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2019年内蒙古呼和浩特市玉泉区中考数学模拟试卷（3月份）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列实数中，有理数是（ ）
A． B． C． D．3.
2．下列各式计算正确的是（ ）
A．2ab+3ab＝5ab B．（﹣a2b3）2＝a4b5
C． × ＝ D．（a+1）2＝a2+1
3．如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点， O的半径为
1，则AP+BP的最小值为（ ） ⊙
A．1 B． C． D．
4．在趣味运动会“定点投篮”项目中，我校七年级八个班的投篮成绩（单位：个）分别为：24，20，19，
20，22，23，20，22．则这组数据中的众数和中位数分别是（ ）
A．22个、20个 B．22个、21个 C．20个、21个 D．20个、22个
5．如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（ ）
A．6 B． C．8 D．
6．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+c的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
7．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是（ ）
A．120° B．180° C．240° D．300°
8．若二次根式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞ B．x≥ C．x≤ D．x≤5
9．下列四个点中，有三个点在同一条直线上，不在这条直线上的点是（ ）
A．（﹣3，﹣1） B．（1，1） C．（3，2） D．（4，3）
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论： a＜0； b＞0； b＜
a+c； 2a+b＝0；其中正确的结论有（ ） ① ② ③
④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．把0.0036这个数用科学记数法表示，应该记作 ．
12．分解因式：n2﹣2n+1﹣m2＝ ．
13．如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是．
14．如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s
的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运
动时间为 s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是 cm2．
15．如图，线段AC＝n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正
方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB＝1时，△AME的面积记为S ；当AB＝2时，
1
△AME的面积记为S ；当AB＝3时，△AME的面积记为S ；则S ﹣S ＝ ．
2 3 3 2
16．点A、C为半径是8的圆周上两动点，点B为 的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点
D恰在该圆半径的中点上，则该菱形的边长为 ．
三．解答题（共8小题）17．（1）计算 +| ﹣1|﹣ 0+（ ）﹣1；
π
（2） + ÷ （a＞0）；
（3）先化简，后计算： + + ，其中a＝ ，b＝ ．
18．已知不等式组 的解集为﹣6＜x＜3，求m，n的值．
19．《如果想毁掉一个孩子，就给他一部手机!》这是2017年微信圈一篇热传的文章．国际上，法国教
育部宣布从2018年9月新学期起小学和初中禁止学生使用手机．为了解学生手机使用情况，某学
校开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周
使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图 ， 的统计图，已知“查资料”的人数是40人．
① ②
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，“玩游戏”对应的百分比为 ，圆心角度数是 度；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有学生2100人，估计每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数．
20．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC．
（1）求证：四边形DBEC是菱形；
（2）若AD＝3，DF＝1，求四边形DBEC面积．21．不透明的袋中装有3个大小相同的小球，其中两个为白色，一个为红色，随机地从袋中摸取一个
小球后放回，再随机地摸取一个小球，（用列表或树形图求下列事件的概率）
（1）两次取的小球都是红球的概率；
（2）两次取的小球是一红一白的概率．
22．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝ 的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直接写出当x＞0时，kx+b＜ 的解集．
（3）点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小．
23．如图，AB是 O的直径，AC平分∠DAB交 O于点C，过点C的直线垂直于AD交AB的延长线
于点P，弦C⊙E交AB于点F，连接BE． ⊙
（1）求证：PD是 O的切线；
（2）若PC＝PF，⊙试证明CE平分∠ACB．24．如图，P是半圆弧 上一动点，连接PA、PB，过圆心O作OC∥BP交PA于点C，连接CB．已知
AB＝6cm，设O，C两点间的距离为xcm，B，C两点间的距离为ycm．
小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y/cm 3 3.1 3.5 4.0 5.3 6
（说明：补全表格时相关数据保留一位小数）
（2）建立直角坐标系，描出以补全后的表中各对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：直接写出△OBC周长C的取值范围是 ．2019 年内蒙古呼和浩特市玉泉区中考数学模拟试卷（3 月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】直接利用有理数以及无理数的定义分析得出答案．
【解答】解：A、 ，是无理数，不合题意；
B、 ，是无理数，不合题意；
C、 是无理数，不合题意；
D、3. ，是有理数，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数，正确把握有理数以及无理数的概念是解题关键．
2．【分析】根据合并同类项法则、幂的运算及二次根式的乘除运算法则及完全平方公式计算可得．
【解答】解：A、2ab+3ab＝5ab，此选项正确；
B、（﹣a2b3）2＝﹣a4b6，此选项错误；
C、 × ＝ ，此选项错误；
D、（a+1）2＝a2+2a+1，此选项错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查整式的运算与二次根式的乘除法，解题的关键是掌握合并同类项法则、幂的
运算及二次根式的乘除运算法则及完全平方公式．
3．【分析】本题是要在MN上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于MN的对称点，连接
A′B，与MN的交点即为点P．此时PA+PB＝A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，
从而得出结果．
【解答】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则PA+PB最小，
连接OA′，AA′．
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON＝∠AON＝60°，PA＝PA′，∵点B是弧AN^的中点，
∴∠BON＝30°，
∴∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝90°，
又∵OA＝OA′＝1，
∴A′B＝ ．
∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B＝ ．
故选：C．
【点评】正确确定P点的位置是解题的关键，确定点P的位置这类题在课本中有原题，因此加强课
本题目的训练至关重要．
4．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位
数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：在这一组数据中20出现了3次，次数最多，故众数是20；
把数据按从小到大的顺序排列：19，20，20，20，22，22，23，24，
处于这组数据中间位置的数20和22，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是21．
故选：C．
【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重
新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概
念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
5．【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据垂径定理、勾股定理即可求得OP的长，本题得以解
决．
【解答】解：作OE⊥AB交AB与点E，作OF⊥CD交CD于点F，如右图所示，
则AE＝BE，CF＝DF，∠OFP＝∠OEP＝90°，
又∵圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，
∴∠FPE＝90°，OB＝10，BE＝8，
∴四边形OEPF是矩形，OE＝6，同理可得，OF＝6，
∴EP＝6，
∴OP＝ ，
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6．【分析】根据二次函数的开口向下得出a＜0，根据二次函数图象和y轴的交点得出c＞0，再根据一
次函数的性质得出即可．
【解答】解：从二次函数的图象可知：a＜0，c＞0，
所以直线y＝ax+c的图象经过第一、二、四象限，
即只有选项B符合题意；选项A、C、D都不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质和一次函数的图象和性质，能熟记二次函数和一次函数
的性质是解此题的关键．
7．【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展
开图的弧长＝底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．
【解答】解：设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长＝2 r，底面面积＝ r2，侧面面积＝ rR，
∵侧面积是底面π积的2倍， π π
∴2 r2＝ rR，
∴Rπ＝2r，π
设圆心角为n，
则 ＝2 r＝ R，
π π
解得，n＝180°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
8．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，5x﹣1≥0，
解得，x≥ ，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
9．【分析】先用待定系数法求出函数解析式，将点的坐标分别代入即可求出．
【解答】解：可把（﹣3，﹣1），（1，1）代入一次函数y＝kx+b，
得﹣3k+b＝﹣1，k+b＝1，
解得k＝0.5，b＝0.5，
∴y＝0.5x+0.5．
当x＝3时，y＝2，
∴（3，2）在y＝0.5x+0.5上．
当x＝4时，y＝2.5，
∴（4，3）不在y＝0.5x+0.5上．
故选：D．
【点评】本题需注意可把任意两点代入一次函数得到解析式．然后把其他两点代入看是否合适．
10．【分析】由抛物线开口向下，知a＜0，对称轴﹣ ＝1，可知b＞0，由抛物线与y轴交于正半轴知c
＞0，再根据特殊点即可判断．
【解答】解：由抛物线开口向下，知a＜0，对称轴﹣ ＝1，∴b＞0，2a+b＝0，
由抛物线与y轴交于正半轴知c＞0，
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴b＞a+c，
故正确的为： ，
故选：C． ①②④
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，属于基础题，关键是掌握根据图象获取信息的能
力．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记
数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个
数所决定．
【解答】解：把0.0036这个数用科学记数法表示，应该记作3.6×10﹣3．
故答案为：3.6×10﹣3．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左
边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中有n的二次项，n的一
次项，有常数项．所以要考虑后三项n2﹣2n+1为一组．
【解答】解：n2﹣2n+1﹣m2＝（n2﹣2n+1）﹣m2＝（n﹣1）2﹣m2＝（n﹣1+m）（n﹣1﹣m）．
故答案为：（n﹣1+m）（n﹣1﹣m）．
【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组．比如本题有n
的二次项，n的一次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组．
13．【分析】先过点F作FG⊥BC于G．利用勾股定理可求出AE，再利用翻折变换的知识，可得到AE
＝CE，∠AEF＝∠CEF，再利用平行线可得∠AEF＝∠AFE，故有AE＝AF．
求出EG，再次使用勾股定理可求出EF的长．
【解答】解：过点F作FG⊥BC于G
∵EF是直角梯形AECD的折痕
∴AE＝CE，∠AEF＝∠CEF．
又∵AD∥BC
∴∠AEF＝∠AFE．∴AE＝AF．
在Rt△ABE中，设BE＝x，AB＝4，AE＝CE＝8﹣x．x2+42＝（8﹣x）2解得x＝3．
在Rt△FEG中，EG＝BG﹣BE＝AF﹣BE＝AE﹣BE＝5﹣3＝2，FG＝4，
∴EF＝ ＝ ．【点评】本题考查了折叠的知识，矩形的性质，勾股定理等知识点的理解和运用，关键是根据题意
得出方程x2+42＝（8﹣x）2．
14．【分析】设运动时间为t（0≤t≤6），则AE＝t，AH＝6﹣t，由四边形EFGH的面积＝正方形ABCD
的面积﹣4个△AEH的面积，即可得出S 关于t的函数关系式，配方后即可得出结论．
四边形EFGH
【解答】解：设运动时间为t（0≤t≤6），则AE＝t，AH＝6﹣t，
根据题意得：S ＝S ﹣4S ＝6×6﹣4× （t 6﹣t）＝2t2﹣12t+36＝2（t﹣3）2+18，
四边形EFGH 正方形ABCD △AEH
∴当t＝3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18．
故答案为：3；18
【点评】本题考查了二次函数的最值、三角形以及正方形的面积，通过分割图形求面积法找出S
四边
关于t的函数关系式是解题的关键．
形EFGH
15．【分析】根据连接BE，则BE∥AM，利用△AME的面积＝△AMB的面积即可得出S ＝ n2，S ＝
n n﹣1
（n﹣1）2＝ n2﹣n+ ，再代值计算即可得出答案．
【解答】解：连接BE．
∵在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，
∴BE∥AM，
∴△AME与△AMB同底等高，
∴△AME的面积＝△AMB的面积，
∴当AB＝n时，△AME的面积记为S ＝ n2，
nS ＝ （n﹣1）2＝ n2﹣n+ ，
n﹣1
∴当n≥2时，S ﹣S ＝ ＝ ＝ ．
n n﹣1
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，用到的知识点是三角形面积求法以及正方形的性质，根
据已知得出正确图形，得出S与n的关系是解题的关键．
16．【分析】过B作直径，连接AC交BO于E，如图 ，根据已知条件得到BD＝ OB＝4，如图 ，BD
① ②
＝12，求得OD、OE、DE的长，连接OD，根据勾股定理得到结论．
【解答】解：过B作直径，连接AC交BO于E，
∵点B为 的中点，
∴BD⊥AC，
如图 ，
∵点①D恰在该圆直径上，D为OB的中点，∴BD＝ ×8＝4，
∴OD＝OB﹣BD＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE＝ BD＝2，
∴OE＝2+4＝6，
连接OC，
∵CE＝ ，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：DC＝ ；
如图 ，
②
OD＝4，BD＝8+4＝12，DE＝ BD＝6，OE＝6﹣4＝2，
由勾股定理得：CE＝ ，
DC＝ ，
故答案为：4 或4 ．
【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，勾股定理，菱形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．【分析】（1）根据零指数幂的意义以及负整数的意义；（2）根据二次分式即可求出答案．
（3）根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝2 + ﹣1﹣1+2＝3
（2）原式＝3 + • ÷
＝3 + •
＝3 +
（3）当a＝ ，b＝ 时，
原式＝ + +
＝ +
＝
＝
【点评】本题考查学生的计算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
18．【分析】由不等式组的解集，确定出m与n的值即可．
【解答】解：不等式组整理得： ，即3m﹣3＜x＜2n+1，
由不等式组的解集为﹣6＜x＜3，可得3m﹣3＝﹣6，2n+1＝3，
解得：m＝﹣1，n＝1．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．【分析】（1）由扇形统计图其他的百分比求出“玩游戏”的百分比，乘以360即可得到结果；
（2）求出3小时以上的人数，补全条形统计图即可；（3）由每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的百分比乘以2100即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：1﹣（40%+18%+7%）＝35%，
则“玩游戏”对应的圆心角度数是360°×35%＝126°，
故答案为：35%，126；
（2）根据题意得：40÷40%＝100（人），
∴3小时以上的人数为100﹣（2+16+18+32）＝32（人），
补全图形如下：
；
（3）根据题意得：2100× ＝1344（人），
则每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数约有1344人．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的
关键．
20．【分析】（1）根据平行四边形的判定定理首先推知四边形DBEC为平行四边形，然后由直角三角形
斜边上的中线等于斜边的一半得到其邻边相等：CD＝BD，得证；
（2）由三角形中位线定理和勾股定理求得AB边的长度，然后根据菱形的性质和三角形的面积公式
进行解答．
【解答】（1）证明：∵CE∥DB，BE∥DC，
∴四边形DBEC为平行四边形．
又∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，∴CD＝BD＝ AC，
∴平行四边形DBEC是菱形；
（2）∵点D，F分别是AC，AB的中点，AD＝3，DF＝1，
∴DF是△ABC的中位线，AC＝2AD＝6，S ＝ S
△BCD △ABC
∴BC＝2DF＝2．
又∵∠ABC＝90°，
∴AB＝ ＝ ＝4 ．
∵平行四边形DBEC是菱形，
∴S ＝2S ＝S ＝ AB•BC＝ ×4 ×2＝4 ．
四边形DBEC △BCD △ABC
【点评】考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线以及勾股定理，
熟练掌握相关的定理与性质即可解题，难度中等．
21．【分析】（1）用列表法列举出所有情况，看所求的情况与总情况的比值即可得答案，
（2）由（1）的图表，可得要求的情况，与总情况作比即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，有
两次取的小球都是红球的概率为 ；（2）由（1）可得，两次取的小球是一红一白的有4种；
故其概率为 ．
【点评】列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点
为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．【分析】（1）将点A（1，4）代入y＝ 可得m的值，求得反比例函数的解析式；根据反比例函数解析
式求得点B坐标，再由A、B两点的坐标可得一次函数的解析式；
（2）根据图象得出不等式kx+b＜ 的解集即可；
（3）作B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB＝AB′最小，根据B的坐标
求得B′的坐标，然后根据待定系数法求得直线AB′的解析式，进而求得与x轴的交点P即可．
【解答】解：（1）把A（1，4）代入y＝ ，得：m＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝ ；
把B（4，n）代入y＝ ，得：n＝1，
∴B（4，1），
把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，
得： ，
解得： ，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；
（2）根据图象得当0＜x＜1或x＞4，一次函数y＝﹣x+5的图象在反比例函数y＝ 的下方；∴当x＞0时，kx+b＜ 的解集为0＜x＜1或x＞4；
（3）如图，作B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB＝AB′最小，
∵B（4，1），
∴B′（4，﹣1），
设直线AB′的解析式为y＝px+q，
∴ ，
解得 ，
∴直线AB′的解析式为y＝﹣ x+ ，
令y＝0，得﹣ x+ ＝0，
解得x＝ ，
∴点P的坐标为（ ，0）．
【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点及待定系数法求函数解析式、轴对称﹣最短路
线问题，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．23．【分析】（1）连接OC，如图，先证明∠2＝∠3得到OC∥AD，然后利用平行线的性质得到
OC⊥CD，从而根据切线的判定定理得到PD是 O的切线；
（2）先证明∠1＝∠PCB，再根据等腰三角形⊙的性质得∠PCF＝∠PFC，然后利用∠PCF＝
∠PCB+∠BCF，∠PFC＝∠1+∠ACF，从而可判断∠BCF＝∠ACF．
【解答】证明：（1）连接OC，如图，
∵AC平分∠DAB，
∴∠1＝∠2，
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴PD是 O的切线；
（2）∵O⊙C⊥PC，
∴∠PCB+∠BCO＝90°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，即∠3+∠BCO＝90°，
∴∠3＝∠PCB，
而∠1＝∠3，
∴∠1＝∠PCB，
∵PC＝PF，
∴∠PCF＝∠PFC，
而∠PCF＝∠PCB+∠BCF，∠PFC＝∠1+∠ACF，
∴∠BCF＝∠ACF，
即CE平分∠ACB．【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆
的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直
线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理．
24．【分析】解答本题需要动手操作，在细心测量的基础上，描点、连线画出函数图象，再根据观察找到
函数值得取值范围．
【解答】解：（1）经过测量，x＝2时，y值为4.6
（2）根据题意，画出函数图象如下图：
（3）根据图象，可以发现，y的取值范围为：
3≤y≤6，
△OBC的周长C：3＜C＜12．
故答案为：3＜C＜12．
【点评】本题通过学生测量、绘制函数，考查了学生的动手能力，由观察函数图象，确定函数的最值，
让学生进一步了解函数的意义．
