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2021-2022学年山东省枣庄市台儿庄区九年级（上）期末数学试
卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的，请把正确选项的代号填在下面的表格内。
1．（3分）一元二次方程x2﹣8x﹣2＝0，配方后可变形为（ ）
A．（x﹣4）2＝18 B．（x﹣4）2＝14 C．（x﹣8）2＝64 D．（x﹣4）2＝1
2．（3分）如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示
在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为
（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（ ，2） C．（3， ） D．（2， ）
4．（3分）如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为 ，则两梯脚之间
的距离BC为（ ） α
第1页（共32页）A．4cos 米 B．4sin 米 C．4tan 米 D． 米
α α α
5．（3分）已知双曲线 过点（3，y ）、（1，y ）、（﹣2，y ），则下列结论正确的是（
1 2 3
）
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
3 1 2 3 2 1 2 1 3 2 3 1
6．（3分）如图，P为AB上任意一点，分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形
PBEF，设∠CBE＝ ，则∠AFP为（ ）
α
A．2 B．90°﹣ C．45°+ D．90°﹣
α α α α
7．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2
时，y的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．5
8．（3分）关于x的方程x2+4kx+2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（ ）
A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或2
9．（3分）工厂从三名男工人和两名女工人中，选出两人参加技能大赛，则这两名工人恰好都
是男工人的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则
tan∠OBD的值是（ ）
A． B．2 C． D．
第2页（共32页）11．（3分）如图，在矩形ABCD中，连接BD，将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE，BE交
AD于点O，BE恰好平分∠ABD，若AB＝2 ，则点O到BD的距离为（ ）
A． B．2 C． D．3
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）
A．abc＞0 B．函数的最大值为a﹣b+c
C．当﹣3≤x≤1时，y≥0 D．4a﹣2b+c＜0
二、填空题：每题4分，共24分，将答案填在题的中线上．
13．（4分）二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象的顶点坐标为 ．
14．（4分）抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
15．（4分）计算： ＝ ．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，
tan∠BCD＝ ，则 的值为 ．
第3页（共32页）17．（4分）如图，在 ABCD中，AD＝5，AB＝12，sinA＝ ．过点D作DE⊥AB，垂足为E，则
▱
sin∠BCE＝ ．
18．（4分）如图，点A在曲线到y ＝ （x＞0）上，点B在双曲线y ＝ （x＜0）上，AB∥x轴，
1 2
点C是x轴上一点，连接AC、BC，若△ABC的面积是6，则k的值为 ．
三、解答题：（满分60分）
19．（6分）计算： ．
20．（7分）在3张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形ABCD是菱形；②四边形
ABCD有一个内角是直角；③四边形ABCD的对角线相等．将这3张小纸条做成3支签，
放在一个不透明的盒子中．
（1）搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是 ；
（2）搅匀后先从中任意抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中任意抽出1支签．四边
形ABCD同时满足抽到的2张小纸条上的条件，求四边形ABCD一定是正方形的概率．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．
（1）求证：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．
第4页（共32页）22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k x+b的图象分别与x轴、y轴交于A，B
1
两点，与反比例函数y＝ 的图象在第二象限交于C，D（﹣6，2）两点，DE∥OC交x轴于
点E，若 ＝ ．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求四边形OCDE的面积．
23．（8分）图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄AB与地
面DE平行，踏板CD长为1.5m，CD与地面DE的夹角∠CDE＝15°，支架AC长为1m，
∠ACD＝75°，求跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离．（结果精确到0.1m．参考
数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27， ≈1.73）
24．（11分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F
作FE⊥AD于E，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，点G在射线AD上，连接CG．
（1）如图1，若点A的对称点G落在AD上，∠FGC＝90°，延长GF交AB于H，连接CH．
①求证：△CDG∽△GAH；
②求tan∠GHC．
（2）如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，∠GCF＝90°，判断△GCF与△AEF是
否全等，并说明理由．
第5页（共32页）25．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0），B两点，与y轴相交于点
C（0，2），对称轴是直线x＝﹣1，连接AC．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表达式；
（3）在（2）的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点
P，使S△BDP ＝ S△ABD ．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
第6页（共32页）2021-2022学年山东省枣庄市台儿庄区九年级（上）期末数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的，请把正确选项的代号填在下面的表格内。
1．（3分）一元二次方程x2﹣8x﹣2＝0，配方后可变形为（ ）
A．（x﹣4）2＝18 B．（x﹣4）2＝14 C．（x﹣8）2＝64 D．（x﹣4）2＝1
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后
即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣8x﹣2＝0，
∴x2﹣8x＝2，
则x2﹣8x+16＝2+16，即（x﹣4）2＝18，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元二次方程—配方法，将常数项移到方程的右边，两边都加上
一次项系数一半的平方配成完全平方式即可得．
2．（3分）如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示
在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看从左到右第一列是两个小正方形，第二列有4个小正方形，第三列有
3个小正方形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，重点是对空间
第7页（共32页）观念的考查．
3．（3分）如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为
（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（ ，2） C．（3， ） D．（2， ）
【分析】根据直角三角形的性质得出OB，OA的长，进而利用菱形的性质得出点的坐标即
可．
【解答】解：∵菱形ABCD，∠BCD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵B（﹣1，0），
∴OB＝1，OA＝ ，AB＝2，
∴A（0， ），
∴BC＝AD＝2，
∴OC＝BC﹣OB＝2﹣1＝1，
∴C（1，0），D（2， ），
故选：D．
【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出∠ABC＝60°解答．
4．（3分）如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为 ，则两梯脚之间
的距离BC为（ ） α
A．4cos 米 B．4sin 米 C．4tan 米 D． 米
α α α
【分析】直接利用等腰三角形的性质得出BD＝DC，再利用锐角三角函数关系得出DC的
第8页（共32页）长，即可得出答案．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC＝2米，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∴cos ＝ ＝ ，
α
∴DC＝2cos （米），
∴BC＝2DC＝α 2×2cos ＝4cos （米）．
故选：A． α α
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用以及等腰三角形的性质，正确表示出DC的
长是解题关键．
5．（3分）已知双曲线 过点（3，y ）、（1，y ）、（﹣2，y ），则下列结论正确的是（
1 2 3
）
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
3 1 2 3 2 1 2 1 3 2 3 1
【分析】根据k的符号确定反比例函数图象所在的象限，根据反比例函数的性质即可得出
答案．
【解答】解：∵k＜0，
∴反比例函数 的图象在第二、四象限，
∵反比例函数的图象过点（3，y ）、（1，y ）、（﹣2，y ），
1 2 3
∴点（3，y ）、（1，y ）在第四象限，（﹣2，y ）在第二象限，
1 2 3
∴y ＜y ＜0，y ＞0，
2 1 3
∴y ＜y ＜y ．
2 1 3
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质的应用，注意：当k＜0时，反比例函数
图象在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大．
第9页（共32页）6．（3分）如图，P为AB上任意一点，分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形
PBEF，设∠CBE＝ ，则∠AFP为（ ）
α
A．2 B．90°﹣ C．45°+ D．90°﹣
α α α α
【分析】根据正方形的性质先表示出∠PBC 的度数，然后利用“SAS”证明
△APF≌△CPB，证得∠AFP＝∠PBC即可求得答案．
【解答】解：∵四边形PBEF为正方形，
∴∠PBE＝90°，
∵∠CBE＝ ，
∴∠PBC＝α90°﹣ ，
∵四边形APCD、αPBEF是正方形，
∴AP＝CP，∠APF＝∠CPB＝90°，PF＝PB，
在△APF和△CPB中，
，
∴△APF≌△CPB（SAS），
∴∠AFP＝∠PBC＝90°﹣ ．
故选：B． α
【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，对于解决四边形的问
题往往是通过解决三角形的问题而实现的．
7．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2
时，y的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．5
【分析】根据抛物线与x轴两交点，及与y轴交点可画出大致图象，根据抛物线的对称性可
求y＝﹣5．
【解答】解：如图
第10页（共32页）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），
∴可画出上图，
∵抛物线对称轴x＝ ＝1，
∴点（0，﹣5）的对称点是（2，﹣5），
∴当x＝2时，y的值为﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识，画出图
象利用对称性是解题的关键．
8．（3分）关于x的方程x2+4kx+2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（ ）
A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或2
【分析】直接把x＝﹣2代入方程x2+4kx+2k2＝4得4﹣8k+2k2＝4，然后解关于k的一元二
次方程即可．
【解答】解：把x＝﹣2代入方程x2+4kx+2k2＝4得4﹣8k+2k2＝4，
整理得k2﹣4k＝0，解得k ＝0，k ＝4，
1 2
即k的值为0或4．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是
一元二次方程的解．
9．（3分）工厂从三名男工人和两名女工人中，选出两人参加技能大赛，则这两名工人恰好都
是男工人的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，这两名工人恰好都是男工人的结果有6种，再
第11页（共32页）由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有20种等可能的结果，这两名工人恰好都是男工人的结果有6种，
∴这两名工人恰好都是男工人的概率为 ＝ ，
故选：C．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不
遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以
上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
10．（3分）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则
tan∠OBD的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】∠OBD放在Rt△OBD中利用三角函数定义即可求．
【解答】解：如图：
作OF⊥AB于F，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC．
∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．
第12页（共32页）∴根据勾股定理得：AD＝ ＝8．
∵BE平分∠ABC．
∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．
设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：
（8﹣x）2＝x2+42．
∴x＝3．
∴OD＝3．
在Rt△OBD中，tan∠OBD＝ ＝ ＝ ．
法二：在求出AF＝4后
∵tan∠BAD＝ ＝ ．
∴ ＝ ．
∴OF＝3．
∴OD＝OF＝3．
∴tan∠OBD＝ ＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理，角平分线性质及锐角三角函数的定义，构造直角三角形求线
段的长是求解本题的关键．
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，连接BD，将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE，BE交
AD于点O，BE恰好平分∠ABD，若AB＝2 ，则点O到BD的距离为（ ）
A． B．2 C． D．3
【分析】如图，作OF⊥BD于点F，则OF的长为点O到BD的距离，由矩形的性质可得∠A
＝∠ABC＝90°，由折叠的性质可得∠EBD＝∠CBD，由角平分线定义可得∠ABO＝
第13页（共32页）∠EBD，即可得出∠ABO＝30°，根据角平分线的性质可得OA＝OF，利用∠ABO的正切值
求出OA的值即可得到答案．
【解答】解：如图，作OF⊥BD于点F，则OF的长为点O到BD的距离．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∵将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE，
∴∠EBD＝∠CBD，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABO＝∠EBD，OA＝OF，
∴∠EBD＝∠CBD＝∠ABO，
∴∠ABO＝30°，
∵AB＝2 ，
∴OF＝OA＝AB•tan30°＝2 × ＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，图形折叠的性质，角平分线的性质及解直角三角形，熟练
掌握相关性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）
A．abc＞0 B．函数的最大值为a﹣b+c
C．当﹣3≤x≤1时，y≥0 D．4a﹣2b+c＜0
第14页（共32页）【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，根据抛物线的对称性得到b＝2a＜0，根据抛物线
与y轴的交点位置得到c＞0，则可对A进行判断；利用二次函数的最值问题可对B进行判
断；利用抛物线与x轴的交点与图象可对C进行判断；利用x＝﹣2，y＞0可对D进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点坐标在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以A不符合题意；
当x＝﹣1时，函数的最大值为：a•（﹣1）2+b•（﹣1）+c＝a﹣b+c，故B不符合题意；
由图可知，抛物线与x轴的另一交点为（﹣3，0），所以﹣3≤x≤1时，y≥0，故C不符合题
意；
当x＝﹣2时，y＞0，
所以，a•（﹣2）2+b•（﹣2）+c＞0，
即4a﹣2b+c＞0，故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向，当
a＞0时，抛物线向上开口，当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共
同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴
右，常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由
判别式确定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x
轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题：每题4分，共24分，将答案填在题的中线上．
13．（4分）二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象的顶点坐标为 （﹣ 1 ， 4 ） ．
【分析】把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3
＝﹣（x2+2x+1﹣1）+3
＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点坐标为（﹣1，4）．
第15页（共32页）故答案为：（﹣1，4）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标是解题的关
键．
14．（4分）抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 k ≤ 且 k ≠ 1 ．
【分析】直接利用根的判别式得到△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，再利用二次函数的意义
得到k﹣1≠0，然后解两不等式得到k的范围．
【解答】解：∵抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，
∴△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，解得k≤ ，
又∵k﹣1≠0，
∴k≠1，
∴k的取值范围是k≤ 且k≠1；
故答案为：k≤ 且k≠1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，
a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．解题的关键是掌握根的判
别式求参数的取值范围．
15．（4分）计算： ＝ 4+ ．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，
最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：
＝4﹣1+4× ﹣（ ﹣1）
＝3+2 ﹣ +1
＝4+ ．
故答案为：4+ ．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，解答此题的关键是要明确：①与有理数的
混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算
中每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项
第16页（共32页）式”．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，
tan∠BCD＝ ，则 的值为 2 ．
【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用相似三角形的性质可求出 ＝ ＝ ＝ ，
再根据tan∠BCD＝ ，设参数表示AC、BC即可求出答案．
【解答】解：过点D作DM⊥BC，交CB的延长线于点M，
∵∠ACB＝∠DMB＝90°，∠ABC＝∠DBM，
∴△ABC∽△DBM，
∴ ＝ ＝ ，
∵AB＝2BD，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
在Rt△CDM中，
由于tan∠MCD＝ ＝ ，设DM＝2k，则CM＝3k，
又∵ ＝ ＝ ，
∴BC＝2k，AC＝4k，
∴ ＝ ＝2，
故答案为：2．
第17页（共32页）【点评】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定，掌握直角三角形的边角关系
以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提，作垂线构造直角三角形是常用的方法．
17．（4分）如图，在 ABCD中，AD＝5，AB＝12，sinA＝ ．过点D作DE⊥AB，垂足为E，则
▱
sin∠BCE＝ ．
【分析】过点B作BF⊥EC于点F，根据DE⊥AB，AD＝5，sinA＝ ＝ ，可得DE＝4，根
据勾股定理可得AE＝3，再根据平行四边形的性质可得AD＝BC＝5，AB＝CD＝12，BE＝
AB﹣AE＝12﹣3＝9，根据tan∠CEB＝tan∠DCE，可得EF＝3BF，再根据勾股定理可得
BF的长，进而可得结果．
【解答】解：如图，过点B作BF⊥EC于点F，
∵DE⊥AB，AD＝5，sinA＝ ＝ ，
∴DE＝4，
∴AE＝ ＝3，
第18页（共32页）在 ABCD中，AD＝BC＝5，AB＝CD＝12，
∴▱BE＝AB﹣AE＝12﹣3＝9，
∵CD∥AB，
∴∠DEA＝∠EDC＝90°，∠CEB＝∠DCE，
∴tan∠CEB＝tan∠DCE，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴EF＝3BF，
在Rt△BEF中，根据勾股定理，得
EF2+BF2＝BE2，
∴（3BF）2+BF2＝92，
解得，BF＝ ，
∴sin∠BCE＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的性质，勾股定理等知识，得出EF
＝3BF是解决本题的关键．
18．（4分）如图，点A在曲线到y ＝ （x＞0）上，点B在双曲线y ＝ （x＜0）上，AB∥x轴，
1 2
点C是x轴上一点，连接AC、BC，若△ABC的面积是6，则k的值为 ﹣ 1 0 ．
【分析】根据AB∥x轴可以得到S△ABC ＝S△AOB ＝6，转换成反比例函数面积问题即可解答．
【解答】解：如图，连接OA，OB，AB与y轴交于点M，
第19页（共32页）∵AB∥x轴，点A双在曲线y ＝ （x＞0）上，点B在双曲线y ＝ （x＜0）上，
1 2
∴S△AOM ＝×|2|＝1，S△BOM ＝ ×|k|＝﹣ k，
∵S△ABC ＝S△AOB ＝6，
∴1﹣ k＝6，
∴k＝﹣10．
故答案为：﹣10．
【点评】此题考查了利用待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，熟记反比
例函数面积与k的关系是解本题的关键．
三、解答题：（满分60分）
19．（6分）计算： ．
【分析】首先计算零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、开方和绝对值，然后计算乘法，最
后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：
＝2 +3× ﹣（2﹣ ）+1+[8×（﹣0.125）]2022
＝2 + ﹣2+ +1+（﹣1）2022
＝4 ﹣2+1+1
＝4 ．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，解答此题的关键是要明确：①与有理数的
混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算
中每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项
式”．
第20页（共32页）20．（7分）在3张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形ABCD是菱形；②四边形
ABCD有一个内角是直角；③四边形ABCD的对角线相等．将这3张小纸条做成3支签，
放在一个不透明的盒子中．
（1）搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是 ；
（2）搅匀后先从中任意抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中任意抽出1支签．四边
形ABCD同时满足抽到的2张小纸条上的条件，求四边形ABCD一定是正方形的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，四边形ABCD一定是正方形的结果有4种，再由概
率公式求解即可．
【解答】解：（1）搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是 ，
故答案为： ；
（2）画树状图如图：
共有6种等可能的结果，四边形ABCD一定是正方形的结果有4种，
∴四边形ABCD一定是正方形的概率为 ＝ ．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，正方形的判定、菱形的性质等知识；熟练掌握正方
形的判定和菱形的性质，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情
况数与总情况数之比．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．
（1）求证：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．
第21页（共32页）【分析】（1）利用矩形的对边平行和四个角都是直角的性质得到两对相等的角，利用AAS
证得两三角形全等即可；
（2）利用全等三角形的性质求得AD＝BN＝2，AN＝4，从而利用勾股定理求得AB的长，利
用S四边形BCMN ＝S矩形ABCD ﹣S△ABN ﹣S△MAD 求得答案即可．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，
∴∠BAN＝∠AMD，
∵BN⊥AM，
∴∠BNA＝90°，
在△ABN和△MAD中，
，
∴△ABN≌△MAD（AAS）；
（2）解：∵△ABN≌△MAD，
∴BN＝AD，
∵AD＝2，
∴BN＝2，
又∵AN＝4，
在Rt△ABN中，AB＝ ＝ ＝2 ，
∴S矩形ABCD ＝2×2 ＝4 ，S△ABN ＝S△MAD ＝ ×2×4＝4，
∴S四边形BCMN ＝S矩形ABCD ﹣S△ABN ﹣S△MAD ＝4 ﹣8．
【点评】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定，了解矩形的对边平行且相等，四个
角都是直角，对角线相等且互相平分是解答本题的关键，难度不大．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k x+b的图象分别与x轴、y轴交于A，B
1
两点，与反比例函数y＝ 的图象在第二象限交于C，D（﹣6，2）两点，DE∥OC交x轴于
点E，若 ＝ ．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求四边形OCDE的面积．
第22页（共32页）【分析】（1）先利用待定系数法求反比例函数解析式，然后结合相似三角形的判定和性质
求得C点坐标，再利用待定系数法求函数关系式；
（2）解法一：根据一次函数图象上点的坐标特征并结合待定系数法求得A点和E点坐标，
然后用△AOC的面积减去△AED的面积求解；
解法二：由（1）问中的直线AB解析式，可以求出点A（﹣6.0），所以AO＝6，由
△ADE∽△ACO可以求出AE，尽而求出面积．
【解答】解：（1）将D（﹣6，2）代入y＝ 中，
k ＝﹣6×2＝﹣12，
2
∴反比例函数的解析式为y＝﹣ ；
过点D作DM⊥x轴，过点C作CN⊥x轴，
∵DE∥OC，
∴△ADE∽△ACO，
∴ ，
∴CN＝3DM＝6，
将y＝6代入y＝﹣ 中，
﹣ ，
解得：x＝﹣2，
第23页（共32页）∴C点坐标为（﹣2，6），
将C（﹣2，6），D（﹣6，2）代入y＝k x+b中，
1
可得 ，
解得： ，
∴一次函数的解析式为y＝x+8；
（2）解法一：设直线OC的解析式为y＝mx，
将C（﹣2，6）代入，得：﹣2m＝6，
解得：m＝﹣3，
∴直线OC的解析式为y＝﹣3x，
由DE∥OC，设直线DE的解析式为y＝﹣3x+n，
将D（﹣6，2）代入可得：﹣3×（﹣6）+n＝2，
解得：n＝﹣16，
∴直线DE的解析式为y＝﹣3x﹣16，
当y＝0时，﹣3x﹣16＝0，
解得：x＝﹣ ，
∴E点坐标为（﹣ ，0），
∴OE＝ ，
在y＝x+8中，当y＝0时，x+8＝0，
解得：x＝﹣8，
∴A点坐标为（﹣8，0），
∴OA＝8，
∴AE＝8﹣ ＝ ，
S四边形OCDE ＝S△AOC ﹣S△AED
＝
第24页（共32页）＝
＝24﹣
＝ ．
解法二：在y＝x+8中，当y＝0时，x＝﹣8，
∴A点坐标为（﹣8，0），
又∵DE∥OC，
∴△ADE∽△ACO，
∴ ，
∴AE＝ ，
∴S四边形OCDE ＝S△AOC ﹣S△AED
＝
＝
＝24﹣
＝ ．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的应用，相似三角形的判定和性质，掌握一次函
数及反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求函数解析式是解题关键．
23．（8分）图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄AB与地
面DE平行，踏板CD长为1.5m，CD与地面DE的夹角∠CDE＝15°，支架AC长为1m，
∠ACD＝75°，求跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离．（结果精确到0.1m．参考
数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27， ≈1.73）
第25页（共32页）【分析】过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．在Rt△ACF中，根据三角函数可求CF，在
Rt△CDG中，根据三角函数可求CG，再根据FG＝FC+CG即可求解．
【解答】解：如图，过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．
∵CD与地面DE的夹角∠CDE为15°，∠ACD为75°，
∴∠ACF＝∠FCD﹣∠ACD＝∠CGD+∠CDE﹣∠ACD＝90°+15°﹣75°＝30°，
∴∠CAF＝60°，
在Rt△ACF中，CF＝AC•sin∠CAF＝ m，
在Rt△CDG中，CG＝CD•sin∠CDE＝1.5•sin15°m，
∴FG＝FC+CG＝ +1.5•sin15°≈1.3m．
故跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离约为1.3m．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，
解题的关键是正确构造直角三角形．
24．（11分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F
作FE⊥AD于E，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，点G在射线AD上，连接CG．
（1）如图1，若点A的对称点G落在AD上，∠FGC＝90°，延长GF交AB于H，连接CH．
①求证：△CDG∽△GAH；
②求tan∠GHC．
（2）如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，∠GCF＝90°，判断△GCF与△AEF是
第26页（共32页）否全等，并说明理由．
【分析】（1）①由矩形的性质和同角的余角相等证明△CDG与△GAH的两组对应角相等，
从而证明△CDG∽△GAH；
②由翻折得∠AGB＝∠DAC＝∠DCG，而tan∠DAC＝ ，可求出DG的长，进而求出GA
的长，由tan∠GHC即∠GHC的对边与邻边的比恰好等于相似三角形△CDG与△GAH的
一组对应边的比，由此可求出tan∠GHC的值；
（2）△GCF与△AEF都是直角三角形，由tan∠DAC＝ 可分别求出CG、AG、AE、EF、
AF、CF的长，再由直角边的比不相等判断△GCF与△AEF不全等．
【解答】（1）如图1，
①证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠GAH＝90°，
∴∠DCG+∠DGC＝90°，
∵∠FGC＝90°，
∴∠AGH+∠DGC＝90°，
∴∠DCG＝∠AGH，
∴△CDG∽△GAH．
②由翻折得∠EGF＝∠EAF，
∴∠AGH＝∠DAC＝∠DCG，
∵CD＝AB＝2，AD＝4，
∴ ＝tan∠DAC＝ ＝ ，
∴DG＝ CD＝ ×2＝1，
∴GA＝4﹣1＝3，
∵△CDG∽△GAH，
∴ ，
第27页（共32页）∴tan∠GHC＝ ＝ ．
（2）不全等，理由如下：
∵AD＝4，CD＝2，
∴AC＝ ＝ ，
∵∠GCF＝90°，
∴ ＝tan∠DAC＝ ，
∴CG＝ AC＝ ×2 ＝ ，
∴AG＝ ＝5，
∴EA＝ AG＝ ，
∴EF＝EA•tan∠DAC＝ ＝ ，
∴AF＝ ＝ ，
∴CF＝2 ＝ ，
∵∠GCF＝∠AEF＝90°，而CG≠EA，CF≠EF，
∴△GCF与△AEF不全等．
【点评】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定、勾股定
第28页（共32页）理、二次根式的化简等知识与方法，特别是第（2）题，使用计算说理的方法判定三角形不
全等，内容和方法新颖独到，是很好的考题．
25．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0），B两点，与y轴相交于点
C（0，2），对称轴是直线x＝﹣1，连接AC．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表达式；
（3）在（2）的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点
P，使S△BDP ＝ S△ABD ．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【分析】（1）先根据对称轴得出b＝2a，再由点C的坐标求出c＝2，最后将点A的坐标代入
抛物线解析式求解，即可得出结论；
（2）分两种情况，Ⅰ、当点D在x轴上方时，先判断出AE＝BE，进而得出点E在直线x＝﹣
1上，再求出点E的坐标，最后用待定系数法求出直线l的解析式；Ⅱ、当点D在x轴下方
时，判断出BD∥AC，即可得出结论；
（3）先求出点D的坐标，进而求出△ABD的面积，得出△PBD的面积，设P（m，﹣ m2﹣
m+2）（m＜0），过P作y轴的平行线交直线BD于F，得出F（m， m﹣ ），进而表示出
PF，最后用面积建立方程求解，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a，
∵点C的坐标为（0，2），
第29页（共32页）∴c＝2，
∴抛物线的解析式为y＝ax2+2ax+2，
∵点A（﹣3，0）在抛物线上，
∴9a﹣6a+2＝0，
∴a＝﹣ ，
∴b＝2a＝﹣ ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2﹣ x+2；
（2）Ⅰ、当点D在x轴上方时，如图1，
记BD与AC的交点为点E，
∵∠ABD＝∠BAC，
∴AE＝BE，
∵直线x＝﹣1垂直平分AB，
∴点E在直线x＝﹣1上，
∵点A（﹣3，0），C（0，2），
∴直线AC的解析式为y＝ x+2，
当x＝﹣1时，y＝ ，
∴点E（﹣1， ），
∵点A（﹣3，0）点B关于x＝﹣1对称，
∴B（1，0），
∴直线BD的解析式为y＝﹣ x+ ，
即直线l的解析式为y＝﹣ x+ ；
Ⅱ、当点D在x轴下方时，如图2，
∵∠ABD＝∠BAC，
第30页（共32页）∴BD∥AC，
由Ⅰ知，直线AC的解析式为y＝ x+2，
∴直线BD的解析式为y＝ x﹣ ，
即直线l的解析式为y＝ x﹣ ；
综上，直线l的解析式为y＝﹣ x+ 或y＝ x﹣ ；
（3）由（2）知，直线BD的解析式为y＝ x﹣ ①，
∵抛物线的解析式为y＝﹣ x2﹣ x+2②，
∴ 或 ，
∴D（﹣4，﹣ ），
∴S△ABD ＝ AB•|y
D
|＝ ×4× ＝ ，
∵S△BDP ＝ S△ABD ，
∴S△BDP ＝ × ＝10，
∵点P在y轴左侧的抛物线上，
∴设P（m，﹣ m2﹣ m+2）（m＜0），
过P作y轴的平行线交直线BD于F，
∴F（m， m﹣ ），
∴PF＝|﹣ m2﹣ m+2﹣（ m﹣ ）|＝| m2+2m﹣ |，
∴S△BDP ＝ PF•（x
B
﹣x
D
）＝ ×| m2+2m﹣ |×5＝10，
∴m＝﹣5或m＝2（舍）或m＝﹣1或m＝﹣2，
第31页（共32页）∴P（﹣5，﹣8）或（﹣1， ）或（﹣2，2）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，垂直平分线的性质，坐标系中求
三角形面积的方法，求出点D的坐标是解本题的关键．
第32页（共32页）
