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2019年河南省中考数学模拟试卷(二)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，下列各小题具有四个答案，其中
只有一个是正确的。）
1．﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．﹣
2．将一根圆柱形的空心钢管任意放置，它的主视图不可能是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式变形中，正确的是（ ）
A．x2•x3=x6 B． =|x|
C．（x2﹣ ）÷x=x﹣1 D．x2﹣x+1=（x﹣ ）2+
4．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=48°，则∠2的度数为
（ ）
A．48° B．42° C．40° D．45°
5．函数y= 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x＞2 C．x≤2 D．x≠2
6．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有7名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相
同，其中一名学生想要知道自己能否进入前 3名，他不仅要了解自己的成绩，还要了解这
7名学生成绩的（ ）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数
7．已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）
A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5
8．如图，在▱ABCD中，E为AD的三等分点，AE= AD，连接BE交AC于点F，AC=12，则AF
为（ ）
1A．4 B．4.8 C．5.2 D．6
9．星期天，小明从家出发，以15千米/小时的速度骑车去郊游，到达目的地休息一段时间
后原路返回，已知小明行驶的路程s（千米）与时间t（小时）之间的函数关系如图所示，
则小明返程的速度为（ ）
A．15千米/小时 B．10千米/小时 C．6千米/小时 D．无法确定
10．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，CD是⊙O的切线，OD∥BC，OD与半圆O
交于点E，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AC⊥BC B．BE平分∠ABC C．BE∥CD D．∠D=∠A
二、填空题（本小题共5小题，每小题3分，共15分）
11．计算：2﹣2﹣ = ．
12．写出一个二次函数解析式，使它的图象的顶点在y轴上： ．
13．课外活动中，九（1）班准备把全班男生随机分成两个小组进行拔河比赛，则甲、乙、
丙三位同学恰好被分在同一小组的概率为 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以点A为圆心，AC的长为半径作 交
2AB于点E，以点B为圆心，BC的长为半径作 交AB于点D，则阴影部分的面积为 ．
15．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=15，点E是AD边上一点，连接BE，把△ABE沿BE折叠，
使点A落在点A′处，点F是CD边上一点，连接EF，把△DEF沿EF折叠，使点D落在直线
EA′上的点D′处，当点D′落在BC边上时，AE的长为 ．
三、解答题（本题共8小题，共75分．）
16．先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中实数a，b满足（a﹣2）2+|b
﹣2a|=0．
17．每年的3月22日为联合国确定的“世界水日”，某社区为了宣传节约用水，从本社区
1000户家庭中随机抽取部分家庭，调查他们每月的用水量，并将调查的结果绘制成如下两
幅尚不完整的统计图（每组数据包括右端点但不包括左端点），请你根据统计图解答下列
问题：
（1）此次抽样调查的样本容量是 ；
（2）补全频数分布直方图，求扇形图中“6吨﹣﹣9吨”部分的圆心角的度数；
（3）如果自来水公司将基本月用水量定为每户每月12吨，不超过基本月用水量的部分享
受基本价格，超出基本月用水量的部分实行加价收费，那么该社会用户中约有多少户家庭
能够全部享受基本价格？
318．如图，△ABC是半径为2的⊙O的内接三角形，连接OA、OB，点D、E、F、G分别是
CA、OA、OB、CB的中点．
（1）试判断四边形DEFG的形状，并说明理由；
（2）填空：
①若AB=3，当CA=CB时，四边形DEFG的面积是 ；
②若AB=2，当∠CAB的度数为 时，四边形DEFG是正方形．
19．某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的北岸边点 A处，
测得河的南岸边点B在其南偏东45°方向，然后向北走20米到达C点，测得点B在点C的
南偏东 33°方向，求出这段河的宽度（结果精确到 1 米，参考数据 sin33°≈0.54，
cos33°≈0.84，tan33°≈0.65， ≈1.41）
20．如图，直线y=﹣x+b与反比例函数y= 的图形交于A（a，4）和B（4，1）两点．
（1）求b，k的值；
4（2）在第一象限内，当一次函数y=﹣x+b的值大于反比例函数y= 的值时，直接写出自变
量x的取值范围；
（3）将直线y=﹣x+b向下平移m个单位，当直线与双曲线只有一个交点时，求m的值．
21．某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，物价部门规定其销售单价不低于进
价，不高于60元/千克，经市场调查发现：销售单价定为60元/千克时，每日销售20千克；
如调整价格，每降价1元/千克，每日可多销售2千克．
（1）已知某天售出该化工原料40千克，则当天的销售单价为 元/千克；
（2）该公司现有员工2名，每天支付员工的工资为每人每天90元，每天应支付其他费用
108元，当某天的销售价为46元/千克时，收支恰好平衡．
①求这种化工原料的进价；
②若公司每天的纯利润（收入﹣支出）全部用来偿还一笔 10000元的借款，则至少需多少
天才能还清借款？
22．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AB边的中点，以AE为边作正方形AEFG，连接
DE，BG．
（1）发现
①线段DE、BG之间的数量关系是 ；
②直线DE、BG之间的位置关系是 ．
5（2）探究
如图2，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出
证明；若不成立，请说明理由．
（3）应用
如图3，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，记直线DE与BG的交点为P，若AB=4，请
直接写出点P到CD所在直线距离的最大值和最小值．
23．如图，以x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A，点B（﹣1，0），
与y轴交于点C（0，4），作直线AC．
（1）求抛物线解析式；
（2）点P在抛物线的对称轴上，且到直线AC和x轴的距离相等，设点P的纵坐标为m，求
m的值；
（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线AC上，点Q为第一象限内抛物线上一点，
若以点C、M、N、Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标．
62019年河南省中考数学模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，下列各小题具有四个答案，其中
只有一个是正确的。）
1．﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．﹣
【考点】17：绝对值．
【分析】根据倒数定义求解即可．
【解答】解：﹣2的绝对值是2．
故选：A．
2．将一根圆柱形的空心钢管任意放置，它的主视图不可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U1：简单几何体的三视图．
【分析】根据三视图的确定方法，判断出钢管无论如何放置，三视图始终是下图中的其中
一个，即可．
【解答】解：∵一根圆柱形的空心钢管任意放置，
∴不管钢管怎么放置，它的三视图始终是 ， ， ，主视图是它们
中一个，
∴主视图不可能是 ．
故选A，
3．下列各式变形中，正确的是（ ）
A．x2•x3=x6 B． =|x|
7C．（x2﹣ ）÷x=x﹣1 D．x2﹣x+1=（x﹣ ）2+
【考点】73：二次根式的性质与化简；46：同底数幂的乘法；4B：多项式乘多项式；6C：
分式的混合运算．
【分析】直接利用二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算法则和分式的混合运算法则分
别化简求出答案．
【解答】解：A、x2•x3=x5，故此选项错误；
B、 =|x|，正确；
C、（x2﹣ ）÷x=x﹣ ，故此选项错误；
D、x2﹣x+1=（x﹣ ）2+ ，故此选项错误；
故选：B．
4．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=48°，则∠2的度数为
（ ）
A．48° B．42° C．40° D．45°
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】由两直线平行，同位角相等，可求得∠3的度数，然后求得∠2的度数．
【解答】解：如图，∵∠1=48°，
∴∠3=∠1=48°，
∴∠2=90°﹣48°=42°．
故选：B．
5．函数y= 中自变量x的取值范围是（ ）
8A．x≥2 B．x＞2 C．x≤2 D．x≠2
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，2x﹣4≥0，
解得x≥2．
故选A．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式
时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
6．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有7名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相
同，其中一名学生想要知道自己能否进入前 3名，他不仅要了解自己的成绩，还要了解这
7名学生成绩的（ ）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数
【考点】W4：中位数．
【分析】由于其中一名学生想要知道自己能否进入前3名，共有7名选手参加，故应根据
中位数的意义分析．
【解答】解：因为7名学生进入前3名肯定是7名学生中最高成绩的3名，
而且7个不同的分数按从小到大排序后，中位数之后的共有3个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入前3名．
故选：D．
7．已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）
A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5
【考点】AB：根与系数的关系．
【分析】根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，可以设出另一个根，然后根据根与
系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．
【解答】解：∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，设另一个根为m，
∴﹣2+m= ，
解得，m=﹣1，
故选B．
98．如图，在▱ABCD中，E为AD的三等分点，AE= AD，连接BE交AC于点F，AC=12，则AF
为（ ）
A．4 B．4.8 C．5.2 D．6
【考点】S4：平行线分线段成比例；L5：平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的对边相等可得AD=BC，然后求出AE= AD= BC，再根据平行线
分线段成比例定理求出AF、FC的比，然后求解即可．
【解答】解：在▱ABCD中，AD=BC，AD∥BC，
∵E为AD的三等分点，
∴AE= AD= BC，
∵AD∥BC，
∴ = = ，
∵AC=12，
∴AF= ×12=4.8．
故选B．
9．星期天，小明从家出发，以15千米/小时的速度骑车去郊游，到达目的地休息一段时间
后原路返回，已知小明行驶的路程s（千米）与时间t（小时）之间的函数关系如图所示，
则小明返程的速度为（ ）
A．15千米/小时 B．10千米/小时 C．6千米/小时 D．无法确定
10【考点】E6：函数的图象．
【分析】由往返路程相同结合速度=路程÷时间，即可求出小明返程的速度，此题得解．
【解答】解：15×1÷（3.5﹣2）=10（千米/小时），
∴小明返程的速度为10千米/小时．
故选B．
10．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，CD是⊙O的切线，OD∥BC，OD与半圆O
交于点E，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AC⊥BC B．BE平分∠ABC C．BE∥CD D．∠D=∠A
【考点】MC：切线的性质．
【分析】连接OC．根据圆的直径的性质、切线的性质、平行线的性质可以判定A、B、D正
确．
【解答】解：连接OC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，故A正确，
∵OD∥BC，
∴∠EBC=∠BEO，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∴∠EBO=∠EBC，
∴BE平分∠ABC，故B正确，
∵DC是切线，
∴DC⊥CO，
∴∠DCO=90°，
∴∠D+∠DOC=90°，
11∵BC⊥AC，OD∥BC，
∴OD⊥AC，
∵OA=OC，
∴∠AOD=∠DOC，
∴∠A+∠AOD=90°，
∴∠A=∠D，故D正确．
无法判断C正确，
故选C．
二、填空题（本小题共5小题，每小题3分，共15分）
11．计算：2﹣2﹣ = ﹣ ．
【考点】2C：实数的运算．
【分析】原式利用负整数指数幂法则，以及立方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：原式= ﹣ =﹣ ，
故答案为：﹣
12．写出一个二次函数解析式，使它的图象的顶点在y轴上： y= x 2 （答案不唯一） ．
【考点】H3：二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的图象的顶点在y轴上，则b=0，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：y=x2（答案不唯一）．
故答案为：y=x2（答案不唯一）．
13．课外活动中，九（1）班准备把全班男生随机分成两个小组进行拔河比赛，则甲、乙、
12丙三位同学恰好被分在同一小组的概率为 ．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】根据题意画出树状图然后依据树状图分析所有等可能的出现结果，根据概率公式
即可求出该事件的概率．
【解答】解：设两个小组分别为A，B，
如图所示，共有8种等可能的结果：AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB；
∵甲、乙、丙三位同学被分在同一小组的有6种情况，
∴ = ，
故答案为： ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以点A为圆心，AC的长为半径作 交
AB于点E，以点B为圆心，BC的长为半径作 交AB于点D，则阴影部分的面积为 π﹣2
．
【考点】MO：扇形面积的计算；KW：等腰直角三角形．
【分析】空白处的面积等于△ABC的面积减去扇形BCD的面积的2倍，阴影部分的面积等于
△ABC的面积减去空白处的面积即可得出答案．
【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴S = ×2×2=2，
△ABC
13S = = π，
扇形BCD
S =2×（2﹣ π）=4﹣π，
空白
S =S ﹣S =2﹣4+π=π﹣2，
阴影 △ABC 空白
故答案为π﹣2．
15．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=15，点E是AD边上一点，连接BE，把△ABE沿BE折叠，
使点A落在点A′处，点F是CD边上一点，连接EF，把△DEF沿EF折叠，使点D落在直线
EA′上的点D′处，当点D′落在BC边上时，AE的长为 或 ．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．
【分析】设AE=A′E=x，则DE=ED′=15﹣x，只要证明BD′=ED′=15﹣x，在Rt△BA′D′
中，根据BD′2=BA′2+A′D′2，列出方程即可解决问题．
【解答】解：∵把△ABE沿BE折叠，使点A落在点A′处，
∴AE=AE′，AB=BE′=8，∠A=∠BE′E=90°，
∵把△DEF沿EF折叠，使点D落在直线EA′上的点D′处，
∴DE=D′E，DF=D′F，∠ED′F=∠D=90°，
设AE=A′E=x，则DE=ED′=15﹣x，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠EBC，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠EBD′，
∴BD′=ED′=15﹣x，
∴A′D′=15﹣2x，
在Rt△BA′D′中，
14∵BD′2=BA′2+A′D′2，
∴82+（15﹣2x）2=（15﹣x）2，
解得x= ，
∴AE= 或 ．
三、解答题（本题共8小题，共75分．）
16．先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中实数a，b满足（a﹣2）2+|b
﹣2a|=0．
【考点】6D：分式的化简求值；16：非负数的性质：绝对值；1F：非负数的性质：偶次方．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，根据（a﹣2）2+|b﹣2a|=0可以求
得a、b的值，然后代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（ ﹣ ）÷
=
=
=
= ，
15∵（a﹣2）2+|b﹣2a|=0，
∴ ，得 ，
∴原式= ．
17．每年的3月22日为联合国确定的“世界水日”，某社区为了宣传节约用水，从本社区
1000户家庭中随机抽取部分家庭，调查他们每月的用水量，并将调查的结果绘制成如下两
幅尚不完整的统计图（每组数据包括右端点但不包括左端点），请你根据统计图解答下列
问题：
（1）此次抽样调查的样本容量是 10 0 ；
（2）补全频数分布直方图，求扇形图中“6吨﹣﹣9吨”部分的圆心角的度数；
（3）如果自来水公司将基本月用水量定为每户每月12吨，不超过基本月用水量的部分享
受基本价格，超出基本月用水量的部分实行加价收费，那么该社会用户中约有多少户家庭
能够全部享受基本价格？
【考点】V8：频数（率）分布直方图；V3：总体、个体、样本、样本容量；V5：用样本估
计总体；VB：扇形统计图．
【分析】（1）由3～6吨的户数及其百分比可得样本容量；
（2）总户数减去其他分组的户数之和求得6～9吨的户数，即可补全直方图，用6～9吨的
户数所占比例乘以360度可得圆心角度数；
（3）总户数乘以样本中3～12吨的户数所占比例即可得．
【解答】解：（1）此次抽样调查的样本容量是10÷10%=100，
故答案为：100；
（2）6～9吨的户数为100﹣（10+38+24+8）=20（户），
16补全频数分布直方图如下：
扇形图中“6吨﹣﹣9吨”部分的圆心角的度数为360°× =72°；
（3）1000× =680，
答：该社区约有680户家庭的用水全部享受基本价格．
18．如图，△ABC是半径为2的⊙O的内接三角形，连接OA、OB，点D、E、F、G分别是
CA、OA、OB、CB的中点．
（1）试判断四边形DEFG的形状，并说明理由；
（2）填空：
①若AB=3，当CA=CB时，四边形DEFG的面积是 ；
②若AB=2，当∠CAB的度数为 75° 或 15° 时，四边形DEFG是正方形．
【考点】MA：三角形的外接圆与外心；LF：正方形的判定；LN：中点四边形．
【分析】（1）只要证明DG=EF，DG∥EF即可解决问题；
（2）①只要证明四边形DEFG是矩形即可解决问题；
②分点C在优弧AB或劣弧AB上两种切线讨论即可；
【解答】解：（1）四边形DEFG是平行四边形．
∵点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点，
17∴DG∥AB，DG= AB，EF∥AB，EF= AB，
∴DG∥EF，DG=EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）①连接OC．
∵CA=CB，
∴ = ，
∴DG⊥OC，
∵AD=DC，AE=EO，
∴DE∥OC，DE= OC=1，同理EF= AB= ，
∴DE⊥DG，
∴四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG的面积= ．
故答案为 ；
②当C是优弧AB的中点时，四边形DEFG是正方形，此时∠CAB=75°，
当C是劣弧AB的中点时，四边形DEFG是正方形，此时∠CAB=15°，
故答案为75°或15°．
19．某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的北岸边点 A处，
测得河的南岸边点B在其南偏东45°方向，然后向北走20米到达C点，测得点B在点C的
南偏东 33°方向，求出这段河的宽度（结果精确到 1 米，参考数据 sin33°≈0.54，
cos33°≈0.84，tan33°≈0.65， ≈1.41）
18【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【分析】记河南岸为BE，延长CA交BE于点D，则CD⊥BE，设AD=x米，则BD=x米，CD=
（20+x）米，在Rt△CDB中利用三角函数即可列方程求解．
【解答】解：如图，记河南岸为BE，延长CA交BE于点D，则CD⊥BE．
由题意知，∠DAB=45°，∠DCB=33°，
设AD=x米，则BD=x米，CD=（20+x）米，
在Rt△CDB中， =tan∠DCB，
∴ ≈0.65，
解得x≈37．
答：这段河的宽约为37米．
20．如图，直线y=﹣x+b与反比例函数y= 的图形交于A（a，4）和B（4，1）两点．
（1）求b，k的值；
（2）在第一象限内，当一次函数y=﹣x+b的值大于反比例函数y= 的值时，直接写出自变
量x的取值范围；
19（3）将直线y=﹣x+b向下平移m个单位，当直线与双曲线只有一个交点时，求m的值．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题；A3：一元二次方程的解；F9：一次函数
图象与几何变换．
【分析】（1）根据直线y=﹣x+b与反比例函数y= 的图形交于A（a，4）和B（4，1）两
点，即可得到b，k的值；
（2）运用数形结合思想，根据图象中，直线与双曲线的上下位置关系，即可得到自变量 x
的取值范围；
（3）将直线y=﹣x+5向下平移m个单位后解析式为y=﹣x+5﹣m，依据﹣x+5﹣m= ，可得
△=（m﹣5）2﹣16，当直线与双曲线只有一个交点时，根据△=0，可得m的值．
【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+b过点 B（4，1），
∴1=﹣4+b，
解得b=5；
∵反比例函数y= 的图象过点 B（4，1），
∴k=4；
（2）由图可得，在第一象限内，当一次函数y=﹣x+b的值大于反比例函数y= 的值时，1
＜x＜4；
（3）将直线y=﹣x+5向下平移m个单位后解析式为y=﹣x+5﹣m，
∵直线y=﹣x+5﹣m与双曲线y= 只有一个交点，
令﹣x+5﹣m= ，整理得x2+（m﹣5）x+4=0，
∴△=（m﹣5）2﹣16=0，
20解得m=9或1．
21．某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，物价部门规定其销售单价不低于进
价，不高于60元/千克，经市场调查发现：销售单价定为60元/千克时，每日销售20千克；
如调整价格，每降价1元/千克，每日可多销售2千克．
（1）已知某天售出该化工原料40千克，则当天的销售单价为 5 0 元/千克；
（2）该公司现有员工2名，每天支付员工的工资为每人每天90元，每天应支付其他费用
108元，当某天的销售价为46元/千克时，收支恰好平衡．
①求这种化工原料的进价；
②若公司每天的纯利润（收入﹣支出）全部用来偿还一笔 10000元的借款，则至少需多少
天才能还清借款？
【考点】HE：二次函数的应用．
【分析】（1）根据销售单价定为60元/千克时，每日销售20千克；如调整价格，每降价1
元/千克，每日可多销售2千克，可以求得某天售出该化工原料40千克，当天的销售单价；
（2）①根据该公司现有员工2名，每天支付员工的工资为每人每天90元，每天应支付其
他费用108元，当某天的销售价为46元/千克时，收支恰好平衡，可以列出相应的方程，
从而可以求得原料的进价；
②根据题意可以求得每天的最大利润，从而可以求得少需多少天才能还清借款．
【解答】解：（1）设某天售出该化工原料40千克时的销售单价为x元/千克，
（60﹣x）×2+20=40，
解得，x=50，
故答案为：50；
（2）①设这种化工原料的进价为a元/千克，
当销售价为46元/千克时，当天的销量为：20+（60﹣46）×2=48（千克），
则（46﹣a）×48=108+90×2，
解得，a=40，
即这种化工原料的进价为40元/千克；
②设公司某天的销售单价为x元/千克，每天的收入为y元，
则y=（x﹣40）[20+2（60﹣x）]=﹣2（x﹣55）2+450，
∴当x=55时，公司每天的收入最多，最多收入450元，
设公司需要t天还清借款，
则t≥10000，
21解得，t≥ ，
∵t为整数，
∴t=62．
即公司至少需62天才能还清借款．
22．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AB边的中点，以AE为边作正方形AEFG，连接
DE，BG．
（1）发现
①线段DE、BG之间的数量关系是 DE=B G ；
②直线DE、BG之间的位置关系是 D E ⊥ B G ．
（2）探究
如图2，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出
证明；若不成立，请说明理由．
（3）应用
如图3，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，记直线DE与BG的交点为P，若AB=4，请
直接写出点P到CD所在直线距离的最大值和最小值．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）证明△AED≌△AGB可得出两个结论；
（2）①根据正方形的性质得出AE=AG，AD=AB，∠EAG=∠DAB=90°，求出∠EAD=∠GAB，根
据SAS推出△EAD≌△GAB即可；
②根据全等三角形的性质得出∠GBA=∠EDA，求出∠DHB=90°即可；
（3）先确定点P到CD所在直线距离的最大值和最小值的位置，再根据图形求解．
【解答】解：（1）发现
①线段DE、BG之间的数量关系是：DE=BG，
理由是：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
22∴AB=AD，∠BDA=90°，
∴∠BAG=∠BAD=90°，
∵四边形AEFG是正方形，
∴AE=AG，
∴△AED≌△AGB，
∴DE=BG；
②直线DE、BG之间的位置关系是：DE⊥BG，
理由是：如图2，延长DE交BG于Q，
由△AED≌△AGB得：∠ABG=∠ADE，
∵∠AED+∠ADE=90°，∠AED=∠BEQ，
∴∠BEQ+∠ABG=90°，
∴∠BQE=90°，
∴DE⊥BG；
故答案为：①DE=BG；②DE⊥BG；
（2）探究
（1）中的结论仍然成立，理由是：
①如图3，∵四边形AEFG和四边形ABCD是正方形，
∴AE=AG，AD=AB，∠EAG=∠DAB=90°，
∴∠EAD=∠GAB=90°+∠EAB，
在△EAD和△GAB中，
，
∴△EAD≌△GAB（SAS），
∴ED=GB；
②ED⊥GB，
理由是：∵△EAD≌△GAB，
∴∠GBA=∠EDA，
∵∠AMD+∠ADM=90°，∠BMH=∠AMD，
∴∠BMH+∠GBA=90°，
∴∠DHB=180°﹣90°=90°，
∴ED⊥GB；
（3）应用
23将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，即点E和G在以A为圆心，以2为半径的圆上，
过P作PH⊥CD于H，
①当P与F重合时，此时PH最小，如图4，
在Rt△AED中，AD=4，AE=2，
∴∠ADE=30°，DE= =2 ，
∴DF=DE﹣EF=2 ﹣2，
∵AD⊥CD，PH⊥CD，
∴AD∥PH，
∴∠DPH=∠ADE=30°，
cos30°= = ，
∴PH= （2 ﹣2）=3﹣ ；
②∵DE⊥BG，∠BAD=90°，
∴以BD的中点O为圆心，以BD为直径作圆，P、A在圆上，
当P在 的中点时，如图5，此时PH的值最大，
∵AB=AD=4，
由勾股定理得：BD=4 ，
则半径OB=OP=2
∴PH=2+2 ．
综上所述，点P到CD所在直线距离的最大值是2+2 ，最小值是3﹣ ．
2423．如图，以x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A，点B（﹣1，0），
与y轴交于点C（0，4），作直线AC．
（1）求抛物线解析式；
（2）点P在抛物线的对称轴上，且到直线AC和x轴的距离相等，设点P的纵坐标为m，求
m的值；
（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线AC上，点Q为第一象限内抛物线上一点，
25若以点C、M、N、Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）先利用抛物线的对称性得到A（3，0），则可设交点式y=a（x+1）（x﹣
3），然后把C点坐标代入求出a即可；
（2）先利用待定系数法其出直线AC的解析式为y=﹣ x+4；令对称轴与直线AC交于点
D，与x轴交于点E，作PH⊥AD于H，如图1，易得D（1， ），利用勾股定理计算出AD=
，设P（1，m），则PD= ﹣m，PH=PE=|m|，证明△DPH∽△DAE，利用相似比得到 =
，然后解方程可得到m的值；
（3）设Q（t，﹣ t2+ t+4）（0＜t＜4），讨论：当CM为对角线时，四边形CQMN为菱
形，如图2，根据菱形的性质判定点N和Q关于y轴对称，则N（﹣t，﹣ t2+ t+4），然
后
把N（﹣t，﹣ t2+ t+4）代入y=﹣ x+4得t的方程，从而解方程求出t得到此时Q点坐
26标；当CM为菱形的边时，四边形CNQM为菱形，如图3，利用菱形的性质得NQ∥y轴，
NQ=NC，则N（t，﹣ t+4），所以NQ=﹣ t2+4t，再根据两点间的距离公式计算出 CN=
t，所以﹣ t2+4t= t，从而解方程求出t得到此时Q点坐标．
【解答】解：（1）∵点A与点B（﹣1，0）关于直线x=1对称，
∴A（3，0），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
把C（0，4）代入得a•1•（﹣3）=4，解得a=﹣ ，
∴抛物线解析式为y=﹣ （x+1）（x﹣3），即y=﹣ x2+ x+4；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+p，
把A（3，0），C（0，4）代入得 ，解得 ，
∴直线AC的解析式为y=﹣ x+4；
令对称轴与直线AC交于点D，与x轴交于点E，作PH⊥AD于H，如图1，
当x=1时，y=﹣ x+4= ，则D（1， ），
∴DE= ，
在Rt△ADE中，AD= = ，
设P（1，m），则PD= ﹣m，PH=PE=|m|，
∵∠PDH=∠ADE，
∴△DPH∽△DAE，
∴ = ，即 = ，解得m=1或m=﹣4，
即m的值为1或﹣4；
27（3）设Q（t，﹣ t2+ t+4）（0＜t＜4），
当CM为对角线时，四边形CQMN为菱形，如图2，则点N和Q关于y轴对称，
∴N（﹣t，﹣ t2+ t+4），
把N（﹣t，﹣ t2+ t+4）代入y=﹣ x+4得 t+4=﹣ t2+ t+4，解得t=0（舍去），
1
t=1，此时Q点坐标为（1， ）；
2
当CM为菱形的边时，四边形CNQM为菱形，如图3，则NQ∥y轴，NQ=NC，
∴N（t，﹣ t+4），
∴NQ=﹣ t2+ t+4﹣（﹣ t+4）=﹣ t2+4t，
而CN2=t2+（﹣ t+4﹣4）2= t2，即CN= t，
∴﹣ t2+4t= t，解得t=0（舍去），t= ，此时Q点坐标为（ ， ），
1 2
综上所述，点Q的坐标为（1， ）或（ ， ）．
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