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专题2.31 一元一次不等式（组）中考真题专练（培优篇）
（专项练习）
一、单选题
1．（2019·湖北荆门·中考真题）不等式组 的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（2019·西藏·中考真题）把一些书分给几名同学，如果每人分 本，那么余 本；如果
前面的每名同学分 本，那么最后一人就分不到 本，这些书有______本，共有______人．
（ ）
A． 本， 人 B． 本， 人 C． 本， 人 D． 本， 人
3．（2020·四川宜宾·中考真题）某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场
上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，
总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
4．（2019·四川内江·中考真题）若关于 的不等式组 恰有三个整
数解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 或
5．（2019·内蒙古呼和浩特·中考真题）若不等式 的解集中 的每一个值，
都能使关于 的不等式 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2019·湖南常德·中考真题）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，
小明让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多12元．”丙说：“至多10元．”小
明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（ ）A． B． C． D．
7．（2019·贵州遵义·中考真题）如图所示，直线l：y x+6与直线l：y x﹣2交于
1 2
点P（﹣2，3），不等式 x+6 x﹣2的解集是（ ）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2
8．（2011·广东深圳·中考真题）如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是（ ）．
A． a＋c＞b＋c； B． c－a＞c－b； C． ac＞bc； D． ．
9．（2019·江苏无锡·中考真题）某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于
是安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，
若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少
为 （ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
10．（2018·山东泰安·中考真题）不等式组 有3个整数解，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2019·山东德州·中考真题）已知： 表示不超过 的最大整数．例： ，
．现定义： ，例： ，则
______．
12．（2019·山东济南·中考真题）定义：[x]表示不大于x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[1]
＝1．有以下结论：①[﹣1.2]＝﹣2；②[a﹣1]＝[a]﹣1；③[2a]＜[2a]+1；④存在唯一非零实数a，使得a2＝
2[a]．
其中正确的是_____．（写出所有正确结论的序号）
13．（2019·湖北荆州·中考真题）对非负实数 “四舍五入”到个位的值记为 ，即当
为非负整数时，若 ，则 ．如 ， ．若
，则实数 的取值范围是__________．
14．（2019·黑龙江·中考真题）已知x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，x=2不是不等式
ax-3a-1＜0的解，则实数a的取值范围是____．
15．（2019·湖北鄂州·中考真题）若关于 、 的二元一次方程组 的解满足
，则 的取值范围是____．
16．（2020·四川凉山·中考真题）关于x的不等式组 有四个整数解，则a的
取值范围是________________.
17．（2020·四川遂宁·中考真题）若关于x的不等式组 有且只有三个整数解，
则m的取值范围是______．
18．（2020·四川绵阳·中考真题）若不等式 ＞﹣x﹣ 的解都能使不等式（m﹣6）x＜
2m+1成立，则实数m的取值范围是_______．
19．（2020·山东滨州·中考真题）若关于x的不等式组 无解，则a的取值范围为
________．
三、解答题20．（2006·江苏无锡·中考真题）一商场计划到计算器生产厂家购进一批A、B两种型号的
计算器．经过商谈，A型计算器单价为50元，100只起售，超过100只的超过部分，每只
优惠20％；B型计算器单价为22元，150只起售，超过l50只的超过部分，每只优惠2元．
如果商家计划购进计算器的总量既不少于700只，又不多于800只，且分别用于购买A、B
这两种型号的计算器的金额相等，那么该商场至少需要准备多少资金？
21．（2017·山东青岛·中考真题）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形
结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方
法在解决代数问题中的应用．
探究一：求不等式 的解集
（1）探究 的几何意义
如图①，在以O为原点的数轴上，设点A＇对应点的数为 ，由绝对值的定义可知，点
A＇与O的距离为 ，
可记为：A＇O= ．将线段A＇O向右平移一个单位，得到线段AB，，此时点A对
应的数为 ，点B的对应数是1，
因为AB= A＇O，所以AB= ．
因此， 的几何意义可以理解为数轴上 所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB．
（2）求方程 =2的解
因为数轴上3与 所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为
（3）求不等式 的解集
因为 表示数轴上 所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转
化为求这个距离小于2的点所对应的数 的范围．
请在图②的数轴上表示 的解集，并写出这个解集
探究二：探究 的几何意义
（1）探究 的几何意义
如图③，在直角坐标系中，设点M的坐标为 ，过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于
Q，则点P点坐标（ ），Q点坐标（ ），|OP|= ，|OQ|= ，
在Rt△OPM中，PM＝OQ＝y，则
因此 的几何意义可以理解为点M 与原点O（0,0）之间的距离OM
（2）探究 的几何意义如图④，在直角坐标系中，设点 A＇的坐标为 ，由探究（二）（1）可知，
A＇O= ，将线段 A＇O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，
得到线段AB，此时A的坐标为（ ），点B的坐标为（1,5）．
因为AB= A＇O，所以 AB= ，因此 的几何意义可
以理解为点A（ ）与点B（1,5）之间的距离．
（3）探究 的几何意义
请仿照探究二（2）的方法，在图⑤中画出图形，并写出探究过程．
（4） 的几何意义可以理解为：_________________________.
拓展应用：
（1） + 的几何意义可以理解为：点A 与点
E 的距离与点AA 与点F____________（填写坐标）的距离之和．
（2） + 的最小值为____________(直接写出结果)
22．（2013·湖北黄冈·中考真题）为支援四川雅安地震灾区，某市民政局组织募捐了240
吨救灾物资，现准备租用甲、乙两种货车，将这批救灾物资一次性全部运往灾区，它们的
载货量和租金如下表：
甲种货车 乙种货车
载货量（吨/辆） 45 30
租金（元/辆） 400 300如果计划租用6辆货车，且租车的总费用不超过2300元，求最省钱的租车方案.
23．（2013·黑龙江牡丹江·中考真题）某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号
召，准备用不超过105700元购进40台电脑，其中A型电脑每台进价2500元，B型电脑每
台进价2800元，A型每台售价3000元，B型每台售价3200元，预计销售额不低于123200
元．设A型电脑购进x台、商场的总利润为y（元）．
（1）请你设计出进货方案；
（2）求出总利润y（元）与购进A型电脑x（台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种
方案的利润最大，最大利润是多少元？
（3）商场准备拿出（2）中的最大利润的一部分再次购进A型和B型电脑至少各两台，另
一部分为地震灾区购买单价为500元的帐篷若干顶．在钱用尽三样都购买的前提下请直接
写出购买A型电脑、B型电脑和帐篷的方案．
24．（2021·贵州铜仁·中考真题）某快递公司为了提高工作效率，计划购买 、 两种型
号的机器人来搬运货物，已知每台 型机器人比每台 型机器人每天多搬运20吨，并且3
台 型机器人和2台 型机器人每天共搬运货物460吨．
（1）求每台 型机器人和每台 型机器人每天分别微运货物多少吨？
（2）每台 型机器人售价3万元，每台 型机器人售价2万元，该公司计划采购 、 两
种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，求
出 、 两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低﹖最低费用是多少？
25．（2016·浙江台州·中考真题）（操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“ ”键求算术平方根，运算结果越来越
接近1或都等于1．
【提出问题】
输入一个实数，不断地进行“乘以常数k，再加上常数b”的运算，有什么规律？
【分析问题】
我们可用框图表示这种运算过程（如图a）．
也可用图象描述：如图1，在x轴上表示出x，先在直线y=kx+b上确定点（x，y），再在
1 1 1
直线y=x上确定纵坐标为y 的点（x，y），然后再x轴上确定对应的数x，…，以此类推．
1 2 1 2
【解决问题】
研究输入实数x 时，随着运算次数n的不断增加，运算结果x，怎样变化．
1
（1）若k=2，b=﹣4，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究；
（2）若k＞1，又得到什么结论？请说明理由；
（3）①若 ，b=2，已在x轴上表示出x（如图2所示），请在x轴上表示x，x，
1 2 3
x，并写出研究结论；
4
②若输入实数x 时，运算结果xn互不相等，且越来越接近常数m，直接写出k的取值范围
1
及m的值（用含k，b的代数式表示）26．（2020·湖南邵阳·中考真题）2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地
摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进A、B两种类型的便携式风扇到地摊一条街出
售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共
62元．
（1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？
（2）小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风
扇好，小丹准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇
的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？
27．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种
植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克
元，售价每千克 元；乙种蔬菜进价每千克 元，售价每千克 元．
（1）该超市购进甲种蔬菜 千克和乙种蔬菜 千克需要 元；购进甲种蔬菜 千克和
乙种蔬菜 千克需要 元．求 ， 的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共 千克，且投入资金不少于 元又不多于
元，设购买甲种蔬菜 千克，求有哪几种购买方案
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐
出 元，乙种蔬菜每千克捐出 元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于 ，
求 的最大值．
28．（2017·江苏连云港·中考真题）某蓝莓种植生产基地产销两旺，采摘的蓝莓部分加工销售，部分直接销售，且当天都能销售完，直接销售是40元/斤，加工销售是130元/斤(不
计损耗)．已知基地雇佣20名工人，每名工人只能参与采摘和加工中的一项工作，每人每
天可以采摘70斤或加工35斤．设安排x名工人采摘蓝莓，剩下的工人加工蓝莓．
(1)若基地一天的总销售收入为y元，求y与x的函数关系式；
(2)试求如何分配工人，才能使一天的销售收入最大？并求出最大值．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【详解】
，
解①得： ，
解②得 ，
则不等式组的解集为 ．
故选C．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式组，根据大大取大，小小取小，比大的小比小的大
取中间，比大的大比小的小无解的原则.
2．C
【解析】【分析】
设有 名同学，则有 本书，根据每名同学分 本，那么最后一人就分不到 本的不
等关系建立不等式组求出其解即可．
【详解】
设有 名同学，则有 本书，
由题意，得： ，
解得： ，
为正整数，
．
书的数量为： ．
故选C．
【点拨】本题考查了列一元一次不等式组解决实际问题，一元一次不等式组的解法的运用，
解答时根据题意中的不等关系建立不等式组是关键．
3．B
【解析】
【分析】
设购买A 型分类垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（6-x），然后根据题意列出不等式组，
确定不等式组整数解的个数即可．
【详解】
解：设购买A 型分类垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（6-x）个
由题意得： ，解得4≤x≤6
则x可取4、5、6，即有三种不同的购买方式．
故答案为B．
【点拨】本题考查了一元一次方程组的应用，弄清题意、列出不等式组并确定不等式组的
整数解是解答本题的关键．
4．B
【解析】
【分析】
先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解，求出实数a的取值范围．
【详解】解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
∵不等式组恰有三个整数解，
∴这三个整数解为0、1、2，
∴ ，
解得 ，
故选B．
【点拨】此题考查一元一次不等式组的整数解，解题关键在于掌握运算法则
5．C
【解析】
【分析】
求出不等式 的解，求出不等式3（x-1）+5＞5x+2（m+x）的解集，得出关
于m的不等式，求出m即可．
【详解】
解：解不等式 得： ，
不等式 的解集中 的每一个值，都能使关于 的不等式
成立，
，
，
解得： ，
故选 ．
【点拨】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据
已知得到关于m的不等式是解此题的关键．
6．B
【解析】【分析】
根据三人说法都错了得出不等式组解答即可．
【详解】
根据题意可得： ，
可得： ，
∴
故选B．
【点拨】此题考查一元一次不等式组的应用，关键是根据题意得出不等式组解答．
7．A
【解析】
【分析】
利用函数图象写出直线l：y= x+6与在直线l：y=- x-2上方所对应的自变量的范围即可．
1 2
【详解】
当x＞﹣2时， x+6 x﹣2，
所以不等式 x+6 x﹣2的解集是x＞﹣2．
故选A．
【点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数
y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直
线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
8．A
【解析】
【详解】
根据不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向
不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变（3）不等式两边乘
（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．一个个筛选即可得到答案．
解答：解：A，∵a＞b，∴a+c＞b+c，故此选项正确；
B，∵a＞b，∴-a＜-b，
∴-a+c＜-b+c，
故此选项错误；
C，∵a＞b，c＜0，
∴ac＜bc，
故此选项错误；
D，∵a＞b，c＜0，
∴ ，
故此选项错误；
故选A．
9．B
【解析】
【分析】
根据15名工人前期的工作量+12名工人后期的工作量<2160，列出不等式进行解答即可.
【详解】
设原计划m天完成，开工x天后3人外出培训，
则有15am=2160，
得到am=144，
由题意得15ax+12(a+2)(m-x)<2160，
即：ax+4am+8m-8x<720，
∵am=144，
∴将其代入得：ax+576+8m-8x<720，
即：ax+8m-8x<144，
∴ax+8m-8xx，
∴m-x>0，
∴a>8，
∴a至少为9，
故选B.
【点拨】本题考查了一元一次不等式的应用，有一定的难度，解题的关键在于灵活掌握设而不求的解题技巧.
10．B
【解析】
【详解】
分析：解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组有3个整数解，可得答案．
详解：不等式组 ，由 ﹣ x＜﹣1，解得：x＞4，
由4（x﹣1）≤2（x﹣a），解得：x≤2﹣a，
故不等式组的解为：4＜x≤2﹣a，
由关于x的不等式组 有3个整数解，
得：7≤2﹣a＜8，解得：﹣6＜a≤﹣5．
故选B．
点睛：本题考查了解一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题的关
键．
11．
【解析】
【分析】
根据题意列出代数式解答即可．
【详解】
根据题意可得： ，
故答案为
【点拨】此题考查解一元一次不等式，关键是根据题意列出代数式解答．
12．①②③．
【解析】
【分析】
根据题意可以分别判断各个小的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
①[﹣1.2]＝﹣2，故①正确；②[a﹣1]＝[a]﹣1，故②正确；
③[2a]＜[2a]+1，故③正确；
④当a＝0时，a2＝2[a]＝0；当a＝ 时，a2＝2[a]＝2；原题说法是错误的．
故答案为①②③．
【点拨】本题考查新定义，解答本题的关键是明确题目中的新定义，可以判断出各个小题
中的结论是否正确．
13． ．
【解析】
【分析】
根据定义运算的法则写出不等式，利用一元一次不等式求解即可.
【详解】
解：依题意得：
解得 ．
故答案是： ．
【点拨】本题考查的是一元一次不等式，正确掌握题意是解题的关键.
14．a≤-1.
【解析】
【分析】
根据x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，x=2不是不等式ax-3a-1＜0的解，列出不等式，求出
解集，即可解答．
【详解】
解：∵x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，
∴4a-3a-1＜0，
解得：a＜1，
∵x=2不是这个不等式的解，
∴2a-3a-1≥0，
解得：a≤-1，
∴a≤-1，
故答案为a≤-1．
【点拨】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是求不等式的解集．
15．【解析】
【分析】
首先解关于 和 的方程组，利用 表示出 ，代入 即可得到关于 的不等式，
求得 的范围．
【详解】
解： ，
①+②得 ，
则 ，
根据题意得 ，
解得 ．
故答案是： ．
【点拨】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把 当
作已知数表示出 的值，再得到关于 的不等式．
16．- ≤a＜-
【解析】
【分析】
解不等式组求得不等式组的解集，根据不等式组有四个整数解，进而求出a的范围．
【详解】
解不等式①得，x＞8；
解不等式②得，x＜2-4a；
∴不等式组的解集为8＜x＜2-4a.
∵不等式组有4个整数解，
∴12＜2-4a≤13，
∴- ≤a＜-
17．1≤m＜4
【解析】【分析】
解不等式组得出其解集为﹣2＜x≤ ，根据不等式组有且只有三个整数解得出1≤
＜2，解之可得答案．
【详解】
解不等式 ，得：x＞﹣2，
解不等式2x﹣m≤2﹣x，得：x≤ ，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤ ，
∵不等式组有且只有三个整数解，
∴1≤ ＜2，
解得：1≤m＜4，
故答案为：1≤m＜4．
【点拨】本题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用
到的知识点是一元一次不等式的解法．
18． ≤m≤6
【解析】
【分析】
解不等式 ＞﹣x﹣ 得x＞﹣4，据此知x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，
再分m﹣6＝0和m﹣6≠0两种情况分别求解．
【详解】
解：解不等式 ＞﹣x﹣ 得x＞﹣4，
∵x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，
①当m﹣6＝0，即m＝6时，则x＞﹣4都能使0•x＜13恒成立；
②当m﹣6≠0，则不等式（m﹣6）x＜2m+1的解要改变方向，
∴m﹣6＜0，即m＜6，
∴不等式（m﹣6）x＜2m+1的解集为x＞ ，∵x＞﹣4都能使x＞ 成立，
∴﹣4≥ ，
∴﹣4m+24≤2m+1，
∴m≥ ，
综上所述，m的取值范围是 ≤m≤6．
故答案为： ≤m≤6．
【点拨】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和
依据及不等式的基本性质．
19．
【解析】
【分析】
先解不等式组中的两个不等式，然后根据不等式组无解可得关于a的不等式，解不等式即
得答案．
【详解】
解：对不等式组 ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∵原不等式组无解，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元一次不等式组的解法，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握
解一元一次不等式组的方法是关键．
20．解：设购买A型计算器x只，B型计算器y只，则解得
设所需资金为P元，
则
因为x为整数，且P随x的增大而增大，所以当x=222时，P的最小值为19760．
答：该商场至少需要准备资金19760元．
【解析】
【详解】
关系式为：A型100只计算器的价钱+超过100只的总价钱=B型150只计算器的价钱+超过
150只的总价钱；计算器的总量≥700；计算器的总量≤800．列不等式组求解即可
21．探究一（3） 解集为：
探究二（3）（ ）拓展应用（1）（ ） （2）5
【解析】
【详解】
试题分析：探究一（3）： 的解集就是数轴上 所对应的点与1所对应的点之间
的距离小于2的点所对应的数，利用数轴可知
探究二（3）：根据题目信息， 的几何意义可以理解为点A（ ）
与点B（ ）之间的距离．
拓展应用：根据题目信息知是与点F（ ）的距离之和．+ 表示点A 与点E 的距离与点A
与点F（ ）的距离之和．∴最小值为E 与点F（ ）的距离5.
试题解析：探究一
（3）
解集为：
探究二（3）
如图⑤，在直角坐标系中，设点 A＇的坐标为 ，
由探究（二）（1）可知， A＇O= ，
将线段 A＇O先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，
得到线段AB，此时A的坐标为（ ），点B的坐标为（ ）．
因为AB= A＇O，所以 AB= ，
因此 的几何意义可以理解为点A（ ）与点B（ ）之间的距
离．
拓展应用
（1）（ ） （2）5
考点：信息阅读题
22．最省钱的租车方案是租用甲货车4辆，乙货车2辆【解析】
【分析】
根据设租用甲种货车x辆，则租用乙种6－x辆，利用某市民政局组织募捐了240吨救灾物
资，以及每辆货车的载重量得出不等式求出即可，进而根据每辆车的运费求出最省钱方案．
【详解】
解：设租用甲种货车x辆，则租用乙种6－x辆，
根据题意得： ，解得：x≥4．
∴租车方案为：甲4辆，乙2辆；甲5辆，乙1辆；甲6辆，乙0辆．
租车的总费用分别为：甲4辆，乙2辆：4×400+2×300=2200（元）；
甲5辆，乙1辆：5×400+1×300=2300（元）；
甲6辆，乙0辆：6×400=2400（元）＞2300（不合题意舍去）．
∴最省钱的租车方案是租用甲货车4辆，乙货车2辆．
23．解：（1）设A型电脑购进x台，则B型电脑购进（40﹣x）台，由题意，得
，解得：21≤x≤24．
∵x为整数，∴x=21，22，23，24．
∴有4种购买方案：
方案1：购A型电脑21台，B型电脑19台；
方案2：购A型电脑22台，B型电脑18台；
方案3：购A型电脑23台，B型电脑17台；
方案4：购A型电脑24台，B型电脑16台．
（2）由题意，得y=（3000﹣2500）x+（3200﹣2800）（40﹣x）=500x+16000﹣
400x=100x+16000，
∵k=100＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴x=24时，y =18400元．
最大
（3）设再次购买A型电脑a台，B型电脑b台，帐篷c顶，由题意，得
2500a+2800b+500c=18400，
∴ ．
∵a≥2，b≥2，c≥1，且a、b、c为整数，∴b=3．
∴当a=2，b=3时， ；
当a=3，b=3时， ；
当a=4，b=3时， ．
∴有2种购买方案：
方案1：购A型电脑2台，B型电脑3台，帐篷10顶，
方案2：购A型电脑3台，B型电脑3台，帐篷5顶．
【解析】
【详解】
试题分析：（1）设A型电脑购进x台，则B型电脑购进（40﹣x）台，根据总进价不超过
105700元和销售额不低于123200元建立不等式组，求出其解即可．
（2）根据利润等于售价﹣进价的数量关系分别表示出购买A型电脑的利润和B型电脑的
利润就求其和就可以得出结论．
（3）设再次购买A型电脑a台，B型电脑b台，帐篷c顶，a≥2，b≥2，c≥1，且a、b、c为
整数，根据条件建立方程运用讨论法求出其解即可．
24．（1）每台A型机器人每天分别微运货物100吨，每台B型机器人每天分别微运货物
80吨；（2）购买10台A型机器人，10台B型机器人时，所需费用最低，最低费用为50
万元．
【解析】
【分析】
（1）设每台A型机器人每天分别微运货物x吨，每台B型机器人每天分别微运货物y吨，
根据“每台 型机器人比每台 型机器人每天多搬运20吨，并且3台 型机器人和2台
型机器人每天共搬运货物460吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出
结论；
（2）设购买m台A型机器人，则购买（20-m）台B型机器人，根据这些机器人每天搬运
的货物不低于1800吨，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，
设该公司计划采购 、 两种型号的机器人所需费用为w万元，根据总价=单价×数量，即
可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】
解：（1）设每台A型机器人每天分别微运货物x吨，每台B型机器人每天分别微运货物y
吨，根据题意得：，
解得： ．
答：每台A型机器人每天分别微运货物100吨，每台B型机器人每天分别微运货物80吨．
（2）设购买m台A型机器人，则购买（20-m）台B型机器人，根据题意得：
100m+80（20-m）≥1800，
解得：m≥10．
设该公司计划采购 、 两种型号的机器人所需费用为w万元，则w=3m+2（20-m）
=m+40，
∵k=1＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=10时，w有最小值，且最小值为w=10+40=50（万元），
此时20-m=10．
所以，购买10台A型机器人，10台B型机器人时，所需费用最低，最低费用为50万元．
【点拨】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数的应用，读懂题意，
找到关键描述语句，找准等量关系，正确列出二元一次方程组及一元一次不等式是解题的
关键．
25．（1）当x＜4时，随着运算次数n的增加，运算结果xn越来越小；当x=4时，随着
1 1
运算次数n的增加，运算结果xn的值保持不变，都等于4；当x＞4时，随着运算次数n的
1
增加，运算结果xn越来越大
；（2）当x＞ 时，随着运算次数n的增加，xn越来越大；当x＜ 时，随着运算
1 1
次数n的增加，xn越来越小；当x= 时，随着运算次数n的增加，xn保持不变；（3）
1
①随着运算次数的增加，运算结果越来越接近 ；②﹣1＜k＜1且k≠0，m= ．
【解析】
【详解】
试题分析：（1）分x＜4，x=4，x＞4三种情形解答即可．
1 1 1（2）分x＞ ，x＜ ，x= 三种情形解答即可．
1 1 1
（3）①如图2中，画出图形，根据图象即可解决问题，x 的值越来越接近两直线交点的横
n
坐标．
②根据前面的探究即可解决问题．
试题解析：（1）若k=2，b=﹣4，y=2x﹣4，取x=3，则x=2，x=0，x=﹣4，…
1 2 3 4
取x=4，则xx=x=4，…
1 2 3 4
取x=5，则x=6，x=8，x=12，…由此发现：
1 2 3 4
当x＜4时，随着运算次数n的增加，运算结果x 越来越小．
1 n
当x=4时，随着运算次数n的增加，运算结果x 的值保持不变，都等于4．
1 n
当x＞4时，随着运算次数n的增加，运算结果x 越来越大．
1 n
（2）当x＞ 时，随着运算次数n的增加，x 越来越大．
1 n
当x＜ 时，随着运算次数n的增加，x 越来越小．
1 n
当x= 时，随着运算次数n的增加，x 保持不变．
1 n
理由：如图1中，直线y=kx+b与直线y=x的交点坐标为（ ， ），当x＞ 时，
1
对于同一个x的值，kx+b＞x，∴y＞x
1 1
∵y=x，∴x＜x，同理x＜x＜…＜x，∴当x＞ 时，随着运算次数n的增加，x 越
1 2 1 2 2 3 n 1 n
来越大．
同理，当x＜ 时，随着运算次数n的增加，x 越来越小．
1 n
当x= 时，随着运算次数n的增加，x 保持不变．
1 n
（3）①在数轴上表示的x，x，x 如图2所示．
1 2 3
随着运算次数的增加，运算结果越来越接近 ．
②由（2）可知：﹣1＜k＜1且k≠0，由 消去y得到x= ，∴由①探究可知：m= ．
考点：一次函数综合题；一次函数的性质；探究型；分类讨论；阅读型；综合题．
26．（1）A型风扇、B型风扇进货的单价各是10元和16元；（2）丹4种进货方案分别是：
①进A型风扇72台，B型风扇28台；②进A型风扇73台，B型风扇27台；③进A型风
扇74台，B型风扇26台；①进A型风扇75台，B型风扇24台．
【解析】
【分析】
（1）设A型风扇、B型风扇进货的单价各是x元和y元，再根据“2台A型风扇和5台B
型风扇进价共100元”和“ 3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元”两个等量关系列二
元一次方程组解答即可；
（2）设购进A型风扇a台、则B型风扇购进（100-a）台，再根据 “购进A、B两种风
扇的总金额不超过1170元”和“A型风扇不超过B型风扇数量的3倍”两个不等关系列不
等式组求出a的整数解的个数即可．
【详解】
解：（1）设A型风扇、B型风扇进货的单价各是x元和y元
由题意得： ，解得
答：A型风扇、B型风扇进货的单价各是10元和16元；
（2）设购进A型风扇a台、则B型风扇购进（100-a）台
有题意得 ，解得：
∴a可以取72、73、74、75
∴小丹4种进货方案分别是：①进A型风扇72台，B型风扇28台；②进A型风扇73台，B型风扇27台；③进A型风扇74台，B型风扇26台；①进A型风扇75台，B型风扇24
台．
【点拨】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意确定等量关系
和不等关系是解答本题的关键．
27．（1） 、 的值分别为 和 ；（2）共3种方案分别为：方案一购甲种蔬菜 千克，
乙种蔬菜 千克；方案二购甲种蔬菜 千克，乙种蔬菜 千克；方案三购甲种蔬菜 千
克，乙种蔬菜 千克；（3） 的最大值为
【解析】
【分析】
（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得m、n的值；
（2）根据题意，列出一元一次不等式组，解方程组即可得到购买方案；
（3）分别求出三种方案的利润，然后列出不等式，即可求出答案．
【详解】
解：（1）由题意得
，
解得： ；
答： 、 的值分别为 和 ；
（2）根据题意 ，
解得： ，
因为 是整数
所以 为 、 、 ；
∴共3种方案，分别为：
方案一购甲种蔬菜 千克，乙种蔬菜 千克；
方案二购甲种蔬菜 千克，乙种蔬菜 千克；
方案三购甲种蔬菜 千克，乙种蔬菜 千克；
（3）方案一的利润为： 元，
方案二的利润为： 元，方案三的利润为： 元，
利润最大值为 元，甲售出 ，乙售出 ，
∴
解得：
答： 的最大值为 ；
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确
题意，利用二元一次方程组，以及不等式组的知识解答．
28．(1)y＝－350x＋63 000.(2)安排7名工人进行采摘，13名工人进行加工，才能使一天的
收入最大，最大收入为60 550元．
【解析】
【分析】
（1）根据题意可知x人参加采摘蓝莓，则（20-x）人参加加工，可分别求出直接销售和加
工销售的量，然后乘以单价得到收入钱数，列出函数的解析式；
（2）根据采摘量和加工量可求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性可得到分配方
案，并且求出其最值.
【详解】
解：(1)根据题意得：
(2)因为 ，解得 ，又因为 为正整数，且 .
所以 ，且 为正整数.
因为 ，所以y的值随着x的值增大而减小，
所以当 时， 取最大值，最大值为 .
答：安排7名工人进行采摘，13名工人进行加工，才能使一天的收入最大，最大收入为
60550元.
