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2019年湖北省随州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，有且只有一
个是正确的）
1．（3分）（2019•随州）﹣3的绝对值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
2．（3分）（2019•随州）地球的半径约为6370000m，用科学记数法表示正确的是（ ）
A．637×104m B．63.7×105m C．6.37×106m D．6.37×107m
3．（3分）（2019•随州）如图，直线l∥1 ，直角三角板的直角顶点C在直线l 上，一锐角顶点
l 2 1
B在直线l 上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（ ）
2
A．65° B．55° C．45° D．35°
4．（3分）（2019•随州）下列运算正确的是（ ）
A．4m﹣m＝4 B．（a2）3 ＝a5
C．（x+y ）2＝x2+y2 D．﹣（t﹣1）＝1﹣t
5．（3分）（2019•随州）某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他们
投中的次数统计如表：
投中次数 3 5 6 7 8
人数 1 3 2 2 2
则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（ ）
A．5，6，6 B．2，6，6 C．5，5，6 D．5，6，5
6．（3分）（2019•随州）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（ ）
第1页（共33页）A．2 B．3 C．4 D．5
7．（3分）π（2019•随州）第一次“π龟兔赛跑”，兔子因为π在途中睡觉而输掉比赛π，很不服气，决
定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都
可以赢．结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是
（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）（2019•随州）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，BD，AE交于点O，若
随机向平行四边形ABCD内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）（2019•随州）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： ＝
第2页（共33页）＝7+4 ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些
有特点的无理数，如：对于 ﹣ ，设x＝ ﹣ ，易知 ＞
，故x＞0，由x2＝（ ﹣ ）2＝3+ +3﹣ ﹣2 ＝
2，解得x＝ ，即 ﹣ ＝ ．根据以上方法，化简 + ﹣
后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5﹣ D．5﹣3
10．（3分）（2019•随州）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，
与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论： abc＜0； a+ b+ c＝
① ②
0； ac+b+1＝0； 2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根．其中正确的有
（ ③ ） ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应
题号处的横线上）
11．（3分）（2019•随州）计算：（ ﹣2019）0﹣2cos60°＝ ．
12．（3分）（2019•随州）如图，点A，B，πC在 O上，点C在优弧 上，若∠OBA＝50°，则∠C
的度数为 ． ⊙
13．（3分）（2019•随州）2017年，随州学子尤东梅参加《最强大脑》节目，成功完成了高难度
的项目挑战，展现了惊人的记忆力．在2019年的《最强大脑》节目中，也有很多具有挑战
性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶
第3页（共33页）幻圆的模型，要求： 内、外两个圆周上的四个数字之和相等； 外圆两直径上的四个数
字之和相等，则图中①两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为② 和 ．
14．（3分）（2019•随州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点C的坐标为 （1，
0），点A在x轴正半轴上，且AC＝2．将△ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移3个
单位，则变换后点A的对应点的坐标为 ．
15．（3分）（2019•随州）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，D为AB
的中点，反比例函数y＝ （k＞0）的图象经过点D，且与BC交于点E，连接OD，OE，DE，
若△ODE的面积为3，则k的值为 ．
16．（3分）（2019•随州）如图，已知正方形ABCD的边长为a，E为CD边上一点（不与端点重
合），将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．
给出下列判断：
∠EAG＝45°；
①
若DE＝ a，则AG∥CF；
②
若E为CD的中点，则△GFC的面积为 a2；
③
第4页（共33页）若CF＝FG，则DE＝（ ﹣1）a；
④BG•DE+AF•GE＝a2．
⑤其中正确的是 ．（写出所有正确判断的序号）
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）
17．（5分）（2019•随州）解关于x的分式方程： ＝ ．
18．（7分）（2019•随州）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的
实数根x ，x ．
1 2
（1）求k的取值范围；
（2）若x +x ＝3，求k的值及方程的根．
1 2
19．（10分）（2019•随州）“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校
园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制
了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，条形统计图中m的值为 ；
（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为 ；
（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全
知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为 人；
（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人
参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的
概率．
20．（8分）（2019•随州）在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求
第5页（共33页）救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，
在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．
（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；
（2）若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故
渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
21．（9分）（2019•随州）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O分别交AC，BC于点
D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF． ⊙
（1）求证：BF是 O的切线；
⊙
（2）若 O的直径为3，sin∠CBF＝ ，求BC和BF的长．
⊙
22．（11分）（2019•随州）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百
千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式p＝ x+8，从市场反馈的信息发现，该半成
品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数
据如表：
销售价格x（元/千 2 4 …… 10
克）
市场需求量q（百 12 10 …… 4
千克）
已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克．
（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
第6页（共33页）（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产
量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短
而只能废弃．
当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围；
①求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；
（②3）在（2）的条件下，当x为 元/千克时，利润y有最大值；若要使每天的利润不低
于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为 元/千克．
23．（10分）（2019•随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位
数记为 ，易知 ＝10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如 ＝
100a+10b+c．
【基础训练】
（1）解方程填空：
若 + ＝45，则x＝ ；
①若 ﹣ ＝26，则y＝ ；
②若 + ＝ ，则t＝ ；
③【能力提升】
（2）交换任意一个两位数 的个位数字与十位数字，可得到一个新数 ，则 + 一定
能被 整除， ﹣ 一定能被 整除， • ﹣mn一定能被 整除；
（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
【探索发现】
（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极
大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，
要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个
最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数
为325，则用532﹣235＝297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算
若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
该“卡普雷卡尔黑洞数”为 ；
①设任选的三位数为 （不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．
24．②（12分）（2019•随州）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝
ax2+bx+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（﹣2，0），C（6，0）．
（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；
第7页（共33页）（2）如图2，连接AB，AC，设点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴
右侧，过点P作PD⊥AC于点E，交x轴于点D，过点P作PG∥AB交AC于点F，交x轴于
点G．设线段DG的长为d，求d与m的函数关系式，并注明m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若△PDG的面积为 ，
求点P的坐标；
①设M为直线AP上一动点，连接OM交直线AC于点S，则点M在运动过程中，在抛物
②线上是否存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M及其对应的
点R的坐标；若不存在，请说明理由．
第8页（共33页）2019 年湖北省随州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，有且只有一
个是正确的）
1．（3分）（2019•随州）﹣3的绝对值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：﹣3的绝对值为3，
即|﹣3|＝3．
故选：A．
2．（3分）（2019•随州）地球的半径约为6370000m，用科学记数法表示正确的是（ ）
A．637×104m B．63.7×105m C．6.37×106m D．6.37×107m
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：6370000m，用科学记数法表示正确的是6.37×106m，
故选：C．
3．（3分）（2019•随州）如图，直线l∥1 ，直角三角板的直角顶点C在直线l 上，一锐角顶点
l 2 1
B在直线l 上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（ ）
2
A．65° B．55° C．45° D．35°
【分析】根据余角的定义得到∠3，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠2．
【解答】解：如图，∵∠1+∠3＝90°，∠1＝35°，
∴∠3＝55°．
第9页（共33页）又∵直线l∥1 ，
l 2
∴∠2＝∠3＝55°．
故选：B．
4．（3分）（2019•随州）下列运算正确的是（ ）
A．4m﹣m＝4 B．（a2）3 ＝a5
C．（x+y ）2＝x2+y2 D．﹣（t﹣1）＝1﹣t
【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、完全平方公式分别化简得出答
案．
【解答】解：A、4m﹣m＝3m，故此选项错误；
B、（a2）3 ＝a6，故此选项错误；
C、（x+y ）2＝x2+2xy+y2，故此选项错误；
D、﹣（t﹣1）＝1﹣t，正确．
故选：D．
5．（3分）（2019•随州）某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他们
投中的次数统计如表：
投中次数 3 5 6 7 8
人数 1 3 2 2 2
则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（ ）
A．5，6，6 B．2，6，6 C．5，5，6 D．5，6，5
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把
数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；平均
数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
【解答】解：在这一组数据中5是出现次数最多的，故众数是5；
处于中间位置的两个数的平均数是（6+6）÷2＝6，那么由中位数的定义可知，这组数据的
中位数是6．
第10页（共33页）平均数是：（3+15+12+14+16）÷10＝6，
所以答案为：5、6、6，
故选：A．
6．（3分）（2019•随州）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析π】根据主视图、左视图π、俯视图是分别从物体π正面、左面和上面看所π得到的图形，判
断出几何体的形状，再根据三视图的数据，求出几何体的表面积即可．
【解答】解：根据三视图可得这个几何体是圆锥，
底面积＝ ×12＝ ，
侧面积为π＝ •3＝π3 ，
则这个几何π体的表面π 积＝ +3 ＝4 ；
故选：C． π π π
7．（3分）（2019•随州）第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决
定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都
可以赢．结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是
（ ）
A． B．
第11页（共33页）C． D．
【分析】根据乌龟比兔子早出发，而早到终点逐一判断即可得．
【解答】解：由于乌龟比兔子早出发，而早到终点；
故B选项正确；
故选：B．
8．（3分）（2019•随州）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，BD，AE交于点O，若
随机向平行四边形ABCD内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【解答】解：∵E为BC的中点，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴S△BOE ＝ S△AOB ，S△AOB ＝ S△ABD ，
∴S△BOE ＝ S△ABD ＝ S
ABCD
，
▱
∴米粒落在图中阴影部分的概率为 ，
故选：B．
9．（3分）（2019•随州）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： ＝
第12页（共33页）＝7+4 ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些
有特点的无理数，如：对于 ﹣ ，设x＝ ﹣ ，易知 ＞
，故x＞0，由x2＝（ ﹣ ）2＝3+ +3﹣ ﹣2 ＝
2，解得x＝ ，即 ﹣ ＝ ．根据以上方法，化简 + ﹣
后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5﹣ D．5﹣3
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：设x＝ ﹣ ，且 ＞ ，
∴x＜0，
∴x2＝6﹣3 ﹣2 +6+3 ，
∴x2＝12﹣2×3＝6，
∴x＝ ，
∵ ＝5﹣2 ，
∴原式＝5﹣2 ﹣
＝5﹣3 ，
故选：D．
10．（3分）（2019•随州）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，
与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论： abc＜0； a+ b+ c＝
① ②
0； ac+b+1＝0； 2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根．其中正确的有
（ ③ ） ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】 由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴
的交点位①置可得c＞0，则可对 进行判断；
① 第13页（共33页）根据对称轴是直线x＝1，可得b＝﹣2a，代入a+ b+ c，可对 进行判断；
② ②
利用OA＝OC可得到A（﹣c，0），再把A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c即可对 作出判断；
③根据抛物线的对称性得到B点的坐标，即可对 作出判断． ③
④【解答】解：∵抛物线开口向下， ④
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以 正确；
∵b＝﹣2a， ①
∴a+ b＝a﹣a＝0，
∵c＞0，
∴a+ b+ c＞0，所以 错误；
②
∵C（0，c），OA＝OC，
∴A（﹣c，0），
把A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c得ac2﹣bc+c＝0，
∴ac﹣b+1＝0，所以 错误；
∵A（﹣c，0），对称③轴为直线x＝1，
∴B（2+c，0），
∴2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，所以 正确；
故选：B． ④
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应
题号处的横线上）
11．（3分）（2019•随州）计算：（ ﹣2019）0﹣2cos60°＝ 0 ．
【分析】原式利用零指数幂法则，π以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：原式＝1﹣2× ＝1﹣1＝0，
故答案为：0
第14页（共33页）12．（3分）（2019•随州）如图，点A，B，C在 O上，点C在优弧 上，若∠OBA＝
50°，则∠C的度数为 40 ° ． ⊙
【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角
定理得到∠C的度数．
【解答】解：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠C＝ ∠AOB＝40°．
故答案为40°．
13．（3分）（2019•随州）2017年，随州学子尤东梅参加《最强大脑》节目，成功完成了高难度
的项目挑战，展现了惊人的记忆力．在2019年的《最强大脑》节目中，也有很多具有挑战
性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶
幻圆的模型，要求： 内、外两个圆周上的四个数字之和相等； 外圆两直径上的四个数
字之和相等，则图中①两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为② 2 和 9 ．
【分析】根据题意要求 可得关于所要求的两数的两个等式，解出两数即可．
【解答】解：设图中两①空白②圆圈内应填写的数字从左到右依次为a，b
∵外圆两直径上的四个数字之和相等
∴4+6+7+8＝a+3+b+11
∵内、外两个圆周上的①四个数字之和相等
∴3+6+b+7＝a+4+11+8
② 第15页（共33页）联立 解得：a＝2，b＝9
∴图①中两②空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为2，9
故答案为：2；9．
14．（3分）（2019•随州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点C的坐标为 （1，
0），点A在x轴正半轴上，且AC＝2．将△ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移3个
单位，则变换后点A的对应点的坐标为 （﹣ 2 ， 2 ） ．
【分析】根据旋转变换的性质得到旋转变换后点A的对应点坐标，根据平移的性质解答即
可．
【解答】解：∵点C的坐标为（1，0），AC＝2，
∴点A的坐标为（3，0），
如图所示，将Rt△ABC先绕点C逆时针旋转90°，
则点A′的坐标为（1，2），
再向左平移3个单位长度，则变换后点A′的对应点坐标为（﹣2，2），
故答案为：（﹣2，2）．
15．（3分）（2019•随州）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，D为AB
的中点，反比例函数y＝ （k＞0）的图象经过点D，且与BC交于点E，连接OD，OE，DE，
若△ODE的面积为3，则k的值为 4 ．
第16页（共33页）【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求
出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．
【解答】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，
设B点的坐标为（a，b），则E的坐标为E（a， ），
∵D为AB的中点，
∴D（ a，b）
∵D、E在反比例函数的图象上，
∴ ab＝k，
∵S△ODE ＝S矩形OCBA ﹣S△AOD ﹣S△OCE ﹣S△BDE ＝ab﹣ k﹣ k﹣ • a•（b﹣ ）＝3，
∴ab﹣ k﹣ k﹣ ab+ k＝3，
解得：k＝4，
故答案为：4．
16．（3分）（2019•随州）如图，已知正方形ABCD的边长为a，E为CD边上一点（不与端点重
合），将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．
给出下列判断：
∠EAG＝45°；
①
若DE＝ a，则AG∥CF；
②
若E为CD的中点，则△GFC的面积为 a2；
③
若CF＝FG，则DE＝（ ﹣1）a；
④BG•DE+AF•GE＝a2．
⑤其中正确的是 ．（写出所有正确判断的序号）
①②④⑤
第17页（共33页）【分析】 由折叠得AD＝AF＝AB，再由HL定理证明Rt△ABG≌Rt△AFG便可判定正误；
①
设BG＝GF＝x，由勾股定理可得（x+ a）2＝x2+（ a）2，求得BG＝ a，进而得GC＝
②
GF，得∠GFC＝∠GCF，再证明∠AGB＝∠GCF，便可判断正误；
设BG＝GF＝y，则CG＝a﹣y，由勾股定理得y的方程求得BG，GF，EF，再由同高的两
③个三角形的面积比等于底边之比，求得△CGF的面积，便可判断正误；
证明∠FEC＝∠FCE，得EF＝CF＝GF，进而得EG＝2DE，CG＝CE＝a﹣DE，由等腰直
④角三角形的斜边与直角边的关系式便可得结论，进而判断正误；
设BG＝GF＝b，DE＝EF＝c，则CG＝a﹣b，CE＝a﹣c，由勾股定理得bc＝a2﹣ab﹣ac，
⑤再得△CEG的面积为BG•DE，再由五边形ABGED的面积加上△CEG的面积等于正方形
的面积得结论，进而判断正误．
【解答】解： ∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝A①D＝a，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴∠AFE＝∠ADE＝∠ABG＝90°，AF＝AD＝AB，EF＝DE，∠DAE＝∠FAE，
在Rt△ABG和Rt△AFG中 ，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴∠BAG＝∠FAG，
∴∠GAE＝∠GAF+∠EAF＝ 90°＝45°，故 正确；
①
∴BG＝GF，∠BGA＝∠FGA，
②
设BG＝GF＝x，∵DE＝ a，
∴EF＝ a，
∴CG＝a﹣x，
在Rt△EGC中，EG＝x+ a，CE＝ a，由勾股定理可得（x+ a）2＝x2+（ a）2，
解得x＝ a，此时BG＝CG＝ a，
∴GC＝GF＝ a，
第18页（共33页）∴∠GFC＝∠GCF，
且∠BGF＝∠GFC+∠GCF＝2∠GCF，
∴2∠AGB＝2∠GCF，
∴∠AGB＝∠GCF，
∴AG∥CF，
∴ 正确；
②
若E为CD的中点，则DE＝CE＝EF＝ ，
③
设BG＝GF＝y，则CG＝a﹣y，
CG2+CE2＝EG2，
即 ，
解得，y＝ a，
∴BG＝GF＝ ，CG＝a﹣ ，
∴ ，
∴ ，
故 错误；
③当CF＝FG，则∠FGC＝∠FCG，
④∵∠FGC+∠FEC＝∠FCG+∠FCE＝90°，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴EF＝CF＝GF，
∴BG＝GF＝EF＝DE，
∴EG＝2DE，CG＝CE＝a﹣DE，
∴ ，即 ，
∴DE＝（ ﹣1）a，
故 正确；
④设BG＝GF＝b，DE＝EF＝c，则CG＝a﹣b，CE＝a﹣c，
⑤由勾股定理得，（b+y）2＝（a﹣b）2+（a﹣c）2，整理得bc＝a2﹣ab﹣ac，
第19页（共33页）∴ ＝ ，
即S△CEG ＝BG•DE，
∵S△ABG ＝S△AFG ，S△AEF ＝S△ADE ，
∴ ，
∵S五边形ABGED +S△CEG ＝S正方形ABCD ，
∴BG•DE+AF•EG＝a2，
故 正确．
故⑤答案为： ．
①②④⑤
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）
17．（5分）（2019•随州）解关于x的分式方程： ＝ ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到
分式方程的解．
【解答】解：去分母得：27﹣9x＝18+6x，
移项合并得：15x＝9，
解得：x＝ ，
经检验x＝ 是分式方程的解．
18．（7分）（2019•随州）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的
实数根x ，x ．
1 2
（1）求k的取值范围；
（2）若x +x ＝3，求k的值及方程的根．
1 2
【分析】（1）由于关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根，
可知△＞0，据此进行计算即可；
（2）利用根与系数的关系得出x +x ＝2k+1，进而得出关于k的方程求出即可．
1 2
第20页（共33页）【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，
整理得，4k﹣3＞0，
解得：k＞ ，
故实数k的取值范围为k＞ ；
（2）∵方程的两个根分别为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝2k+1＝3，
1 2
解得：k＝1，
∴原方程为x2﹣3x+2＝0，
∴x ＝1，x ＝2．
1 2
19．（10分）（2019•随州）“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校
园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制
了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 6 0 人，条形统计图中m的值为 1 0 ；
（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为 96 ° ；
（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全
知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为 102 0 人；
（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人
参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的
概率．
【分析】（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）用360°乘以扇形统计图中“了解很少”部分所占的比例即可；
（3）用总人数1800乘以达到“非常了解”和“基本了解”程度的人数所占的比例即可；
第21页（共33页）（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到1个男生和1个女生的结果
数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有30÷50%＝60（人），m＝60﹣4﹣30﹣16＝10；
故答案为：60，10；
（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数＝360°× ＝96°；
故答案为：96°；
（3）该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为：
1800× ＝1020（人）；
故答案为：1020；
（4）由题意列树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有12 种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为 ＝ ．
20．（8分）（2019•随州）在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求
救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，
在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．
（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；
（2）若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故
渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
第22页（共33页）【分析】（1）作PC⊥AB于C，则∠PCA＝∠PB＝90°，由题意得：PA＝120海里，∠A＝30°，
∠BPC＝45°，由直角三角形的性质得出PC＝ PA＝60海里，△BCP是等腰直角三角形，
得出PB＝ PC＝60 海里即可；
（2）求出救助船A、B所用的时间，即可得出结论．
【解答】解：（1）作PC⊥AB于C，如图所示：
则∠PCA＝∠PB＝90°，
由题意得：PA＝120海里，∠A＝30°，∠BPC＝45°，
∴PC＝ PA＝60海里，△BCP是等腰直角三角形，
∴BC＝PC＝60海里，PB＝ PC＝60 海里；
答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为60 海里；
（2）∵PA＝120海里，PB＝60 海里，救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速
度同时出发，
∴救助船A所用的时间为 ＝3（小时），救助船B所用的时间为 ＝2 （小时），
∵3＞2 ，
∴救助船B先到达．
21．（9分）（2019•随州）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O分别交AC，BC于点
D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF． ⊙
（1）求证：BF是 O的切线；
⊙
（2）若 O的直径为3，sin∠CBF＝ ，求BC和BF的长．
⊙
第23页（共33页）【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三
角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF＝90°．
（2）解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵AB是 O的直径，
∴∠AEB⊙＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
∵AB＝AC，
∴2∠1＝∠CAB．
∵∠BAC＝2∠CBF，
∴∠1＝∠CBF
∴∠CBF+∠2＝90°
即∠ABF＝90°
∵AB是 O的直径，
∴直线B⊙F是 O的切线；
⊙
（2）解：过点C作CH⊥BF于H．
∵sin∠CBF＝ ，∠1＝∠CBF，
∴sin∠1＝ ，
∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝3，
∴BE＝AB•sin∠1＝3× ＝ ，
∵AB＝AC，∠AEB＝90°，
∴BC＝2BE＝2 ，
∵sin∠CBF＝ ＝ ，
第24页（共33页）∴CH＝2，
∵CH∥AB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴CF＝6，
∴AF＝AC+CF＝9，
∴BF＝ ＝6 ．
22．（11分）（2019•随州）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百
千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式p＝ x+8，从市场反馈的信息发现，该半成
品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数
据如表：
销售价格x（元/千 2 4 …… 10
克）
市场需求量q（百 12 10 …… 4
千克）
已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克．
（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产
量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短
而只能废弃．
当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围；
①求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；
②
（3）在（2）的条件下，当x为 元/千克时，利润y有最大值；若要使每天的利润不低
于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为 5 元/千克．
【分析】（1）根据表格数据，可设q与x的函数关系式为：q＝kx+b，利用待定系数法即可求
第25页（共33页）（2） 根据题意，当每天的半成品食材能全部售出时，有p≤q， 根据销售利润＝销售量
×（售①价﹣进价），列出厂家每天获得的利润y（百元）与销售②价格x的函数关系式
（3）根据（2）中的条件分情况讨论即可
【解答】解：
（1）由表格的数据，设q与x的函数关系式为：q＝kx+b
根据表格的数据得 ，解得
故q与x的函数关系式为：q＝﹣x+14，其中2≤x≤10
（2） 当每天的半成品食材能全部售出时，有p≤q
①
即 x+8≤﹣x+14，解得x≤4
又2≤x≤10，所以此时2≤x≤4
由 可知，当2≤x≤4时，
② ①
y＝（x﹣2）p＝（x﹣2）（ x+8）＝ x2+7x﹣16
当4＜x≤10时，y＝（x﹣2）q﹣2（p﹣q）
＝（x﹣2）（﹣x+14）﹣2[ x+8﹣（﹣x+14）]
＝﹣x2+13x﹣16
即有y＝
（3）当2≤x≤4时，
y＝ x2+7x﹣16的对称轴为x＝ ＝ ＝﹣7
∴当2≤x≤4时，除x的增大而增大
∴x＝4时有最大值，y＝ ＝20
当4＜x≤10时
y＝﹣x2+13x﹣16＝﹣（x﹣ ）2+ ，
∵﹣1＜0， ＞4
第26页（共33页）∴x＝ 时取最大值
即此时y有最大利润
要使每天的利润不低于24百元，则当2≤x≤4时，显然不符合
故y＝﹣（x﹣ ）2+ ≥24，解得x≤5
故当x＝5时，能保证不低于24百元
故答案为： ，5
23．（10分）（2019•随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位
数记为 ，易知 ＝10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如 ＝
100a+10b+c．
【基础训练】
（1）解方程填空：
若 + ＝45，则x＝ 2 ；
①若 ﹣ ＝26，则y＝ 4 ；
②若 + ＝ ，则t＝ 7 ；
③【能力提升】
（2）交换任意一个两位数 的个位数字与十位数字，可得到一个新数 ，则 + 一定
能被 1 1 整除， ﹣ 一定能被 9 整除， • ﹣mn一定能被 1 0 整除；（请从
大于5的整数中选择合适的数填空）
【探索发现】
（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极
大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，
要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个
最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数
为325，则用532﹣235＝297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算
若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
该“卡普雷卡尔黑洞数”为 49 5 ；
①设任选的三位数为 （不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．
②【分析】（1） 均按定义列出方程求解即可；
（2）按定义式①子展②开③化简即可；
第27页（共33页）（3） 选取题干中数据，按照定义式子展开，化简到出现循环即可；
按定①义式子化简，注意条件a＞b＞c的应用，化简到出现循环数495即可．
②【解答】解：（1） ∵ ＝10m+n
∴若 + ＝45，则①10×2+x+10x+3＝45
∴x＝2
故答案为：2．
若 ﹣ ＝26，则10×7+y﹣（10y+8）＝26
②解得y＝4
故答案为：4．
由 ＝100a+10b+c．及四位数的类似公式得
③若 + ＝ ，则100t+10×9+3+100×5+10t+8＝1000×1+100×3+10t+1
∴100t＝700
∴t＝7
故答案为：7．
（2）∵ + ＝10m+n+10n+m＝11m+11n＝11（m+n）
∴则 + 一定能被 11整除
∵ ﹣ ＝10m+n﹣（10n+m）＝9m﹣9n＝9（m﹣n）
∴ ﹣ 一定能被9整除．
∵ • ﹣mn＝（10m+n）（10n+m）﹣mn＝100mn+10m2+10n2+mn﹣mn＝10
（10mn+m2+n2）
∴ • ﹣mn一定能被10整除．
故答案为：11；9；10．
（3） 若选的数为325，则用532﹣235＝297，以下按照上述规则继续计算
① 972﹣279＝693
963﹣369＝594
954﹣459＝495
954﹣459＝495…
故答案为：495．
当任选的三位数为 时，第一次运算后得：100a+10b+c﹣（100c+10b+a）＝99（a﹣c），
②结果为99的倍数，由于a＞b＞c，故a≥b+1≥c+2
∴a﹣c≥2，又9≥a＞c≥0，
第28页（共33页）∴a﹣c≤9
∴a﹣c＝2，3，4，5，6，7，8，9
∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，
再让这些数字经过运算，分别可以得到：
981﹣189＝792，972﹣279＝693，963﹣369＝594，954﹣459﹣495，954﹣459＝495…故都
可以得到该黑洞数495．
24．（12分）（2019•随州）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝
ax2+bx+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（﹣2，0），C（6，0）．
（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；
（2）如图2，连接AB，AC，设点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴
右侧，过点P作PD⊥AC于点E，交x轴于点D，过点P作PG∥AB交AC于点F，交x轴于
点G．设线段DG的长为d，求d与m的函数关系式，并注明m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若△PDG的面积为 ，
求点P的坐标；
①设M为直线AP上一动点，连接OM交直线AC于点S，则点M在运动过程中，在抛物
②线上是否存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M及其对应的
点R的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）已知抛物线与x轴交点B、C，故可设交点式，再把点A代入即求得抛物线解析
式．用配方法或公式求得对称轴．
（2）过点P作PH⊥x轴于点H，由PD⊥AD于点E易证∠PDH＝45°，故DH＝PH＝n．由
PG∥AB易证△PGH∽△ABO，利用对应边成比例可得GH＝ n，把含m
的式子代入d＝DH﹣GH即得到d与m的函数关系式，再由点P的位置确定2＜m＜6．
第29页（共33页）（3） 用n表示DG、PH，代入S△PDG ＝ DG•PH＝ ，求得n的值（舍去负值），再利用n
①
＝﹣ m2+2m+6解关于m的方程即求得点P坐标．
因为△ARS为等腰直角三角形且AS与y轴夹角为45°，故AR与y轴夹角为45°或90°．
②由于不确定△ARS哪个为直角顶点，故需分3种情况讨论，画出图形，利用45°或90°来确
定点R、S的位置，进而求点R、S坐标，再由S的坐标求直线OM解析式，把直线OM与直
线AP解析式联立方程组，解得点M坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点B（﹣2，0），C（6，0）
∴设交点式y＝a（x+2）（x﹣6）
∵抛物线过点A（0，6）
∴﹣12a＝6
∴a＝﹣
∴抛物线解析式为y＝﹣ （x+2）（x﹣6）＝﹣ x2+2x+6＝﹣ （x﹣2）2+8
∴抛物线对称轴为直线x＝2．
（2）过点P作PH⊥x轴于点H，如图1
∴∠PHD＝90°
∵点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点且在对称轴右侧
∴2＜m＜6，PH＝n＝﹣ m2+2m+6，n＞0
∵OA＝OC＝6，∠AOC＝90°
∴∠ACO＝45°
∵PD⊥AC于点E
∴∠CED＝90°
∴∠CDE＝90°﹣∠ACO＝45°
∴DH＝PH＝n
∵PG∥AB
∴∠PGH＝∠ABO
∴△PGH∽△ABO
第30页（共33页）∴
∴GH＝ n
∴d＝DH﹣GH＝n﹣ n＝ n＝ （﹣ m2+2m+6）＝﹣ m2+ m+4（2＜m＜6）
（3） ∵S△PDG ＝ DG•PH＝
①
∴ n•n＝
解得：n ＝ ，n ＝﹣ （舍去）
1 2
∴﹣ m2+2m+6＝
解得：m ＝﹣1（舍去），m ＝5
1 2
∴点P坐标为（5， ）
在抛物线上存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形．
②设直线AP解析式为y＝kx+6
把点P代入得：5k+6＝
∴k＝﹣
∴直线AP：y＝﹣ x+6
i）若∠RAS＝90°，如图2
∵直线AC解析式为y＝﹣x+6
∴直线AR解析式为y＝x+6
解得： （即点A）
∴R（2，8）
∵∠ASR＝∠OAC＝45°
第31页（共33页）∴RS∥y轴
∴x ＝x ＝2
S R
∴S（2，4）
∴直线OM：y＝2x
∵ 解得：
∴M（ ， ）
ii）若∠ASR＝90°，如图3
∴∠SAR＝∠ACO＝45°
∴AR∥x轴
∴R（4，6）
∵S在AR的垂直平分线上
∴S（2，4）
∴M（ ， ）
iii）若∠ARS＝90°，如图4，
∴∠SAR＝∠ACO＝45°，RS∥y轴
∴AR∥x轴
∴R（4，6）
∴S（4，2）
∴直线OM：y＝ x
∵ 解得：
∴M（6，3）
综上所述，M（ ， ），R（2，8）；M（ ， ），R（4，6）；M（6，3），R（4，6）．
1 1 2 2 3 3
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日期：2019/7/10 10:06:48；用户：数学；邮箱：85886818-2@xyh.com；学号：27755521
第33页（共33页）
