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2019年湖北省武汉市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2019•武汉）实数2019的相反数是
A．2019 B． C． D．
2．（3分）（2019•武汉）式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•武汉）不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差
别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是
A．3个球都是黑球 B．3个球都是白球
C．三个球中有黑球 D．3个球中有白球
4．（3分）（2019•武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，
下列美术字是轴对称图形的是
A． B． C． D．
5．（3分）（2019•武汉）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是
A． B．
C． D．
6．（3分）（2019•武汉）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变
化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时
间，用 表示漏水时间， 表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示 与 的对应关系的是
第1页（共29页）A． B．
C． D．
7．（3分）（2019•武汉）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为 、 ，则关于
的一元二次方程 有实数解的概率为
A． B． C． D．
8．（3分）（2019•武汉）已知反比例函数 的图象分别位于第二、第四象限， ， 、
， 两点在该图象上，下列命题：①过点 作 轴， 为垂足，连接 ．若
的面积为3，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ，其中真命
题个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（3分）（2019•武汉）如图， 是 的直径， 、 是 （异于 、 上两点， 是
上一动点， 的角平分线交 于点 ， 的平分线交 于点 ．当点 从点
运动到点 时，则 、 两点的运动路径长的比是
第2页（共29页）A． B． C． D．
10 ． （ 3 分 ） （ 2019• 武 汉 ） 观 察 等 式 ： ； ；
已知按一定规律排列的一组数： 、 、 、 、 、 ．若
，用含 的式子表示这组数的和是
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2019•武汉） 的化简结果为 ．
12．（3分）（2019•武汉）武汉市某气象观测点记录了5天的平均气温（单位： ，分别是25、
20、18、23、27，这组数据的中位数是 ．
13．（3分）（2019•武汉）计算 的结果是 ．
14．（3分）（2019•武汉）如图，在 中， 、 是对角线 上两点， ，
， ，则 的大小为 ．
15．（3分）（2019•武汉）抛物线 经过点 、 两点，则关于 的一元
二次方程 的解是 ．
16．（3分）（2019•武汉）问题背景：如图1，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，
与 交于点 ，可推出结论： ．
问题解决：如图2，在 中， ， ， ．点 是 内一点，则
点 到 三个顶点的距离和的最小值是 ．
第3页（共29页）三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）（2019•武汉）计算： ．
18．（8分）（2019•武汉）如图，点 、 、 、 在一条直线上， 与 交于点 ， ，
，求证： ．
19．（8分）（2019•武汉）为弘扬中华传统文化，某校开展“双剧进课堂”的活动，该校童威随
机抽取部分学生，按四个类别： 表示“很喜欢”， 表示“喜欢”， 表示“一般”，
表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，
根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取 名学生进行统计调查，扇形统计图中， 类所对应的扇形圆心角的大小
为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的 类的学生大约有多少人？
20．（8分）（2019•武汉）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫
做格点．四边形 的顶点在格点上，点 是边 与网格线的交点．请选择适当的格点，
用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．
（1）如图1，过点 画线段 ，使 ，且 ．
（2）如图1，在边 上画一点 ，使 ．
（3）如图2，过点 画线段 ，使 ，且 ．
第4页（共29页）21．（8分）（2019•武汉）已知 是 的直径， 和 是 的两条切线， 与 相
切于点 ，分别交 、 于 、 两点．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，连接 并延长交 于点 ，连接 ．若 ， ，求图中阴
影部分的面积．
22．（10分）（2019•武汉）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量
（件 是售价 （元 件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润 （元 的三组对应值如
表：
售价 （元 件） 50 60 80
周销售量 （件 100 80 40
周销售利润 （元 1000 1600 1600
注：周销售利润 周销售量 （售价 进价）
（1）①求 关于 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
②该商品进价是 元 件；当售价是 元 件时，周销售利润最大，最大利润是 元．
（2）由于某种原因，该商品进价提高了 元 件 ，物价部门规定该商品售价不得超过
65元 件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最
大利润是1400元，求 的值．
23．（10分）（2019•武汉）在 中， ， ， 是 上一点，连接 ．
（1）如图1，若 ， 是 延长线上一点， 与 垂直，求证： ．
第5页（共29页）（2）过点 作 ， 为垂足，连接 并延长交 于点 ．
①如图2，若 ，求证： ．
②如图3，若 是 的中点，直接写出 的值．（用含 的式子表示）
24．（12分）（2019•武汉）已知抛物线 和
（1）如何将抛物线 平移得到抛物线 ？
（2）如图1，抛物线 与 轴正半轴交于点 ，直线 经过点 ，交抛物线 于另
一点 ．请你在线段 上取点 ，过点 作直线 轴交抛物线 于点 ，连接 ．
①若 ，求点 的横坐标；
②若 ，直接写出点 的横坐标．
（3）如图2， 的顶点 、 在抛物线 上，点 在点 右边，两条直线 、 与抛
物线 均有唯一公共点， 、 均与 轴不平行．若 的面积为2，设 、 两点的
横坐标分别为 、 ，求 与 的数量关系．
第6页（共29页）2019 年湖北省武汉市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）实数2019的相反数是
A．2019 B． C． D．
【分析】直接利用相反数的定义进而得出答案．
【解答】解：实数2019的相反数是： ．
故选： ．
2．（3分）式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
，
解得 ，
故选： ．
3．（3分）不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋
子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是
A．3个球都是黑球 B．3个球都是白球
C．三个球中有黑球 D．3个球中有白球
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
【解答】解： 、3个球都是黑球是随机事件；
、3个球都是白球是不可能事件；
、三个球中有黑球是必然事件；
、3个球中有白球是随机事件；
故选： ．
4．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字
是轴对称图形的是
第7页（共29页）A． B． C． D．
【分析】利用轴对称图形定义判断即可．
【解答】解：四个汉字中，可以看作轴对称图形的是 ，
故选： ．
5．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是
A． B．
C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从左面看易得下面一层有2个正方形，上面一层左边有1个正方形，如图所示：
．
故选： ．
6．（3分）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影
响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用 表示漏
水时间， 表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示 与 的对应关系的是
A． B．
第8页（共29页）C． D．
【分析】根据题意，可知 随的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题．
【解答】解： 不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出， 表示漏水时间， 表
示壶底到水面的高度，
随 的增大而减小，符合一次函数图象，
故选： ．
7．（3分）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为 、 ，则关于 的一元二次
方程 有实数解的概率为
A． B． C． D．
【分析】首先画出树状图即可求得所有等可能的结果与使 的情况，然后利用概率公式求
解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
由树形图可知：一共有12种等可能的结果，其中使 的有6种结果，
关于 的一元二次方程 有实数解的概率为 ，
故选： ．
8．（3分）已知反比例函数 的图象分别位于第二、第四象限， ， 、 ， 两点
在该图象上，下列命题：①过点 作 轴， 为垂足，连接 ．若 的面积为3，则
；②若 ，则 ；③若 ，则 ，其中真命题个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】利用反比例函数的比例系数的几何意义、反比例函数的增减性、对称性分别回答即可．
第9页（共29页）【解答】解：过点 作 轴， 为垂足，连接 ．
的面积为3，
，
反比例函数 的图象分别位于第二、第四象限，
，
，正确，是真命题；
② 反比例函数 的图象分别位于第二、第四象限，
在所在的每一个象限 随着 的增大而增大，
若 ，则 ，正确，是真命题；
③当 、 两点关于原点对称时， ，则 ，正确，是真命题，
真命题有3个，
故选： ．
9．（3分）如图， 是 的直径， 、 是 （异于 、 上两点， 是 上一动点，
的角平分线交 于点 ， 的平分线交 于点 ．当点 从点 运动到点
时，则 、 两点的运动路径长的比是
A． B． C． D．
【分析】如图，连接 ．设 ．易知点 在以 为圆心 为半径的圆上，运动轨迹是
，点 的运动轨迹是 ，由题意 ，设 ，则 ，利
用弧长公式计算即可解决问题．
【解答】解：如图，连接 ．设 ．
第10页（共29页）是直径，
，
是 的内心，
，
，
，
，
，
易知点 在以 为圆心 为半径的圆上，运动轨迹是 ，点 的运动轨迹是 ，
，设 ，则
．
故选： ．
10．（3分）观察等式： ； ； 已知按一
定规律排列的一组数： 、 、 、 、 、 ．若 ，用含 的式子表示这组数的和
是
A． B． C． D．
【分析】由等式： ； ； ，得出规律：
， 那 么
第11页（共29页），将规律代入计
算即可．
【解答】解： ；
；
；
，
，
，
，
原式 ．
故选： ．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分） 的化简结果为 4 ．
【分析】根据二次根式的性质求出即可．
【解答】解： ，
故答案为：4．
12．（3分）武汉市某气象观测点记录了5天的平均气温（单位： ，分别是25、20、18、23、
27，这组数据的中位数是 ．
【分析】根据中位数的概念求解可得．
【解答】解：将数据重新排列为18、20、23、25、27，
所以这组数据的中位数为 ，
故答案为： ．
第12页（共29页）13．（3分）计算 的结果是 ．
【分析】异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，然后再加减．
【解答】解：原式
．
故答案为：
14．（3分）如图，在 中， 、 是对角线 上两点， ， ，
，则 的大小为 ．
【分析】设 ，由等腰三角形的性质和直角三角形得出 ，
，得出 ，证出 ，由平行四边形的性质得
出 ，得出方程，解方程即可．
【解答】解：设 ，
， ，
， ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
第13页（共29页），
解得： ，
即 ；
故答案为： ．
15．（3分）抛物线 经过点 、 两点，则关于 的一元二次方程
的解是 ， ．
【分析】由于抛物线 沿 轴向右平移1个单位得到 ，
从而得到抛物线 与 轴的两交点坐标为 ， ，然后根据抛
物线与 轴的交点问题得到一元二方程 的解．
【解答】解：关于 的一元二次方程 变形为 ，
把抛物线 沿 轴向右平移1个单位得到 ，
因为抛物线 经过点 、 ，
所以抛物线 与 轴的两交点坐标为 ， ，
所以一元二方程 的解为 ， ．
故答案为 ， ．
16．（3分）问题背景：如图1，将 绕点 逆时针旋转 得到 ， 与 交于点
，可推出结论： ．
问题解决：如图2，在 中， ， ， ．点 是 内一点，则
点 到 三个顶点的距离和的最小值是 ．
第14页（共29页）【分析】（1）在 上截取 ，通过三角形求得证得 ，得出 是等边三角
形，得出 ，即可求得 ，连接 ，延长 到 ，使 ，
连 接 ， 证 得 是 等 边 三 角 形 ， 得 出 ， 然 后 通 过 证 得
，得出 ，即可证得结论；
（2）以 为边作等边三角形 ，以 为边作等边 ．连接 ，可证
，可得 ，则 ，即当 、 、 、 四
点共线时， 值最小，最小值为 的长度，根据勾股定理先求得 、 ，然
后求 的长度，即可求 的最小值．
【解答】（1）证明：如图1，在 上截取 ，
在 和 中
，
，
， ，
，
是等边三角形，
，
，
，
连接 ，延长 到 ，使 ，连接 ，
将 绕点 逆时针旋转 得到 ，
， ，
，
是等边三角形，
，
， ， ，
第15页（共29页），
，
在 和 中
，
，
；
（2）解：如图2：以 为边作等边三角形 ，以 为边作等边 ．连接 ，作
，交 的延长线于 ．
和 是等边三角形
， ， ，
在 和 中
，
当 、 、 、 四点共线时， 值最小，
， ，
，
，
．
，
，
，
第16页（共29页）最小值为 ，
故答案为 ，
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）计算： ．
【分析】先算乘方与乘法，再合并同类项即可．
【解答】解：
．
18．（8分）如图，点 、 、 、 在一条直线上， 与 交于点 ， ， ，
求证： ．
【分析】根据平行线的性质可得 ，又 ，利用三角形内角和定理及等式的
性质即可得出 ．
【解答】解： ，
，
，
第17页（共29页），
又 ， ，
．
19．（8分）为弘扬中华传统文化，某校开展“双剧进课堂”的活动，该校童威随机抽取部分
学生，按四个类别： 表示“很喜欢”， 表示“喜欢”， 表示“一般”， 表示“不
喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提
供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取 5 0 名学生进行统计调查，扇形统计图中， 类所对应的扇形圆心角的大
小为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的 类的学生大约有多少人？
【分析】（1）这次共抽取： （人 ， 类所对应的扇形圆心角的大小
；
（2） 类学生： （人 ，据此补充条形统计图；
（3）该校表示“喜欢”的 类的学生大约有 （人 ．
【解答】解：（1）这次共抽取： （人 ，
类所对应的扇形圆心角的大小 ，
故答案为50， ；
（2） 类学生： （人 ，
条形统计图补充如下
第18页（共29页）该校表示“喜欢”的 类的学生大约有 （人 ，
答：该校表示“喜欢”的 类的学生大约有690人；
20．（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形
的顶点在格点上，点 是边 与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直
尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．
（1）如图1，过点 画线段 ，使 ，且 ．
（2）如图1，在边 上画一点 ，使 ．
（3）如图2，过点 画线段 ，使 ，且 ．
【分析】（1）作平行四边形 即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和对顶角的性质即可得到结论；
（3）作平行四边形 即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，线段 即为所求；
（2）如图所示，点 即为所求；
（3）如图所示，线段 即为所求．
第19页（共29页）21．（8分）已知 是 的直径， 和 是 的两条切线， 与 相切于点 ，分
别交 、 于 、 两点．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，连接 并延长交 于点 ，连接 ．若 ， ，求图中阴
影部分的面积．
【分析】（1）连接 、 ，证明 ，得出 ，即可得出结论；
（2）连接 ， ，证明 得出 ，求出 ，由直角三
角形的性质得出 ， ，图中阴影部分的面积 ，即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接 、 ，如图1所示：
和 是它的两条切线，
， ，
，
切 于 ，
， ，
，
，
，
第20页（共29页），
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接 ， ，如图2所示：
，
，
， ，
，
，
垂直平分 ，
，
在 和 中， ，
，
，
，
，
，
在 ， ，
中， ，
，
，
第21页（共29页）， ，
图中阴影部分的面积 ．
22．（10分）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量 （件 是售价
（元 件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润 （元 的三组对应值如表：
售价 （元 件） 50 60 80
周销售量 （件 100 80 40
周销售利润 （元 1000 1600 1600
注：周销售利润 周销售量 （售价 进价）
（1）①求 关于 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
②该商品进价是 4 0 元 件；当售价是 元 件时，周销售利润最大，最大利润是 元．
（2）由于某种原因，该商品进价提高了 元 件 ，物价部门规定该商品售价不得超过
65元 件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最
大利润是1400元，求 的值．
【分析】（1）①依题意设 ，解方程组即可得到结论；
②该商品进价是 ，设每周获得利润 ：解方程组即可得到结
论；
（2）根据题意得， ，由于对称轴
第22页（共29页）是 ，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）①依题意设 ，
则有
解得：
所以 关于 的函数解析式为 ；
②该商品进价是 ，
设每周获得利润
则有 ，
解得： ，
，
当售价是70元 件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；
故答案为：40，70，1800；
（2）根据题意得， ，
对称轴 ，
①当 时（舍 ，②当 时， 时， 求最大值1400，
解得： ．
23．（10分）在 中， ， ， 是 上一点，连接 ．
（1）如图1，若 ， 是 延长线上一点， 与 垂直，求证： ．
（2）过点 作 ， 为垂足，连接 并延长交 于点 ．
第23页（共29页）①如图2，若 ，求证： ．
②如图3，若 是 的中点，直接写出 的值．（用含 的式子表示）
【分析】（1）如图1中，延长 交 于点 ．想办法证明 即可．
（2）①如图2中，作 交 的延长线于 ．利用全等三角形的性质证明 ，
再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
②如图 3中，作 交 的延长线于 ，作 于 ．不妨设 ，则
．想办法求出 ， （用 表示），即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，延长 交 于点 ．
，
，
，
， ，
，
，
， ，
，
．
（2）①证明：如图2中，作 交 的延长线于 ．
第24页（共29页），
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
②解：如图3中，作 交 的延长线于 ，作 于 ．不妨设 ，则
．
A
则 ， ， ， ，
，
第25页（共29页），
，
，
， ，
， ，
，
，
．
24．（12分）已知抛物线 和
（1）如何将抛物线 平移得到抛物线 ？
（2）如图1，抛物线 与 轴正半轴交于点 ，直线 经过点 ，交抛物线 于另
一点 ．请你在线段 上取点 ，过点 作直线 轴交抛物线 于点 ，连接 ．
①若 ，求点 的横坐标；
②若 ，直接写出点 的横坐标．
（3）如图2， 的顶点 、 在抛物线 上，点 在点 右边，两条直线 、 与抛
物线 均有唯一公共点， 、 均与 轴不平行．若 的面积为2，设 、 两点的
横坐标分别为 、 ，求 与 的数量关系．
第26页（共29页）【分析】（1） 向左评移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到
；
（2）易求点 ， ，联立方程 ，可得 ， ；设 ，
，
①当 时，则有 ，求得 ；
②当 时， ， ，则有 ，求得 ；
（3）设经过 与 的直线解析式为 ，
，则可知△ ，求得 ，
求出直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，则可求 ，
，
再由面积
，可
得 ，即可求解；
【解答】解：（1） 向左评移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到
第27页（共29页）；
（2） 与 轴正半轴的交点 ，
直线 经过点 ，
，
，
与 的交点为 的解，
或 ，
， ，
设 ，且 ，
轴，
，
①当 时，
，
则有 ，
，
点横坐标为 ；
②当 时，
， ，
，
；
第28页（共29页）点横坐标为 ；
（3）设经过 与 的直线解析式为 ，
，
则有 ，
△ ，
，
直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，
， ，
，
，
，
；
第29页（共29页）
