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2021-2022学年山东省青岛市市南区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、
D的四个结论，其中只有一个是正确的，每小题选对得分，不选、错选或选出的标号超过一个
的不得分）
1．（3分）如图所示的几何体，其上半部有一个圆孔，则该几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实
数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣ B．k＜ C．k＞﹣ 且k≠0 D．k＜ 且k≠0
4．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平
移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1
5．（3分）已知函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，（﹣2，y ）、（1，y ）、（2，y ）是函数
1 2 3
y＝ 图象上的三个点，则y 、y 、y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 3 2 3 2 1 2 1 3 2 3 1
6．（3分）如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似
中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，使它与△ABC的相似比为2，设点B
第1页（共37页）的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（ ）
A．﹣2a+3 B．﹣2a+1 C．﹣2a+2 D．﹣2a﹣2
7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，已知图象经过点（﹣1，0），
其对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＜0；④若抛物线经
过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．上
述结论中正确个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（3分）如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD边上的点，∠EAF＝45°，则下列结论中
正确的有（ ）
①BE+DF＝EF；
②tan∠AMD＝ ；
③BM2+DN2＝MN2；
④若EF＝1.5，△AEF的面积是3，则正方形ABCD的面积为4．
第2页（共37页）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．（3分）计算：sin30°+cos45°＝ ．
10．（3分）儿童节期间，游乐场里有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干白球（每
个球除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得欢动世界通票一
张，已知参加这种游戏的有300人，游乐场为此游戏发放欢动世界通票60张，请你通过计
算估计袋中白球的数量是 个．
11．（3分）某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第
一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%．若要使半年以后的销售利润不变，
设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是 ．
12．（3分）如图，点A是反比例函数y＝ （x＞0）的图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，
AC交反比例函数y＝ （x＞0）的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点．若△PAB的面积
为2，则k的值为 ．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝9，AB＝6，点E是边CD上一点，DE＝2，连接AE，交
对角线BD于点G，将△ADE沿AE翻折，点D落在点F处，O是对角线BD的中点，连接
OF并延长交DC于点H，则线段FH的长为 ．
14．（3分）已知菱形ABCD两条对角线的长分别为6和8，若另一个菱形EFGH的周长和面
积分别是菱形ABCD周长和面积的2倍，则菱形EFGH两条对角线的长分别是 ．
第3页（共37页）三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。
15．（4分）已知：线段m．
求作：矩形ABCD，使矩形宽AB＝ m，对角线AC＝m．
四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）
16．（8分）（1）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0；
（2）用配方法求抛物线y＝x2+4x﹣5的开口方向、对称轴和顶点坐标．
17．（6分）2022年冬奥会将在中国北京举行，小明和小刚都计划去观看冬奥项目比赛．他们
都喜欢的冬奥项目分别是：A．“短道速滑”、B．“冰球”、C．“花样滑冰”和D．“跳台
滑雪”．小明和小刚计划各自在这4个冬奥项目中任意选择一个观看，每个项目被选择的
可能性相同．
（1）小明选择项目C．“花样滑冰”的概率是多少？
（2）用画树状图或列表的方法，求小明和小刚恰好选择同一项目观看的概率．
18．（6分）如图，一名垒球运动员进行投球训练，站在点O开始投球，球出手的高度是2米，
球运动的轨迹是抛物线，当球达到最高点E时，水平距离EG＝20米，与地面的高度EF＝
6米，掷出的球恰好落在训练墙AB上B点的位置，AB＝3米．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求点O到训练墙AB的距离OA的长度．
19．（6分）小明和小华约定一同去中山公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正
北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东37°方向前往游乐场D处；小华自南门B处
出发，沿正东方向行走150米来到达C处，再沿北偏东22.6°方向前往游 乐场D处与小明
汇合（如图所示），两人所走的路程相同，求公园北门A与游乐场D之间的距离．（结果取
整数，参考数据：sin22.6°＝ ，cos22.6°＝ ，tan22.6°＝ ，sin37°＝ ，cos37°＝ ，
第4页（共37页）tan37°＝ ）
20．（8分）如图，直线y＝k x+b与双曲线y＝ 交于A、B两点，已知A（﹣2，1），点B的纵坐
1
标为﹣3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求直线AB和双曲线的解析式；
（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，△OCP的面积是△ODB的面积的2
倍，求点P的坐标；
（3）直接写出不等式k x+b＜ 的解集．
1
21．（8分）已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得BE＝2AB，DH＝
2CD．连接EH，分别交AD，BC于点F，G．
（1）求证：AF＝CG；
（2）连接BD交EH于点O，若EH⊥BD，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四
边形BEDH是正方形？
第5页（共37页）22．（10分）红星公司销售自主研发的一种电子产品，已知该电子产品的生产成本为每件40
元，规定销售单价不低于44元，且销售每件产品的利润率不能超过50%，试销售期间发现，
当销售单价定为44元时，每月可售出300万件，销售单价每上涨1元，每月销售量减少10
万件，现公司决定提价销售，设销售单价为x元，每月销售量为y元．
（1）请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当电子产品的销售单价定为多少元时，公司每月销售电子产品获得的利润w最大？
最大利润是多少万元？
（3）若公司要使销售该电子产品每月获得的利润不低于2400万元，则每月的销售量最多
应为多少万件？
23．（10分）【观察与猜想】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，若
DE⊥CF，则 的值为 ；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，若
CE⊥BD，则 的值为 ；
【类比探究】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作
DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD；
【拓展延伸】
（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AD＝9，AB＝3，将△ABD沿BD翻折，点A落在
第6页（共37页）点C处，得到△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，若DE⊥CF，则 的值
为 ．
24．（12分）已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝6cm，BD＝8cm．
点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB
方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F．当直线EF
停止运动，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）．解答下列问题：
（1）用含t的代数式表示线段EF： ；
（2）当t为何值时，四边形ADFP是平行四边形；
（3）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（4）是否存在某一时刻t，使得PF与EF的夹角为45°？若存在，求出t的值，若不存在，说
明理由．
第7页（共37页）2021-2022学年山东省青岛市市南区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、
D的四个结论，其中只有一个是正确的，每小题选对得分，不选、错选或选出的标号超过一个
的不得分）
1．（3分）如图所示的几何体，其上半部有一个圆孔，则该几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据俯视图的意义，从上面看该几何体所得到的图形，结合各个选项中图形进行
判断即可
【解答】解：从上面看该几何体，能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，
因此所看到的图形与选项A中的图形相同，
故选：A．
【点评】本题考查简单几何体的俯视图，理解视图的意义是正确判断的前提，能看见的轮
廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示是正确判断的关键．
3．（3分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实
数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣ B．k＜ C．k＞﹣ 且k≠0 D．k＜ 且k≠0
第8页（共37页）【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k•（k﹣2）
＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k•（k﹣2）＞0，
解得k＞﹣ 且k≠0．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有
如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数
根；当Δ＜0时，方程无实数根．
4．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平
移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1
【分析】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，得到：y＝（x+2）2，
再向上平移1个单位长度得到：y＝（x+2）2+1．
故选：B．
【点评】此题主要考查二次函数图象与几何变换，正解掌握平移规律是解题的关键．
5．（3分）已知函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，（﹣2，y ）、（1，y ）、（2，y ）是函数
1 2 3
y＝ 图象上的三个点，则y 、y 、y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 3 2 3 2 1 2 1 3 2 3 1
【分析】先根据一次函数y＝kx过一、二、四象限判断出k的符号，再根据反比例函数的图
象与系数的关系判断出反比例函数y＝ 图象所在的象限及其增减性，再根据三点横
坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，
∴k＜0，
∴k﹣3＜0，
∴反比例函数y＝ 图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内y随x的增大
而增大，
第9页（共37页）∵（﹣2，y ）、（1，y ）、（2，y ）是函数y＝ 图象上的三个点，
1 2 3
∴点（﹣2，y ）在第二象限、点（1，y ）、（2，y ）在第四象限，
1 2 3
∴y ＞y ＞y ．
1 3 2
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出k的符号是解
答此题的关键．
6．（3分）如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似
中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，使它与△ABC的相似比为2，设点B
的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（ ）
A．﹣2a+3 B．﹣2a+1 C．﹣2a+2 D．﹣2a﹣2
【分析】设点B′的横坐标为x，根据数轴表示出BC、B′C的水平的距离，再根据位似比
列式计算即可．
【解答】解：设点B′的横坐标为x，
则B、C间的水平距离为a﹣1，B′、C间的水平距离为﹣x+1，
∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，
∴2（a﹣1）＝﹣x+1，
解得：x＝﹣2a+3，
故选：A．
【点评】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的水
平距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．
7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，已知图象经过点（﹣1，0），
其对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＜0；④若抛物线经
过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．上
第10页（共37页）述结论中正确个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据图象可判断abc的符号，可判断结论①，由图象与x轴的交点个数可判断②，
由对称轴及x＝﹣2时的函数值即可判断③，由x＝﹣3和对称轴即可判断④．
【解答】解：∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝1，
∴ ，
∴b＝﹣2a＞0，
∵图象与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，
∴①说法正确，
由图象可知抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴②错误，
由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＝4a﹣2（﹣2a）+c＝8a+c＜0，
∴③正确，
由题意可知x＝﹣3是ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的一个根，
∵对称轴是直线x＝1，
∴另一个根为x＝5，
∴④正确，
∴正确的有①③④，
故选：C．
第11页（共37页）【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与各系数之间的关系．
8．（3分）如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD边上的点，∠EAF＝45°，则下列结论中
正确的有（ ）
①BE+DF＝EF；
②tan∠AMD＝ ；
③BM2+DN2＝MN2；
④若EF＝1.5，△AEF的面积是3，则正方形ABCD的面积为4．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①将△ADF绕点A顺时针旋转90°使AD与AB重合，得△ABQ，根据正方形的性
质及会等三角形的性质可得答案；②根据三角形的外角性质及三角函数可得答案；③在
AQ上取一点H，使AH＝AN．连接BH，利用全等三角形的性质及勾股定理可得答案；④
过点A作AR⊥EF于点R，根据全等三角形的性质、角平分线的性质可得AR＝AB，然后由
三角形面积公式及正方形的面积公式可得答案．
【解答】解：①将△ADF绕点A顺时针旋转90°使AD与AB重合，得△ABQ，
∴△ABQ≌△ADF，
∴∠QAB＝∠DAF，AQ＝AF，∠ABQ＝∠ADF，BQ＝DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠EAB+∠DAF+∠EAF＝∠BAD＝90°，且∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠EAB＝45°，
第12页（共37页）∴∠QAB+∠EAB＝45°，
∴∠QAE＝∠FAE＝45°，
∵∠ABQ+∠ABE＝90°+90°＝180°，
∴点Q、B、E共线，
在△AEQ和△AEF中，
，
△AEQ≌△AEF（SAS）
∴EQ＝EF，
∵EQ＝BE+BQ＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF，故①正确；
②∵∠AND＝∠EAF+∠AMD＝∠BDC+∠AFD
∴∠AMD＝∠AFD，
∴tan∠AMD＝tan∠AFD，
在Rt△AFD中，
tan∠AFD＝ ，
∴tan∠AMD＝ ，故②正确；
③在AQ上取一点H，使AH＝AN．连接BH，
在△AMH和△AMN中，
，
∴△AMH≌△AMN（SAS），
∴MH＝MN，
同理，△ABH≌△ADN（SAS），
∴BH＝DN，∠ABH＝∠ADN＝45°，
∴∠HBM＝∠ABH+∠ABD＝90°，
在Rt△BMH中，MH2＝BH2+BM2，
∴MN2＝DN2+BM2，故③正确；
④假设EF∥BD时，过点A作AR⊥EF于点R，
第13页（共37页）∴AR在正方形对角线上，
∴∠RAE＝∠BAE，
∴EB＝ER，
∵AE＝AE，
∴Rt△AEB≌Rt△AER（HL），
∴∠AEB＝∠AEF，
∵AB⊥BC，AR⊥EF，
∴AR＝AB，
∵S△AEF ＝ EF•AR，
∴3＝ ×1.5•AR，
∴AR＝4，
∴S正方形ABCD ＝42＝16，
故④错误，
∴①②③正确，
故选：C．
【点评】此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定
理有解直角三角形，正确作出辅助线是解决此题关键．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．（3分）计算：sin30°+cos45°＝ ．
【分析】将特殊角的三角函数值代入计算即可．
【解答】解：原式＝ + ＝ ．
故答案为： ．
第14页（共37页）【点评】本题考查了特殊角的三角函数值的知识，比较简单，解答本题的关键是牢记特殊
角的三角函数值．
10．（3分）儿童节期间，游乐场里有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干白球（每
个球除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得欢动世界通票一
张，已知参加这种游戏的有300人，游乐场为此游戏发放欢动世界通票60张，请你通过计
算估计袋中白球的数量是 2 4 个．
【分析】设袋中共有m个球，根据摸到红球的概率求出球的总个数，即可解答．
【解答】解：设袋中共有m个红球，则摸到红球的概率P（红球）＝ ，
∴ ≈ ．（5分）
解得m≈24，
故答案为：24．
【点评】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频
率＝所求情况数与总情况数之比．
11．（3分）某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第
一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%．若要使半年以后的销售利润不变，
设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是 65× （ 1 ﹣ 10% ） × （ 1+5% ）
﹣ 5 0 （ 1 ﹣ x ） 2 ＝ 6 5 ﹣ 5 0 ．
【分析】设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据利润＝售价﹣成本价结合半年以后
的销售利润为（65﹣50）元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设每个季度平均降低成本的百分率为x，
依题意，得：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．
故答案为：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次
方程是解题的关键．
12．（3分）如图，点A是反比例函数y＝ （x＞0）的图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，
AC交反比例函数y＝ （x＞0）的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点．若△PAB的面积
为2，则k的值为 8 ．
第15页（共37页）【分析】连接OA、OB，由反比例函数系数k的几何意义可得S△AOC ＝6，S△BOC ＝ ，又
S△AOB ＝S△APB ＝2，所以S△AOC﹣S△BOC ＝2，代入计算即可得出k的值．
【解答】
解：连接OA、OB，
∵AC⊥x轴，
∴AC∥y轴，
∴S△AOB ＝S△APB ，
∵S△APB ＝2，
∴S△AOB ＝2，
由反比例函数系数k的几何意义可得：
S△AOC ＝6，S△BOC ＝ ，
∴6﹣ ＝2，
解得：k＝8，
故答案为8．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，利用平行线转化△PAB的面积为
△OAB的面积是解决问题的关键．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝9，AB＝6，点E是边CD上一点，DE＝2，连接AE，交
对角线BD于点G，将△ADE沿AE翻折，点D落在点F处，O是对角线BD的中点，连接
第16页（共37页）OF并延长交DC于点H，则线段FH的长为 ．
【分析】连接DF交AE于P，由翻折可知，AE垂直平分DF，P为DF中点，根据
△ABG∽△EDG，可得DG＝ BD，从而G为OD中点，PG是△DOF的中位线，可得PE
是△DFH的中位线，FH＝2PE，在Rt△ADE中，AE＝ ＝ ，根据AD•DE＝
AE•DP，得DP＝ ，在Rt△DPE中，PE＝ ，故FH＝2PE＝ ．
【解答】解：连接DF交AE于P，如图：
由翻折可知，AE垂直平分DF，P为DF中点，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴△ABG∽△EDG，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴DG＝ BD，
∵O为BD中点，
∴OD＝ BD，
第17页（共37页）∴DG＝ OD，
∴G为OD中点，
而P为DF中点，
∴PG是△DOF的中位线，
∴PG∥OF，即PE∥FH，
∴PE是△DFH的中位线，
∴FH＝2PE，
在Rt△ADE中，AE＝ ＝ ，
∵2S△ADE ＝AD•DE＝AE•DP，
∴DP＝ ＝ ，
在Rt△DPE中，PE＝ ＝ ，
∴FH＝2PE＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查矩形中的折叠，涉及三角形相似的判定及性质，三角形中位线定理及推
论、勾股定理等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，题目难度较大，属于中考填空题中
的压轴题．
14．（3分）已知菱形ABCD两条对角线的长分别为6和8，若另一个菱形EFGH的周长和面
积分别是菱形ABCD周长和面积的2倍，则菱形EFGH两条对角线的长分别是 2
﹣ 2 ， 2 +2 ．
【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形的两条对角线长分别是6和8，可求得OA＝
4，OB＝3，再由勾股定理求得边长，继而求得此菱形的周长与面积，然后根据勾股定理即
可得到结论．
【解答】解：如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，
∴OA＝ AC＝4，OB＝ BD＝3，AC⊥BD，
∴AB＝ ＝5，
第18页（共37页）∴菱形ABCD的周长是：5×4＝20，面积是： ×6×8＝24．
∵另一个菱形EFGH的周长和面积分别是菱形ABCD周长和面积的2倍，
∴菱形EFGH的周长和面积分别是40，48，
∴菱形EFGH的边长是10，
设菱形EFGH的对角线为2a，2b，
∴a2+b2＝100， ×2a×2b＝48，
∴a＝ ﹣ ，b＝ + ，
∴菱形EFGH两条对角线的长分别是2 ﹣2 ，2 +2 ，
故答案为：2 ﹣2 ，2 +2 ．
【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．关键是熟练掌握菱形的面积等于对角线积
的一半的知识点．
三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。
15．（4分）已知：线段m．
求作：矩形ABCD，使矩形宽AB＝ m，对角线AC＝m．
【分析】作线段m的垂直平分线，得MP＝ ，然后作一条线段的垂直平分线得到直角，
顶点记为A，然后再确定其它三个点的位置即可．
【解答】解：①作线段m的垂直平分线，得MP＝ ，
第19页（共37页）②作一条线段的垂直平分线得到直角，顶点记为A，再截取AB＝MP＝ ，
③以B为圆心，m为半径画弧，交直线a于点D，
④以A为圆心，m为半径画弧，以D为圆心， 为半径画弧，交点记为C，
∴矩形ABCD就是所求的矩形．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基
本作图方法．
四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）
16．（8分）（1）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0；
（2）用配方法求抛物线y＝x2+4x﹣5的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【分析】（1）先将二次项系数化为1，然后配方再开方求解．
（2）将二次函数解析式化为顶点式求解．
【解答】解：（1）2x2﹣3x﹣1＝0
x2﹣ x﹣ ＝0
第20页（共37页）x2﹣ x＝
x2﹣ x+ ＝ +
（x﹣ ）2＝
x﹣ ＝±
x ＝ ，x ＝ ．
1 2
（2）∵y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣9）．
【点评】本题考查解一元二次方程与二次函数的性质，解题关键是掌握配方法解一元二次
方程，掌握二次函数图象与系数的关系．
17．（6分）2022年冬奥会将在中国北京举行，小明和小刚都计划去观看冬奥项目比赛．他们
都喜欢的冬奥项目分别是：A．“短道速滑”、B．“冰球”、C．“花样滑冰”和D．“跳台
滑雪”．小明和小刚计划各自在这4个冬奥项目中任意选择一个观看，每个项目被选择的
可能性相同．
（1）小明选择项目C．“花样滑冰”的概率是多少？
（2）用画树状图或列表的方法，求小明和小刚恰好选择同一项目观看的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，小明和小刚恰好选择同一项目观看的结果有4种，
再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小明选择项目C．“花样滑冰”的概率是 ；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，小明和小刚恰好选择同一项目观看的结果有4种，
∴小明和小刚恰好选择同一项目观看的概率为 ＝ ．
第21页（共37页）【点评】本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．（6分）如图，一名垒球运动员进行投球训练，站在点O开始投球，球出手的高度是2米，
球运动的轨迹是抛物线，当球达到最高点E时，水平距离EG＝20米，与地面的高度EF＝
6米，掷出的球恰好落在训练墙AB上B点的位置，AB＝3米．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求点O到训练墙AB的距离OA的长度．
【分析】（1）根据抛物线的顶点设关系式为y＝a（x﹣20）2+6，再根据点C的坐标可得关系
式；
（2）把y＝3代入可得答案．
【解答】解：（1）由题意得，E（20，6）和C（0，2），
设抛物线的关系式为y＝a（x﹣20）2+6，
∴2＝a（0﹣20）2+6，
解得a＝﹣0.01，
∴抛物线的关系式为y＝﹣0.01（x﹣20）2+6；
（2）当y＝3时，3＝﹣0.01（x﹣20）2+6，
解得x ＝20+10 ，x ＝20﹣10 （舍去），
1 2
答：点O到训练墙AB的距离OA的长度为（20+10 ）米．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，利用待定系数法得到抛物线的关系式是解题关键．
19．（6分）小明和小华约定一同去中山公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正
北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东37°方向前往游乐场D处；小华自南门B处
出发，沿正东方向行走150米来到达C处，再沿北偏东22.6°方向前往游 乐场D处与小明
汇合（如图所示），两人所走的路程相同，求公园北门A与游乐场D之间的距离．（结果取
整数，参考数据：sin22.6°＝ ，cos22.6°＝ ，tan22.6°＝ ，sin37°＝ ，cos37°＝ ，
第22页（共37页）tan37°＝ ）
【分析】作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，易得四边形BCFE是矩形，则BE＝CF，EF＝BC＝
150 m，设DF＝xm，则DE＝（x+150）m，在Rt△ADE中利用含30度的直角三角形三边的
关系得到AD＝（ ）m，在Rt△DCF中，CD＝ m，根据两人所走的路程相同得
到关于x的方程，求得x的值，进而求得AD．
【解答】解：作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，
∵BC⊥AB，
∴四边形BCFE是矩形，
∴BE＝CF，EF＝BC＝150 m，
设DF＝xm，则DE＝（x+150）m，
在Rt△ADE中，∠BAD＝37°，
第23页（共37页）∴AD＝ ＝ m，
在Rt△DCF中，∠FCD＝22.6°，
∴CD＝ m，
∵AD＝CD+BC，
∴ ＝ +150，
解得x＝ （m），
即DF＝ m，
∴AD＝ m，
故公园北门A与游乐场D之间的距离约为429米．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确构建直角三角形是解题的
关键．
20．（8分）如图，直线y＝k x+b与双曲线y＝ 交于A、B两点，已知A（﹣2，1），点B的纵坐
1
标为﹣3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求直线AB和双曲线的解析式；
（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，△OCP的面积是△ODB的面积的2
倍，求点P的坐标；
（3）直接写出不等式k x+b＜ 的解集．
1
【分析】（1）利用待定系数法求出双曲线的解析式，进而求出点B的坐标，最后用待定系
第24页（共37页）数法，即可得出结论；
（2）连接OB，PO，PC，先求出OD，利用三角形面积公式求出S△ODB ，进而得出S△OCP ，再
求出OC，设点P的纵坐标为n，再由△OCP的面积是△ODB的面积的2倍，得到关于n
的方程，解方程即可求得求出点P的纵坐标，即可得出结论；
（3）直接利用图象即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点A在双曲线y＝ 上，A（﹣2，1），
∴k ＝﹣2×1＝﹣2，
2
∴双曲线的解析式为y＝﹣ ，
∵点B在双曲线上，且纵坐标为﹣3，
∴﹣3＝﹣ ，
∴x＝ ，
∴B（ ，﹣3），
将点A（﹣2，1），B（ ，﹣3）代入直线y＝k x+b中得， ，
1
∴ ，
∴直线AB的解析式为y＝﹣ x﹣2；
（2）如图2，连接OB，PO，PC；
∵D（0，﹣2），
∴OD＝2，
∴S△ODB ＝ OD•x
B
＝ ×2× ＝ ，
∵△OCP的面积是△ODB的面积的2倍，
∴S△OCP ＝2S△ODB ＝2× ＝ ，
第25页（共37页）∵直线AB的解析式为y＝﹣ x﹣2，
令y＝0，则﹣ x﹣2＝0，
∴x＝﹣ ，
∴OC＝ ，
设点P的纵坐标为n，
∴S△OCP ＝ OC•y
P
＝ × n＝ ，
∴n＝2，
∵点P在双曲线y＝﹣ 上，
∴2＝﹣ ，
∴x＝﹣1，
∴P（﹣1，2）；
（3）由图象知，不等式k x+b＜ 的解集为﹣2＜x＜0或x＞ ．
1
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，坐标系中求三角形面积的方
法，求出点B的坐标是解本题的关键．
21．（8分）已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得BE＝2AB，DH＝
2CD．连接EH，分别交AD，BC于点F，G．
（1）求证：AF＝CG；
（2）连接BD交EH于点O，若EH⊥BD，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四
第26页（共37页）边形BEDH是正方形？
【分析】（1）要证明AF＝CG，只要证明△EAF≌△HCG即可；
（2）利用已知可得四边形BEDH是菱形，所以当AE2+DE2＝AD2时，∠BED＝90°，四边形
BEDH是正方形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，
∴∠AEF＝∠CHG，
∵BE＝2AB，DH＝2CD，
∴BE＝DH，
∴BE﹣AB＝DH﹣DC，
∴AE＝CH，
∵∠BAD+∠EAF＝180°，∠BCD+∠GCH＝180°，
∴∠EAF＝∠GCH，
∴△EAF≌△HCG（ASA），
∴AF＝CG；
（2）当AD＝ AB时，四边形BEDH是正方形，
理由：∵BE∥DH，BE＝DH，
∴四边形EBHD是平行四边形，
∵EH⊥BD，
∴四边形EBHD是菱形，
∴ED＝EB＝2AB，
当AE2+DE2＝AD2时，
则∠BED＝90°，
第27页（共37页）∴四边形BEDH是正方形，
即AB2+（2AB）2＝AD2，
∴AD＝ AB，
∴当AD＝ AB，四边形BEDH是正方形．
【点评】本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，结合图
形分析并熟练掌握正方形的判定，平行四边形的性质，是解题的关键．
22．（10分）红星公司销售自主研发的一种电子产品，已知该电子产品的生产成本为每件40
元，规定销售单价不低于44元，且销售每件产品的利润率不能超过50%，试销售期间发现，
当销售单价定为44元时，每月可售出300万件，销售单价每上涨1元，每月销售量减少10
万件，现公司决定提价销售，设销售单价为x元，每月销售量为y元．
（1）请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当电子产品的销售单价定为多少元时，公司每月销售电子产品获得的利润w最大？
最大利润是多少万元？
（3）若公司要使销售该电子产品每月获得的利润不低于2400万元，则每月的销售量最多
应为多少万件？
【分析】（1）根据题意可得y与x的函数关系式；
（2）计算利润W＝销量×每件的利润﹣支付的费用，化为顶点式，可得结论；
（3）根据题意列出一元二次方程，再结合x的取值范围可得答案．
【解答】解：（1）由题意得，y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740（44≤x≤60），
答：y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+740（44≤x≤60）；
（2）设当销售单价定为x元时，该公司每月销售利润为w万元，
则w＝（x﹣40）（﹣10x+740）＝﹣10x2+1140x﹣29600＝﹣10（x﹣57）2+2890，
答：当销售单价定为57元时，该公司每月销售利润最大，最大是2890万元；
（3）由题意得，﹣10x2+1140x﹣29600＝2400，
解得x ＝64（舍去），x ＝50，
1 2
∴50≤x≤60，
∵y＝﹣10x+740中，y随x的增大而减小，
∴当x＝50时，y最大＝240，
∴每月的销售量最多应为240万件．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，是一道综合性较强的代数应用题，能力要求比较
高．
第28页（共37页）23．（10分）【观察与猜想】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，若
DE⊥CF，则 的值为 1 ；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，若
CE⊥BD，则 的值为 ；
【类比探究】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作
DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD；
【拓展延伸】
（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AD＝9，AB＝3，将△ABD沿BD翻折，点A落在
点C处，得到△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，若DE⊥CF，则 的值
为 ．
【分析】（1）通过证明△AED≌△DFC得到ED＝FC，结论可得；
（2）通过证明△EDC∽△DCB，得到 ，利用矩形的性质结论可得；
（3）过点 F 作 FH⊥BC 于点 H，则四边形 ABHF 为矩形；类比（2）的方法证明
△AED∽△HCF，即可得出结论；
（4）解法一：过点C作CM⊥AD于点M，连接AC，交BD 与点H，利用勾股定理和相似三
角形的性质求得AH，BH，AC，DH的长度，利用三角形的面积公式求得CM的长度，类比
（2）的方法证明△AED∽△FMC，利用相似三角形的性质即可得出结论．
解法二：直接证明三角形AFC相似于三角形BED，利用相似三角形的性质可得 ．
第29页（共37页）【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝CD．
∴∠ADE+∠EDC＝90°．
∵DE⊥CF，
∴∠ADE+∠DFC＝90°．
∴∠AED＝∠DFC．
在△AED和△DFC中，
，
∴△AED≌△DFC（AAS）．
∴ED＝FC．
∴ ＝1．
故答案为：1．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝∠DCB＝90°．
∴∠ADB+∠BDC＝90°．
∵CE⊥BD，
∴∠ADB+∠DEC＝90°．
∴∠BDC＝∠DEC．
∵∠EDC＝∠DCB＝90°，
∴△EDC∽△DCB，
∴ ．
∵AD＝BC＝7，CD＝4，
∴ ＝ ．
故答案为： ．
（3）证明：过点F作FH⊥BC于点H，如图，
第30页（共37页）∵∠A＝∠B＝90°，FH⊥BC，
∴四边形ABHF为矩形．
∴AB＝FH，∠AFH＝90°．
∴∠HFC+∠DFG＝90°．
∵∠CFH+∠HCF＝90°，
∴∠HCF＝∠DFG．
∵CG⊥DG，∠A＝90°，
∴∠A＝∠G＝90°．
∵∠ADE＝∠GDF，
∴∠AED＝∠DFG，
∴∠AED＝∠HCF．
∵∠A＝∠FHC＝90°，
∴△AED∽△HCF．
∴ ．
∴ ．
∴DE•AB＝CF•AD；
（4）解法一：过点C作CM⊥AD于点M，连接AC，交BD 与点H，如图，
由题意：△ABD与△CBD关于BD轴对称，
∴BD垂直平分AH，
即AH＝HC，AH⊥BD．
∵∠BAD＝90°，BD⊥AH，
第31页（共37页）∴△ABH∽△BDA．
∴ ．
∴AB2＝BH•BD．
∵BD2＝AB2+AD2，
∴BD＝ ，
∴BH＝ ．
∴DH＝BD﹣BH＝ ．
∵AH＝ ，
∴AC＝2AH＝ ．
∵ ，
∴ × ＝9×CM．
∴CM＝ ．
∵∠BAD＝90°，
∴∠AED+∠ADE＝90°．
∵CF⊥DE，
∴∠CFD+∠EDA＝90°．
∴∠AED＝∠CFD．
∵∠EAD＝∠FMC＝90°，
∴△AED∽△FMC．
∴ ．
解法二：连接AC，交BD 与点H，设DE，FC交于点G，BD，FC交于点M，如图，
第32页（共37页）：△ABD与△CBD关于BD轴对称，
∴BD垂直平分AH，
即AH＝HC，AH⊥BD．
∵∠BAD＝90°，BD⊥AH，
∴△ABH∽△BDA．
∴ ．
∴AB2＝BH•BD．
∵BD2＝AB2+AD2，
∴BD＝ ，
∴BH＝ ．
∴DH＝BD﹣BH＝ ．
∵AH＝ ，
∴AC＝2AH＝ ．
∵∠ACF+∠BMC＝90°，∠BDE+∠DMF＝90°，
∴∠ACF+∠BMC＝∠BDE+∠DMF．
∵∠BMC＝∠DMF，
∴∠ACF＝∠BDE．
∵∠EBD+∠BAH＝90°，∠FAC+∠BAH＝90°，
∴∠EBD＝∠FAC，
∴△BED∽△AFC．
∴ ＝ ．
第33页（共37页）故答案为： ．
【点评】本题是相似三角形的综合题，主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定
与性质，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角形的面积，利用礼拜的方法解答
是解题的关键．
24．（12分）已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝6cm，BD＝8cm．
点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB
方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F．当直线EF
停止运动，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）．解答下列问题：
（1）用含t的代数式表示线段EF： cm ；
（2）当t为何值时，四边形ADFP是平行四边形；
（3）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（4）是否存在某一时刻t，使得PF与EF的夹角为45°？若存在，求出t的值，若不存在，说
明理由．
【分析】（1）证明△DEF∽△DAC，进而求得结果；
（2）证明并根据△DQF∽△DOC表示出DF，根据DF＝AP求得结果；
（3）根据S四边形APFE ＝﹣S梯形APFD ﹣S△DEF ，分别计算出梯形ADFP和三角形DEF的面积，
进而求得结果；
（4）设PF与BD交于点H，作PG⊥BD于G，依次表示出PG，BG，QF，HQ，BH＝BD﹣DQ
﹣HQ，根据H＝BG+GH列出方程求得结果．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OD＝ ，OC＝ ，
∵EF⊥BD，
第34页（共37页）∴EF∥AC，
∴△DEF∽△DAC，
∴ ，
∴ ，
∴EF＝ ．
故答案是： cm；
（2）在Rt△COD中，OC＝3，OD＝4，
∴CD＝5，
∵EF∥AC，
∴△DQF∽△DOC，
∴ ，
∴ ，
∴DF＝ ，
∵AP∥DF，
∴当AP＝DF时，四边形ADFP是平行四边形，
∴5﹣t＝ ，
∴t＝ ；
（3）如图1，
第35页（共37页）作CG⊥AB于G，
∵ 得，
5•CG＝ 6×8，
∴CG＝ ，
∵S梯形APFD ＝ ＝ ＝ 12，
＝ ＝ ，
∴S四边形APFE ＝﹣S梯形APFD ﹣S△DEF ＝﹣ + +12，
∴y＝﹣ + +12；
（4）如图2，
假设存在t，使∠PFE＝45°，设PF与BD交于点H，作PG⊥BD于G，
∴PG＝BP•sinABD＝t• ＝ ，BG＝BP•cos∠ABD＝t ＝ ，
第36页（共37页）QF＝DQ•tan∠CDB＝t ＝ ，
∵∠PQH＝90°，∠PFE＝45°，
∴∠FHQ＝45°，
∴HQ＝QF＝ ，
∴BH＝BD﹣DQ﹣HQ＝8﹣t﹣ ＝8﹣ ，
∵∠PGH＝90°，∠PHG＝∠FHQ＝45°，
∴PG＝GH＝ ，
由BH＝BG+GH得，
8﹣ ＝ + ，
∴t＝ ，
∴当t＝ 时，PF与EF的夹角为45°．
【点评】本题考查了菱形性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，
锐角三角函数概念等知识，解决问题的关键是找出数量关系列方程求解．
第37页（共37页）
