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2019年浙江省金华市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）.
1．（3分）（2019•金华）实数4的相反数是
A． B． C． D．4
2．（3分）（2019•金华）计算 ，正确的结果是
A．2 B． C． D．
3．（3分）（2019•金华）若长度分别为 ，3，5的三条线段能组成一个三角形，则 的值可以是
A．1 B．2 C．3 D．8
4．（3分）（2019•金华）某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如表，则这四天中温差最
大的是
星期 一 二 三 四
最高气温
最低气温
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四
5．（3分）（2019•金华）一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同．
搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为
A． B． C． D．
6．（3分）（2019•金华）如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标 的位置
表述正确的是
A．在南偏东 方向处 B．在 处
C．在南偏东 方向 处 D．在南偏东 方向 处
第1页（共28页）7．（3分）（2019•金华）用配方法解方程 时，配方结果正确的是
A． B． C． D．
8．（3分）（2019•金华）如图，矩形 的对角线交于点 ．已知 ， ，则
下列结论错误的是
A． B． C． D．
9．（3分）（2019•金华）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中， ， ，若
上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为
A．2 B． C． D．
10．（3分）（2019•金华）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一
个角，展开铺平后得到图⑤，其中 ， 是折痕．若正方形 与五边形 的面
积相等，则 的值是
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
第2页（共28页）11．（4分）（2019•金华）不等式 的解是 ．
12．（4分）（2019•金华）数据3，4，10，7，6的中位数是 ．
13．（4分）（2019•金华）当 ， 时，代数式 的值是 ．
14．（4分）（2019•金华）如图，在量角器的圆心 处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量
角器的0刻度线 对准楼顶时，铅垂线对应的读数是 ，则此时观察楼顶的仰角度数是
．
15．（4分）（2019•金华）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽
马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路程 关
于行走时间 的函数图象，则两图象交点 的坐标是 ．
16．（4分）（2019•金华）图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图， 、 、 是门轴
的滑动轨道， ，两门 、 的门轴 、 、 、 都在滑动轨道上，两门关闭
时（图 ， 、 分别在 、 处，门缝忽略不计（即 、 重合）；两门同时开启， 、 分别
沿 ， 的方向匀速滑动，带动 、 滑动： 到达 时， 恰好到达 ，此时两
门完全开启，已知 ， ．
（1）如图3，当 时， ．
（2）在（1）的基础上，当 向 方向继续滑动 时，四边形 的面积为 ．
第3页（共28页）三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程。）
17．（6分）（2019•金华）计算： ．
18．（6分）（2019•金华）解方程组
19．（6分）（2019•金华）某校根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜
欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结
果绘制成如下统计图（不完整）．请根据图中信息回答问题：
（1）求 ， 的值．
（2）补全条形统计图．
（3）该校共有1200名学生，试估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数．
20．（8分）（2019•金华）如图，在 的方格中， 的顶点均在格点上．试按要求画出线
段 ， 均为格点），各画出一条即可．
21．（8分）（2019•金华）如图，在 中，以 为圆心， 为半径的圆与 相切于点 ，
第4页（共28页）与 相交于点 ．
（1）求 的度数．
（2）如图，点 在 上，连结 与 交于点 ，若 ，求 的度数．
22．（10分）（2019•金华）如图，在平面直角坐标系中，正六边形 的对称中心 在反
比例函数 的图象上，边 在 轴上，点 在 轴上，已知 ．
（1）点 是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）若该反比例函数图象与 交于点 ，求点 的横坐标；
（3）平移正六边形 ，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描
述平移过程．
23．（10分）（2019•金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的边长为4，边 ，
分别在 轴， 轴的正半轴上，把正方形 的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为
好点．点 为抛物线 的顶点．
（1）当 时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．
（2）当 时，求该抛物线上的好点坐标．
（3）若点 在正方形 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求 的取值
范围．
第5页（共28页）24．（12分）（2019•金华）如图，在等腰 中， ， ，点 ， 分别
在边 ， 上，将线段 绕点 按逆时针方向旋转 得到 ．
（1）如图1，若 ，点 与点 重合， 与 相交于点 ．求证： ．
（2）已知点 为 的中点．
①如图2，若 ， ，求 的长．
②若 ，是否存在点 ，使得 是直角三角形？若存在，求 的长；若不存在，
试说明理由．
第6页（共28页）2019 年浙江省金华市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）.
1．（3分）实数4的相反数是
A． B． C． D．4
【考点】14：相反数；28：实数的性质
【分析】根据互为相反数的定义即可判定选择项．
【解答】解： 符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数， 的相反数是 ；
故选： ．
2．（3分）计算 ，正确的结果是
A．2 B． C． D．
【考点】48：同底数幂的除法
【分析】根据同底数幂除法法则可解．
【解答】解：由同底数幂除法法则：底数不变，指数相减知， ．
故选： ．
3．（3分）若长度分别为 ，3，5的三条线段能组成一个三角形，则 的值可以是
A．1 B．2 C．3 D．8
【考点】 ：三角形三边关系
【分析】根据三角形三边关系定理得出 ，求出即可．
【解答】解：由三角形三边关系定理得： ，
即 ，
即符合的只有3，
故选： ．
4．（3分）某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如表，则这四天中温差最大的是
星期 一 二 三 四
最高气温
最低气温
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四
第7页（共28页）【考点】 ：有理数的减法
【分析】用最高温度减去最低温度，结果最大的即为所求；
【解答】解：星期一温差 ；
星期二温差 ；
星期三温差 ；
星期四温差 ；
故选： ．
5．（3分）一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意
摸出一个球，是白球的概率为
A． B． C． D．
【考点】 ：概率公式
【分析】让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．
【解答】解：袋子里装有2个红球、3个黄球和5个白球共10个球，从中摸出一个球是白球的
概率是 ．
故选： ．
6．（3分）如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标 的位置表述正确的
是
A．在南偏东 方向处 B．在 处
C．在南偏东 方向 处 D．在南偏东 方向 处
【考点】 ：方向角
【分析】根据方向角的定义即可得到结论．
【解答】解：由图可得，目标 在南偏东 方向 处，
第8页（共28页）故选： ．
7．（3分）用配方法解方程 时，配方结果正确的是
A． B． C． D．
【考点】 ：解一元二次方程 配方法
【分析】方程利用完全平方公式变形即可得到结果．
【解答】解：用配方法解方程 时，配方结果为 ，
故选： ．
8．（3分）如图，矩形 的对角线交于点 ．已知 ， ，则下列结论错误
的是
A． B． C． D．
【考点】 ：矩形的性质； ：解直角三角形
【分析】根据矩形的性质得出 ， ， ， ，
，再解直角三角形求出即可．
【解答】解： 、 四边形 是矩形，
， ， ， ，
，
，
由三角形内角和定理得： ，故本选项不符合题意；
、在 中， ，
即 ，故本选项不符合题意；
、在 中， ，即 ，故本选项符合题意；
、 四边形 是矩形，
，
，
第9页（共28页）在 中， ，故本选项不符合题意；
故选： ．
9．（3分）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中， ， ，若上面圆锥的侧
面积为1，则下面圆锥的侧面积为
A．2 B． C． D．
【考点】 ：圆锥的计算
【分析】先证明 为等腰直角三角形得到 ， ，再证明 为等
边三角形得到 ，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下
面圆锥的侧面积的比等于 ，从而得到下面圆锥的侧面积．
【解答】解： ， ，
为等腰直角三角形，
， ，
，
，
而 ，
为等边三角形，
，
上面圆锥与下面圆锥的底面相同，
上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于 ，
下面圆锥的侧面积 ．
故选： ．
第10页（共28页）10．（3分）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺
平后得到图⑤，其中 ， 是折痕．若正方形 与五边形 的面积相等，则
的值是
A． B． C． D．
【考点】 ：正方形的性质； ：剪纸问题
【分析】连接 ，设直线 与 边的交点为 ，根据剪纸的过程以及折叠的性质得
且正方形 的面积 正方形 的面积，从而用 分别表示出线段
和线段 的长即可求解．
【解答】解：连接 ，设直线 与 边的交点为 ，如图：
由折叠可知点 、 、 、 四点共线，且 ，
设正方形 的边长为 ，
则正方形 的面积为 ，
若正方形 与五边形 的面积相等
由折叠可知正方形 的面积 正方形 的面积 ，
正方形 的边长
第11页（共28页）故选： ．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）不等式 的解是 ．
【考点】 ：解一元一次不等式
【分析】根据移项、合并同类项、化系数为1解答即可．
【解答】解： ，
，
故答案为：
12．（4分）数据3，4，10，7，6的中位数是 6 ．
【考点】 ：中位数
【分析】将数据重新排列，再根据中位数的概念求解可得．
【解答】解：将数据重新排列为3、4、6、7、10，
这组数据的中位数为6，
故答案为：6．
13．（4分）当 ， 时，代数式 的值是 ．
【考点】59：因式分解的应用
【分析】首先把 化为 ，然后把 ， 代入，求出算式的值是多少即
可．
【解答】解：当 ， 时，
第12页（共28页）故答案为： ．
14．（4分）如图，在量角器的圆心 处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度
线 对准楼顶时，铅垂线对应的读数是 ，则此时观察楼顶的仰角度数是 ．
【考点】 ：解直角三角形的应用 仰角俯角问题
【分析】过 点作 于 ，根据直角三角形的性质可求 ，再根据仰角的定义即
可求解．
【解答】解：过 点作 于 ，
，
．
故此时观察楼顶的仰角度数是 ．
故答案为： ．
15．（4分）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百
五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路程 关于行走时间
的函数图象，则两图象交点 的坐标是 ．
第13页（共28页）【考点】 ：一次函数的应用
【分析】根据题意可以得到关于 的方程，从而可以求得点 的坐标，本题得以解决．
【解答】解：令 ，
解得， ，
则 ，
点 的坐标为 ，
故答案为： ．
16．（4分）图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图， 、 、 是门轴的滑动轨道，
，两门 、 的门轴 、 、 、 都在滑动轨道上，两门关闭时（图 ， 、
分别在 、 处，门缝忽略不计（即 、 重合）；两门同时开启， 、 分别沿 ，
的方向匀速滑动，带动 、 滑动： 到达 时， 恰好到达 ，此时两门完全开启，
已知 ， ．
（1）如图3，当 时， ．
（2）在（1）的基础上，当 向 方向继续滑动 时，四边形 的面积为 ．
【考点】 ：解直角三角形的应用
【分析】（1）先由已知可得 、 两点的路程之比为 ，再结合 运动的路程即可求出 运
动的路程，相加即可求出 的长；
（2）当 向 方向继续滑动 时， ，由勾股定理和题目条件得出△ 、△
和梯形 边长，即可利用割补法求出四边形四边形 的面积．
【解答】解： 、 分别在 、 处，门缝忽略不计（即 、 重合）且 ，
．
第14页（共28页）到达 时， 恰好到达 ，此时两门完全开启，
、 两点的路程之比为
（1）当 时，在 中， ，
运动的路程为
、 两点的路程之比为
此时点 运动的路程为
故答案为： ；
（2）当 向 方向继续滑动 时，设此时点 运动到了点 处，点 、 、 分别运动到
了点 、 、 处，连接 ，如图：
则此时
由勾股定理得： ，
运动的路程为
运动的路程为
由勾股定理得： ，
四边形 的面积 梯形 的面积 △ 的面积 △ 的面积
．
四边形 的面积为 ．
故答案为：2556．
第15页（共28页）三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程。）
17．（6分）计算： ．
【考点】 ：特殊角的三角函数值； ：负整数指数幂； ：实数的运算
【分析】按顺序依次计算，先把绝对值化简，再算出 ，然后根据二次根式的性质
以及负指数幂化简即可求解．
【解答】解：原式 ．
18．（6分）解方程组
【考点】98：解二元一次方程组
【分析】根据二元一次方程组的解法，先将式子①化简，再用加减消元法（或代入消元法）求解；
【解答】解： ，
将①化简得： ③，
② ③，得 ，
将 代入②，得 ，
；
19．（6分）某校根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内
容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结果绘制成如
下统计图（不完整）．请根据图中信息回答问题：
（1）求 ， 的值．
（2）补全条形统计图．
（3）该校共有1200名学生，试估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数．
第16页（共28页）【考点】 ：条形统计图； ：用样本估计总体； ：扇形统计图
【分析】（1）先用选 的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数，然后根据百分
比 其所对应的人数 总人数分别求出 、 的值；
（2）用总数减去其他各小组的人数即可求得选 的人数，从而补全条形统计图；
（3）用样本估计总体即可确定全校最喜欢“数学史话”的学生人数．
【解答】解：（1）观察条形统计图与扇形统计图知：选 的有12人，占 ，
故总人数有 人，
；
（2）选 的有 人，
故条形统计图补充为：
（3）全校最喜欢“数学史话”的学生人数为： 人．
20．（8分）如图，在 的方格中， 的顶点均在格点上．试按要求画出线段 ，
均为格点），各画出一条即可．
【考点】 ：作图 应用与设计作图
【分析】从图中可得到 边的中点在格点上设为 ，过 作 的平行线即可在格点上找到
； ， ， ，借助勾股定理确定 点；
【解答】解：如图：
从图中可得到 边的中点在格点上设为 ，过 作 的平行线即可在格点上找到 ，则
平分 ；
第17页（共28页）， ， ，借助勾股定理确定 点，则 ；
借助圆规作 的垂直平分线即可；
21．（8分）如图，在 中，以 为圆心， 为半径的圆与 相切于点 ，与 相交
于点 ．
（1）求 的度数．
（2）如图，点 在 上，连结 与 交于点 ，若 ，求 的度数．
【考点】 ：切线的性质； ：平行四边形的性质
【分析】（1）连接 ，证明 是等腰直角三角形，即可求解；
（2） 是等腰直角三角形，则 ， ，即可求解．
【解答】解：（1）连接 ，
是圆的切线， ，
四边形 是平行四边形，
第18页（共28页）， ，
是等腰直角三角形，
，
的度数为 ；
（2）连接 ，过点 作 于点 ，设 ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
是等腰直角三角形，
，
则 ，
，
．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，正六边形 的对称中心 在反比例函数
的图象上，边 在 轴上，点 在 轴上，已知 ．
（1）点 是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）若该反比例函数图象与 交于点 ，求点 的横坐标；
（3）平移正六边形 ，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描
述平移过程．
第19页（共28页）【考点】 ：反比例函数的性质； ：反比例函数图象上点的坐标特征； ：中心对称；
：正多边形和圆； ：坐标与图形变化 平移
【分析】 过点 作 轴垂线 ，连接 ，可得 ， 是 的中点，所以 ；
（2）易求 ， ，待定系数法求出 的解析式为 ，联立反比例函数与
一次函数即可求点 ；
（3） ， ， ，将正六边形向左平移两个单位后， ， ， ，则点
与 都在反比例函数图象上；
【解答】解：（1）过点 作 轴垂线 ，连接 ，
是正六边形 的对称中心， ，
， 是 的中点，
，
，
在反比例函数 上，
，
，
由正六边形的性质， ， ，
点 在反比例函数图象上；
（2） ， ，
第20页（共28页）设 的解析式为 ，
，
，
，
联立方程 解得 ，
点横坐标为 ；
（3） ， ， ，
将正六边形向左平移两个单位后， ， ， ，
则点 与 都在反比例函数图象上；
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的边长为4，边 ， 分别在 轴，
轴的正半轴上，把正方形 的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点 为
抛物线 的顶点．
（1）当 时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．
（2）当 时，求该抛物线上的好点坐标．
（3）若点 在正方形 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求 的取值
范围．
第21页（共28页）【考点】 ：二次函数综合题
【分析】（1）如图1中，当 时，二次函数的表达式 ，画出函数图象，利用图象
法解决问题即可．
（2）如图2中，当 时，二次函数解析式为 ，如图2，结合图象即可解决问
题．
（3）如图3中， 抛物线的顶点 ，推出抛物线的顶点 在直线 上，由点
在正方形内部，则 ，如图3中， ， ，观察图象可知，当点 在正方形
内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段 有交点（点
除外），求出抛物线经过点 或点 时 的值，即可判断．
【解答】解：（1）如图1中，当 时，二次函数的表达式 ，函数图象如图1所示．
当 时， ，当 时， ，
抛物线经过点 和 ，
观察图象可知：好点有： ， ， ， ， ，共5个．
（2）如图2中，当 时，二次函数解析式为 ．如图2．
第22页（共28页）当 时， ，当 时， ，当 时， ，
抛物线经过 ， ， ，
共线图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为 ， ， ．
（3）如图3中， 抛物线的顶点 ，
抛物线的顶点 在直线 上，
点 在正方形内部，则 ，
如图3中， ， ，观察图象可知，当点 在正方形 内部，该抛物线下方（包
括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段 有交点（点 除外），
当抛物线经过点 时， ，
解得 或 （舍弃），
当抛物线经过点 时， ，
解得 或4（舍弃），
第23页（共28页）当 时，顶点 在正方形 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8
个好点．
24．（12分）如图，在等腰 中， ， ，点 ， 分别在边 ，
上，将线段 绕点 按逆时针方向旋转 得到 ．
（1）如图1，若 ，点 与点 重合， 与 相交于点 ．求证： ．
（2）已知点 为 的中点．
①如图2，若 ， ，求 的长．
②若 ，是否存在点 ，使得 是直角三角形？若存在，求 的长；若不存在，
试说明理由．
【考点】 ：几何变换综合题
【分析】（1）如图1中，首先证明 ，再证明四边形 是平行四边形即可解
决问题．
（2）①作 于点 ， 于 ．证明 是 的中位线，想办法求出 即
可解决问题．
②分两种情形：如图 中，当 时， ， ， ， 共线，作 于点 ，
于 ．设 ．构建方程解决问题即可．如图 中，当 时，取
的中点 ，连接 ．作 于 ．构建方程解决问题即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
第24页（共28页）， ， ，
， ，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
．
（2）①解：如图2中，作 于点 ， 于 ．
由题意： ， ，
，
，
，
，
第25页（共28页），
， ，
，
，
，
，
，
， ， ， 四点共圆，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
②解：如图 中，当 时， ， ， ， 共线，作 于点 ， 于
．设 ．
第26页（共28页），
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
整理得： ，
解得 ．
如图 中，当 时，取 的中点 ，连接 ．作 于 ．
设 ，由2①可知 ， ，
，
， ，
，
，
，
第27页（共28页），
整理得： ，
解得 或 （舍弃），
综上所述，满足条件的 的值为 或 ．
第28页（共28页）
