文档内容
2019年湖南省株洲市中考数学试卷
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2019•资阳） 的倒数是
A． B． C． D．3
2．（3分）（2019•株洲）
A． B．4 C． D．
3．（3分）（2019•株洲）下列各式中，与 是同类项的是
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•株洲）对于任意的矩形，下列说法一定正确的是
A．对角线垂直且相等
B．四边都互相垂直
C．四个角都相等
D．是轴对称图形，但不是中心对称图形
5．（3分）（2019•株洲）关于 的分式方程 的解为
A． B． C．2 D．3
6．（3分）（2019•株洲）在平面直角坐标系中，点 位于哪个象限？
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（3分）（2019•株洲）若一组数据 ，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则 的值为
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（3分）（2019•株洲）下列各选项中因式分解正确的是
A． B．
C． D．
9．（3分）（2019•株洲）如图所示，在直角平面坐标系 中，点 、 、 为反比例函数
上不同的三点，连接 、 、 ，过点 作 轴于点 ，过点 、 分
第1页（共30页）别作 ， 垂直 轴于点 、 ， 与 相交于点 ，记 、 、四边形
的面积分别为 、 、 ，则
A． B． C． D．
10．（3分）（2019•株洲）从 ，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作 ， 构成一个数
组 ， （其中 ， ，且将 ， 与 ， 视为同一个数组），若满足：对
于任意的 ， 和 ， ， ， 都有 ，则 的最
大值
A．10 B．6 C．5 D．4
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）（2019•株洲）若二次函数 的图象开口向下，则 0（填“ ”或“
”或“ ” ．
12．（3分）（2019•株洲）若一个盒子中有6个白球，4个黑球，2个红球，且各球的大小与质地
都相同，现随机从中摸出一个球，得到白球的概率是 ．
13．（3分）（2019•株洲）如图所示，在 中， ， 是斜边 上的中线，
、 分别为 、 的中点，若 ，则 ．
第2页（共30页）14．（3分）（2019•株洲）若 为有理数，且 的值大于1，则 的取值范围为 ．
15．（3分）（2019•株洲）如图所示，过正五边形 的顶点 作一条射线与其内角
的角平分线相交于点 ，且 ，则 度．
16．（3分）（2019•株洲）如图所示， 为 的直径，点 在 上，且 ，过点 的
弦 与线段 相交于点 ，满足 ，连接 ，则 度．
17．（3分）（2019•株洲）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：
“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步
及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，
速度快的人去追赶，则速度快的人要走 步才能追到速度慢的人．
18．（3分）（2019•株洲）如图所示，在平面直角坐标系 中，在直线 处放置反光镜Ⅰ，
在 轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段 ，其中点 ，点 在点 上方，且
，在直线 处放置一个挡板Ⅲ，从点 发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口
照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为 ．
第3页（共30页）三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）（2019•株洲）计算： ．
20．（6分）（2019•株洲）先化简，再求值： ，其中 ．
21．（8分）（2019•株洲）小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有
障碍物，此时在眼睛点 处测得汽车前端 的俯角为 ，且 ，若直线 与地面
相交于点 ，点 到地面 的垂线段 的长度为1.6米，假设眼睛 处的水平线 与地面
平行．
（1）求 的长度；
（2）假如障碍物上的点 正好位于线段 的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段
为此长方形前端的边）， ，若小强的爸爸将汽车沿直线 后退0.6米，通过汽车的
第4页（共30页）前端 点恰好看见障碍物的顶部 点（点 为点 的对应点，点 为点 的对应点），求障
碍物的高度．
22．（8分）（2019•株洲）某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与
当天的最高气温 有关，现将去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下：
（最高气温与需求量统计表）
最高气温 （单位： 需求量（单位：杯）
200
250
400
（1）求去年六月份最高气温不低于 的天数；
（2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这种鲜
奶一天的需求量不超过200杯的概率；
（3）若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为4元，售价为8元，未售出的这种
鲜奶厂家以1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月份某天的最
高气温 满足 （单位： ，试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元？
23．（8分）（2019•株洲）如图所示，已知正方形 的顶点 为正方形 对角线 、
的交点，连接 、 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，正方形 的边长为2，线段 与线段 相交于点 ， ，求
正方形 的边长．
第5页（共30页）24．（8分）（2019•株洲）如图所示，在平面直角坐标系 中，等腰 的边 与反比例
函数 的图象相交于点 ，其中 ，点 在 轴的正半轴上，点 的坐标
为 ，过点 作 轴于点 ．
（1）已知一次函数的图象过点 ， ，求该一次函数的表达式；
（2）若点 是线段 上的一点，满足 ，过点 作 轴于点 ，连结 ，记
的面积为 ，设 ，
①用 表示 （不需要写出 的取值范围）；
②当 取最小值时，求 的值．
25．（11分）（2019•株洲）四边形 是 的圆内接四边形，线段 是 的直径，连结
、 ．点 是线段 上的一点，连结 、 ，且 ， ， 的
延长线与 的延长线相交与点 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
第6页（共30页）（2）若 ， ，
①求证： 为等腰直角三角形；
②求 的长度．
26．（11分）（2019•株洲）已知二次函数
（1）若 ， ，
①求该二次函数图象的顶点坐标；
②定义：对于二次函数 ，满足方程 的 的值叫做该二次函数的
“不动点”．求证：二次函数 有两个不同的“不动点”．
（2）设 ，如图所示，在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与 轴
分别相交于不同的两点 ， ， ， ，其中 ， ，与 轴相交于点 ，连结
，点 在 轴的正半轴上，且 ，又点 的坐标为 ，过点 作垂直于 轴的
直线与直线 相交于点 ，满足 ． 的延长线与 的延长线相交于点 ，
若 ，求二次函数的表达式．
第7页（共30页）第8页（共30页）2019 年湖南省株洲市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分） 的倒数是
A． B． C． D．3
【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】解： ，
的倒数是 ．
故选： ．
2．（3分）
A． B．4 C． D．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解： ．
故选： ．
3．（3分）下列各式中，与 是同类项的是
A． B． C． D．
【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行判断即可．
【解答】解： 、 与 不是同类项，故本选项错误；
、 与 不是同类项，故本选项错误；
、 与 是同类项，故本选项正确；
、 与 是同类项，故本选项错误；
第9页（共30页）故选： ．
4．（3分）对于任意的矩形，下列说法一定正确的是
A．对角线垂直且相等
B．四边都互相垂直
C．四个角都相等
D．是轴对称图形，但不是中心对称图形
【分析】直接利用矩形的性质分析得出答案．
【解答】解： 、矩形的对角线相等，但不垂直，故此选项错误；
、矩形的邻边都互相垂直，对边互相平行，故此选项错误；
、矩形的四个角都相等，正确；
、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误．
故选： ．
5．（3分）关于 的分式方程 的解为
A． B． C．2 D．3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分
式方程的解．
【解答】解：去分母得： ，
解得： ，
经检验 是分式方程的解，
故选： ．
6．（3分）在平面直角坐标系中，点 位于哪个象限？
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】解：点 坐标为 ，则它位于第四象限，
故选： ．
7．（3分）若一组数据 ，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则 的值为
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据平均数与中位数的定义分三种情况 ， ， ， 时，分别列出方
程，进行计算即可求出答案．
【解答】解：当 时，中位数与平均数相等，则得到： ，
第10页（共30页）解得 （舍去）；
当 时，中位数与平均数相等，则得到： ，
解得 ；
当 时，中位数与平均数相等，则得到： ，
解得 （舍去）；
当 时，中位数与平均数相等，则得到： ，
解得 （舍去）．
所以 的值为2．
故选： ．
8．（3分）下列各选项中因式分解正确的是
A． B．
C． D．
【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断即可．
【解答】解： 、 ，故此选项错误；
、 ，故此选项错误；
、 ，故此选项错误；
、 ，正确．
故选： ．
9．（3分）如图所示，在直角平面坐标系 中，点 、 、 为反比例函数 上不
同的三点，连接 、 、 ，过点 作 轴于点 ，过点 、 分别作 ， 垂直
轴于点 、 ， 与 相交于点 ，记 、 、四边形 的面积分别为 、
、 ，则
第11页（共30页）A． B． C． D．
【分析】根据反比例函数系数 的几何意义得到 ， ， ，用排除法即可得到
结论．
【解答】解： 点 、 、 为反比例函数 上不同的三点， 轴， ， 垂
直 轴于点 、 ，
， ，
，
，
， ，
， ， 选项错误，
故选： ．
10．（3分）从 ，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作 ， 构成一个数组 ，
（其中 ， ，且将 ， 与 ， 视为同一个数组），若满足：对于任意的
， 和 ， ， ， 都有 ，则 的最大值
A．10 B．6 C．5 D．4
【分析】找出 的值，结合对于任意的 ， 和 ， ， ，
第12页（共30页）都有 ，即可得出 的最大值．
【解答】解： ， ， ， ， ， ，
共有5个不同的值．
又 对于任意的 ， 和 ， ， ， 都有 ，
的最大值为5．
故选： ．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）若二次函数 的图象开口向下，则 0（填“ ”或“ ”或“
” ．
【分析】由二次函数 图象的开口向下，可得 ．
【解答】解： 二次函数 的图象开口向下，
．
故答案是： ．
12．（3分）若一个盒子中有6个白球，4个黑球，2个红球，且各球的大小与质地都相同，现随
机从中摸出一个球，得到白球的概率是 ．
【分析】先求出总球的个数，再用白球的个数除以总球的个数即可得出答案．
【解答】解： 布袋中有6个白球，4个黑球，2个红球，共有12个球，
摸到白球的概率是 ；
故答案为： ．
13．（3分）如图所示，在 中， ， 是斜边 上的中线， 、 分别为
、 的中点，若 ，则 4 ．
第13页（共30页）【分析】根据三角形中位线定理求出 ，根据直角三角形的性质求出 ．
【解答】解： 、 分别为 、 的中点，
，
， 是斜边 上的中线，
，
故答案为：4．
14．（3分）若 为有理数，且 的值大于1，则 的取值范围为 且 为有理数 ．
【分析】根据题意列出不等式，解之可得，
【解答】解：根据题意知 ，
解得 ，
故答案为： 且 为有理数．
15．（3分）如图所示，过正五边形 的顶点 作一条射线与其内角 的角平分线
相交于点 ，且 ，则 6 6 度．
【分析】首先根据正五边形的性质得到 度，然后根据角平分线的定义得到
度，再利用三角形内角和定理得到 的度数．
【解答】解： 五边形 为正五边形，
度，
是 的角平分线，
度，
，
．
故答案为：66．
第14页（共30页）16．（3分）如图所示， 为 的直径，点 在 上，且 ，过点 的弦 与线段
相交于点 ，满足 ，连接 ，则 2 0 度．
【分析】由直角三角形的性质得出 ，由等腰三角形的性质得出
，求出 ，得出 ，再由圆周角
定理即可得出答案．
【解答】解：连接 ，如图：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：20．
17．（3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行
者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其
意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人
去追赶，则速度快的人要走 25 0 步才能追到速度慢的人．
第15页（共30页）【分析】设走路快的人追上走路慢的人所用时间为 ，根据二者的速度差 时间 路程，即可
求出 值，再将其代入路程 速度 时间，即可求出结论．
【解答】解：设走路快的人追上走路慢的人所用时间为 ，
根据题意得： ，
解得： ，
．
答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．
故答案是：250．
18．（3分）如图所示，在平面直角坐标系 中，在直线 处放置反光镜Ⅰ，在 轴处放置
一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段 ，其中点 ，点 在点 上方，且 ，在直线
处放置一个挡板Ⅲ，从点 发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口 照射在挡板
Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为 1. 5 ．
【分析】当光线沿 、 、 、 传输时，由 ，即： ，即：
，解得： ，求出 ，同理可得： ，即可求解．
【解答】解：当光线沿 、 、 、 传输时，
过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
第16页（共30页）则 ，设 ，则 ，
则 ，即： ，
即： ，解得： ，
则 ，
， ，
当光线反射过点 时，
同理可得： ，
落在挡板Ⅲ上的光线的长度 ，
故答案为1.5．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）计算： ．
【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答
案．
【解答】解：原式
．
第17页（共30页）20．（6分）先化简，再求值： ，其中 ．
【分析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，然后将 的值代入化简后的式子即可解答
本题．
【解答】解：
，
当 时，原式 ．
21．（8分）小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时
在眼睛点 处测得汽车前端 的俯角为 ，且 ，若直线 与地面 相交于点 ，
点 到地面 的垂线段 的长度为1.6米，假设眼睛 处的水平线 与地面 平行．
（1）求 的长度；
（2）假如障碍物上的点 正好位于线段 的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段
为此长方形前端的边）， ，若小强的爸爸将汽车沿直线 后退0.6米，通过汽车的
第18页（共30页）前端 点恰好看见障碍物的顶部 点（点 为点 的对应点，点 为点 的对应点），求障
碍物的高度．
【分析】（1）由题意得到 ，解直角三角形即可得到结论；
（2）过 作 于 ，于是得到四边形 是矩形，根据矩形的性质得到
， 根 据 线 段 的 中 点 的 定 义 得 到 米 ， 求 得
，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）由题意得， ，
在 中， ， ，
，
答： 的长度为 ；
（2）过 作 于 ，
则四边形 是矩形，
，
点 是线段 的中点，
米，
，
，
，
，
，
，
，
答：障碍物的高度为0.6米．
第19页（共30页）22．（8分）某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的最高
气温 有关，现将去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下：
（最高气温与需求量统计表）
最高气温 （单位： 需求量（单位：杯）
200
250
400
（1）求去年六月份最高气温不低于 的天数；
（2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这种鲜
奶一天的需求量不超过200杯的概率；
（3）若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为4元，售价为8元，未售出的这种
鲜奶厂家以1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月份某天的最
高气温 满足 （单位： ，试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元？
【分析】（1）由条形图可得答案；
（2）用 的天数除以总天数即可得；
（3）根据利润 销售额 成本计算可得．
【解答】解：（1）由条形统计图知，去年六月份最高气温不低于 的天数为 （天 ；
（2）去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率为 ；
第20页（共30页）（3） （元 ，
答：估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为730元．
23．（8分）如图所示，已知正方形 的顶点 为正方形 对角线 、 的交点，
连接 、 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，正方形 的边长为2，线段 与线段 相交于点 ， ，求
正方形 的边长．
【分析】（1）由正方形 与正方形 ，对角线 、 ，可得 ，
，即可证得 ，因 ， ，则可利用“边角边”即
可证两三角形全等
（2）过点 作 交 于点 ，由于 ，由可得 ， 长，从而求得
，即可求得 ，再通过 ，易证得 ，则有 ，求得
即为正方形 的边长．
【解答】解：
（1） 正方形 与正方形 ，对角线 、
，
第21页（共30页）在 和 中
（2）如图，过点 作 交 于点
，
，
在 中，由勾股定理得
，
易证
，得
则正方形 的边长为
第22页（共30页）24．（8分）如图所示，在平面直角坐标系 中，等腰 的边 与反比例函数
的图象相交于点 ，其中 ，点 在 轴的正半轴上，点 的坐标为
，过点 作 轴于点 ．
（1）已知一次函数的图象过点 ， ，求该一次函数的表达式；
（2）若点 是线段 上的一点，满足 ，过点 作 轴于点 ，连结 ，记
的面积为 ，设 ，
①用 表示 （不需要写出 的取值范围）；
②当 取最小值时，求 的值．
【分析】（1）将点 、 的坐标代入一次函数表达式： ，即可求解；
（ 2 ） ① ， 则 ， 则 点 ， ，
；②当 时， 取得最小值，而点
， ，即可求解．
【解答】解：（1）将点 、 的坐标代入一次函数表达式： 得： ，
解得： ，
故一次函数表达式为： ，
（2）①过点 作 ，
第23页（共30页）则 ，
则 ， ，
，则 ，则点 ，
设： ，则 ，
在 中， ，
同理 ，
则 ， ，
则点 ， ，
，
② ， 有最小值，当 时，
取得最小值，
而点 ， ，
故： ．
25．（11分）四边形 是 的圆内接四边形，线段 是 的直径，连结 、 ．点
是线段 上的一点，连结 、 ，且 ， ， 的延长线与
的延长线相交与点 ．
第24页（共30页）（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ， ，
①求证： 为等腰直角三角形；
②求 的长度．
【分析】（1）由圆周角的定理可得 ，可证 ，由一组对边平行
且相等的是四边形是平行四边形可证四边形 是平行四边形；
（2）①由平行线的性质可证 ，由 ，可证 为
等腰直角三角形；
②通过证明 ，可得 ，可得 ，通过证明 ，可得
，可得 ，可求 ，由等腰直角三角形的性质可求 的长度．
【解答】证明：（1） ，
，且
四边形 是平行四边形
（2）① 是直径
，且
，
，且
，且
第25页（共30页）为等腰直角三角形；
② 四边形 是 的圆内接四边形，
，且
，且 ，
， ，
，
，且 为等腰直角三角形
26．（11分）已知二次函数
（1）若 ， ，
①求该二次函数图象的顶点坐标；
②定义：对于二次函数 ，满足方程 的 的值叫做该二次函数的
“不动点”．求证：二次函数 有两个不同的“不动点”．
（2）设 ，如图所示，在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与 轴
第26页（共30页）分别相交于不同的两点 ， ， ， ，其中 ， ，与 轴相交于点 ，连结
，点 在 轴的正半轴上，且 ，又点 的坐标为 ，过点 作垂直于 轴的
直线与直线 相交于点 ，满足 ． 的延长线与 的延长线相交于点 ，
若 ，求二次函数的表达式．
【分析】（1）①把 、 、 的值代入二次函数解析式并配方得顶点式，即求得顶点坐标．
②根据定义，把 代入二次函数 ，得 ，根据根的判别式可知满
足此方程的 有两个不相等的值，即原二次函数有两个不同的“不动点”．
（2）由条件 与 联想到证 的对应边的比，即有
．由 轴且 可得 轴，由平行线分线段定理可证
也为 中点，其中 ， 可用含 的式子表示． 可用含 表示，
通过韦达定理变形和 代入可得用 、 表示 的式子．又由 和
可证 ，对应边成比例可得式子 ，把含 、 、
第27页（共30页）的式子代入再把韦达定理得到的 ， 代入化简，可得 ．即能用
表示 、 ，代回到 解方程即求得 的值，进而求 、 的值，得到
二次函数表达式．
【解答】解：（1）① ， ，
该二次函数图象的顶点坐标为
②证明：当 时，
整理得：
△
方程 有两个不相等的实数根
即二次函数 有两个不同的“不动点”．
（2）把 代入二次函数得：
二次函数与 轴交于点 ， ， ， ，
即 、 为方程 的两个不相等实数根
，
当 时，
， ，
轴，
第28页（共30页）轴
，
，
，即
展开得：
，即
， ，
，
第29页（共30页）解得： ， （舍去）
，
二次函数的表达式为
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/7/9 8:27:09；用户：数学；邮箱：85886818-2@xyh.com；学号：27755521
第30页（共30页）
