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专题 2.6 二次根式的加减法
1. 理解最简二次根式概念，能准确判断一个二次根式是否为最简形式。
2. 掌握二次根式的加减运算法则，会将二次根式化简后，合并被开方数相同的二次
教学目标
根式 ，进行简单的加减运算。
3. 通过学习，培养观察、分析、归纳和运算能力，体会类比整式加减的思想 。
1.重点
（1）最简二次根式的概念，能依据被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或
因式这两个关键特征来判断。
教学重难点
（2）二次根式加减法运算法则，即先化简，再合并被开方数相同的二次根式，并能
熟练应用于计算。
2.难点（1） 准确判断二次根式是否为最简形式，尤其是对被开方数中较为复杂的因数或
因式的判断。
（2）理解并正确运用二次根式加减法运算法则，在实际运算中合理运用运算律和法
则，避免计算错误 。
知识点01 最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式
【即学即练】下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式的判断
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
根据最简二次根式的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、 ，可以进行分母有理化，不是最简二次根式，故选项不符合题意；
B、 ，被开方数，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，故选项符合题意；
C、 ，可以进行分母有理化，不是最简二次根式，故选项不符合题意；
D、 ，含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故选项不符合题意；
故选：B．
知识点02 同类二次根式
1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法
2
分配律，如
【即学即练】下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ）．
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
【答案】A
【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式
【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们
的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，据此进行逐项分析，即可作答．．【详解】解：A、 ， 与 是同类二次根式，故该选项符合题意；
B、 ， ， 与 不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
C、 ， ， 与 不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
D、 ， ， 与 不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
故选：A．
知识点03 二次根式的加减法
1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
2.二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
【即学即练】计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算
【分析】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．
（1）化简二次根式，然后合并即可；
（2）去括号，化简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（3）化简二次根式，然后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式 ；
（3）解：原式 ．题型01 最简二次根式的判断
【典例1】下列式子中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，判定最简二次根式等知识点，解题的关键是掌握最简二次根式
的形式．
根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数的因数是整数，且不含能开得尽方的因数或因式；②被开
方数不含分母．
【详解】解：选项A： ，被开方数为 ，即 ，分母含非整数，可化为 ，不符合最简条件，故不
符合题意；
选项B： ，被开方数 是质数，无平方因数，且不含分母，符合最简条件，故符合题意；
选项C： ，被开方数 是完全平方数（ ），可化简为 ，不符合最简条件，故不符合题意；
选项D： ，被开方数 ，其中 是平方数，可化简为 ，不符合最简条件，故不符合题意；
故选：B．
【变式1】下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了最简二次根式“1、被开方数的因数是整数，字母因式是整式；2、被开方数不含能开
得尽方的因数或因式”，熟记最简二次根式的定义是解题关键．根据最简二次根式的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、 是最简二次根式，则此项符合题意；
B、 ，不是最简二次根式，则此项不符合题意；
C、 ，不是最简二次根式，则此项不符合题意；
D、 不是二次根式，则此项不符合题意；
故选：A．
【变式2】下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式必须满足①被开方数的因数不含能开得
尽方的数；②被开方数不含分母．
根据二次根式必须满足的条件逐项判断即可．
【详解】解：A． 分母含根号，需有理化为 ，不符合最简二次根式条件；
B． ，被开方数为分数，需化为 ，不符合最简二次根式条件；
C． 被开方数含分母10，需化为 ，不符合最简二次根式条件；
D． ，被开方数30分解质因数为 ，无平方数因子且不含分母，符合最简二次根式条件．
故选D．
题型02 化为最简二次根式
【典例2】把 化成最简二次根式为 ．
【答案】 /
【分析】此题考查了最简二次根式，利用二次根式性质化简即可得到结果．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【变式1】将 化成最简二次根式为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是最简二次根式，熟练运用二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式性质化
简即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【变式2】将 化成最简二次根式的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化为最简二次根式，即可求解．
【详解】解： ，
故答案为： ．题型03 已知最简二次根式求参数
【典例3】若 是最简二次根式，则整数 的最小值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，
不含分母，进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 是最简二次根式，且 为整数，
∴当 时， ，不符合题意；
当 时， ，符合题意；
故答案为：3．
【变式1】若 是最简二次根式，且 为整数，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查最简二次根式的定义．让被开方数为非负数列式求得 的取值范围，找到最小的整数解
即可．
【详解】解： 二次根式 有意义，
，
解得： ，
当 时，二次根式的值为 ，是最简二次根式，符合题意，
若二次根式 是最简二次根式，则整数 的最小值是 ．
故答案为： ．
【变式2】若 是最简二次根式，则自然数 ．
【答案】0或1
【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式是解题的关键．
由 是最简二次根式，可得 ，由n是自然数，作答即可．
【详解】解：∵ 是最简二次根式，
∴ ，
又∵n是自然数，
∴ 或1，
故答案为：0或1．
题型04 同类二次根式的判断
【典例4】下列根式和 是同类二次根式的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，正确理解同类二次根式的定义是解题关键．先根据
二次根式的性质化简个选项根式，再根据含有相同的被开方数的最简二次根式是同类二次根式判断即可．
【详解】解：A、 ，和 不是同类二次根式，不符合题意；
B、 ，和 不是同类二次根式，不符合题意；
C、 ，和 是同类二次根式，符合题意；
D、 ，和 不是同类二次根式，不符合题意；
故选：C．
【变式1】下列各式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查同类二次根式，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相
同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，据此进行判断即可．
【详解】解：A 、 ，与 是同类二次根式，故A选项符合题意；
B 、 ，与 不是同类二次根式，故B选项不符合题意；
C 、 ，与 不是同类二次根式，故C选项不符合题意；
D 、 ，与 不是同类二次根式，故D选项不符合题意．
故选：A．
【变式2】下列各组二次根式中，是同类二次根式的为（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【答案】C
【分析】本题考查同类二次根式，二次根式的化简，正确理解同类二次根式的概念是解题的关键．判断同
类二次根式需将各选项化简为最简二次根式后，检查被开方数是否相同，根据同类二次根式的概念逐个判
断即可．
【详解】A： 已是最简形式， 是整数，不是二次根式，故该选项不符合题意；
B： 和 的最简形式分别为 和 ，被开方数不同，故该选项不符合题意；C： ， ，两者化简后均为 的倍数，被开方数均为3，是同类二次根式，
故该选项符合题意；
D： ， ，被开方数分别为 和 ，不同，故该选项不符合题意；
故选：C．
题型05 求同类二次根式中的参数
【典例5】若 与最简二次根式 是同类二次根式，则 ．
【答案】1
【分析】此题考查了同类二次根式，被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式．据此列方程进行解
答即可．
【详解】解：∵ 与最简二次根式 是同类二次根式，
∴ ，
移项、合并同类项，得 ，
解得： ．
故答案为：1．
【变式1】若 与最简二次根式 是同类二次根式，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，先化简 ，再根据同类二次根式的定义得出
，即可求出x的值．
【详解】解： ，
与最简二次根式 是同类二次根式，
，
，
故答案为： ．
【变式2】 与最简二次根式 为同类二次根式，则 ．
【答案】8
【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握同类二次根式定义，最简二次根式定义是解题的
关键．化成最简二次根式后，根据被开方数相等解答即可．
【详解】解： ，
与最简二次根式 为同类二次根式，
，
故答案为：题型06 二次根式加减运算
【典例6】计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的加减，先化简各二次根式，再合并同类二次根式解答即可．
【详解】解：原式
．
【变式1】计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先化简各二次根式，再按顺序进行加减运算即可．
【详解】解：
．
【变式2】计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
（1）根据二次根式的加减运算法则计算即可得；
（2）先化简二次根式，再计算二次根式的乘法，然后计算二次根式的加减法即可得．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
题型07 二次根式的混合运算【典例7】计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)3
(2)2
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算．
（1）根据二次根式混合运算的运算法则进行计算；
（2）根据二次根式混合运算的运算法则进行计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式1】计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先根据二次根式的性质化简，再计算加减法即可；
（2）先计算二次根式乘法，再计算加减法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：【变式2】计算：
(1)
(2)
【答案】(1)1
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式的加减运算、平方差公式等知
识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
（1）先运用平方差公式、二次根式的除法法则计算，然后再计算即可；
（2）先运用二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
题型08 二次根式的混合运算中的新定义型问题
【典例8】定义新运算：对于任意实数 ，都有 ，例如 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查新定义实数运算，涉及二次根式混合运算法则等知识，读懂题意，理解新定义运算公式，代值后由二次根式混合运算求解是解决问题的关键．
（1）根据新定义的实数运算 ，代值求解即可得到答案；
（2）先计算 ，再根据新定义的实数运算 ，代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解： ，
．
【变式1】对于任意的整数 ， ，定义运算“☆”为： ．
求： 的值．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确理解新运算法则是解题的关键．
先根据新运算法则计算 与 ，再计算乘法即可．
【详解】解： ，
，
所以
．
故答案为：2．
【变式2】对于实数a，b定义一种新运算“ ”，规定 ，如 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求x的值．
【答案】(1)4(2)x的值为
【分析】本题考查了实数的运算和解一元一次方程，二次根式的混合运算，解题关键是掌握实数运算的方
法和解一元一次方程的步骤．
（1）直接利用新运算的规定列出算式运算即可；
（2）先将左边根据规定变形，再解方程即可．
【详解】（1）解： ，
∴ 的值为4．
（2）解：∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴x的值为 ．
一、单选题
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了最简二次根式．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数
的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此即可判断．
【详解】解：A、 ，被开方数 ，其中 是完全平方数，可化简为 ，故不是最简二次根式；
B、 ，该式是二次根式与整式的和，整体不属于二次根式，因此不符合题意；
C、 ，被开方数 是质数，无法分解为平方数的乘积，且不含分母，满足最简二次根式的条件；
D、 ，被开方数 ，可化简为 ，故不是最简二次根式；
故选：C．
2．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
【答案】A
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，化简各选项后根据同类二次根式的定义判断．化成最简二次根
式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
【详解】解：A、 与 被开方数相同，是同类二次根式，故A选项正确；
B、 与 被开方数不同，故不是同类二次根式，故B选项错误；
C、 与 被开方数不同，故不是同类二次根式，故C选项错误；
D、 与 被开方数不同，故不是同类二次根式，故D选项错误．
故选：A．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
根据二次根式的运算法则需逐一验证即可．
【详解】A：3为有理数， 为无理数，无法合并，故该选项不合题意；
B：根据二次根式除法法则， ，故该选项不合题意；
C：根据二次根式乘法法则， ，计算正确，故该选项符合题意；
D： ，减去1后约为 ，不等于4，故该选项不合题意．
故选：C．
4．若 和最简二次根式 是同类二次根式，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，
根据同类二次根式的定义，化简后根号内的数相同，由此建立方程求解．
【详解】∵ 和最简二次根式 是同类二次根式，
∴
∴ ．
故选：C．
5．规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若 是“最美实数”，则a的值是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】本题考查算术平方根及立方根，根据“最美实数”的定义，可知 或 ，求出a
的值即可．
【详解】解：若 是“最美实数”，
则有 或 ，
若 ，解得 ，
若 ，解得 ，
综上，a的值为 或 ，
故选：D．
二、填空题
6．将 化为最简二次根式为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查最简二次根式，正确理解概念是解题的关键．
最简二次根式的概念：“（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”，依
据概念化简即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
7．在二次根式 ， ， ， 中，最简二次根式是 ．
【答案】
【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的
因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的判定条件逐个分析即可得解，熟练掌握最简二次根式的判
定条件是解此题的关键．
【详解】解： ， ， ，不是最简二次根式， 是最简二次根式，
故答案为： ．
8．如果最简二次根式 与 是同类二次根式，则 ， ．
【答案】 2 2
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
根据根指数是2，被开方数相同求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴ ．
故答案为：2，2．
9．对于实数 ， ，规定一种新运算 ： ，例如 ，则
．
【答案】
【分析】本题考查了新定义，二次根式的运算，二次根式的性质，根据新定义把转化为二次根式的运算计
算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：由题意可得：
，
故答案为： ．
10．观察所给等式寻求规律：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
…
直接写出第4个等式： ；
根据上述规律，化简： （直接写出化简后的结果）．
【答案】
【分析】本题主要考查了数字变化的规律及实数的运算，根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即
可解决问题．
【详解】解：由题知，
因为 ； ； ；…，
所以第n个等式可表示为
当 时，第4个等式为
由上述规律可知，
原式
故答案为： ，
三、解答题
11．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先化简二次根式，再计算加减即可；
（2）先计算二次根式的乘除法，再化简二次根式，最后计算加法即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
12．计算下列各题：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解
题的关键．（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后计算加减法即可得到答案．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
13．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键．
（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先用计算乘法，再计算加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
14．将下列二次根式化成最简二次根式：
(1) （ ）；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1) ；
(2) ；(3) ．
【分析】本题综合性较强，主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号．
（1）利用二次根式的性质化简求解；
（2）利用二次根式的性质化简求解；
（3）利用二次根式的性质化简求解．
【详解】（1）解：∵ ，则 ，
∴原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：∵ ，
∴
．
15．（1）计算： ；
（2）当 ， 时，求代数式 的值．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，平方差公式，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺
序和运算法则．
（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得；
（2）由题意分别将 ， 的值代入求出 ，进而求出答案．
【详解】解：（1）；
（2）当 ， 时，
，
．
16．已知算式： ，其中第四个根号下的被开方数□”模糊不清．
(1)若“□”猜成50，求原式的值．
(2)若“□”是正整数，且 与 可以合并，则原式存在最大值还是最小值？请判断并求出这个值．
【答案】(1)
(2)原式存在最大值为
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：
（1）直接利用二次根式的混合运算法则进行计算即可；
（2）由题意可知： 最小为 ，得到原式有最大值，进行求解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：原式存在最大值．
∵ 与 可以合并，“□”是正整数， ，
∴“☐”表示的数的最小值为2，
∴原式有最大值，
最大值 ．
17．对于任意的正数 ， 定义运算 为： .
(1)计算 的结果；
(2)计算 的结果.
【答案】(1) ；
(2)2；【分析】本题考查新运算及根式的混合运算：
（1）先根据新运算展开，再根据根式的运算法则直接计算即可得到答案；
（2）先根据新运算展开，再根据根式的运算法则直接计算即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
；
（2）解：由题意可得，
， ，
∴ ．
18．在进行二次根式运算时，我们有时会遇到 这样的式子，小明和小新对这类式子有不同的化简方
法．
小明的方法：
小新的方法：
(1)请你选择一种你喜欢的方法化简： ．
(2)化简： ．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了分母有理化的知识，解题的关键是理解题意，掌握分母有理化的两种方法．
（1）首先理解题意，根据题目的解析，即可利用两种不同的方法化简求得答案；
（2）结合题意，可将原式化为 ，
继而求得答案．
【详解】（1）解：原式
；（2）解：原式
．
