文档内容
专题 13 计数原理（理）
考点 三年考情（2022-2024） 命题趋势
2024年北京高考数学真题
2022年新高考全国I卷数学真题
2022年新高考天津数学高考真题
考点1：利用二项式定
理求项的系数 2023年天津高考数学真题
2024年天津高考数学真题
2024年高考全国甲卷数学（理）真题
今后在本节的考查形式依然以选
2024年上海夏季高考数学真题
择或者填空为主，以考查基本概
考点2：利用二项式定 2022年新高考浙江数学高考真题 念和基本方法为主，难度中等偏
理求系数和问题 下，与教材相当．
2022年新高考北京数学高考真题
2024年上海夏季高考数学真题
2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题
考点3：排列组合综合 2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题
运用
2022年新高考全国II卷数学真题
2023年高考全国甲卷数学（理）真题
2023年高考全国乙卷数学（理）真题考点1：利用二项式定理求项的系数
1．（2024年北京高考数学真题）在 的展开式中， 的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 的二项展开式为 ，
令 ，解得 ，
故所求即为 .
故选：A.
2．（2022年新高考全国I卷数学真题） 的展开式中 的系数为 （用数
字作答）．
【答案】-28
【解析】因为 ，
所以 的展开式中含 的项为 ，
的展开式中 的系数为-28
故答案为：-28
3．（2022年新高考天津数学高考真题） 的展开式中的常数项为 .
【答案】
【解析】由题意 的展开式的通项为 ，
令 即 ，则 ，
所以 的展开式中的常数项为 .
故答案为： .
4．（2023年天津高考数学真题）在 的展开式中， 项的系数为 ．【答案】
【解析】展开式的通项公式 ，
令 可得， ，
则 项的系数为 .
故答案为：60.
5．（2024年天津高考数学真题）在 的展开式中，常数项为 ．
【答案】20
【解析】因为 的展开式的通项为 ，
令 ，可得 ，
所以常数项为 .
故答案为：20.
6．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题） 的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
【答案】5
【解析】由题展开式通项公式为 ， 且 ，
设展开式中第 项系数最大，则 ，
，即 ，又 ，故 ，
所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为 .
故答案为：5.
7．（2024年上海夏季高考数学真题）在 的二项展开式中，若各项系数和为32，则 项的系数为
．
【答案】10
【解析】令 ， ，即 ，解得 ，所以 的展开式通项公式为 ，令 ，则 ，
．
故答案为：10．
考点2：利用二项式定理求系数和问题
8．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知多项式 ，则
， ．
【答案】
【解析】含 的项为： ，故 ；
令 ，即 ，
令 ，即 ，
∴ ，
故答案为： ； ．
9．（2022年新高考北京数学高考真题）若 ，则 （ ）
A．40 B．41 C． D．
【答案】B
【解析】令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 ，
故选：B.
考点3：排列组合综合运用
10．（2024年上海夏季高考数学真题）设集合 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两
者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ．
【答案】329
【解析】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．
首先讨论三位数中的偶数，
①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有 个；
②当个位不为0时，则个位有 个数字可选，百位有 个数字可选，十位有 个数字可选，
根据分步乘法这样的偶数共有 ，
最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为 个．
故答案为：329．11．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从
这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数
字作答）．
【答案】64
【解析】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有 种；
（2）当从8门课中选修3门，
①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有 种；
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有 种；
综上所述：不同的选课方案共有 种.
故答案为：64.
12．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机
抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名
和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A． 种 B． 种
C． 种 D． 种
【答案】D
【解析】根据分层抽样的定义知初中部共抽取 人，高中部共抽取 ，
根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有 种.
故选：D.
13．（2022年新高考全国II卷数学真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不
站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有 种排列方
式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；
注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有： 种不同的排列方式，
故选：B
14．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、
星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（
）
A．120 B．60 C．30 D．20
【答案】B
【解析】不妨记五名志愿者为 ，假设 连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有
种方法，
同理： 连续参加了两天公益活动，也各有 种方法，
所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有 种.
故选：B.
15．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选
读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
【答案】C
【解析】首先确定相同得读物，共有 种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有 种，
根据分步乘法公式则共有 种，
故选：C.
