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2021-2022学年陕西省西安市长安区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）下列各组线段中，成比例的一组线段是（ ）
A．2、3、4、5 B．2、3、4、8 C．2、3、4、7 D．2、3、4、6
2．（3分）如图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板，则下列物体中既可以堵住圆形空洞，
又可以堵住方形空洞的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）a，b是实数，点A（4，a）、B（5，b）在反比例函数y＝ 的图象上，则（ ）
A．a＜b＜0 B．b＜a＜0 C．a＜0＜b D．b＜0＜a
4．（3分）如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠BAC的值等于（
）
A． B．3 C．1 D．
5．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9
6．（3分）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝ ，tanB＝ ，则△ABC的形状是（
）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
第1页（共24页）7．（3分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，CE与AD交于点M，∠ACE＝∠B，下列
结论中不正确的是（ ）
A．△ACM∽△ABD B．△ACE∽△ABC C．△AEM∽△CDM D．△AEM∽△ACD
8．（3分）如图，点A在x轴的正半轴上，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线y＝ （k
＞0，x＞0）于点P，且OA•MP＝10，则k的值为（ ）
A．﹣5 B．5 C．20 D．10
9．（3分）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC＝140°，则
∠OED的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（
）
A．a＜0，b＜0，c＝0 B．a＞0，b＜0，c＝0
C．a＜0，b＞0，c＝0 D．a＞0，b＞0，c＝0
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
第2页（共24页）11．（3分）反比例函数y＝ 的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点A（1，
3），请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点，你找的点的坐标为 ．
12．（3分）在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同，摇匀
后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸球100次，其中有
40次摸到黑球，估计袋中红球的个数是 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ADC＝∠ACB，若AC＝2，AD＝1，则
DB＝ ．
14．（3分）抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象如图，若将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位，
则平移后的解析式为 ．
15．（3分）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为6和2，点F，G分别在边BC，
CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为 ．
三、解答题（共11小题，计75分解答应写出过程）
16．（5分）计算： （sin60°﹣cos45°）﹣（ +6）．
17．（5分）解方程：x2﹣2＝x（5﹣2x）．
第3页（共24页）18．（5分）已知 ，2x+y≠0，求 的值．
19．（5分）如图，AB、CD两根木杆竖直地立在地面上，课间小明观察到木杆AB在地面上的
影子为BE，B、E、D在一条直线上，请用尺规作出木杆CD此时在地面上的影子DP．
20．（7分）如图，已知一次函数y ＝x+b（b为常数）的图象与反比例函数y ＝ （k为常数）的
1 2
图象相交于A、B两点，已知点A的坐标为（1，4）．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求点B的坐标，并根据图象直接写出满足y ≥y 的自变量x的取值范围．
1 2
21．（7分）一天小明与父亲爬山，在停车场附近看到了一棵树，小明想测量这棵树的高度，他
发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上（如图所示），此时测得地面上的影长为12米，坡
面上的影长为5米，斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的拐杖在
地面上的影长为2.5米，求这棵树的高度（结果精确到0.1米）．
22．（7分）有两部大小一样但型号不同的手机A、B，现有6个手机壳，其中与手机A匹配的手
机壳有2个，与手机B匹配的手机壳有3个，还有1个手机壳与两部手机都不匹配．
（1）从6个手机壳中随机的取一个，求恰好与手机A匹配的概率；
（2）随机取一部手机和一个手机壳，求恰好能匹配的概率（用树状图或列表法解答）．
第4页（共24页）23．（8分）如图，在正方形ABCD中，点P是BC延长线上一点，连结AP，过点B作BE⊥AP
于点E，过点D作DF⊥AP于点F．
（1）证明：△ABE≌△DAF；
（2）若AB＝10，∠P＝30°，求EF的长．
24．（8分）为了满足初中学业水平体育与健康考试的需求，某体育用品专卖店从厂家以单价
40元进购了一种排球，如果以单价60元出售，那么每月可售出400个，根据销售经验，销
售单价每提高1元，销售量相应减少5个．
（1）设销售单价提高x元，则每个排球获得的利润是 元；这种排球这个月的销售
量是 个；
（2）若该专卖店准备在这种排球销售上一月获利10500元，同时又要使顾客得到实惠，则
售价应定为多少元？
25．（8分）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边的点F处
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）已知AB＝3，AD＝5，求tan∠DAE的值．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐
标为（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝ ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是直线BC上方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为
16，若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，当四边形ABPC的面积最大时，求出点P的坐标．
第5页（共24页）第6页（共24页）2021-2022学年陕西省西安市长安区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）下列各组线段中，成比例的一组线段是（ ）
A．2、3、4、5 B．2、3、4、8 C．2、3、4、7 D．2、3、4、6
【分析】根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外
两个数的积可判断四条线段成比例．
【解答】解：A、2×5≠3×4，所以选项A不符合题意；
B、2×8≠3×4，所以B选项不符合题意；
C、2×7≠3×4，所以C选项不符合题意；
D、2×6＝3×4，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排
列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线
段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
2．（3分）如图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板，则下列物体中既可以堵住圆形空洞，
又可以堵住方形空洞的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题中，圆柱的俯视图是个圆，可以堵住圆形空洞，它的正视图和左视图是个矩形，
可以堵住方形空洞．
【解答】解：根据三视图的知识来解答．圆柱的俯视图是一个圆，可以堵住圆形空洞，而它
的正视图以及侧视图都为一个矩形，可以堵住方形的空洞，故圆柱是最佳选项．
故选：B．
第7页（共24页）【点评】本题将立体图形的三视图运用到了实际中，只要弄清楚了立体图形的三视图，解
决这类问题其实并不难．
3．（3分）a，b是实数，点A（4，a）、B（5，b）在反比例函数y＝ 的图象上，则（ ）
A．a＜b＜0 B．b＜a＜0 C．a＜0＜b D．b＜0＜a
【分析】由k＝﹣3＜0，可得到图象位于二、四象限，y随x的增大而增大，再由A（4，a）、B
（5，b）两点横坐标的大小判断出a、b，再由图象的位置进而判断出a、b、0，之间的关系．
【解答】解：∵k＝﹣3＜0，
∴图象位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴点A（4，a）、B（5，b）在第四象限内图象上的两点，
∴a＜b＜0，
故选：A．
【点评】考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质是正确判断的前提，
利用图象法则会更直观．
4．（3分）如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠BAC的值等于（
）
A． B．3 C．1 D．
【分析】求出△ABC三边的长，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，利用锐
角三角函数得出结论．
【解答】解：∵AC＝ ，AB＝ ，BC＝ ，
∴AC2＝2，AB2＝20，BC2＝18，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴tan∠BAC＝ ，
第8页（共24页）故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理及锐角三角函数的边角关系．利用勾股定理的逆定理得出
△ABC是直角三角形是解决本题的关键．
5．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：由原方程移项，得
x2﹣2x＝5，
方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得
x2﹣2x+1＝6
∴（x﹣1）2＝6．
故选：C．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用
配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
6．（3分）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝ ，tanB＝ ，则△ABC的形状是（
）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
【分析】由已知求出∠A、∠B的度数，再由三角形的内角和定理求出∠C的度数，得∠A＝
∠B＝∠C，即可得出结论．
【解答】解：∵∠A、∠B都是锐角，且sinA＝ ，tanB＝ ，
∴∠A＝60°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∴△ABC为等边三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的判定、特殊角的三角函数值等知识，解答
第9页（共24页）本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值，求得∠A、∠B的度数．
7．（3分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，CE与AD交于点M，∠ACE＝∠B，下列
结论中不正确的是（ ）
A．△ACM∽△ABD B．△ACE∽△ABC C．△AEM∽△CDM D．△AEM∽△ACD
【分析】利用相似三角形的判定依次判断可得结论．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，且∠ACE＝∠B，
∴△ACM∽△ABD，故A不符合题意；
∵∠ACE＝∠B，∠CAE＝∠CAB，
∴△ACE∽△ABC，故B不符合题意；
∵△ACE∽△ABC，
∴∠ACD＝∠AEC，且∠DAC＝∠BAD，
∴△AEM∽△ACD，故D不符合题意；
由条件无法证明△AEM与△CDM相似，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是本题的关键．
8．（3分）如图，点A在x轴的正半轴上，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线y＝ （k
＞0，x＞0）于点P，且OA•MP＝10，则k的值为（ ）
第10页（共24页）A．﹣5 B．5 C．20 D．10
【分析】设P（x，y），则可表示出MP，由M为OA的中点，可求得OA，由条件可求得xy，则
可求得k的值．
【解答】解：设P（x，y）则MP＝y，
∵M为OA的中点，
∴OA＝2x，
∵OA•MP＝10，
∴2xy＝10，
∴xy＝5，
∴k＝5．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示出线段的长度是解题的关键．
9．（3分）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC＝140°，则
∠OED的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】由菱形的性质可得∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC＝70°，BO＝DO，由直角三角形的性
质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝140°，
∴∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC＝70°，BO＝DO，
∵DE⊥BC，
∴OE＝OD＝OB，∠BDE＝20°，
∴∠ODE＝∠OED＝20°，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（
第11页（共24页））
A．a＜0，b＜0，c＝0 B．a＞0，b＜0，c＝0
C．a＜0，b＞0，c＝0 D．a＞0，b＞0，c＝0
【分析】根据抛物线所在的象限确定字母的符号．
【解答】解：如图所示：抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，过原点．
∴a＞0，b＞0，c＝0．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象，掌握a，b，c对图象位置的作用是求解本题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
11．（3分）反比例函数y＝ 的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点A（1，
3），请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点，你找的点的坐标为 （﹣ 1 ，﹣ 3 ） ．
【分析】根据“第一象限内的图象经过点A（1，3）”先求出函数解析式，给x一个负数值，
求出y值即可得到坐标．
【解答】解：∵图象经过点A（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴函数解析式为y＝ ，
当x＝﹣1时，y＝ ＝﹣3，
∴P点坐标为（﹣1，﹣3），
故答案为：（﹣1，﹣3）．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，是开放型题目，答案不唯一，只要
符合题意即可，点在第三象限，横坐标与纵坐标均为负数．
第12页（共24页）12．（3分）在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同，摇匀
后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸球100次，其中有
40次摸到黑球，估计袋中红球的个数是 6 ．
【分析】利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为 ，然后根据概率公式构建方程求
解即可．
【解答】解：设袋中红球的个数是x个，根据题意得：
＝ ，
解得：x＝6，
经检验：x＝6是分式方程的解，
即估计袋中红球的个数是6个，
故答案为6．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位
置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋
势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，
随试验次数的增多，值越来越精确．
13．（3分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ADC＝∠ACB，若AC＝2，AD＝1，则
DB＝ 3 ．
【分析】根据∠ADC＝∠ACB，∠A是公共角，得出△ACD∽△ABC，再利用相似三角形得
性质进而得出AB的长度，求出答案即可．
【解答】解：在△ACD和△ABC中，
∵∠ADC＝∠ACB，∠A是公共角，
∴△ACD∽△ABC，
∴ ＝ ，
∵AC＝2，AD＝1，
第13页（共24页）∴AB＝4，
∴DB＝AB﹣AD＝4﹣1＝3，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及相似三角形的性质，根据已知得出AB的
长是解题关键．
14．（3分）抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象如图，若将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位，
则平移后的解析式为 y ＝﹣ x 2 ﹣ 2 x ．
【分析】先求出如图所示的抛物线的解析式，再根据“左加右减、上加下减”的原则进行
解答即可．
【解答】解：由题中图象可知，对称轴为直线x＝1，
所以﹣ ＝1，即b＝2．
把点（3，0）代入y＝﹣x2+2x+c，
得0＝﹣9+6+c，解得c＝3．
故原图象的解析式为y＝﹣x2+2x+3，即y＝﹣（x﹣1）2+4，
将抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得y＝﹣（x﹣1+2）
2+4﹣3，即y＝﹣x2﹣2x．
故答案为y＝﹣x2﹣2x．
【点评】本题考查了抛物线解析式的确定及二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握二
次函数的性质及图象平移的规律：左加右减，上加下减．
15．（3分）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为6和2，点F，G分别在边BC，
CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为 2 ．
第14页（共24页）【分析】延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H，则PH是△OAE的中位线，求得PH的
长和HG的长，在Rt△PGH中利用勾股定理求解．
【解答】解：延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．
则PH∥AB．
∵P是AE的中点，
∴PH是△AOE的中位线，
∴PH＝ OA＝ （6﹣2）＝2．
∵直角△AOE中，∠OAE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，即OA＝OE＝4，
同理△PHE中，HE＝PH＝2．
∴HG＝HE+EG＝2+2＝4．
∴在Rt△PHG中，PG＝ ．
故答案是2
【点评】本题考查了勾股定理和三角形的中位线定理，正确作出辅助线构造直角三角形是
关键．
三、解答题（共11小题，计75分解答应写出过程）
16．（5分）计算： （sin60°﹣cos45°）﹣（ +6）．
【分析】首先计算小括号里面的加法和减法，然后计算乘法，最后从左向右依次计算即可．
第15页（共24页）【解答】解： （sin60°﹣cos45°）﹣（ +6）
＝ ×（ ﹣ ）﹣（ +6）
＝ × ﹣ × ﹣ ﹣6
＝ ﹣1﹣ ﹣6
＝﹣7．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有
理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要
先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范
围内仍然适用．
17．（5分）解方程：x2﹣2＝x（5﹣2x）．
【分析】化成一般式，然后利用因式分解法求解即可．
【解答】解：原方程整理得3x2﹣5x﹣2＝0，
（3x+1）（x﹣2）＝0，
∴3x+1＝0或x﹣2＝0，
∴x ＝﹣ ，x ＝2．
1 2
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，
配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
18．（5分）已知 ，2x+y≠0，求 的值．
【分析】利用设k法进行计算即可解答．
【解答】解：设 ＝k，
∴x＝2k，y＝3k，z＝5k，
∴ ＝ ＝ ＝﹣ ，
∴ 的值为﹣ ．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法进行计算是解题的关键．
19．（5分）如图，AB、CD两根木杆竖直地立在地面上，课间小明观察到木杆AB在地面上的
第16页（共24页）影子为BE，B、E、D在一条直线上，请用尺规作出木杆CD此时在地面上的影子DP．
【分析】在CD的右侧作∠DCP＝∠A，CP交BD于点P，线段DP即为所求．
【解答】解：如图，线段DP即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中
考常考题型．
20．（7分）如图，已知一次函数y ＝x+b（b为常数）的图象与反比例函数y ＝ （k为常数）的
1 2
图象相交于A、B两点，已知点A的坐标为（1，4）．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求点B的坐标，并根据图象直接写出满足y ≥y 的自变量x的取值范围．
1 2
【分析】（1）由点A的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征可得出反比例函数系数
k，由此即可得出反比例函数解析式；由点A的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解
析式；
（2）联立两函数解析式，求出两函数交点坐标，根据函数图象的上下位置关系即可得出结
论．
第17页（共24页）【解答】解：（1）∵点A（1，4）在反比例函数y ＝ （k为常数）的图象上，
2
∴k＝1×4＝4，
∴反比例函数解析式为y ＝ ；
2
将点A（1，4）代入y ＝x+b中得：4＝1+b，
1
解得：b＝3，
∴一次函数解析式为y ＝x+3．
1
（2）联立两函数解析式得： ，
解得： 或 ，
∴B（﹣4，﹣1），
观察函数图形，发现：
当﹣4≤x＜0或x≥1时，一次函数图象不在反比例函数图象下方，
∴满足y ≥y 的自变量x的取值范围是﹣4≤x＜0或x≥1．
1 2
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征
以及待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键．
21．（7分）一天小明与父亲爬山，在停车场附近看到了一棵树，小明想测量这棵树的高度，他
发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上（如图所示），此时测得地面上的影长为12米，坡
面上的影长为5米，斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的拐杖在
地面上的影长为2.5米，求这棵树的高度（结果精确到0.1米）．
【分析】延长AC、BF交于点D，过点C作CE⊥BD于E，根据直角三角形的性质求出CE，
根据余弦的定义求出EF，根据题意求出DE，进而求出BD，计算即可．
【解答】解：延长AC、BF交于点D，过点C作CE⊥BD于E，
在Rt△CEF中，∠CEF＝90°，∠CFE＝30°，CF＝5m，
∴CE＝ （米），EF＝5cos30°＝ （米），
第18页（共24页）∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2.5米，
∴DE＝2.5CE＝ （米），
∴BD＝BF+EF+DE＝12+ + ＝（ + ）米，
∴AB＝BD÷2.5＝（ + ）× ≈9.0（米），
答：这棵树的高度约为9.0米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用以及相似三角形的性质，解决本题的关键是作
出辅助线、得到AB的影长．
22．（7分）有两部大小一样但型号不同的手机A、B，现有6个手机壳，其中与手机A匹配的手
机壳有2个，与手机B匹配的手机壳有3个，还有1个手机壳与两部手机都不匹配．
（1）从6个手机壳中随机的取一个，求恰好与手机A匹配的概率；
（2）随机取一部手机和一个手机壳，求恰好能匹配的概率（用树状图或列表法解答）．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图（与手机A匹配的手机壳用a 、a 表示，与手机B匹配的手机壳用b 、b 、b
1 2 1 2 3
表示，与两部手机都不匹配的手机壳用c表示）展示所有12种等可能的结果，再找出恰好
能匹配的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）从6个手机壳中随机的取一个，恰好与手机A匹配的概率＝ ＝ ；
（2）画树状图为：（与手机A匹配的手机壳用a 、a 表示，与手机B匹配的手机壳用b 、b 、
1 2 1 2
b 表示，与两部手机都不匹配的手机壳用c表示）
3
共有12种等可能的结果，其中恰好能匹配的结果数为5，
第19页（共24页）所以恰好能匹配的概率＝ ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果，再
从中选出符合事件A或B的结果数目，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
23．（8分）如图，在正方形ABCD中，点P是BC延长线上一点，连结AP，过点B作BE⊥AP
于点E，过点D作DF⊥AP于点F．
（1）证明：△ABE≌△DAF；
（2）若AB＝10，∠P＝30°，求EF的长．
【分析】（1）根据正方形的性质及全等三角形的判定可得答案；
（2）由正方形的性质及直角三角形的性质可得DF和AE的长，再由线段的和差关系可得
答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，
∵BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠AEB＝∠DFA＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝∠BAE+∠FAD＝90°，
∴∠ABE＝∠DFA，
∴△ABE≌△DAF（AAS）；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∠APB＝30°，
∴AD∥BC，
∴∠DAP＝∠APB＝30°，
∵DF⊥AP，
∴DF＝ AD＝ ＝5，
在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF＝ ＝ ＝5 ，
∵△ABE≌△DAF，
∴AE＝DF＝5，
第20页（共24页）∴EF＝5 ．
【点评】此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形性
质，掌握它们的性质定理是解决此题的关键．
24．（8分）为了满足初中学业水平体育与健康考试的需求，某体育用品专卖店从厂家以单价
40元进购了一种排球，如果以单价60元出售，那么每月可售出400个，根据销售经验，销
售单价每提高1元，销售量相应减少5个．
（1）设销售单价提高x元，则每个排球获得的利润是 （ 20+ x ） 元；这种排球这个月的
销售量是 （ 40 0 ﹣ 5 x ） 个；
（2）若该专卖店准备在这种排球销售上一月获利10500元，同时又要使顾客得到实惠，则
售价应定为多少元？
【分析】（1）利用每个排球获得的利润＝售价﹣进价，即可用含x的代数式表示出每个排
球获得的利润；利用月销售量＝400﹣5×销售单价提高的价格，即可用含x的代数式表示
出月销售量；
（2）利用月销售总利润＝每个排球的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方
程，解之即可得出x的值，结合要使顾客得到实惠，即可确定x的值，再将其代入（60+x）中
即可求出售价．
【解答】解：（1）依题意得：当销售单价提高x元时，每个排球获得的利润是60+x﹣40＝
（20+x）元，这种排球这个月的销售量是（400﹣5x）个．
故答案为：（20+x）；（400﹣5x）．
（2）依题意得：（20+x）（400﹣5x）＝10500，
整理得：x2﹣60x+500＝0，
解得：x ＝10，x ＝50．
1 2
又∵要使顾客得到实惠，
∴x＝10，
∴60+x＝60+10＝70．
答：售价应定为70元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之
间的关系，用含x的代数式表示出每个排球的销售利润及月销售量；（2）找准等量关系，
正确列出一元二次方程．
25．（8分）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边的点F处
第21页（共24页）（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）已知AB＝3，AD＝5，求tan∠DAE的值．
【分析】（1）根据矩形的性质可得∠B＝∠C＝∠D＝90°，再利用折叠可得∠AFE＝90°，然
后再证明一线三等角模型相似三角形△ABF∽△FCE，即可解答；
（2）根据矩形的性质可得AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，再利用折叠可得AF＝5，从而可得BF
＝4，然后再利用（1）的结论求出CE，进而求出DE，最后在Rt△ADE中进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，
由折叠可得：
∠D＝∠AFE＝90°，
∴∠AFB+∠EFC＝180°﹣∠AFE＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，
∴△ABF∽△FCE；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，
由折叠可得：
AD＝AF＝5，
∴BF＝ ＝ ＝4，
∴CF＝BC﹣BF＝1，
∵△ABF∽△FCE，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴CE＝ ，
第22页（共24页）∴DE＝CD﹣CE＝3﹣ ＝ ，
∴tan∠DAE＝ ＝ ＝ ，
∴tan∠DAE的值为 ．
【点评】本题考查了解直角三角形，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，翻折变换（折
叠问题），熟练掌握一线三等角模型相似三角形是解题的关键．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐
标为（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝ ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是直线BC上方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为
16，若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，当四边形ABPC的面积最大时，求出点P的坐标．
【分析】（1）根据题意得方程组，解方程组即可得到结论；
（2）解方程得到B（4，0），C（0，4），求得直线BC的解析式为y＝﹣x+4；设P（m，﹣
m2+3m+4），过P作PQ∥y轴交直线BC于Q，得到Q（m，﹣m+4）根据三角形的面积公式
列方程即可得到结论；
（3）根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣1，0），B两点，抛物线的对称轴是
直线x＝ ，
第23页（共24页）∴ ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）当y＝0时，即﹣x2+3x+4＝0，
解得：x ＝﹣1，x ＝4，
1 2
∴B（4，0），
当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4；
设P（m，﹣m2+3m+4），
过P作PQ∥y轴交直线BC于Q，
∴Q（m，﹣m+4），
∴S四边形ABPC ＝S△ABC +S△PBC ＝ ×5×4+ （﹣m2+3m+4+m﹣4）×4＝﹣2m2+8m+10＝16，
解得：m＝1或m＝3，
∴P（1，6）或（3，4）；
（3）由（2）知，S四边形ABPC ＝S△ABC +S△PBC ＝ ×5×4+ （﹣m2+3m+4+m﹣4）×4＝﹣
2m2+8m+10＝﹣2（m﹣2）2+18，
∴当m＝2时，四边形ABPC的面积最大，此时，P（2，6）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计
算，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
第24页（共24页）
