连接BO交AC于点E，若OC＝CD，四边形
BDCE的面积为2，则k的值为（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
10．（3分）如图，点A，B，C在同一直线上，且AB＝ AC，点D，E分别是AB，BC的中点．分
别以AB，DE，BC为边，在AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面
积分别记作S ，S ，S ，若S ＝ ，则S +S 等于（ ）
1 2 3 1 2 3
第2页（共31页）A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请把答案填在答题卡上）
11．（3分）一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根为x ，x ，则x +x ﹣x x ＝ ．
1 2 1 2 1 2
12．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长是 ．
13．（3分）在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次
从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频
率稳定在0.7附近，则袋子中红球约有 个．
14．（3分）如图，线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2），B（4，2）．以原点O为位似中心，将
线段AB缩小后得到线段DE，若DE＝1，则端点D的坐标为 ．
15．（3分）若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人感染了流感．按照这样的传染速度，
若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有 人．
16．（3分）如图是步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上的准星
宽度AB为0.2cm，目标的正面宽度CD为50cm，则眼睛到目标的距离OF为 m．
17．（3分）如图，双曲线y＝ （x＞0）经过矩形OABC的顶点B，双曲线y＝ （x＞0）交AB，
BC于点E、F，且与矩形的对角线OB交于点D，连接EF．若OD：OB＝2：3，则△BEF的面
积为 ．
第3页（共31页）18．（3分）如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE＝CF＝ AC，连接DE，DF
并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则 的值为 ．
三、（本大题共3个题，第19题8分，第20、21题各6分，共20分）
19．（4分）解下列方程：2x（x﹣1）＝x﹣1．
20．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F别为AB，BC，CA的中点，CD＝2cm，求
EF的长．
21．（6分）如图，△ABC在方格纸中．
（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A（3，4），C（7，3），并求出点B的坐标；
（2）以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的位似
图形△A′B′C′；
（3）计算△A′B′C′的面积S．
第4页（共31页）22．（6分）在同一时刻两根直立木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影
子BC＝1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在墙上为MN＝0.8m，有一部分落在地上为PM
＝1.2m，求木竿PQ的长度．
四、（本题共3个小题，每小题8分，共24分）
23．（8分）在课间活动时，甲，乙两同学做了一个数字游戏：有三张正面写有数字﹣1，0，1的
卡片，它们背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后，甲随机抽取一张，将其正面的
数字作为m的值．然后将卡片背面朝上放回并洗匀，乙再从这三张卡片中随机抽取一张，
将其正面的数字作为n的值，两次结果记为（m，n）．
（1）请你帮这两位同学用树状图或列表法表示（m，n）所有可能的结果；
（2）求满足关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0没有实数根的概率．
24．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接
AF，DE，DF．
（1）求证：四边形AEFD为矩形；
（2）若AB＝3，DE＝4，BF＝5，求DF的长．
25．（8分）如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28m），围成一个矩形花园ABCD，与墙平行
的一边BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙），现有砌60m长的墙的材
第5页（共31页）料．
（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300m2；
（2）能否围成面积为480m2的矩形花园，为什么？
五、（本大题共1小题，共10分）
26．（10分）如图，已知反比例函数y＝ （k＞0）的图象和一次函数y＝﹣x+b的图象都过点P
（1，m），过点P作y轴的垂线，垂足为A，O为坐标原点，△OAP的面积为1．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为M，过M作x轴的垂线，垂足为B，
求五边形OAPMB的面积．
六、（本大题共1小题，共12分）
27．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，
连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F．
（1）[探究发现]：如图①，若m＝n，点E在线段AC上，猜想DE与DF的数量关系，并说明
理由；
（2）[数学思考]：①如图②，若点E在线段AC上，求证： ；
②当点E在直线AC上运动时，数学思考①中的结论是否仍然成立？请仅就图③的情形
给出证明；
（3）[拓展应用]：若AC＝ ，BC＝2 ，DF＝4 ，求CE的长．（可结合题意，另行画
图）
第6页（共31页）第7页（共31页）2021-2022学年江西省萍乡市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．）
1．（3分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．x3+x＝3 B．（x﹣1）2＝x2﹣x
C．x2＝0 D．ax2+bx+c＝0
【分析】根据一元二次方程的定义判断．
【解答】解：A、x3+x＝3，是一元三次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、（x﹣1）2＝x2﹣x整理后是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、x2＝0，是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故此选项不符合题意意；
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓
住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数
不等于0”；“整式方程”．
2．（3分）若3a＝5b，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、由 ＝ 得5a＝3b，故本选项不符合题意；
B、由 ＝ 得3a＝5b，故本选项符合题意；
C、由 ＝ 得，5a＝3b，故本选项不符合题意；
D、由 ＝ 得，5（a+1）＝4b，整理得，5a+5＝4b，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质并准
确计算是解题的关键．
第8页（共31页）3．（3分）若反比例函数y＝ 的图象经过点P（﹣2，2），则该函数图象不经过的点是（ ）
A．（1，4） B．（2，﹣2） C．（4，﹣1） D．（1，﹣4）
【分析】先将点P的坐标代入函数解析式求得k的值，然后利用k＝xy得到结果．
【解答】解：将点P（﹣2，2）代入反比例函数解析式得，k＝﹣2×2＝﹣4，
A、由1×4＝4≠﹣4得，函数图象不经过点（1，4），故选项A符合题意；
B、由2×（﹣2）＝﹣4得，函数图象经过点（2，﹣2），故选项B不符合题意；
C、由4×（﹣1）＝﹣4得，函数图象经过点（4，﹣1），故选项C不符合题意；
D、由1×（﹣4）＝﹣4得，函数图象经过点（1，﹣4），故选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是用待定系数法求得反
比例系数k的取值．
4．（3分）如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆柱体组成的，则它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看下边是一个较大的矩形，上边是一个较小的矩形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
5．（3分）某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．
各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概
率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多
少即可．
【解答】解：将三个小区分别记为A、B、C，
第9页（共31页）列表如下：
A B C
A （A，A） （B，A） （C，A）
B （A，B） （B，B） （C，B）
C （A，C） （B，C） （C，C）
由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，
所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为 ＝ ，
故选：C．
【点评】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，
适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是
放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．（3分）在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行
线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（ ）
A．22 B．24 C．48 D．44
【分析】先判断出四边形ACED是平行四边形，从而得出DE的长度，根据菱形的性质求出
BD的长度，利用勾股定理的逆定理可得出△BDE是直角三角形，计算出面积即可．
【解答】解：∵AD∥BE，AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝DE＝6，
在RT△BCO中，BO＝ ＝ ＝4，即可得BD＝8，
又∵BE＝BC+CE＝BC+AD＝10，
∴△BDE是直角三角形，
∴S△BDE ＝ DE•BD＝24．
故选：B．
第10页（共31页）【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理的逆定理及三角形的面积，属于基础题，求出
BD的长度，判断△BDE是直角三角形，是解答本题的关键．
7．（3分）某县2019年投入教育经费2500万元，2021年投入教育经费3600万元．已知2019
至2021年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2020年该县投入的教育经费为（
）
A．2700万元 B．2800万元 C．2900万元 D．3000万元
【分析】根据题意可知：2019年投入的教育经费×（1+增长率）2＝2021年的投入的教育经
费，然后即可列出相应的方程，再求解即可得到增长率，然后再计算2020年投入的教育经
费即可．
【解答】解：设教育经费每年增加的百分率为x，
由题意可得：2500（1+x）2＝3600，
解得x ＝0.2，x ＝﹣2.2（不合题意，舍去），
1 2
即教育经费每年增加的百分率为20%，
∴2020年该县投入的教育经费为2500（1+20%）＝3000（万元），
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出
相应的方程，这是一道典型的增长率问题．
8．（3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，
那么线段EF的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】首先利用勾股定理计算出 AC 的长，进而得到 CO 的长，然后证明
△DAC∽△OFC，根据相似三角形的性质可得 ，然后代入具体数值可得FO的长，
进而得到答案．
【解答】解：∵将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，
∴AC⊥EF，AO＝CO，
第11页（共31页）在矩形ABCD，∠D＝90°，
∴△ACD是Rt△，由勾股定理得AC＝ ＝2 ，
∴CO＝ ，
∵∠EOC＝∠D＝90°，∠ECO＝∠DCA，
∴△DAC∽△OFC，
∴ ，
∴ ，
∴FO＝ ，
∴EF＝2× ＝ ．
故选：B．
【点评】此题主要考查了图形的翻折变换和相似三角形的判定与性质，关键是掌握折叠是
一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对
应角相等．
9．（3分）如图，反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为
C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接AO，连接BO交AC于点E，若OC＝CD，四边形
BDCE的面积为2，则k的值为（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
【分析】先设点B坐标为（a，b），根据平行线分线段成比例定理，求得梯形BDCE的上下底
边长与高，再根据四边形BDCE的面积求得ab的值，最后计算k的值．
【解答】解：设点B坐标为（a，b），则DO＝﹣a，BD＝b
第12页（共31页）∵AC⊥x轴，BD⊥x轴
∴BD∥AC
∵OC＝CD
∴CE＝ BD＝ b，CD＝ DO＝ a
∵四边形BDCE的面积为2
∴ （BD+CE）×CD＝2，即 （b+ b）×（﹣ a）＝2
∴ab＝﹣
将B（a，b）代入反比例函数y＝ （k≠0），得
k＝ab＝﹣
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，解决问题的关键是运用数形结合
的思想方法进行求解．本题也可以根据△OCE与△ODB相似比为1：2求得△BOD的面
积，进而得到k的值．
10．（3分）如图，点A，B，C在同一直线上，且AB＝ AC，点D，E分别是AB，BC的中点．分
别以AB，DE，BC为边，在AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面
积分别记作S ，S ，S ，若S ＝ ，则S +S 等于（ ）
1 2 3 1 2 3
第13页（共31页）A． B． C． D．
【分析】设BE＝x，根据正方形的性质、平行四边形的面积公式分别表示出S ，S ，S ，根据
1 2 3
题意计算即可．
【解答】解：∵点D，E分别是AB，BC的中点，AB＝2BC，
∴设BE＝x，则EC＝x，AD＝BD＝2x，
∵四边形ABGF是正方形，
∴∠ABF＝45°，
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴BD＝DH＝2x，
∴S ＝DH•AD＝ ，即2x•2x＝ ，
1
∴x2＝ ，
∵BD＝2x，BE＝x，
∴S ＝MH•BD＝（3x﹣2x）•2x＝2x2，
2
S ＝EN•BE＝x•x＝x2，
3
∴S +S ＝2x2+x2＝3x2＝ ，
2 3
故选：B．
【点评】本题考查的是正方形的性质、平行四边形的性质，掌握正方形的四条边相等、四个
角都是90°是解题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请把答案填在答题卡上）
第14页（共31页）11．（3分）一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根为x ，x ，则x +x ﹣x x ＝ 1 ．
1 2 1 2 1 2
【分析】利用根与系数的关系得到x +x ＝3，x x ＝2，然后利用整体代入的方法计算．
1 2 1 2
【解答】解：根据题意得：x +x ＝3，x x ＝2，
1 2 1 2
所以x +x ﹣x x ＝3﹣2＝1．
1 2 1 2
故答案为：1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根
1 2
时，x +x ＝﹣ ，x x ＝ ．
1 2 1 2
12．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长是 ．
【分析】由AB∥CD∥EF，可知 ，从而可求得BC＝ ，最后根据CE＝BE﹣BC求
解即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ ，即 ．
∴BC＝ ．
CE＝BE﹣BC＝12﹣ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理的应用，根据定理列出比例式求得BC
的长度是解题的关键．
13．（3分）在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次
从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频
率稳定在0.7附近，则袋子中红球约有 7 个．
第15页（共31页）【分析】根据口袋中有3个白球和若干个红球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比
例应该相等求出即可．
【解答】解：设袋中红球有x个，
根据题意，得： ＝0.7，
解得：x＝7，
经检验：x＝7是分式方程的解，
所以袋中红球有7个，
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占
比例得出与试验比例应该相等是解决问题的关键．
14．（3分）如图，线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2），B（4，2）．以原点O为位似中心，将
线段AB缩小后得到线段DE，若DE＝1，则端点D的坐标为 （ 1 ， 1 ） ．
【分析】根据题意求出 ＝ ，进而求出线段AB与线段DE的相似比，根据位似变换的性
质计算即可．
【解答】解：∵A（2，2），B（4，2），
∴AB＝2，
∵DE＝1，
∴ ＝ ，
∵以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到线段DE，
∴线段AB与线段DE的相似比为2：1，
∵点A的坐标为（2，2），
∴点D的坐标为（1，1），
故答案为：（1，1）．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，根据题意求出线段AB与线段DE的相似比
是解题的关键．
第16页（共31页）15．（3分）若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人感染了流感．按照这样的传染速度，
若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有 2 2 人．
【分析】设每轮传染中1人传染给x人，则第一轮传染后共（1+x）人患流感，第二轮传染后
共[1+x+x（x+1）]人患流感，根据经过两轮传染后共有121人感染了流感，即可得出关于x
的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中1人传染给x人，则第一轮传染后共（1+x）人患流感，第二轮传
染后共[1+x+x（x+1）]人患流感，
根据题意得：1+x+x（x+1）＝121，
解得：x ＝10，x ＝﹣12（舍去），
1 2
∴2（1+x）＝22．
故答案为：22．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
16．（3分）如图是步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上的准星
宽度AB为0.2cm，目标的正面宽度CD为50cm，则眼睛到目标的距离OF为 20 0 m．
【分析】设眼睛到目标的距离为xm，由于OE＝80cm＝0.8m，AB＝0.2cm＝0.002m，CD＝
50cm＝0.5m，由于AB∥CD，所以利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：设眼睛到目标的距离为xm，
∵OE＝80cm＝0.8m，AB＝0.2Cm＝0.002m，CD＝50cm＝0.5m，
∴BE＝ AB＝0.001m，DF＝0.25m，
∵AB∥CD，
∴△OBE∽△ODF，
∴ ，
即 ＝ ，
解得x＝200．
答：眼睛到目标的距离OF为200m，
第17页（共31页）故答案为：200．
【点评】本题考查的是相似三角形在实际生活中的运用，在解答此题时要注意单位的换算，
这是此题的易错点．
17．（3分）如图，双曲线y＝ （x＞0）经过矩形OABC的顶点B，双曲线y＝ （x＞0）交AB，
BC于点E、F，且与矩形的对角线OB交于点D，连接EF．若OD：OB＝2：3，则△BEF的面
积为 ．
【分析】设D（2m，2n），根据题意A（3m，0），C（0，3n），B（3m，3n），即可得出9＝3m•3n，k
＝2m•2n＝4mn，解得mn＝1，由E（3m， n），F（ m，3n），求得BE、BF，然后根据三角形
面积公式得到S△BEF ＝ BE•BF＝ mn＝ ．
【解答】解：设D（2m，2n），
∵OD：OB＝2：3，
∴A（3m，0），C（0，3n），
∴B（3m，3n），
∵双曲线y＝ （x＞0）经过矩形OABC的顶点B，
∴9＝3m•3n，
∴mn＝1，
∵双曲线y＝ （x＞0）经过点D，
∴k＝4mn
第18页（共31页）∴双曲线y＝ （x＞0），
∴E（3m， n），F（ m，3n），
∴BE＝3n﹣ n＝ n，BF＝3m﹣ m＝ m，
∴S△BEF ＝ BE•BF＝ mn＝
故答案为 ．
【点评】本题考查了反比例系数k的几何意义和反比例函数图象上点的坐标特征、三角形
面积等，表示出各个点的坐标是解题的关键．
18．（3分）如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE＝CF＝ AC，连接DE，DF
并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则 的值为 ．
【分析】根据平行四边形的性质得，AB∥CD，AB＝CD，则 ，设S△AEG ＝x，
则S△ADE ＝3x，S△ADG ＝4x，再证明△BGH∽△BAC，得 ，从而解决问
题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴ ，
设S△AEG ＝x，
则S△ADE ＝3x，S△ADG ＝4x，
第19页（共31页）∵AE＝CF＝ ，
∴S△ABC ＝S△DAC ＝4S△ADE ＝12x，
∵AB＝DC， ，
∴AB＝DC＝3AG，
∴BG＝2AG，
∴ ，
同理可得 ，
又∵∠B＝∠B，
∴△BGH∽△BAC，
∴ ，
∴S ＝ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等
知识，设S△AEG ＝x，用x的代数式表示△ADG和△BGH的面积是解题的关键．
三、（本大题共3个题，第19题8分，第20、21题各6分，共20分）
19．（4分）解下列方程：2x（x﹣1）＝x﹣1．
【分析】首先移项，把方程的右边化成0，左边分解因式，即可化成两个一元一次方程，即可
求解．
【解答】解：移项，得：2x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0
则（x﹣1）（2x﹣1）＝0
则x﹣1＝0或2x﹣1＝0
解得：x ＝1，x ＝ ．
1 2
第20页（共31页）【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，正确理解因式分解法的基本思想是化成
一元一次方程．
20．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F别为AB，BC，CA的中点，CD＝2cm，求
EF的长．
【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，CD＝2cm，
∴AB＝2CD＝4cm，
∵E，F分别为BC，CA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝ AB＝2cm，
答：EF的长为2cm．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线等于
第三边的一半是解题的关键．
21．（6分）如图，△ABC在方格纸中．
（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A（3，4），C（7，3），并求出点B的坐标；
（2）以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的位似
图形△A′B′C′；
（3）计算△A′B′C′的面积S．
【分析】（1）根据A（3，4），C（7，3），找出原点，求出点B的坐标即可；
第21页（共31页）（2）根据位似比为2，得出三角形各顶点坐标即可得出答案；
（3）利用所画图形得出三角形的底与高求出即可．
【解答】解：（1）∵A（3，4），C（7，3），
∴B点坐标为：（3，2）；
（2）如图所示：
（3）△A′B′C′的面积S为： ×4×8＝16．
【点评】此题主要考查了位似图形的画法以及三角形的面积公式，根据已知得出对应点的
坐标是解题关键．
22．（6分）在同一时刻两根直立木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影
子BC＝1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在墙上为MN＝0.8m，有一部分落在地上为PM
＝1.2m，求木竿PQ的长度．
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比列式求解即可．
【解答】解：设木竿PQ长为xm，
依题意得 ，
解得x＝2.3（m），
答：木竿PQ长度为2.3m．
第22页（共31页）【点评】考查了相似三角形的应用，在运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从
实际问题中抽象出简单的数学模型，然后列出相关数据的比例关系式，从而求出结论．
四、（本题共3个小题，每小题8分，共24分）
23．（8分）在课间活动时，甲，乙两同学做了一个数字游戏：有三张正面写有数字﹣1，0，1的
卡片，它们背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后，甲随机抽取一张，将其正面的
数字作为m的值．然后将卡片背面朝上放回并洗匀，乙再从这三张卡片中随机抽取一张，
将其正面的数字作为n的值，两次结果记为（m，n）．
（1）请你帮这两位同学用树状图或列表法表示（m，n）所有可能的结果；
（2）求满足关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0没有实数根的概率．
【分析】（1）画树状图展示所有9种等可能的结果；
（2）根据根的判别式的意义得到m2﹣4n＜0，则可得到有（﹣1，1），（0，1），（1，1）满足条
件，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）画树状图为：
共有9种等可能的结果；
（2）∵方程x2+mx+n＝0没有实数根，即Δ＝m2﹣4n＜0，
由（1）可得有（﹣1，1），（0，1），（1，1）三种情况，
∴满足关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0没有实数根的概率＝ ＝ ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果，再
从中选出符合事件A或B的结果数目，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了
根的判别式．
24．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接
AF，DE，DF．
（1）求证：四边形AEFD为矩形；
（2）若AB＝3，DE＝4，BF＝5，求DF的长．
第23页（共31页）【分析】（1）先证四边形AEFD为平行四边形，再证∠AEF＝90°，即可得出结论；
（2）由矩形的性质得DF＝AE，AF＝DE＝4，再由勾股定理的逆定理得△BAF为直角三角
形，∠BAF＝90°，然后由面积法求出AE的长，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD＝BC＝EF，
又∵AD∥EF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD为矩形；
（2）解：由（1）知，四边形AEFD为矩形，
∴DF＝AE，AF＝DE＝4，
∵AB＝3，DE＝4，BF＝5，
∴AB2+AF2＝BF2，
∴△BAF为直角三角形，∠BAF＝90°，
∴ ，
∴AB×AF＝BF×AE，
即3×4＝5AE，
∴ ，
∴ ．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理以
第24页（共31页）及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
25．（8分）如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28m），围成一个矩形花园ABCD，与墙平行
的一边BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙），现有砌60m长的墙的材
料．
（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300m2；
（2）能否围成面积为480m2的矩形花园，为什么？
【分析】（1）设BC＝xm，则AB＝ m，根据矩形花园的面积为300m2，即可得出关
于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙EF最长可利用28m，即可得出结论；
（2）不能围成面积为480m2的矩形花园，设BC＝ym，则AB＝ m，根据矩形花园
的面积为480m2，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y的值，再结合墙EF最
长可利用28m，即可得出不能围成面积为480m2的矩形花园．
【解答】解：（1）设BC＝xm，则AB＝ m，
依题意得：x• ＝300，
整理得：x2﹣62x+600＝0，
解得：x ＝12，x ＝50．
1 2
又∵墙EF最长可利用28m，
∴x＝12．
答：当矩形的长BC为12m时，矩形花园的面积为300m2．
（2）不能围成面积为480m2的矩形花园，理由如下：
设BC＝ym，则AB＝ m，
依题意得：y• ＝480，
整理得：y2﹣62y+960＝0，
第25页（共31页）解得：y ＝30，y ＝32．
1 2
又∵墙EF最长可利用28m，
∴y ＝30，y ＝32均不符合题意，舍去，
1 2
∴不能围成面积为480m2的矩形花园．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
五、（本大题共1小题，共10分）
26．（10分）如图，已知反比例函数y＝ （k＞0）的图象和一次函数y＝﹣x+b的图象都过点P
（1，m），过点P作y轴的垂线，垂足为A，O为坐标原点，△OAP的面积为1．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为M，过M作x轴的垂线，垂足为B，
求五边形OAPMB的面积．
【分析】（1）根据系数k的几何意义即可求得k，进而求得P（1，2），然后利用待定系数法
即可求得一次函数的解析式；
（2）设直线y＝﹣x+3交x轴、y轴于C、D两点，求出点C、D的坐标，然后联立方程求得
P、M的坐标，最后根据S五边形 ＝S△COD ﹣S△APD ﹣S△BCM ，根据三角形的面积公式列式计算
即可得解；
【解答】解：（1）∵过点P作y轴的垂线，垂足为A，O为坐标原点，△OAP的面积为1．
∴S△OPA ＝ |k|＝1，
∴|k|＝2，
∵在第一象限，
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝ ；
第26页（共31页）∵反比例函数y＝ （k＞0）的图象过点P（1，m），
∴m＝ ＝2，
∴P（1，2），
∵一次函数y＝﹣x+b的图象过点P（1，2），
∴2＝﹣1+b，解得b＝3，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+3；
（2）设直线y＝﹣x+3交x轴、y轴于C、D两点，
∴C（3，0），D（0，3），
解 得 或 ，
∴P（1，2），M（2，1），
∴PA＝1，AD＝3﹣2＝1，BM＝1，BC＝3﹣2＝1，
∴五边形OAPMB的面积为：S△COD ﹣S△BCM ﹣S△ADP ＝ ×3×3﹣ ×1×1﹣ ×1×1＝ ．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积以及反比例函数系
数k的几何意义，求得交点坐标是解题的关键．
六、（本大题共1小题，共12分）
27．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，
连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F．
（1）[探究发现]：如图①，若m＝n，点E在线段AC上，猜想DE与DF的数量关系，并说明
理由；
（2）[数学思考]：①如图②，若点E在线段AC上，求证： ；
第27页（共31页）②当点E在直线AC上运动时，数学思考①中的结论是否仍然成立？请仅就图③的情形
给出证明；
（3）[拓展应用]：若AC＝ ，BC＝2 ，DF＝4 ，求CE的长．（可结合题意，另行画
图）
【分析】（1）先用等量代换判断出∠ADE＝∠CDF，∠A＝∠DCB，得到△ADE∽△CDF，
再判断出△ADC∽△CDB即可；
（2）方法和（1）一样，先用等量代换判断出∠ADE＝∠CDF，∠A＝∠DCB，得到
△ADE∽△CDF，再判断出△ADC∽△CDB即可；
（3）由（2）的结论得出△ADE∽△CDF，判断出CF＝2AE，求出DE，EF，再分三种情况利
用勾股定理求解，即可求出答案．
【解答】（1）解：DE＝DF，理由：
当m＝n时，即：BC＝AC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠FDE＝∠ADC＝90°，
∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，
即∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，
∴ ，
∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴△ADC∽△CDB，
第28页（共31页）∴ ＝1，
∴ ＝1，
即：DE＝DF；
（2）①证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠FDE＝∠ADC＝90°，
∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，
即∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，
∴ ，
∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴ ，
∴ ；
②解：①中的结论仍然成立．如图，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
第29页（共31页）又∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠FDE＝∠ADC＝90°，
∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，
即∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，
∴ ，
∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴ ，
∴ ．
（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴CF＝2AE，
在Rt△DEF中，DE＝2 ，DF＝4 ，
∴EF＝2 ，
①当E在线段AC上时，
在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（ ﹣CE），EF＝2 ，
根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，
∴CE2+[2（ ﹣CE）]2＝40，
∴CE＝2 或CE＝﹣ （舍），
而AC＝ ＜CE，
∴此种情况不存在，
②当E在AC延长线上时，
第30页（共31页）在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（ +CE），EF＝2 ，
根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，
∴CE2+[2（ +CE）]2＝40，
∴CE＝ 或CE＝﹣2 （舍），
③如图，
当点E在CA延长线上时，
CF＝2AE＝2（CE﹣AC）＝2（CE﹣ ），EF＝2 ，
根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，
∴CE2+[2（CE﹣ ）]2＝40，
∴CE＝2 或CE＝﹣ （舍），
即：CE＝2 或CE＝ ．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似
是解本题的关键，求CE是本题的难点．
第31页（共31页）
