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2019年浙江省杭州市中考数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的；
1．（3分）（2019•杭州）计算下列各式，值最小的是
A． B． C． D．
2．（3分）（2019•杭州）在平面直角坐标系中，点 与点 关于 轴对称，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
3．（3分）（2019•杭州）如图， 为圆 外一点， ， 分别切圆 于 ， 两点，若 ，
则
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（3分）（2019•杭州）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种
2棵树，设男生有 人，则
A． B．
C． D．
5．（3分）（2019•杭州）点点同学对数据26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位
数的各位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差
6．（3分）（2019•杭州）如图，在 中，点 ， 分别在 和 上， ， 为
边上一点（不与点 ， 重合），连接 交 于点 ，则
A． B． C． D．
第1页（共23页）7．（3分）（2019•杭州）在 中，若一个内角等于另外两个内角的差，则
A．必有一个内角等于 B．必有一个内角等于
C．必有一个内角等于 D．必有一个内角等于
8．（3分）（2019•杭州）已知一次函数 和 ，函数 和 的图象可
能是
A． B．
C． D．
9．（3分）（2019•杭州）如图，一块矩形木板 斜靠在墙边 ，点 ， ， ， ，
在同一平面内），已知 ， ， ，则点 到 的距离等于
A． B． C． D．
10．（3分）（2019•杭州）在平面直角坐标系中，已知 ，设函数 的图象与
轴有 个交点，函数 的图象与 轴有 个交点，则
A． 或 B． 或 C． 或
D． 或
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分；
11．（4分）（2019•杭州）因式分解： ．
12．（4分）（2019•杭州）某计算机程序第一次算得 个数据的平均数为 ，第二次算得另外
第2页（共23页）个数据的平均数为 ，则这 个数据的平均数等于 ．
13．（4分）（2019•杭州）一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为 ，底面圆
半径为 ，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 （结果精确到个位）．
14．（4分）（2019•杭州）在直角三角形 中，若 ，则 ．
15．（4分）（2019•杭州）某函数满足当自变量 时，函数值 ，当自变量 时，函数
值 ，写出一个满足条件的函数表达式 ．
16．（4分）（2019•杭州）如图，把某矩形纸片 沿 ， 折叠（点 ， 在 边上，
点 ， 在 边上），使点 和点 落在 边上同一点 处， 点的对称点为 点， 点
的对称点为 点，若 ，△ 的面积为4，△ 的面积为1，则矩形
的面积等于 ．
三、解答题：本小题7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）（2019•杭州）化简：
圆圆的解答如下：
圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案．
18．（8分）（2019•杭州）称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千
克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并
把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）．
实际称量读数和记录数据统计表
序号 1 2 3 4 5
数据
甲组 48 52 47 49 54
乙组 2 4
第3页（共23页）（1）补充完成乙组数据的折线统计图．
（2）①甲，乙两组数据的平均数分别为 ， ，写出 与 之间的等量关系．
②甲，乙两组数据的方差分别为 ， ，比较 与 的大小，并说明理由．
19．（8分）（2019•杭州）如图，在 中， ．
（1）已知线段 的垂直平分线与 边交于点 ，连接 ，求证： ．
（2）以点 为圆心，线段 的长为半径画弧，与 边交于点 ，连接 ．若 ，
求 的度数．
20．（10分）（2019•杭州）方方驾驶小汽车匀速地从 地行驶到 地，行驶里程为480千米，
设小汽车的行驶时间为 （单位：小时），行驶速度为 （单位：千米 小时），且全程速度限定
为不超过120千米 小时．
（1）求 关于 的函数表达式；
（2）方方上午8点驾驶小汽车从 地出发．
①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达 地，求小汽车行驶速度
第4页（共23页）的范围．
②方方能否在当天11点30分前到达 地？说明理由．
21．（10分）（2019•杭州）如图，已知正方形 的边长为1，正方形 的面积为 ，点
在 边上，点 在 的延长线上，设以线段 和 为邻边的矩形的面积为 ，且
．
（1）求线段 的长；
（2）若点 为 边的中点，连接 ，求证： ．
22．（12分）（2019•杭州）设二次函数 ， 是实数）．
（1）甲求得当 时， ；当 时， ；乙求得当 时， ．若甲求得的结果
都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．
（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含 ， 的代数式表示）．
（3）已知二次函数的图象经过 和 两点 ， 是实数），当 时，求证：
．
23．（12分）（2019•杭州）如图，已知锐角三角形 内接于圆 ， 于点 ，连接
．
（1）若 ，
①求证： ．
②当 时，求 面积的最大值．
第5页（共23页）（2）点 在线段 上， ，连接 ，设 ， ， 是
正数），若 ，求证： ．
第6页（共23页）2019 年浙江省杭州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的；
1．（3分）计算下列各式，值最小的是
A． B． C． D．
【考点】 ：有理数的混合运算
【分析】有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的
顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
【解答】解： ，
．
．
． ，
故选： ．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点 与点 关于 轴对称，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【考点】 ：关于 轴、 轴对称的点的坐标
【分析】直接利用关于 轴对称点的性质得出答案．
【解答】解： 点 与点 关于 轴对称，
， ．
故选： ．
3．（3分）如图， 为圆 外一点， ， 分别切圆 于 ， 两点，若 ，则
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】 ：切线的性质
第7页（共23页）【分析】连接 、 、 ，根据切线的性质得出 ， ，然后证得
，即可求得 ．
【解答】解：连接 、 、 ，
， 分别切圆 于 ， 两点，
， ，
在 和 中，
，
，
，
故选： ．
4．（3分）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男
生有 人，则
A． B．
C． D．
【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程
【分析】直接根据题意表示出女生人数，进而利用30位学生种树72棵，得出等式求出答案．
【解答】解：设男生有 人，则女生 人，根据题意可得：
．
故选： ．
5．（3分）点点同学对数据26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的各位数
字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差
【考点】 ：算术平均数； ：中位数； ：方差； ：标准差
【分析】利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断．
【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第4个数有关，而这组数据的中位数为
46，与第4个数无关．
故选： ．
6．（3分）如图，在 中，点 ， 分别在 和 上， ， 为 边上一点（不
与点 ， 重合），连接 交 于点 ，则
第8页（共23页）A． B． C． D．
【考点】 ：相似三角形的判定与性质
【分析】先证明 得到 ，再证明 得到 ，则
，从而可对各选项进行判断．
【解答】解： ，
，
，
，
，
，
．
故选： ．
7．（3分）在 中，若一个内角等于另外两个内角的差，则
A．必有一个内角等于 B．必有一个内角等于
C．必有一个内角等于 D．必有一个内角等于
【考点】 ：三角形内角和定理
【分析】根据三角形内角和定理得出 ，把 代入求出 即
可．
【解答】解： ， ，
，
，
是直角三角形，
第9页（共23页）故选： ．
8．（3分）已知一次函数 和 ，函数 和 的图象可能是
A． B．
C． D．
【考点】 ：一次函数的图象
【分析】根据直线①判断出 、 的符号，然后根据 、 的符号判断出直线②经过的象限即可，
做出判断．
【解答】解： 、由①可知： ， ．
直线②经过一、二、三象限，故 正确；
、由①可知： ， ．
直线②经过一、二、三象限，故 错误；
、由①可知： ， ．
直线②经过一、二、四象限，交点不对，故 错误；
、由①可知： ， ，
直线②经过二、三、四象限，故 错误．
故选： ．
9．（3分）如图，一块矩形木板 斜靠在墙边 ，点 ， ， ， ， 在同一平面
内），已知 ， ， ，则点 到 的距离等于
第10页（共23页）A． B． C． D．
【考点】 ：解直角三角形的应用 坡度坡角问题； ：矩形的性质
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点 到 的距离，
本题得以解决．
【解答】解：作 于点 ，作 于点 ，
四边形 是矩形，
，
， ，
，
，
， ，
，
故选： ．
10．（3分）在平面直角坐标系中，已知 ，设函数 的图象与 轴有 个交
点，函数 的图象与 轴有 个交点，则
A． 或 B． 或 C． 或
D． 或
【考点】 ：抛物线与 轴的交点
【分析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与
轴的交点个数，若一次函数，则与 轴只有一个交点，据此解答．
第11页（共23页）【解答】解： ，
△ ，
函数 的图象与 轴有2个交点，
，
函数 ，
当 时，△ ，函数 的图象与 轴有2个
交点，即 ，此时 ；
当 时，不妨令 ， ， ，函数 为一次函数，与
轴有一个交点，即 ，此时 ；
综上可知， 或 ．
故选： ．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分；
11．（4分）因式分解： ．
【考点】54：因式分解 运用公式法
【分析】根据平方差公式可以将题目中的式子进行因式分解．
【解答】解： ，
故答案为： ．
12．（4分）某计算机程序第一次算得 个数据的平均数为 ，第二次算得另外 个数据的平
均数为 ，则这 个数据的平均数等于 ．
【考点】 ：加权平均数
【分析】直接利用已知表示出两组数据的总和，进而求出平均数．
【解答】解： 某计算机程序第一次算得 个数据的平均数为 ，第二次算得另外 个数据的
平均数为 ，
则这 个数据的平均数等于： ．
故答案为： ．
第12页（共23页）13．（4分）一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为 ，底面圆半径为 ，
则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 11 3 （结果精确到个位）．
【考点】 ：近似数和有效数字； ：圆锥的计算
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径
等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【解答】解：这个冰淇淋外壳的侧面积 ．
故答案为113．
14．（4分）在直角三角形 中，若 ，则 或 ．
【考点】 ：锐角三角函数的定义
【分析】讨论：若 ，设 ，则 ，利用勾股定理计算出 ，然后根据
余弦的定义求 的值；若 ，设 ，则 ，利用勾股定理计算出
，然后根据余弦的定义求 的值．
【解答】解：若 ，设 ，则 ，所以 ，所以
；
若 ， 设 ， 则 ， 所 以 ， 所 以
；
综上所述， 的值为 或 ．
故答案为 或 ．
15．（4分）某函数满足当自变量 时，函数值 ，当自变量 时，函数值 ，写出
一个满足条件的函数表达式 ．
【考点】 ：反比例函数的性质； ：正比例函数的性质； ：一次函数的性质； ：二次
函数的性质
第13页（共23页）【分析】根据题意写出一个一次函数即可．
【解答】解：设该函数的解析式为 ，
函数满足当自变量 时，函数值 ，当自变量 时，函数值 ，
解得： ，
所以函数的解析式为 ，
故答案为： ．
16．（4分）如图，把某矩形纸片 沿 ， 折叠（点 ， 在 边上，点 ， 在
边上），使点 和点 落在 边上同一点 处， 点的对称点为 点， 点的对称点为
点，若 ，△ 的面积为4，△ 的面积为1，则矩形 的面积等于
．
【考点】 ：矩形的性质； ：翻折变换（折叠问题）
【分析】设 ，由翻折可知： ， ，因为△ 的面积为4，
△ 的面积为1，推出 ，设 ，则 ，由△ △ ，推
出 ，推出 ，可得 ，再利用三角形的面积公式求出 即可解决问题．
【解答】解： 四边形 是矩形，
， ，设 ，
由翻折可知： ， ，
△ 的面积为4，△ 的面积为1，
，设 ，则 ，
△ △ ，
第14页（共23页），
，
，
或 （舍弃），
，
，
，
，
， ， ，
，
矩形 的面积 ．
故答案为
三、解答题：本小题7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）化简：
圆圆的解答如下：
圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案．
【考点】 ：分式的加减法
【分析】直接将分式进行通分，进而化简得出答案．
【解答】解：圆圆的解答错误，
正确解法：
第15页（共23页）．
18．（8分）称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，
不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整
理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）．
实际称量读数和记录数据统计表
序号 1 2 3 4 5
数据
甲组 48 52 47 49 54
乙组 2 4
（1）补充完成乙组数据的折线统计图．
（2）①甲，乙两组数据的平均数分别为 ， ，写出 与 之间的等量关系．
②甲，乙两组数据的方差分别为 ， ，比较 与 的大小，并说明理由．
【考点】 ：算术平均数； ：折线统计图； ：方差
【分析】（1）利用描点法画出折线图即可．
（2）利用方差公式计算即可判断．
【解答】解：（1）乙组数据的折线统计图如图所示：
第16页（共23页）（2）① ．
② ．
理由： ．
，
．
19．（8分）如图，在 中， ．
（1）已知线段 的垂直平分线与 边交于点 ，连接 ，求证： ．
（2）以点 为圆心，线段 的长为半径画弧，与 边交于点 ，连接 ．若 ，
求 的度数．
【考点】 ：线段垂直平分线的性质； ：等腰三角形的性质
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可知 ，根据等腰三角形的性质可得
第17页（共23页），根据三角形的外角性质即可证得 ；
（2）根据题意可知 ，根据等腰三角形的性质可得 ，再根据三角形的
内角和公式即可解答．
【解答】解：（1）证明： 线段 的垂直平分线与 边交于点 ，
，
，
，
；
（2）根据题意可知 ，
，
， ，
，
，
，
．
20．（10分）方方驾驶小汽车匀速地从 地行驶到 地，行驶里程为480千米，设小汽车的行
驶时间为 （单位：小时），行驶速度为 （单位：千米 小时），且全程速度限定为不超过120
千米 小时．
（1）求 关于 的函数表达式；
（2）方方上午8点驾驶小汽车从 地出发．
①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达 地，求小汽车行驶速度
的范围．
②方方能否在当天11点30分前到达 地？说明理由．
【考点】 ：反比例函数的应用
【分析】（1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解；
（2）①8点至12点48分时间长为 小时，8点至14点时间长为6小时，将它们分别代入
关于 的函数表达式，即可得小汽车行驶的速度范围；
②8点至11点30分时间长为 小时，将其代入 关于 的函数表达式，可得速度大于120千
米 时，从而得答案．
第18页（共23页）【解答】解：（1） ，且全程速度限定为不超过120千米 小时，
关于 的函数表达式为： ， ．
（2）①8点至12点48分时间长为 小时，8点至14点时间长为6小时
将 代入 得 ；将 代入 得 ．
小汽车行驶速度 的范围为： ．
②方方不能在当天11点30分前到达 地．理由如下：
8点至11点30分时间长为 小时，将 代入 得 千米 小时，超速了．
故方方不能在当天11点30分前到达 地．
21．（10分）如图，已知正方形 的边长为1，正方形 的面积为 ，点 在 边上，
点 在 的延长线上，设以线段 和 为邻边的矩形的面积为 ，且 ．
（1）求线段 的长；
（2）若点 为 边的中点，连接 ，求证： ．
【考点】 ：矩形的性质； ：正方形的性质
【分析】（1）设出正方形 的边长，然后根据 ，即可求得线段 的长；
（2）根据（1）中的结果可以题目中的条件，可以分别计算出 和 的长，即可证明结论成
立．
【解答】解：（1）设正方形 的边长为 ，
正方形 的边长为1，
，
，
第19页（共23页），
解得， （舍去）， ，
即线段 的长是 ；
（2）证明： 点 为 边的中点， ，
，
，
， ，
，
．
22．（12分）设二次函数 ， 是实数）．
（1）甲求得当 时， ；当 时， ；乙求得当 时， ．若甲求得的结果
都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．
（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含 ， 的代数式表示）．
（3）已知二次函数的图象经过 和 两点 ， 是实数），当 时，求证：
．
【考点】 ：抛物线与 轴的交点； ：二次函数的性质； ：二次函数的最值； ：二次
函数图象上点的坐标特征
【分析】（1）将 ， 代入 求出函数解析式即可求解；
（2）对称轴为 ，当 时， 是函数的最小值；
（ 3 ） 将 已 知 两 点 代 入 求 出 ， ， 再 表 示 出
第20页（共23页），由已知 ，可求出 ，
，即可求解．
【解答】解：（1）当 时， ；当 时， ；
二次函数经过点 ， ，
， ，
，
当 时， ，
乙说点的不对；
（2）对称轴为 ，
当 时， 是函数的最小值；
（3）二次函数的图象经过 和 两点，
， ，
，
， ，
．
23．（12分）如图，已知锐角三角形 内接于圆 ， 于点 ，连接 ．
（1）若 ，
①求证： ．
②当 时，求 面积的最大值．
（2）点 在线段 上， ，连接 ，设 ， ， 是
正数），若 ，求证： ．
第21页（共23页）【考点】 ：圆的综合题
【分析】（1）①连接 、 ，则 ，即可求解；② 长度为定
值， 面积的最大值，要求 边上的高最大，即可求解；
（ 2 ） ， 而
，即可求解．
【解答】解：（1）①连接 、 ，
则 ，
，
；
② 长度为定值，
面积的最大值，要求 边上的高最大，
当 过点 时， 最大，即： ，
面积的最大值 ；
（2）如图2，连接 ，
第22页（共23页）设： ，
则 ， ，
则 ，
，
，
， ，
即： ，
化简得： ．
第23页（共23页）
