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2021-2022学年山西省运城市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）方程x（x﹣2）＝x的根是（ ）
A．x＝0 B．x＝2 C．x ＝0，x ＝2 D．x ＝0，x ＝3
1 2 1 2
2．（3分）将抛物线y＝2x2+1向左平移2个单位，向上平移3个单位后得到的抛物线表达式为
（ ）
A．y＝2（x﹣2）2+4 B．y＝2（x+2）2+4
C．y＝2（x﹣2）2﹣2 D．y＝2（x+2）2﹣2
3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝ ，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝1：2，则
△ABC与△A'B'C'的周长比为（ ）
A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．1：9
5．（3分）某超市一月份的营业额为50万元，到三月底营业额累计为500万元．如果设平均每
月的增长率为x，依题意得，可列出方程为（ ）
A．50（1+x）2＝500
B．50（1+x）3＝500
C．50（1+x）2＝450
D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝500
6．（3分）如图，直线l ∥l ∥l ，直线a，b与这三条直线分别交于点A，B，C和点E，F，F，若
1 2 3
AB：BC＝5：3，则EF：DF等于（ ）
第1页（共34页）A．3：8 B．5：8 C．3：5 D．8：11
7．（3分）点A（﹣3，y ），B（1，y ），C（3，y ）在反比例函数y＝ 的图象上，则y ，y ，y 的大
1 2 3 1 2 3
小关系是（ ）
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
2 3 1 1 3 2 2 2 1 3 1 2
8．（3分）某三棱柱的三种视图如图所示，已知俯视图中tanB＝ ，S△ABC ＝7，下列结论中：①
主视图中m＝3；②左视图矩形的面积为18；③俯视图∠C的正切值为 ．其中正确的个
数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
9．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为A
（3，0），其部分图象如图所示，下列结论中：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③抛物线与x轴
的另一个交点的坐标为（﹣1，0）；④方程ax2+bx+c＝1有两个不相等的实数根．其中正确
的个数为（ ）
第2页（共34页）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，点E是BC上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B
落在矩形ABCD的内部点F处，若tan∠DAF＝ ，则BE的长为（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若 是锐角且sin ＝ ，则 的度数是 ．
α α α
12．（3分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4的四个小球，这些球除标号外都相同，从中随机
摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为 ．
13．（3分）我们把宽与长的比为黄金比（ ）的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金矩形
ABCD中，AB＜BC，BC＝2，∠ABC的平分线交AD边于点E，则DE的长为 ．
14．（3分）如图，有一矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用16米的长篱笆
围成，则矩形ABCD面积的最大值是 ．
第3页（共34页）15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝14，AC＝10，点D是BC上一点，点M是BA延长线上一
点，已知tan∠CAM＝ ，∠DAB＝45°，则AD的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算： sin45°+2cos30°+|1﹣tan60°|．
（2）解方程：（x+3）2＝2x+6．
17．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，
EF与AC相交于点O，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）已知sin∠ACF＝ ，CF＝5，AB＝6，请你直接写出sinB的值．
18．（8分）某“综合与实践”小组开展了测量运城北站关公铜像高度的实践活动，他们设计
了两个测量方案如下表．经过老师与小组利用课余时间实地考察放弃了方案一，采用了方
案二，他们在铜像底部所在的平地上选取两个不同的测点，分别测量了铜像顶端的仰角以
及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间
的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果填入表格，测量数据如下表．
课题 测量公关铜像的高度
成员 组长：×××，组员：×××，×××，×××
工具 测倾器，皮尺等
设计 方案 说明：线段AB表示铜像，线段
方案 一 CD表示测倾器，CD的高度为1.1
米，点E在AB上，点A，B，C，D，
测量
示
E在同一平面内．需要测量的数
据有BC的距离，倾斜角BC的距
意图
离，倾斜角∠ADE的度数．
方案 说明：线段AB表示铜像，线段
二 CD，EG表示测倾器，CD，FG的
高度为1.1米，点E在AB上，点
第4页（共34页）测量 A，B，C，D，E，F，G在同一平面
示 内．需要测量的数据有CF的距
离，倾斜角∠ADE，∠AGE的度
意图
数．
实施 方案 ∠ADE的平均值 ∠AGE的平均值 CF的平均值
方案 二的
28.5° 45° 10米
测量
数据
（1）“综合与实践”小组为什么放弃方案一，你认为原因可能是什么？（写出一条即可）
（2）请你根据他们的测量数据计算关公铜像的高度．
（参考数据：sin28.5°≈0.48，cos28.5°≈0.88，tan28.5°≈ ）
19．（8分）如图，一次函数y ＝x+b与反比例函数y ＝ 交于点A（1，a），D（﹣4，1），与y轴，
1 2
x轴分别交于点B，C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）作AE⊥y轴于点E，连接DE，求△ADE的面积；
（3）根据图象请直接写出当y ＞y 时，x的取值范围．
1 2
20．（9分）某经销商经销一种封面为建党100周年的笔记本，每本进价为3元，按每本5元出
第5页（共34页）售，每天可售出30本．调查发现这种笔记本销售单价每提高1元，每天的销售量就会减少
3本．
（1）当销售单价定为多少元时，该经销商每天销售这笔记本的销售利润为105元？
（2）当销售单价定为多少元时，才能使该经销商每天销售这种笔记本所得的利润最大？最
大利润是多少元？
21．（8分）阅读与思考
阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
学习了反比例函数的性质后，希望学习小组又进行了深入的探究，发现：如果在双曲线上
任取两点，过这两点分别向两坐标轴垂线（垂足不同时在x或y轴上），那么垂足的连线和
这两点的连线平行．如图1，点A，B是反比例函数y＝ （k≠0）在第一象限图象上的两
点，作AD⊥y轴于点D，BC⊥x轴于点C，连接CD，则AB∥CD；如图2，点A，B是反比例
函数y＝ （k≠0）在第一象限图象上的两点，作AD⊥x轴于点D，D，BC⊥y轴于点C，连
接CD，则AB∥CD．在老师指导下希望学习小组进行严格推理，证明这一结论是正确的．
【结论应用】
任务：（1）如图2，若AD与BC交于点E，CE：BE＝1：2．
① 的值为 ．
②若△ABE的面积为6，则四边形OCED的面积为 ．
（2）智慧学习小组利用上述结论又进行了新的探究，如图3，直线EF与反比例函数y＝
（k≠0）的图象交于A，B两点，点A在点B的上方，与x，y轴分别交于点E，F，则得到AE
＝BF这一结论．
下面是该结论的部分证明：
证明：作AD⊥y轴于点D，BC⊥x轴于点C，连接CD，
则AB∥CD，BC∥DE．
∴∠DEA＝∠CBF，四边形EDCB是平行四边形．
…
仔细阅读上面的证明过程，按照上面的证明思路，请你补充完整．
第6页（共34页）22．（12分）综合与实践
如图1，在综合实践课上，老师让学生用两个等腰直角三角形进行图形的旋转探究．在
Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在Rt△AMN中，∠MAN＝90°，AM＝AN，点M，N分
别在AC，AB边行，直角顶点重合在一起，将Rt△AMN绕点A逆时针旋转，设旋转角
∠MAC＝ ，其中0°＜ ＜90°．
（1）当点αM落在BC上α时，如图2：
①请直接写出∠BMN的度数为 （用含 的式子表示）；
α
②若tan ＝ ，AC＝7，求AM的长；
α
（2）如图3，连接BN，CM，并延长CM交BN于点E，请判断CE与BN的位置关系，并加以
证明；
（3）如图4，当∠BAC与∠MAN是两个相等钝角时，其他条件不变，即在△ABC与△AMN
中，AB＝AC，AM＝AN，∠MAN＝∠BAC＝ ，∠MAC＝ ，则∠CEN的度数为 （用
含 或 的式子表示）． β α
α β
23．（12分）综合与探究
如图，直线y＝﹣ x+4与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y＝ax2+ x+c经过B，C两
点，与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为点D．抛物线的对称
轴与x轴交于点E．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
第7页（共34页）（2）点M是线段BC上一动点，连接DM并延长交x轴交于点F，当FM：FD＝1：4时，求点
M的坐标；
（3）点P是该抛物线上的一动点，设点P的横坐标为m，试判断是否存在这样的点P，使
∠PAB+∠BCO＝90°，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
第8页（共34页）2021-2022学年山西省运城市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）方程x（x﹣2）＝x的根是（ ）
A．x＝0 B．x＝2 C．x ＝0，x ＝2 D．x ＝0，x ＝3
1 2 1 2
【分析】利用因式分解法的步骤把原方程变形为x（x﹣3）＝0，再根据x﹣3＝0或x＝0，即
可求出答案．
【解答】解：x（x﹣2）＝x，
x（x﹣2）﹣x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x﹣3＝0或x＝0，
解得：x ＝3，x ＝0；
1 2
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程的解法；只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，
而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵
活运用学过的因式分解的几种方法．
2．（3分）将抛物线y＝2x2+1向左平移2个单位，向上平移3个单位后得到的抛物线表达式为
（ ）
A．y＝2（x﹣2）2+4 B．y＝2（x+2）2+4
C．y＝2（x﹣2）2﹣2 D．y＝2（x+2）2﹣2
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线y＝2x2+1向左平移2个单位，向上平移3个单位后得到的抛物线表达
式为：y＝2（x+2）2+3+1，即y＝2（x+2）2+4．
故选：B．
【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，
上加下减是解题的关键．
3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝ ，则cosA的值为（ ）
第9页（共34页）A． B． C． D．
【分析】根据同一锐角的正弦与余弦的平方和是1，即可求解．
【解答】解：∵sin2A+cos2A＝1，即（ ）2+cos2A＝1，
∴cos2A＝ ，
∴cosA＝ 或﹣ （舍去），
∴cosA＝ ．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同角的三角函数，关键是掌握同一锐角的正弦与余弦之间的关系：
对任一锐角 ，都有sin2 +cos2 ＝1．
4．（3分）如图α，△ABC和△α A'B'Cα'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝1：2，则
△ABC与△A'B'C'的周长比为（ ）
A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．1：9
【分析】根据位似与相似的关系、相似三角形的性质解答．
【解答】解：∵OA：OA'＝1：2，
∴AC：A′C′＝1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比是1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的周长比为1：2，
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于
一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．
5．（3分）某超市一月份的营业额为50万元，到三月底营业额累计为500万元．如果设平均每
月的增长率为x，依题意得，可列出方程为（ ）
第10页（共34页）A．50（1+x）2＝500
B．50（1+x）3＝500
C．50（1+x）2＝450
D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝500
【分析】根据增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），关系式为：一月份
月营业额+二月份月营业额+三月份月营业额＝500，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：设平均每月的增长率为x，根据题意：二月份的月营业额为50×（1+x），
三月份的月销售额在二月份月销售额的基础上增加x，
为50×（1+x）×（1+x），则列出的方程是：50+50（1+x）+50（1+x）2＝500．
故选：D．
【点评】本题考查了增长率问题，关键是知道一月份的钱数和增长两个月后三月份的钱数，
列出方程．
6．（3分）如图，直线l ∥l ∥l ，直线a，b与这三条直线分别交于点A，B，C和点E，F，F，若
1 2 3
AB：BC＝5：3，则EF：DF等于（ ）
A．3：8 B．5：8 C．3：5 D．8：11
【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【解答】解：∵直线l ∥l ∥l ，
1 2 3
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，
属于中考常考题型．
7．（3分）点A（﹣3，y ），B（1，y ），C（3，y ）在反比例函数y＝ 的图象上，则y ，y ，y 的大
1 2 3 1 2 3
第11页（共34页）小关系是（ ）
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
2 3 1 1 3 2 2 2 1 3 1 2
【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点
的坐标特点及函数的增减性解答．
【解答】解：∵反比例函数y＝ 中，k＝﹣3＜0，
∴此函数图象在二、四象限，
∵﹣3＜0，
∴点A（﹣3，y ）在第二象限，
1
∴y ＞0，
1
∵3＞1＞0，
∴B（1，y ），C（3，y ）两点在第四象限，
2 3
∴y ＜y ＜0．
2 3
∴y ，y ，y 的大小关系为y ＞y ＞y ．
1 2 3 1 3 2
故选：B．
【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的
坐标特点，比较简单．
8．（3分）某三棱柱的三种视图如图所示，已知俯视图中tanB＝ ，S△ABC ＝7，下列结论中：①
主视图中m＝3；②左视图矩形的面积为18；③俯视图∠C的正切值为 ．其中正确的个
数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
第12页（共34页）【分析】根据这个几何体的三视图，得出这个三棱柱，高为6，BD＝4，CD＝m，由tanB＝ ，
S△ABC ＝7，求出m的值，进而确定CD，再分别对各个结论进行判断即可．
【解答】解：由简单几何体的三视图可知，这个几何体是三棱柱，高为6，BD＝4，CD＝m，
∵tanB＝ ＝ ，BD＝4，
∴AD＝2，
又∵S△ABC ＝7＝ BC•AD，
∴ （4+m）×2＝7，
解得m＝3，
因此①正确；
左视图长方形的长为2，宽为6，所以面积为12，
因此②不正确；
在Rt△ADC中，tanC＝ ＝ ，
因此③正确；
综上所述，正确的结论有①③，共2个，
故选：B．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的形状
是正确解答的前提．
9．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为A
（3，0），其部分图象如图所示，下列结论中：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③抛物线与x轴
第13页（共34页）的另一个交点的坐标为（﹣1，0）；④方程ax2+bx+c＝1有两个不相等的实数根．其中正确
的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数的图象与性质一一判断即可．
【解答】解：①∵开口向上与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a＞0，c＜0，﹣
＞0，b＜0，
∴abc＞0，错误，不符合题意；
②图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，正确，符合题意；
③∵对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为A（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（﹣1，0），正确，符合题意；
④由图象可知，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝1有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝1有两个不相等的实数根，正确，符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象及性质，能够通过函数
图象提取信息是解题的关键．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，点E是BC上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B
落在矩形ABCD的内部点F处，若tan∠DAF＝ ，则BE的长为（ ）
A． B． C．2 D．
第14页（共34页）【分析】过F作GH∥AB交AD于G，交BC于H，根据四边形ABCD是矩形，GH∥AB，得
四边形ABHG是矩形，即知∠AGF＝∠EHF＝90°，GH＝AB＝5，而△ABE沿直线AE折叠，
点B落在矩形ABCD的内部点F处，有AF＝AB＝5，∠AFE＝90°，BE＝EF，由tan∠DAF
＝ ，得 ＝ ，设GF＝3x，则AG＝4x，在Rt△AFG中，可得（4x）2+（3x）2＝52，解得x＝
1，从而AG＝4，GF＝3，可得FH＝GH﹣GF＝2，证明△AGF∽△FHE，得 ＝ ，即
＝ ，故EF＝ ，BE＝ ．
【解答】解：过F作GH∥AB交AD于G，交BC于H，如图：
∵四边形ABCD是矩形，GH∥AB，
∴四边形ABHG是矩形，
∴∠AGF＝∠EHF＝90°，GH＝AB＝5，
∵△ABE沿直线AE折叠，点B落在矩形ABCD的内部点F处，
∴AF＝AB＝5，∠AFE＝90°，BE＝EF，
∵tan∠DAF＝ ，
∴ ＝ ，
设GF＝3x，则AG＝4x，
在Rt△AFG中，AG2+GF2＝AF2，
∴（4x）2+（3x）2＝52，
解得x＝1或x＝﹣1（舍去），
∴AG＝4，GF＝3，
∴FH＝GH﹣GF＝2，
∵∠AFE＝90°，
∴∠AFG＝90°﹣∠EFH＝∠FEH，∠AGF＝∠EHF＝90°，
第15页（共34页）∴△AGF∽△FHE，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴EF＝ ，
∴BE＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查矩形中的折叠问题，涉及解直角三角形和三角形相似的判定和性质，解
题的关键是掌握折叠的性质，熟练运用勾股定理、相似三角形对应边成比例等列方程解决
问题．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若 是锐角且sin ＝ ，则 的度数是 60 ° ．
α α α
【分析】结合各特殊角的三角函数值，进行求解即可．
【解答】解：∵ 是锐角且sin ＝ ，
α α
∴∠ ＝60°．
故答α案为：60°．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键在于熟练掌握各特殊角的三角
函数值．
12．（3分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4的四个小球，这些球除标号外都相同，从中随机
摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为 ．
【分析】画树状图，共有12种等可能的情况数，其中摸出的小球标号之和大于5的有4种，
再由概率公式求解即可．
【解答】解：根据题意画图如下：
第16页（共34页）共有12种等可能的情况数，其中摸出的小球标号之和大于5的有4种，
则摸出的小球标号之和大于5的概率为 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的
结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．
用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（3分）我们把宽与长的比为黄金比（ ）的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金矩形
ABCD中，AB＜BC，BC＝2，∠ABC的平分线交AD边于点E，则DE的长为 3 ﹣ ．
【分析】由黄金矩形的定义得AD＝BC＝2，AB＝ BC＝ ﹣1，∠A＝∠ABC＝90°，
再证△ABE是等腰直角三角形，得AE＝AB＝ ﹣1，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是黄金矩形，AB＜BC，BC＝2，
∴AD＝BC＝2，AB＝ BC＝ ﹣1，∠A＝∠ABC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝AB＝ ﹣1，
∴DE＝AD﹣AE＝2﹣（ ﹣1）＝3﹣ ，
故答案为：3﹣ ．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是
AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB
的黄金分割点．也考查了矩形的性质和等腰直角三角形的判定与性质．
14．（3分）如图，有一矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用16米的长篱笆
围成，则矩形ABCD面积的最大值是 3 2 m 2 ．
第17页（共34页）【分析】设矩形的宽为xm，进而确定矩形的另一条边长，根据矩形的面积公式即可求出函
数关系式，再利用配方法求出函数最值．
【解答】解：设矩形的宽为xm，面积为Sm2，
根据题意得：S＝x（16﹣2x）
＝﹣2x2+16x
＝﹣2（x﹣4）2+32，
∴x＝4m时，菜园面积最大，最大面积是32m2．
故答案为：32m2．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，难度一般，关键在于找出等量关系列出函数解析
式，另外应注意配方法求最大值在实际中的应用．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝14，AC＝10，点D是BC上一点，点M是BA延长线上一
点，已知tan∠CAM＝ ，∠DAB＝45°，则AD的长为 4 ．
【分析】过点C、D作CM⊥BM，DN⊥BM．先利用∠CAM的正切和勾股定理求出CM、AM
的长，再利用∠B的正切求出DN、AN的长，最后利用勾股定理求出AD的长．
【解答】解：过点C、D作CM⊥BM，DN⊥BM．
∵tan∠CAM＝ ＝ ，
∴CM＝4k，AM＝3k（k为不等于0的常数）．
在Rt△ACM中，
∵AC＝ ，
∴ ＝10．
解得k＝2．
第18页（共34页）∴CM＝8，AM＝6．
∴BM＝AB+AM＝20，
在Rt△ADN中，
∵∠DAB＝45°，
∴AN＝DN．
∵tanB＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ．
∴DN＝AN＝4．
∴AD＝4 ．
故答案为：4 ．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题
的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算： sin45°+2cos30°+|1﹣tan60°|．
（2）解方程：（x+3）2＝2x+6．
【分析】（1）先代入三角函数值，再进一步计算即可；
（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次
方程，再进一步求解即可．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝ ；
（2）∵（x+3）2＝2x+6，
∴（x+3）2＝2（x+3），
∴（x+3）2﹣2（x+3）＝0，
则（x+3）（x+3﹣2）＝0，
第19页（共34页）∴x+3＝0或x+1＝0，
∴x ＝﹣3，x ＝﹣1．
1 2
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因
式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
17．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，
EF与AC相交于点O，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）已知sin∠ACF＝ ，CF＝5，AB＝6，请你直接写出sinB的值．
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得OA＝OC．EA＝EC，再证△AOE≌△COF（ASA），
得OE＝OF，则四边形AECF是平行四边形，然后由EA＝EC，即可得出结论；
（2）过A作AM⊥BC于M，由锐角三角函数定义得OF＝ ，则OC＝2 ，AC＝2OC＝4
，再由勾股定理求出FM＝3，则AM＝4，即可解决问题．
【解答】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
又∵EF垂直平分AC，
∴OA＝OC．EA＝EC，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EA＝EC
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：过A作AM⊥BC于M，如图所示：
∵EF⊥AC，
第20页（共34页）∴∠COF＝90°，
∵sin∠ACF＝ ＝ ，CF＝5，
∴OF＝ ，
∴OC＝ ＝ ＝2 ，
∴AC＝2OC＝4 ，
由（1）得：四边形AECF是菱形，
∴AF＝CF＝5，
∵AM⊥BC，
∴∠AMB＝∠AMC＝90°，
∴AM2＝AF2﹣FM2＝AC2﹣CM2，
即52﹣FM2＝（4 ）2﹣（FM+5）2，
解得：FM＝3，
∴AM＝ ＝ ＝4，
∴sinB＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与
性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全
等是解题的关键．
18．（8分）某“综合与实践”小组开展了测量运城北站关公铜像高度的实践活动，他们设计
了两个测量方案如下表．经过老师与小组利用课余时间实地考察放弃了方案一，采用了方
案二，他们在铜像底部所在的平地上选取两个不同的测点，分别测量了铜像顶端的仰角以
及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间
的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果填入表格，测量数据如下表．
课题 测量公关铜像的高度
成员 组长：×××，组员：×××，×××，×××
工具 测倾器，皮尺等
第21页（共34页）设计 方案 说明：线段AB表示铜像，线段
方案 一 CD表示测倾器，CD的高度为1.1
米，点E在AB上，点A，B，C，D，
测量
示
E在同一平面内．需要测量的数
据有BC的距离，倾斜角BC的距
意图
离，倾斜角∠ADE的度数．
方案 说明：线段AB表示铜像，线段
二 CD，EG表示测倾器，CD，FG的
高度为1.1米，点E在AB上，点
测量
示
A，B，C，D，E，F，G在同一平面
内．需要测量的数据有CF的距
意图
离，倾斜角∠ADE，∠AGE的度
数．
实施 方案 ∠ADE的平均值 ∠AGE的平均值 CF的平均值
方案 二的
28.5° 45° 10米
测量
数据
（1）“综合与实践”小组为什么放弃方案一，你认为原因可能是什么？（写出一条即可）
（2）请你根据他们的测量数据计算关公铜像的高度．
（参考数据：sin28.5°≈0.48，cos28.5°≈0.88，tan28.5°≈ ）
【分析】（1）根据题意写出原因即可；
（2）根据矩形的性质得到DG＝CF＝10，BE＝CD＝1.1，设AE＝x．解直角三角形即可得到
结论．
【解答】解：（1）答案不唯一，如：方案一适合底部可直接到达；底部不可到达；方案二适合
第22页（共34页）测量底部不可直接到达的物体的高度；在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体
的底部之间的距离；
（2）解：由题意可得：四边形CDGF，四边形CDEB是矩形，
∴DG＝CF＝10，BE＝CD＝1.1，
设AE＝x．
在Rt△AEG中，∠AEG＝90°，∠AGE＝45°，
∵ ，
∴
∴ ，
在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠ADE＝28.5°，
∵ ，
∴
∴ ，
∵DG＝DE﹣EG，
∴ ，
∴x＝12，
∴AB＝AE+BE＝12+1.1＝13.1（米），
答：关公铜像AB的高度为13.1米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记
锐角三角函数的定义是解题的关键．
19．（8分）如图，一次函数y ＝x+b与反比例函数y ＝ 交于点A（1，a），D（﹣4，1），与y轴，
1 2
x轴分别交于点B，C．
第23页（共34页）（1）求反比例函数的表达式；
（2）作AE⊥y轴于点E，连接DE，求△ADE的面积；
（3）根据图象请直接写出当y ＞y 时，x的取值范围．
1 2
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）由反比例函数的解析式求得A的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵点D（﹣4，﹣1）在反比例函数 的图象上，
∴k＝﹣4×（﹣1）＝4．
∴反比例函数的表达式为 ；
（2）∵点A（1，a）在在反比例函数 的图象上，
∴a＝4．
∴点A的坐标为（1，4），
∵AE⊥y轴，
∴AE＝1，OE＝4，
作DM⊥AE交AE的延长线于点M，交x轴于点N．
则MN＝OE＝4，ND＝1．
∴MD＝5，
∴ ．
（3）当y ＞y 时，x的取值范围﹣4＜x＜0或x＞1．
1 2
第24页（共34页）【点评】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求反比例函数的解析
式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
20．（9分）某经销商经销一种封面为建党100周年的笔记本，每本进价为3元，按每本5元出
售，每天可售出30本．调查发现这种笔记本销售单价每提高1元，每天的销售量就会减少
3本．
（1）当销售单价定为多少元时，该经销商每天销售这笔记本的销售利润为105元？
（2）当销售单价定为多少元时，才能使该经销商每天销售这种笔记本所得的利润最大？最
大利润是多少元？
【分析】（1）根据销售利润＝每本的利润×销售量，列出一元二次方程，在自变量范围内求
解即可；
（2）根据销售利润＝每本的利润×销售量，列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x
（元/本）之间的函数关系式，再依据函数的性质求得最大利润．
【解答】解：（1）设每本销售单价是x元时，每天获利105元，
由题意得：（x﹣3）[30﹣3（x﹣5）]＝105，
整理得：x2﹣18x+80＝0，
解得：x ＝10，x ＝8，
1 2
∴销售单价定为10元或8元，每天获利105元；
（2）设利润为w元，
则w＝（x﹣3）[30﹣3（x﹣5）]
＝﹣3x2+54x﹣135
＝﹣3（x﹣9）2+108，
∵﹣3＜0，
∴当x＝9时，w有最大值，最大值为108，
答：销售单价定为9元时，才能使该经销商每天销售这种笔记本所得的利润最大，最大利
润108元．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，根据题意得到二次函数的关系
第25页（共34页）式是解题关键．
21．（8分）阅读与思考
阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
学习了反比例函数的性质后，希望学习小组又进行了深入的探究，发现：如果在双曲线上
任取两点，过这两点分别向两坐标轴垂线（垂足不同时在x或y轴上），那么垂足的连线和
这两点的连线平行．如图1，点A，B是反比例函数y＝ （k≠0）在第一象限图象上的两
点，作AD⊥y轴于点D，BC⊥x轴于点C，连接CD，则AB∥CD；如图2，点A，B是反比例
函数y＝ （k≠0）在第一象限图象上的两点，作AD⊥x轴于点D，D，BC⊥y轴于点C，连
接CD，则AB∥CD．在老师指导下希望学习小组进行严格推理，证明这一结论是正确的．
【结论应用】
任务：（1）如图2，若AD与BC交于点E，CE：BE＝1：2．
① 的值为 ．
②若△ABE的面积为6，则四边形OCED的面积为 3 ．
（2）智慧学习小组利用上述结论又进行了新的探究，如图3，直线EF与反比例函数y＝
（k≠0）的图象交于A，B两点，点A在点B的上方，与x，y轴分别交于点E，F，则得到AE
＝BF这一结论．
下面是该结论的部分证明：
证明：作AD⊥y轴于点D，BC⊥x轴于点C，连接CD，
则AB∥CD，BC∥DE．
∴∠DEA＝∠CBF，四边形EDCB是平行四边形．
…
仔细阅读上面的证明过程，按照上面的证明思路，请你补充完整．
【分析】（1）①由CD∥AB，得△ABE∽△DCE，从而得出答案；
②根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得答案；
第26页（共34页）（2）由两种对边分别平行，可知四边形EDCB是平行四边形，则BE＝CD，同理，四边形
ADCF是平行四边形，得AF＝CD，从而得出结论．
【解答】解：（1）①∵CD∥AB，
∴△ABE∽△DCE，
∴ ，
∵CE：BE＝1：2，
∵ ，
故答案为： ；
②∵CE：BE＝1：2，
∴ ，
∵△ABE的面积为6，
∴S△CDE ＝ ，
∵∠COD＝∠OCE＝∠ODE＝90°，
∴四边形ODEC是矩形，
∴S四边形ODEC ＝2S△CDE ＝3，
故答案为：3；
（2）如图，作AD⊥y轴于点D，BC⊥x轴于点C，连接CD，
则AB∥CD，BC∥DE．
∴四边形EDCB是平行四边形，
∴BE＝CD，
同理，四边形ADCF是平行四边形，
∴AF＝CD，
∴BE＝AF，
∴AE＝BF．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象与一次函数图象交点问题，
不等式与函数的关系，平行四边形的判定与性质等知识，运用前面探索的结论解决新的问
题是解题的关键．
第27页（共34页）22．（12分）综合与实践
如图1，在综合实践课上，老师让学生用两个等腰直角三角形进行图形的旋转探究．在
Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在Rt△AMN中，∠MAN＝90°，AM＝AN，点M，N分
别在AC，AB边行，直角顶点重合在一起，将Rt△AMN绕点A逆时针旋转，设旋转角
∠MAC＝ ，其中0°＜ ＜90°．
（1）当点αM落在BC上α时，如图2：
①请直接写出∠BMN的度数为 （用含 的式子表示）；
α α
②若tan ＝ ，AC＝7，求AM的长；
α
（2）如图3，连接BN，CM，并延长CM交BN于点E，请判断CE与BN的位置关系，并加以
证明；
（3）如图4，当∠BAC与∠MAN是两个相等钝角时，其他条件不变，即在△ABC与△AMN
中，AB＝AC，AM＝AN，∠MAN＝∠BAC＝ ，∠MAC＝ ，则∠CEN的度数为 180 ° ﹣
（用含 或 的式子表示）． β α β
α β
【分析】（1）①由旋转的性质可得∠MAC＝∠BAN＝ ，通过证明点A，点M，点B，点N四
点共圆，可得∠BAN＝∠BMN＝ ； α
②设MD＝3x，由锐角三角函数α可求AD＝4，DM＝3，由勾股定理可求解；
（2）由“SAS”可证△BAN≌△CAM，可得∠ACM＝∠ABN，由余角的性质可得结论；
（3）由“SAS”可证△BAN≌△CAM，可得∠BNA＝∠AMC，由四边形内角和定理可求解．
【解答】解：（1）①∵将Rt△AMN绕点A逆时针旋转，设旋转角∠MAC＝ ，
∴∠MAC＝∠BAN＝ ， α
∵∠BAC＝90°，AB＝αAC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠MAN＝90°，AM＝AN，
∴∠AMN＝∠ANM＝45°，
∴∠ANM＝∠ABC＝45°，
第28页（共34页）∴点A，点M，点B，点N四点共圆，
∴∠BAN＝∠BMN＝ ，
故答案为： ； α
②如图2，α作MD⊥AC于点D，
设MD＝3x，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠C＝45°，
∴∠DMC＝∠C＝45°，
∴CD＝DM＝3x，
在Rt△ADM中，∠ADM＝90°，
∵ ，
∴AD＝4x，
∴AC＝AD+CD＝3x+4x＝7，
∴x＝1，
∴AD＝4，DM＝3，
∴ ；
（2）CE⊥BN，理由如下：
如图3，设AB与CE相交于点F，
由旋转可知：∠CAM＝∠BAN，
又∵AM＝AN，AB＝AC，
∴△BAN≌△CAM（SAS），
第29页（共34页）∴∠ACM＝∠ABN，
∵∠AFE＝∠ACM+∠FAC，∠AFE＝∠ABN+∠BEF，
∴∠BEF＝∠FAC＝90°．
∴CE⊥BN；
（3）∵将Rt△AMN绕点A逆时针旋转，设旋转角∠MAC＝ ，
∴∠MAC＝∠BAN＝ ， α
又∵AN＝AM，AB＝AαC，
∴△BAN≌△CAM（SAS），
∴∠BNA＝∠AMC，
∵∠AMC+∠AME＝180°，
∴∠BNA+∠AME＝180°，
∵∠BNA+∠AME+∠NAM+∠MEN＝360°，
∴∠MEN＝180°﹣ ，
故答案为180°﹣ ．β
【点评】本题是几β何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形
的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23．（12分）综合与探究
如图，直线y＝﹣ x+4与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y＝ax2+ x+c经过B，C两
点，与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为点D．抛物线的对称
轴与x轴交于点E．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）点M是线段BC上一动点，连接DM并延长交x轴交于点F，当FM：FD＝1：4时，求点
M的坐标；
（3）点P是该抛物线上的一动点，设点P的横坐标为m，试判断是否存在这样的点P，使
∠PAB+∠BCO＝90°，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先由直线y＝﹣ x+4与x轴、y轴分别交于B、C两点求出点B、C的坐标，再
第30页（共34页）将点B、C的坐标代入y＝ax2+ x+c，列方程组求出a、c的值即可求得抛物线的表达式，再
将抛物线的表达式配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标；
（2）作MG⊥x轴于点G，证明△MGF∽△DEF，根据相似三角形的对应边成比例求出MG
的长即得到点M的纵坐标，再根据点M在直线BC上求出点M的横坐标即可；
（3）存在点P，使∠PAB+∠BCO＝90°，因为∠CBO+∠BCO＝90°，所以抛物线上的点P只
要满足∠PAB＝∠CBO即可，分两种情况，一是点P在x轴的上方，则点P与点C关于抛
物线的对称轴对称；二是点P在x轴的下方，则AP∥BC，分别求出相应的点P的坐标，即
可得到m的值．
【解答】解：（1）直线y＝﹣ x+4，当x＝0时，得y＝4，
∴点C的坐标为（0，4）；
当y＝0时，则 ，
解得x＝6，
∴点B的坐标为（6，0），
∵抛物线y＝ax2+ x+c经过B（6，0）、C（0，4），
∴ ，
解得 ，
∴抛物线线的表达式为 ；
∵ ＝ ，
∴抛物线的顶点D的坐标为（2， ）．
（2）如图1，作MG⊥x轴于点G，
∵∠MFG＝∠DFE，∠MGF＝∠DEF＝90°，
∴△MGF∽△DEF，
∴ ＝ ，
第31页（共34页）∵DE＝ ， ＝ ，
∴MG＝DE• ＝ × ＝ ，
∴点M的纵坐标为 ，
当 时，则 ，
解得x＝4，
∴点M的坐标为（4， ）．
（3）存在，
如图2，∵抛物线的顶点为D（2， ），
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
作点C关于直线x＝2的对称点P，连接AP，作PH⊥x轴于点H，则点P在抛物线上，
∵C（0，4），
∴P（4，4），H（4，0），
∵点A与点B（6，0）关于直线x＝2对称，
∴A（﹣2，0），
∴AH＝BO＝6，
∵∠AHP＝∠BOC＝90°，PH＝CO＝4，
∴△AHP≌△BOC（SAS），
∴∠PAB＝∠CBO，
∵∠CBO+∠BCO＝90°，
∴∠PAB+∠BCO＝90°，
此时点P的横坐标m的值为4；
如图3，过点A作AP∥BC交抛物线于另一点P，
∵∠PAB＝∠ABC，且∠ABC+∠BCO＝90°，
∴∠PAB+∠BCO＝90°，
设直线AP的表达式为y＝﹣ x+b，
第32页（共34页）将A（﹣2，0）代入y＝﹣ x+b得 +b＝0，
解得b＝﹣ ，
∴y＝﹣ x﹣ ，
由 得 ， ，
∴P（8，﹣ ），
此时点P的横坐标m的值为8，
综上所述，m的值为4或8．
第33页（共34页）【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求
函数表达式、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、用解方程组的方法求
函数图象的交点坐标等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．
第34页（共34页）
