数学（四）-2024年中考考前20天终极冲刺攻略_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_2024年中考复习资料_三轮复习_2024年中考数学考前20天终极冲刺攻略

目 录 contents （四） 多边形与四边形 01 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题 圆 66 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题 视图与投影 139 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题 尺规作图 168 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题 中考临考押题模拟卷（通用）……………………………………………………216多边形与四边形 关于多边形与四边形在中考数学中的命题预测，可能会涉及以下几个方面的考点： 多边形与四边形的定义及性质：这是基础考点，会涉及多边形的定义、内角和公式、外角和定理等。 四边形作为多边形的一种特殊情况，其性质如平行四边形的对边平行且相等、对角线互相平分等也会是考 查的重点。 多边形与四边形的判定：比如给定一些条件，要求判断一个图形是否是多边形或某种特定的四边形 （如平行四边形、矩形、菱形、正方形等）。这需要考生熟练掌握各种图形的判定条件。 多边形与四边形的计算：这包括利用公式计算多边形的内角和、外角和，以及四边形的面积、周长等。 同时，也会涉及利用多边形的性质解决一些线段和角的问题。 多边形与四边形的综合应用：这类题目可能会结合其他知识点（如方程、函数、不等式等）进行综合 考查，需要考生具备较强的综合运用能力。 此外，考虑到中考数学的命题趋势，多边形与四边形的考点可能会更加注重对考生思维能力和解题能 力的考查。因此，考生在备考时应注重理解基本概念和性质，掌握各种图形的判定条件，提高解题技巧和 速度，同时也要注意培养自己的思维能力和解题能力。Ⅰ、多边形的内角和与外角和 一、多边形的内角和公式 1. n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)； 通过多边形的内角和公式可以通过边数求内角和，或通过内角和求多边形的边数. 2. 多边形的内角和公式推导： 如图所示，从n边形的一个顶点可以引出（n－3）条对角线，这（n－3）条对角线把n边形分成（n－ 2）个三角形，每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和是(n-2)·180°. 3. 正多边形：各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形.正 n 边形的每个内角都为 . 二、多边形的外角和 1. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 2. 多边形的外角和：在多边形的每个顶点处分别取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和，多边 形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系. 如图所示：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5就是五边形ABCDE的外角和，为360°.3. 正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于 . 4. 多边形的外角和的推导：多边形的每个内角加上与它相邻的外角都等于180°，所以n边形的外角和等 于n个180°的平角减去多边形的内角和，即 . Ⅱ、平行四边形 一、平行四边形的定义 1. 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形 ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 2. 平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相 邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条. 二、平行四边形的性质 1. 平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分. 2. 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 3． 平行四边形边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 4． 平行四边形角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 5． 平行四边形对角线性质：平行四边形的对角线互相平分. 6. 平行四边形常见的结论： （1）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成了两个全等的三角形； （2）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半； （3）平行四边形被对角线分成的四个小三角形的面积相等，都等于平行四边形面积的 . 三、平行四边形的判定1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5. 对角线互相平分的四边形是平行四边形. PS：（1）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形； （2）满足两组邻边分别相等或两组邻角分别相等不能判定四边形是平行四边形. Ⅲ、矩形、菱形、正方形 一、矩形 1. 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 矩形一定是平行四边形，但是平行四边形不一定是矩形. 2. 矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等. （1）矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质； （2）矩形是中心对称图形，过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分； （3）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点 （即对称中心）； （4）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，经常会用到等腰三角形的性质解决问题. 3. 矩形的判定定理 （1）三个角是直角的四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有一个角是直角的平行四边形是矩形. 4. 判定矩形的思路： 有三个角是直角 矩形 四边形 对角线相等 矩形 平行四边形 有一个角是直角 矩形 二、菱形 1. 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 一组邻边相等的四边形不一定是菱形. 2. 菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直. （1）菱形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质； （2）菱形的两条对角线互相垂直，且对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，菱形的边长的平方等于两条对角线一半的平方和. （3）菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半. 3. 菱形的判定定理： （1）四边相等的四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 四条边相等 菱形 四边形 对角线互相垂直 矩形 平行四边形 一组邻边相等 矩形 三、正方形 1. 正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 2. 正方形的性质：正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形，它具有矩形、菱形的一切性质. （1）正方形是有一组邻边相等的矩形； （2）正方形是有一个角是直角的菱形. 3. 正方形的判定定理： （1）有一组邻边相等的矩形是正方形； （2）有一个角是直角的菱形是正方形； （3）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 4. 几个特殊的四边形间的关系： Ⅳ、三角形的中位线 一、三角形的中位线的概念及定理 1. 概念：连接三角形两边中点的线段叫作三角形中位线.如图所示，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则DE是△ABC的一条中位线. PS：三角形的中位线是一条线段，不是直线或射线. 2. 三角形的中位线与三角形的中线是不一样的，三角形中位线是两条边中点的连线，而三角形中线是顶 点与对边中点的连线. 3. 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半. 三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长 的 ，每个小三角形的面积为原三角形面积的 . 二、中点四边形 1. 中点四边形：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫作中点四边形. 2. 常见的中点四边形 （1）顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形； （2）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形； （3）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形； （4）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形； （5）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 3. 中点四边形的形状取决于原四边形的两条对角线的位置关系和数量关系. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形； （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形； （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 1．（2023•兰州）如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF 长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG．若AB＝4，CE＝10，则AG＝（ ）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【分析】先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得BF＝EF＝CF＝5，然后在Rt△ABG中利用勾 股定理即可求出AG的长． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°， 在Rt△BCE中，点F为斜边CE的中点， ∴ ， ∴BG＝BF＝5， 在Rt△ABG中，AB＝4，BG＝5， 由勾股定理得： ． 故选：C． 【点评】此题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，圆的概念，勾股定理等，解答此题的关键是 理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；同圆的半径相等． 2．（2023•绵阳）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点G是BC上的一点，且BG＝3GC，DE⊥AG于 点E，BF∥DE，且交AG于点F，则tan∠EDF的值为（ ） A． B． C． D． 【分析】由正方形 ABCD 的边长为 4 及 BG＝3CG，可求出 BG 的长，进而求出 AG 的长，证 △ADE∽△GAB，利用相似三角形对应边成比例可求得AE、DE的长，证△ABF≌△DAE，得AF＝DE，根据线段的和差求得EF的长即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝4， ∴BC＝CD＝DA＝AB＝4，∠BAD＝∠ABC＝90°，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AGB， ∵BG＝3CG， ∴BG＝3， ∴在Rt△ABG中，AB2+BG2＝AG2， ∴AG ， ∵DE⊥AG， ∴∠DEA＝∠DEF＝∠ABC＝90°， ∴△ADE∽△GAB， ∴AD：GA＝AE：GB＝DE：AB， ∴4：5＝AE：3＝DE：4， ∴AE ，DE ， 又∵BF∥DE， ∴∠AFB＝∠DEF＝90°， 又∵AB＝AD，∠DAE＝∠ABF（同角的余角相等）， ∴△ABF≌△DAE， ∴AF＝DE ， ∴EF＝AF﹣AE ， ∴tan∠EDF ， 故选：A． 【点评】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理， 正切的定义等知识，灵活运用相似三角形的判定与性质求出线段的长是解答本题的关键． 3．（2023•呼和浩特）如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝1，BN＝2，则BD的长为（ ） A． B．3 C． D． 【分析】依据题意，连接BM，记BD与MN交于点O，先证△DMO≌△BNO，从而得DM＝BN＝2，再 由线段MN垂直平分BD从而BM＝DM＝2，又在Rt△BAM中可得AM的值，从而再在Rt△BAD中可求 得BD． 【解答】解：由题意，连接BM，记BD与MN交于点O． ∵线段MN垂直平分BD， ∴BO＝DO，BM＝DM． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC． ∴∠MDO＝∠NBO． 又∠DOM＝∠BON， ∴△DMO≌△BNO（ASA）． ∴DM＝BN＝BM＝2． 在Rt△BAM中， ∴AB ． ∴在Rt△BAD中可得，BD 2 ． 故选：A． 【点评】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质和线段垂直平分线的性质，解题时要熟 练掌握并理解是关键． 4．（2023•台州）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作 CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 ．【分析】根据矩形的性质可得出∠AEB＝∠FBC，结合已知BE＝BC，利用AAS证得△ABE和△FCB全 等，得出FC＝AB＝4，再根据矩形的性质得到BC＝AD＝6，从而在Rt△FCB中利用勾股定理求出BF 的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠AEB＝∠FBC， ∵CF⊥BE， ∴∠CFB＝90°， ∴∠CFB＝∠A， 在△ABE和△FCB中， ， ∴△ABE≌△FCB（AAS）， ∴FC＝AB＝4， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝6， 在Rt△FCB中，由勾股定理得 ， 故答案为： ． 【点评】本题考查了矩形的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，熟知矩形的对边平行且相等， 四个角都是直角． 5．（2023•陕西）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E在边AD上，且ED＝3，M、N分别是边 AB、BC上的动点，且BM＝BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN．若PM+PN＝4．则线段PC的 长为 ．【分析】过点P分别作PF⊥DC，PG⊥BC，PH⊥AB，由题意知PG＝PF，再说明PM与PH重合，PN 与PG重合，得出四边形MPNB为正方形，即可求出PC＝2 ． 【解答】解：如图，过点P分别作PF⊥DC，PG⊥BC，PH⊥AB， ∵DE＝CD＝3，∠D＝90°， ∴∠ECD＝45°， ∴∠ECB＝45°， ∴PG＝PF， ∵PM≥PH，PN≥PG， ∴PM+PN≥PH+PG＝4， ∵PM+PN＝4， ∴PM与PH重合，PN与PG重合， ∴四边形PHBG为正方形， ∴PH＝PG＝2， ∴PC＝2 ． 故答案为：2 ． 【点评】本题考查矩形的性质和等腰直角三角形的性质，作出适当的辅助线是解题关键． 6．（2023•枣庄）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝7，F为 DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的长为 ．【分析】在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，可知O是中点，∠BCD＝90°，F为DE的 中点，则CF＝EF＝DF，△CEF的周长为32，CE＝7，则CF+EF＝25，即DE＝25，根据勾股定理可得 CD＝24＝BC，从而求得BE，再根据中位线的性质即可解答． 【解答】解：在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ∴∠BCD＝90°，O是中点， ∵F为DE的中点， ∴CF＝EF＝DF， ∵△CEF的周长为32，CE＝7， ∴CF+EF＝25，即DE＝25， 在Rt△CDE中，根据勾股定理可得CD＝24＝BC， ∴BE＝24﹣7＝17， 根据三角形的中位线可得OF BE ． 故答案为： ． 【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，熟悉性质是解题关键． 7．（2023•云南）如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且E、F分别 在边BC、AD上，AE＝AF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若∠ABC＝60°，△ABE的面积等于 ，求平行线AB与DC间的距离． 【分析】（1）根据平行四边形对角相等得到∠BAD＝∠BCD，再根据AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，可得到∠DAE＝∠BCF，再根据平行四边形对边平行得到∠DAE＝∠AEB，于是有∠BCF＝ ∠AEB，得出AE∥FC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证得四边形 AECF是平行四边 形，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得证； （2）连接AC，根据平行四边形的性质和角平分线的定义可证得AB＝EB，结合已知∠ABC＝60°得到 △ABE是等边三角形，从而求出AB＝AE＝EB＝EC＝4，∠BAE＝60°，再证得∠EAC＝30°，即可得到 ∠BAC＝90°，根据勾股定理求出AC的长，从而得出平行线AB与DC间的距离． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC， ∵AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线， ∴ ， ， ∴∠DAE＝∠BCF， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠BCF＝∠AEB， ∴AE∥FC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE＝AF， ∴四边形AECF是菱形； （2）解：连接AC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝EB， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠BAE＝∠AEB＝∠ABE＝60°，∵△ABE的面积等于 ， ∴ ， ∴AB＝4， 即AB＝AE＝EB＝4， 由（1）知四边形AECF是菱形， ∴AE＝CE＝4， ∴∠EAC＝∠ECA， ∵∠AEB是△AEC的一个外角， ∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝60°， ∴∠EAC＝∠ECA＝30°， ∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°， 即AC⊥AB， 由勾股定理得 ， 即平行线AB与DC间的距离是 ． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质，掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形是此题的关键，理解平 行线间的距离的定义，等边三角形的性质与判定． 8．（2023•北京）如图，在 ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF． （1）求证：四边形AECF▱是矩形； （2）若AE＝BE，AB＝2，tan∠ACB ，求BC的长．【分析】（1）先证四边形AECF是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形的性质得∠AEC＝∠AEB＝90°，再证△ABE是等腰直角三角形，得AE＝BE ，然后由 锐角三角函数定义得EC＝2AE＝2 ，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝DF， ∴AD﹣DF＝BC﹣BE， 即AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC＝EF， ∴平行四边形AECF是矩形； （2）解：∵四边形AECF是矩形， ∴∠AEC＝∠AEB＝90°， ∵AE＝BE，AB＝2， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AE＝BE AB ， ∵tan∠ACB ， ∴EC＝2AE＝2 ， ∴BC＝BE+EC 2 3 ， 即BC的长为3 ． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 1．（2023•武山县一模）若四边形的对角线互相垂直且相等，则它一定是（ ） A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．以上说法均不正确 2．（2023•潮阳区一模）如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交 BC于点F．已知DE ，则CF的长为（ ） A． B．2 C． D．2 3．（2023•唐河县模拟）如图，菱形 ABCD中，过点C作CE⊥BC交BD于点E，若∠BAD＝118°，则 ∠CEB＝（ ） A．59° B．62° C．69° D．72° 4．（2023•合阳县二模）如图，五边形ABCDE是正五边形，过点B作AB的垂线交CD于点F，则∠BFC ＝ °．5．（2023•龙岩模拟）如图，在矩形ABCD中， ，点E在线段BC上运动（不含B．C两 点），连接AE，以AE为一边在AE的右上方作等边三角形AEF，连接DF，则线段DF长度的最小值为 ． 6．（2023•庐江县二模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，AE交 BD于M点，AF交BD于N点． （1）若正方形的边长为2，则△CEF的周长是 ． （2）若 ，则AM＝ ． 7．（2023•沈阳模拟）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，过点E作FG⊥AD，分别交 AD、BC于点F、G，∠CBD＝∠▱CEG． （1）求证： ABCD是菱形； （2）若CG＝▱3，FG＝8，则 ABCD的面积为 ． ▱8．（2024•滨湖区一模）如图，在菱形 ABCD中， ，M、N分别在边 AD、BC上，将四边形 AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D． （1）若DE＝DM时，求 的值； （2）若△DEM是直角三角形，求 的值． 1．（2024•莱芜区一模）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝5， ，∠B是锐角，AE⊥BC于点 E，F为AB的中点，连接DF，EF，若∠EFD＝90°，则AE的长是（ ） A．6 B．8 C． D． 2．（2024•广东模拟）如图所示，边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在线段 OD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于点H，则： ①EF＝EC；②CF2＝CG•CA； ③CO•CG＝EH•EB； ④若DE＝1，则BF＝4 ． 正确的是（ ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 3．（2023•松阳县二模）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC交BC于点E，点F在CD上，连接BF分别交 DE，AC于点G，H．若BG＝GF＝DF，则sin∠FBC的值是（ ） A． B． C． D． 4．（2024•青岛一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边CD，AD的中点，连接 AE，BF，点G，H分别是AE，BF的中点，连接GH，则GH的长为 ． 5．（2024•灞桥区校级二模）如图，菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝60°，点E为AB的中点，点F为BC上 一点，连接EF，作∠GEF＝60°且△GEF面积为 ，则DG的最小值为 ．6．（2024•秦都区校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E、F分别在边AB、CD上，点 M为线段EF上一动点，过点M作EF的垂线分别交边AD、BC于点G、点H．若线段EF恰好平分矩形 ABCD的面积，且DF＝1，则GH的长为 ． 7．（2024•双流区模拟）如图，在菱形ABCD中，点E为对角线BD上一点，连接CE，∠BEC＝∠ADC， EF平分∠BEC交BC于点F，点G在线段BD上，且BG＝CG，延长CG交AB于点H，连接FG，EH． （1）求证：CE＝BG； （2）当BH＝DE时，试判断△BCH的形状，并说明理由； （3）若 ，求∠BEH的正切值． 8．（2024•河北一模）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别在边AB，BC上，且CE⊥DF于点O． （1）试猜想线段CE与DF的数量关系为 ； （2）数学小组的同学在此基础上进行了深入的探究： ①如图2，在正方形ABCD中，若点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH于点 O，求证：EG＝FH； ②如图3，将①中的条件“在正方形ABCD中”改为“在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a”，其他条件不变，试推理线段EG与FH的数量关系； ③如图4，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，AB＝BC＝CD＝6，点M为AB的三等分点， 连接CM，过点D作DN⊥CM，垂足为点O，直接写出线段DN的长． 1．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（ ） A．24 B．18 C．12 D．9 2．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE．若∠ABC＝50°， ∠BAC＝80▱°，则∠1的度数为（ ） A．60° B．50° C．40° D．25° 3．如图是由全等的含60°角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点A，B，C在格点上， 则tan∠ACB的值为（ ）A． B． C． D． 4．如图，在△ABC 中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，点 E 是 BC 边上一点，ED⊥BC 交 AB 于点 D， DF⊥AC于点F，则线段EF的最小值为 ． 5．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB、BD于M、N两点， 若 ，则正方形ABCD的边长为 ． 6．如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM和 ∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD．添加一个适当的条件：当 时，四边形 ACBD为矩形． 7．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，点P从A出发在线段AD上以1个单位/秒向点D运动， 点Q同时从点C出发，以1个单位/秒的速度向点A运动，当点P到达点D时，点Q也随之停止运动．（1）设△APQ的面积为S，点P的运行时间为t，求S与t的函数关系式； （2）t取几时S的值最大，最大值是多少？ （3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？ 8．【特例感知】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为AB，AD的中点，DE、CF交于点G． （1）易证△ADE≌△DCF，可知DE、CF的关系为 ；（直接填写结果） （2）连接BG，若AB＝6，求BG的长． 【初步探究】如图2，在正方形ABCD中，点E为AB边上一点，FG⊥DE分别交AD、BC于F、G，垂 足为O．求证：FG＝DE． 【基本应用】如图3，将边长为6的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点M处，折痕为 PQ，点P、Q分别在边AD、BC上，求PQ的长． 1．（2023•武山县一模）若四边形的对角线互相垂直且相等，则它一定是（ ） A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．以上说法均不正确 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定可求．注意：这三种四边形的对角线都互相平分，这个条件不能缺． 【解答】解：对角线互相垂直且相等平行四边形是正方形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线互 相垂直的平行四边形是菱形；所以无法确定其形状． 故选：D． 【点评】本题考查了对四边形性质与判定的综合运用，特殊四边形之间的相互关系是考查重点． 2．（2023•潮阳区一模）如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交 BC于点F．已知DE ，则CF的长为（ ） A． B．2 C． D．2 【分析】过点E作EH⊥BC，交AD于G，证明△DGE是等腰直角三角形，由DE ，可得DG＝EG ＝1．易证△AGE≌△EHF，则EG＝HF＝1，进而得出结论． 【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC交BC于点H，交AD于G， 在正方形ABCD中，AD∥BC，∠EBH＝∠ADB＝45°， ∴四边形AGHB和四边形DGHC是长方形，△DGE是等腰直角三角形， ∴AG＝BH＝EH，DG＝EG＝1， ∴CH＝DG＝1， ∵AG⊥GH，AE⊥EF， ∴∠AGE＝∠AEF＝∠FHE＝90°， ∴∠GAE+∠AEG＝∠FEH+∠AEG＝90°，∴∠GAE＝∠FEH， ∴△AGE≌△EHF（ASA）， ∴GE＝FH＝1； ∴CF＝CH+FH＝2． 故选：B． 【点评】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形等知识，解决问 题的关键是添加正确的辅助线，得出全等． 3．（2023•唐河县模拟）如图，菱形 ABCD中，过点C作CE⊥BC交BD于点E，若∠BAD＝118°，则 ∠CEB＝（ ） A．59° B．62° C．69° D．72° 【分析】根据菱形的性质得：AB＝AD，∠ABD＝∠CBE，根据等腰三角形的性质可得∠ABD＝31°，由 菱形的对角线平分线组对角可得∠CBE＝31°，最后由直角三角形的两个锐角互余可得结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠ABD＝∠CBE， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵∠BAD＝118°， ∴∠ABD 31°， ∴∠CBE＝31°， ∵CE⊥BC， ∴∠BCE＝90°， ∴∠CEB＝90°﹣31°＝59°． 故选：A． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是熟知菱形的对角线平分每一组对角． 4．（2023•合阳县二模）如图，五边形ABCDE是正五边形，过点B作AB的垂线交CD于点F，则∠BFC ＝ 5 4 °．【分析】先利用多边形的内角和公式求出正五边形中每一个角的度数，再根据垂直定义可得∠ABF＝ 90°，从而可得∠CBF＝18°，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠C＝∠ABC＝108°， ∵FB⊥AB， ∴∠ABF＝90°， ∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝18°， ∴∠BFC＝180°﹣∠C﹣∠CBF＝54°， 故答案为：54． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 5．（2023•龙岩模拟）如图，在矩形ABCD中， ，点E在线段BC上运动（不含B．C两 点），连接AE，以AE为一边在AE的右上方作等边三角形AEF，连接DF，则线段DF长度的最小值为 ． 【分析】在AB的右侧作等边三角形ABG，连接GF，GF与AD交于点H，通过判定ABE≌AGF，即可 得到∠AGF＝∠ABE＝90°，进而得出当点E运动时，点F在过点G且与AG垂直的垂线GH上运动．当 DF⊥GF时，DF最短，此时∠AGH＝∠DFH＝90°；再根据△AGH∽△DFH，即可得到DF的长． 【解答】解：如图所示，在AB的右侧作等边三角形ABG，连接GF，GF与AD交于点H， 又∵△AEF是等边三角形，∴AB＝AG，∠BAG＝∠EAF，AE＝AF， ∴∠BAE＝∠GAF， ∴△ABE≌AGF（SAS）， ∴∠AGF＝∠ABE＝90°， ∴当点E运动时，点F在过点G且与AG垂直的垂线GH上运动， ∴当DF⊥GF时，DF最短，此时∠AGH＝∠DFH＝90°， ∴DF∥AG， ∴△AGH∽△DFH， ∴ ， 又∵Rt△AGH中，AG＝1，∠GAH＝30°， ∴AH ， ∴DH ， ∴ ，即DF ， ∴线段DF长度的最小值为 ． 故答案为： ． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用， 寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合； 或作辅助线构造相似三角形． 6．（2023•庐江县二模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，AE交 BD于M点，AF交BD于N点． （1）若正方形的边长为2，则△CEF的周长是 4 ． （2）若 ，则AM＝ ． 【分析】（1）过A作GA⊥AE，交CD延长线于G，根据垂直定义可得∠GAE＝90°，根据正方形的性 质可得AB＝AD＝BC＝CD＝2，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，从而可得∠ADG＝90°，再利用等式的 性质可得∠BAE＝∠DAG，从而利用ASA可证△ABE≌△ADG，进而可得BE＝DG，AG＝AE，然后根 据已知可得∠EAF＝∠GAF＝45°，从而利用SAS可证△EAF≌△GAF，进而可得EF＝GF，最后利用等 量代换可得△CEF的周长＝CD+BC＝4，即可解答； （2）连接MF，根据正方形的性质可得∠BDC＝∠ADB＝45°，从而可得∠MAN＝∠NDF＝45°，再根据 对顶角相等可得∠ANM＝∠DNF，从而可得△AMN∽△DFN，然后利用相似三角形的性质可得 ，再根据对顶角相等可得∠AND＝∠FNM，从而可得△ADN∽△MFN，最后利用相似三角形 的性质可得∠MFN＝∠ADN＝45°，从而利用三角形内角和定理可得∠AMF＝90°，进而可得△AMF为 等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）过A作GA⊥AE，交CD延长线于G，∴∠GAE＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝2，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴∠ADG＝180°﹣∠ADC＝90°， ∴∠ABC＝∠ADG＝90°， ∵∠BAD＝∠EAG＝90°， ∴∠BAD﹣∠DAE＝∠GAE﹣∠DAE， ∴∠BAE＝∠DAG， ∴△ABE≌△ADG（ASA）， ∴BE＝DG，AG＝AE， ∵∠EAF＝45°， ∴∠GAF＝∠EAG﹣∠EAF＝45°， ∴∠EAF＝∠GAF＝45°， ∵AF＝AF， ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF＝GF， ∴△CEF的周长＝EF+EC+CF ＝GF+EC+CF ＝DG+DF+EC+CF ＝BE+DF+FC+CE ＝CD+BC ＝2+2 ＝4， 故答案为：4； （2）连接MF，∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BDC＝∠ADB＝45°， ∵∠MAN＝∠NDF＝45°，∠ANM＝∠DNF， ∴△AMN∽△DFN， ∴ ， ∵∠AND＝∠FNM， ∴△ADN∽△MFN， ∴∠MFN＝∠ADN＝45°， ∴∠AMF＝180°﹣∠MAN﹣∠MFN＝90°， ∴△AMF为等腰直角三角形， ∵AF ， ∴AM ， 故答案为： ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，根据题目的 已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 7．（2023•沈阳模拟）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，过点E作FG⊥AD，分别交 AD、BC于点F、G，∠CBD＝∠▱CEG． （1）求证： ABCD是菱形； ▱ （2）若CG＝3，FG＝8，则 ABCD的面积为 ． ▱【分析】（1）由FG⊥AD和平行四边形知识得出 FG⊥BC，再根据角的知识得出∠BEG+∠CEG＝ 90°，即∠BEC＝90°，得出BD⊥AC，最终得出结论； （2）先证△AEF≌△CEG 得出 EF＝EG＝4，再根据勾股定理得出 CE＝5，BE2＝42+BG2，根据 BE2+EG2＝BC2列出式子，求出BG的长，进而求出BC，最后根据平行四边形面积公式即可求出． 【解答】（1）证明：∵FG⊥AD， ∴∠DFE＝∠AFE＝90°， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EGB＝∠DFE＝90°， ∴∠BEG+∠CBD＝90°， ∵∠CBD＝∠CEG， ∴∠BEG+∠CEG＝90°， ∴∠BEC＝90°， ∴BD⊥AC， ∴ ABCD是菱形． （▱2）解：∵ ABCD是菱形， ∴OA＝OC，▱ 由（1）可知：∠EGB＝90°，∠AFE＝90°， ∴∠EGC＝∠AFE， ∵∠AEF＝∠CEG， ∴△AEF≌△CEG（AAS）， ∴FE＝EG， ∵FG＝8， ∴FE＝EG＝4， 在Rt△CEG中：CG2+EG2＝CE2，∵CG＝3， ∴CE＝5， 在Rt△BEG中：BE2＝EG2+BG2， ∴BE2＝42+BG2， 由（1）可知：∠BEC＝90°， ∴BE2+CE2＝BC2， ∴42+BG2+52＝（3+BG）2， ∴BG ， ∴BC＝3 ， ∴ ． 故答案为： ． 【点评】本题主要考查了菱形的知识、平行四边形的知识、勾股定理的知识，有一定的难度．求边长 BC的长是解答（2）的关键． 8．（2024•滨湖区一模）如图，在菱形 ABCD中， ，M、N分别在边 AD、BC上，将四边形 AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D． （1）若DE＝DM时，求 的值； （2）若△DEM是直角三角形，求 的值．【分析】（1）过D作DG⊥EM于G，依据等腰三角形的性质以及折叠的性质，即可得到 的值； （2）若△DEM是直角三角形，需要分类讨论．分别依据折叠的性质以及相似三角形的判定与性质，即 可得到 的值． 【解答】解：（1）如图所示，过D作DG⊥EM于G， ∵DE＝DM，DG⊥EM， ∴G是EM的中点， 由折叠可得∠E＝∠A，EM＝AM， ∴ tanE， 设DG＝4k，EG＝3k，则DE＝5k＝DM，EM＝6k＝AM， ∴ ； （2）分三种情况： ①如图所示，当∠EMD＝90°时，延长AD，NF，交于点H，则∠H＝90°＝∠FNC，由折叠可得∠E＝∠A，EM＝AM， ∴ tanE， 设DM＝4k，EM＝3k，则DE＝5k，AM＝3k，AD＝3k+4k＝7k， ∴EF＝7k，DF＝2k， ∵∠EMD＝∠H，∠EDM＝∠FDH， ∴△DEM∽△DFH， ∴ ，即 ， ∴FH k， 又∵菱形ABCD的高NH＝AD×sinA k， ∴FN k k k， ∴BN k，CN＝BC﹣BN＝7k k k， ∴ ． ②如图所示，当∠MDE＝90°时，延长EF交BC于H，则∠FHN＝90°， 由折叠可得∠E＝∠A，EM＝AM，∴ tanE， 设DM＝4k，ED＝3k，则EM＝5k＝AM， ∴AD＝5k+4k＝9k， ∴EF＝9k，DF＝9k﹣3k＝6k， 又∵菱形ABCD的高DH＝CD×sinC＝9k k， ∴FH k﹣6k k， ∵∠EDM＝∠FHN，∠E＝∠HFN， ∴△DEM∽△HFN， ∴ ，即 ， ∴FN＝2k＝BN， ∴CN＝BC﹣BN＝9k﹣2k＝7k， ∴ ． ③当∠E＝90°时，不合题意． 综上所述， 的值为 或 ． 【点评】本题主要考查了折叠变换、等腰三角形的性质、菱形的性质以及相似三角形的性质的综合运用． 解决问题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质以及折叠的性质；解题的难点在于作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例求得线段的长． 1．（2024•莱芜区一模）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝5， ，∠B是锐角，AE⊥BC于点 E，F为AB的中点，连接DF，EF，若∠EFD＝90°，则AE的长是（ ） A．6 B．8 C． D． 【分析】延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x．首先证明DQ＝DE＝x+5，利用勾股定理 构建方程即可解决问题． 【解答】解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DQ∥BC， ∴∠Q＝∠BEF， ∵F为AB的中点， ∴AF＝FB， ∵∠AFQ＝∠BFE， ∴△QFA≌△EFB（AAS）， ∴AQ＝BE＝x，QF＝EF， ∵∠EFD＝90°， ∴DF⊥QE， ∴DQ＝DE＝AD+AQ＝x+5， ∵AE⊥BC，BC∥AD， ∴AE⊥AD， ∴∠AEB＝∠EAD＝90°，∴AE2＝DE2﹣AD2＝AB2﹣BE2， ∴（x+5）2﹣52＝（6 ）2﹣x2， 整理得：x2+5x﹣36＝0， 解得x＝4或﹣9（舍去）， ∴BE＝4， ∴AE 2 ， 故选：D． 【点评】本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质 等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 2．（2024•广东模拟）如图所示，边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在线段 OD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于点H，则： ①EF＝EC； ②CF2＝CG•CA； ③CO•CG＝EH•EB； ④若DE＝1，则BF＝4 ． 正确的是（ ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【分析】①由“SAS”可证△ADE≌△CDE，可得AE＝EC，∠DAE＝∠DCE，由四边形的内角和定理 可证∠AFE＝∠BCE＝∠EAF，可得AE＝EF＝EC；②通过证明△FCG∽△ACF，可得CF2＝CG•CA； ③通过证明△BEC∽△CEH，可得BE•EH＝EC2，通过证明△GEC∽△EOC，可得EC2＝OC•CG，可 得BE•EH＝OC•CG； ④由矩形的性质和等腰三角形的性质可得AF＝2AM，由等腰直角三角形的性质可求BF＝4 ． 【解答】解：如图，连接AE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝∠BAC＝∠DAC＝45°， 又∵DE＝DE， ∴△ADE≌△CDE（SAS）， ∴AE＝EC，∠DAE＝∠DCE， ∴∠EAF＝∠BCE， ∵∠ABC+∠FEC+∠EFB+∠BCE＝360°， ∴∠BCE+∠EFB＝180°， 又∵∠AFE+∠BFE＝180°， ∴∠AFE＝∠BCE＝∠EAF， ∴AE＝EF， ∴EF＝EC，故①正确； ∵EF＝EC，∠FEC＝90°， ∴∠EFC＝∠ECF＝45°， ∴∠FAC＝∠EFC＝45°， 又∵∠ACF＝∠FCG， ∴△FCG∽△ACF， ∴ ， ∴CF2＝CG•CA，故②正确；∵∠ECF＝∠DBC＝45°，∠BEC＝∠HEC， ∴△BEC∽△CEH， ∴ ， ∴BE•EH＝EC2， ∵∠CEO+∠ECO＝90°＝∠CEO+∠GEO， ∴∠GEO＝∠ECO， 又∵∠GEC＝∠EOC＝90°， ∴△GEC∽△EOC， ∴ ， ∴EC2＝OC•CG， ∴BE•EH＝OC•CG，故③正确； 过点E作EN⊥AD于N，EM⊥AB于M， 则四边形AMEN是矩形， ∴AM＝EN， ∵AE＝EF，EM⊥AB， ∴AF＝2AM， ∵DE＝1，∠ADB＝45°，EN⊥AD， ∴△DEN是等腰直角三角形， ∴NE＝DN AM， ∴AF＝2AM ， ∴BF＝4 ，故④正确； 故选：D．【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和 性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（2023•松阳县二模）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC交BC于点E，点F在CD上，连接BF分别交 DE，AC于点G，H．若BG＝GF＝DF，则sin∠FBC的值是（ ） A． B． C． D． 【分析】连接BD交AC于点O，连接OG，令AC交BF于点H，根据三角形中位线定理、平行线的性 质、对顶角相等和余角的性质可得∠OHG＝∠CHF＝∠ACD＝∠COG，设OG＝x，DF＝2x，则OG＝ GH＝HF＝FC＝x，进而可得sin∠FBC的． 【解答】解：连接BD交AC于点O，连接OG， ∵BG＝GF＝DF， ∴∠FGD＝∠FDG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OD，AB＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴OG是△BDF的中位线， ∴OG∥DC，DF＝BG＝GF＝2OG， ∴∠ACD＝∠COG， ∵DE⊥AC， ∴∠FGD+∠OHG＝90°，∠ACD+∠FDG＝90°， ∴∠OHG＝∠ACD，∵∠OHG＝∠CHF， ∴∠OHG＝∠CHF＝∠ACD＝∠COG， ∴OG＝GH，HF＝FC， 设OG＝GH＝x， 则DF＝GF＝2x， ∴HF＝FC＝GF﹣GH＝2x﹣x＝x，CD＝DF+CF＝3x， ∴OG＝GH＝HF＝FC＝x， ∴BF＝4x， ∴sin∠FBC ． 故选：A． 【点评】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，三角形中位线定理，平行线的性质，勾股定理，对顶 角相等和余角的性质等，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． 4．（2024•青岛一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边CD，AD的中点，连接 AE，BF，点G，H分别是AE，BF的中点，连接GH，则GH的长为 ． 【分析】连接AH并延长交BC于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠C＝90°，AD∥BC，CD＝BC＝ AD＝4，根据全等三角形的性质得到PB＝AF＝2 ，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结 论．【解答】解：连接AH并延长交BC于P，连接PE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠C＝90°，AD∥BC，CD＝AD＝BC＝4， ∵E，F分别是边CD，AD的中点， ∴CE＝AF 4＝2， ∵AD∥BC， ∴∠BPH＝∠FAH， 在△PBH和△AFH中， ， ∴△PBH≌△AFH（AAS）， ∴PB＝AF＝2， ∴CP＝BC﹣PB＝2， ∴PE 2 ， ∵点G，H分别是AE，BF的中点， ∴GH EP ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握正方形的性质，全等 三角形的判定和性质． 5．（2024•灞桥区校级二模）如图，菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝60°，点E为AB的中点，点F为BC上一点，连接EF，作∠GEF＝60°且△GEF面积为 ，则DG的最小值为 ． 【分析】连接EC，过点E作EH⊥BC于H，过点G作GK⊥EF于K，先求出BE＝4，EH＝2 ，BH＝ 2，CH＝6，∠BCE＝30°，EC＝4 ，∠CEH＝60°，进而得∠BEC＝∠ECD＝90°，再根据△GEF的面 积为3 得EF•EG＝12，设CE的中点为T，连接GT，则EH•ET＝12，故得EF•EG＝EH•ET，再证 ∠GET＝∠HEF，从而得△GET和△HEF相似，则∠EGT＝∠EHF＝90°，设ET的中点为O，连接 OG，则OG＝OE ET ，因此可得点G始终在以点O为圆心，以 为半径的圆上运动，连接 OD，根据“两点之间线段最短”得DG≥OD﹣OG，故当点D，G，O在同一条直线上时，DG为最小， 最小值为OD﹣OG，在Rt△OCD中由勾股定理得OD ，由此可得DG的最小值． 【解答】解：连接EC，过点E作EH⊥BC于H，过点G作GK⊥EF于K，如图1所示： 在菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝60°，点E为AB的中点， ∴BC＝AB＝CD＝8，BE AB＝4，AB∥CD， 在Rt△BEH中，∠B＝60°，BE＝4，∴sin∠B ，cos∠B ， ∴EH＝BE•sin∠B＝4•sin60°＝2 ，BH＝BE•cos∠B＝4•cos60°＝2， ∴CH＝BC﹣BH＝8﹣2＝6， 在Rt△ECH中，EH＝2 ，CH＝6， ∴tan∠BCE ， ∴锐角∠BCE＝30°， ∴EC＝2EH＝4 ，∠CEH＝60°， ∵∠B＝60°，∠BCE＝30°， ∴∠BEC＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠ECD＝90°， 在Rt△EGK中，∠GEF＝60°， ∴sin∠GEF ， ∴GK＝EG•sin∠GEF＝EG•sin60°， ∵S△GEF EF•GK＝3 ， ∴ •EF•EG•sin60°＝3 ， ∴EF•EG＝12， 设CE的中点为T，连接GT，如图2所示：∴ET EC 4 2 ， ∴EH•ET＝2 2 12， ∴EF•EG＝EH•ET， 即 ， 又∵∠GEF＝∠CEH＝60°， ∴∠GET+∠CEF＝∠CEF+∠HEF＝60°， ∴∠GET＝∠HEF， ∴△GET∽△HEF， ∴∠EGT＝∠EHF＝90°， 设ET的中点为O，连接OG，则OG＝OE ET 2 ， ∴在点F的运动过程中，点G始终在以点O为圆心，以 为半径的圆上运动，连接OD，如图3所示： 根据“两点之间线段最短”得：DG+OG≥OD， ∴DG≥OD﹣OG， ∴当点D，G，O在同一条直线上时，DG为最小，最小值为OD﹣OG，∵CE＝4 ，OE ， ∴OC＝CE﹣OE＝3 ， ∴∠ECD＝90°， 在Rt△OCD中，CD＝8，OC＝3 由勾股定理得：OD ， ∴OD﹣OG ， ∴DG的最小值为 ． 故答案为： ． 【点评】此题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，与圆有关的概念，熟 练掌握菱形的性质，解直角三角形是解决问题的关键，难点是通过构造相似三角形得出点G点G始终 在以点O为圆心，以 为半径的圆上运动． 6．（2024•秦都区校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E、F分别在边AB、CD上，点 M为线段EF上一动点，过点M作EF的垂线分别交边AD、BC于点G、点H．若线段EF恰好平分矩形 ABCD的面积，且DF＝1，则GH的长为 ． 【分析】先判断EF过矩形的对称中心，作DI∥EF，AJ∥GH，证明△ADI∽△BAJ，从而求出BJ，进 而求得． 【解答】解：如图，连接AC，交EF于O，∵线段EF恰好平分矩形ABCD的面积， ∴O是矩形的对称中心， ∴BE＝DF＝1， 作DI∥EF，AJ∥GH， ∵四边形ABCD是矩形， ∴DF∥IE， ∴四边形DIEF是平行四边形， ∴EI＝DF＝1， ∴AI＝AB﹣BE﹣EI＝2， 同理可得， AJ＝GH， ∵EF⊥GH， ∴DI⊥AJ， 由（1）得， ∠AID＝∠AJB， ∴△ADI∽△BAJ， ∴ ， ∴ ， ∴BJ ， 在Rt△ABJ中由勾股定理得，AJ ， ∴GH ， 故答案为： ， 【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质， 通过作辅助线构建平行四边形是解题的关键． 7．（2024•双流区模拟）如图，在菱形ABCD中，点E为对角线BD上一点，连接CE，∠BEC＝∠ADC， EF平分∠BEC交BC于点F，点G在线段BD上，且BG＝CG，延长CG交AB于点H，连接FG，EH． （1）求证：CE＝BG； （2）当BH＝DE时，试判断△BCH的形状，并说明理由； （3）若 ，求∠BEH的正切值． 【分析】（1）由菱形的性质证出BF＝EF，证明∠CGE＝∠CEB，得出CG＝CE，则可得出结论； （2）证明△HBC∽△CEB，得出 ，则可得出结论； （3）证明△CFG∽△CGB，得出 ，同理△BEF∽△CGF，得出 ，证明 △CFK∽△EFC，得出 ，过 F 作 FP⊥CG 于 P，过 H 作 QH⊥BE 于 Q，证明△KCF∽△HCB，得出 ，由锐角三角函数的定义可得出答案． 【解答】（1）证明：∵EF平分∠BEC， ∴∠BEC＝2∠BEF＝2∠CEF， ∵BG＝CG， ∴∠GBC＝∠GCB， 又∵BD为菱形ABCD 的对角线， ∴∠ADC＝∠ABC＝2∠DBC＝2∠DBA， ∴∠BEC＝2∠DBC＝2∠DBA， ∴∠BEF＝∠CEF＝∠DBC＝∠DBA， ∴BF＝EF， ∵∠CGE＝∠CBG+∠BCG＝2∠GBC＝2∠BEF， ∴∠CGE＝∠CEB， ∴CG＝CE， ∴CE＝BG； （2）解：△BCH是等腰三角形， 理由如下：∵四边形ABCD为菱形， ∴∠ABC+∠BCD＝180°，∠CBD＝∠CDB， ∴2∠CBE+∠BCE+∠DCE＝180°， 又∵在△BCE 中，∠CBE+∠BEC+∠BCE＝180°， 即∠CBE+2∠CBE+∠BCE＝180°， ∴∠DCE＝∠CBE＝∠CDB， ∴EC＝ED＝BH， 在△HBC和△CEB 中，∠HBC＝∠CEB，∠BCH＝∠EBC， ∴△HBC∽△CEB， ∴ ， ∴HC＝CB， ∴△BCH是等腰三角形； （3）解：由（1）知△GBF≌△CEF， ∴GF＝CF，设线段CG，EF相交于点K， ∵ ， ∴设FG＝CF＝3k，则CE＝5k， ∴BG＝CG＝CE＝5k， ∴∠FGC＝∠FCG， ∴∠GBC＝∠FGC， 又∵∠FCG＝∠GCB， ∴△CFG∽△CGB， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， 同理△BEF∽△CGF， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵∠FCK＝∠CEF，∠CFK＝∠EFC， ∴△CFK∽△EFC， ∴ ， ∴ ，∴ ， ， 过F作FP⊥CG 于P，过H作QH⊥BE 于Q， ∵FC＝FG， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵∠HBE＝∠CBE＝∠PCF， ∴ ， ， ∵∠BEF＝∠CBE， ∴∠HBE＝∠BEF， ∴KF∥AB， ∴△KCF∽△HCB， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ，∴ ， ∴ ． 【点评】此题是四边形的综合题，考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、 勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识． 8．（2024•河北一模）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别在边AB，BC上，且CE⊥DF于点O． （1）试猜想线段CE与DF的数量关系为 CE ＝ DF ； （2）数学小组的同学在此基础上进行了深入的探究： ①如图2，在正方形ABCD中，若点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH于点 O，求证：EG＝FH； ②如图3，将①中的条件“在正方形ABCD中”改为“在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a”，其他条 件不变，试推理线段EG与FH的数量关系； ③如图4，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，AB＝BC＝CD＝6，点M为AB的三等分点， 连接CM，过点D作DN⊥CM，垂足为点O，直接写出线段DN的长． 【分析】（1）证明△BCE≌△CDF（ASA），得出CE＝DF； （2）①过点H作HN⊥BC交于N，过点G作GM⊥BA交于M，证明△HFN≌△GEM（ASA）即可求解； ②过点H作HQ⊥BC交于Q，过点G作GP⊥AB交于P，由（1）可得△QHF∽△PGE； ③如图3，过点D作DS⊥BC于S，根据垂直的定义得到∠DSN＝∠DSC＝∠B＝90°，根据已知条件得 到BM＝2或BM＝1，根据勾股定理得到CM的长，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝∠B＝90°， 又∵DF⊥CE， ∴∠CDO+∠DCO＝90°＝∠DCO+∠BCE，∴∠CDO＝∠BCE， 在△BCE和△CDF中， ， ∴△BCE≌△CDF（ASA）， ∴CE＝DF， 故答案为：CE＝DF； （1）①证明：过点H作HN⊥BC交于N，过点G作GM⊥BA交于M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴MG＝HN， ∵HF⊥EG， ∴∠MGE＝∠NHF， ∴△HFN≌△GEM（ASA）， ∴HF＝EG； 故答案为：HF＝EG； ②解：EG＝2FH； 理由：过点H作HQ⊥BC交于Q，过点G作GP⊥AB交于P， 由（1）可得，∠QHF＝∠PGE， ∴△QHF∽△PGE，∴ ， ∵AB＝a，BC＝2a， ∴PG＝2a，HQ＝a， ∴ ； ∴EG＝2FH； ③解：如图3，过点D作DS⊥BC于S， ∴∠DSN＝∠DSC＝∠B＝90°， ∵∠DCS＝60°，CD＝6， ∴DS CD＝3 ， ∵点M为AB的三等分点，AB＝6， ∴BM＝4或BM＝2， ∵BC＝6， ∴CM 2 或CM 2 ， 由（1）知△BCM∽△SDN， ∴ ， ∴ 或 ， 解得DN 或 ．【点评】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三 角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 1．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（ ） A．24 B．18 C．12 D．9 【分析】由三角形的中位线定理可得BC＝2EF＝6，即可求解． 【解答】解：∵E、F分别是AB、AC的中点， ∴BC＝2EF＝6， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝6， ∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24， 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，是基础题． 2．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE．若∠ABC＝50°， ∠BAC＝80▱°，则∠1的度数为（ ） A．60° B．50° C．40° D．25° 【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得 出答案． 【解答】解：∵∠ABC＝50°，∠BAC＝80°， ∴∠BCA＝180°﹣50°﹣80°＝50°，∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点， ∴EO是△DBC的中位线， ∴EO∥BC， ∴∠1＝∠ACB＝50°． 故选：B． 【点评】此题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，得出 EO是△DBC的中位线是 解题关键． 3．如图是由全等的含60°角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点A，B，C在格点上， 则tan∠ACB的值为（ ） A． B． C． D． 【分析】过B作BE⊥AC于E，利用菱形的性质和三角函数解答即可． 【解答】解：连接BE，∵是小菱形， ∴对角线垂直， ∴BE⊥AC， 由题意知，BE⊥AC，∠1＝60°， 设小菱形的边长为a，CE a，BE＝2a，∴tan∠ACB ， 故选：D． 【点评】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造 直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 4．如图，在△ABC 中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，点 E 是 BC 边上一点，ED⊥BC 交 AB 于点 D， DF⊥AC于点F，则线段EF的最小值为 ． 【分析】根据题意可证△ABC是直角三角形，且DE⊥CB，DF⊥AC，可得DFCE是矩形，则CD＝ EF，根据垂线段最短，可求CD的最小值，即EF的最小值． 【解答】解：连接CD， ∵AC2+BC2＝169，BA2＝169 ∴BC2+AC2＝BA2 ∴∠BCA＝90°且DE⊥CB，DF⊥AC ∴四边形DECF是矩形 ∴EF＝CD ∴当CD值最小时，EF的值最小 ∴根据垂线段最短则当CD⊥BA时，CD的值最小 此时，∵S△ABC CB×AC CD×BA∴CD ∴EF的最小值为 故答案为 【点评】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理的逆定理，垂线段最短，本题的关键是证EF＝CD． 5．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB、BD于M、N两点， 若 ，则正方形ABCD的边长为 2 ． 【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH＝45°，则△AMH为等腰直角三角形，再 求出AH＝MH＝MB，根据勾股定理即可求得． 【解答】解：作MH⊥AC于H，如图， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠MAH＝45°， ∴AH＝MH， ∵CM平分∠ACB， ∴BM＝MH ， 在Rt△AMH中，AM 2， ∴AB＝AM+BM＝2 ， 故答案为：2 ．【点评】本题考查了正方形，掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键． 6．如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM和 ∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD．添加一个适当的条件：当 O 是 AB 的中点 时，四边形 ACBD为矩形． 【分析】证∠OCB＝∠OBC，则OC＝OB，同理OD＝OB，再由OA＝OB，证出四边形ACBD是平行四 边形，然后证AB＝CD，即可得出结论． 【解答】解：添加条件为：O是AB的中点，理由如下： ∵CD∥MN， ∴∠OCB＝∠CBM， ∵BC平分∠ABM， ∴∠OBC＝∠CBM， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴OC＝OB， 同理可证：OB＝OD， ∴OB＝OC＝OD， ∵O是AB的中点， ∴OA＝OB， ∴四边形ACBD是平行四边形， ∵CD＝OC+OD，AB＝OA+OB， ∴AB＝CD， ∴平行四边形ACBD是矩形， 故答案为：O是AB的中点．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知 识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 7．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，点P从A出发在线段AD上以1个单位/秒向点D运动， 点Q同时从点C出发，以1个单位/秒的速度向点A运动，当点P到达点D时，点Q也随之停止运动． （1）设△APQ的面积为S，点P的运行时间为t，求S与t的函数关系式； （2）t取几时S的值最大，最大值是多少？ （3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？ 【分析】（1）利用sin∠ACB ，得出sin∠PAQ ，即可得出PE＝APsin∠PAQ （10﹣t），进而 表示出△APQ的面积为S； （2）利用二次函数最值求法运用配方法求出，得出最值； （3）根据当AP＝AQ时和当PA＝PQ时当QA＝QP时，分别得出t的值． 【解答】解：（1）在△ABC中，∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°， 根据勾股定理得AC＝10， ∴sin∠ACB ，同法可得sin∠PAQ ， 过点P作PE⊥AD于点E， 在Rt△APE中， ∵AP＝10﹣t，∴PE＝APsin∠PAQ （10﹣t）， ∴S t （10﹣t）， 即S t2+3t（0＜t≤8）； （2）∵S （t2﹣10t+25） （t﹣5）2 ， 当t＝5时，△APQ的面积S取得最大值，为 ； （3）△APQ是等腰三角形， ①当AP＝AQ时， t＝10﹣t， 则t＝5， ②当PA＝PQ时，作PE⊥AQ于E ∵cos∠OAQ ，则AE t， ∴AQ t， ∴t t＝10， ∴t ， ③当QA＝QP时，作QF⊥AD于点F，∴AF （10﹣t）， ∴ （10﹣t）＝t， ∴t ， 综上所述，当t＝5或t 或t 时，△APQ是等腰三角形． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了二次函数的最值问题以及等腰三角形的性质和锐角三角函数的 定义等知识，等腰三角形的性质以及二次函数最值问题是中考中重点内容同学们应熟练掌握并应用． 8．【特例感知】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为AB，AD的中点，DE、CF交于点G． （1）易证△ADE≌△DCF，可知DE、CF的关系为 DE ＝ CF ， DE ⊥ CF ；（直接填写结果） （2）连接BG，若AB＝6，求BG的长． 【初步探究】如图2，在正方形ABCD中，点E为AB边上一点，FG⊥DE分别交AD、BC于F、G，垂 足为O．求证：FG＝DE． 【基本应用】如图3，将边长为6的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点M处，折痕为 PQ，点P、Q分别在边AD、BC上，求PQ的长． 【分析】【特例感知】（1）由“SAS”可证△ADE≌△DCF，即可得出结论； （2）由“AAS”可证△ADE≌△BHE，可得AD＝BH，由直角三角形的性质可求解；【初步探究】由“ASA”可证△ADE≌△DCH，可得DE＝CH＝FG； 【基本应用】由全等三角形的性质可证PQ＝AM，由勾股定理可求解． 【解答】【特例感知】（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝AB＝CD， ∵点E，F是AB，AD的中点， ∴AE AB，DF AD， ∴AE＝DF， 在△ADE和△DCF中， ， ∴△ADE≌△DCF（SAS）， ∴DE＝CF，∠AED＝∠DFC， ∵∠AED+∠ADE＝90°， ∴∠ADE+∠DFC＝90°， ∴∠DGF＝90°， ∴DE⊥CF， 故答案为：DE＝CF，DE⊥CF； （2）解：延长DE交CB的延长线于H， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠EBH＝90°， 又∵AE＝BE，∠AED＝∠BEH， ∴△ADE≌△BHE（AAS），∴AD＝BH， ∴BH＝BC， 又∵DE⊥CF， ∴BG＝BC＝6； 【初步探究】证明：如图2，过点C作CH∥GF，交AD于H，交DE于N， ∵HC∥GF，AD∥BC， ∴四边形FHCG是平行四边形， ∴FG＝CH， ∵HC∥GF，FG⊥DE， ∴CH⊥DE， ∴∠NDH+∠DHN＝90°＝∠DHN+∠DCH， ∴∠DCH＝∠NDH， 又∵AD＝CD，∠A＝∠CDH＝90°， ∴△ADE≌△DCH（ASA）， ∴DE＝CH＝FG； 【基本应用】解：如图3，过点Q作QH⊥AD于H，则四边形ABQH中，HQ＝AB， 由翻折变换的性质得PQ⊥AM， ∵∠APQ+∠DAM＝90°，∠AMD+∠DAM＝90°，∴∠APQ＝∠AMD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB， ∴HQ＝AD， 在△ADM和△QHP中， ， ∴△ADM≌△QHP（AAS）， ∴QP＝AM， ∵点M是CD的中点， ∴DM CD＝3， 在Rt△ADM中，由勾股定理得，AM 3 ， ∴PQ的长为3 ． 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性 质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．圆 首先，肯定会涉及到圆的基本性质和定理，比如垂径定理、圆周角定理等。这些都是圆的基础知识， 考试肯定会考到的。 其次，与圆相关的计算题也会是重点。比如，求圆的面积、周长，或者求与圆相关的线段长度等。这 些都需要掌握圆的基本公式和计算方法。 另外，圆的综合题也是中考数学中的热点和难点。这类题目通常会涉及到圆与直线、圆与三角形等图 形的结合，需要运用多种数学知识和技巧来解答。Ⅰ、圆 一、圆的定义及表示 1. 圆的定义 定义一、如图所示，将线段OP的一个端点O固定，使线段OP绕端点O在平面上旋转一周，另一个端 点P运动所形成的图形叫做圆，其中，点O叫做圆心，线段OP叫做半径. 定义二、圆是到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点叫做圆心，定长叫做半径. （1） 圆上的各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）； （2） 到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上. 2. 圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“ O”，读作“圆O”. PS：确定一个圆需要两个要素，一个是圆心（确定圆的位置），一个是半径（确定圆的大小）. 二、点和圆的位置关系 点和圆共有三种位置关系，分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示： 点到圆心的距离与半径的关系 点和圆的位置关系 图示 文字语言 符号语音 圆内各点到圆心的距离都 点P在圆内 点在圆内 小于半径，到圆心的距离 小于半径的点都在圆内 圆上各点到圆心的距离都 点P在圆上 点在圆上 等于半径，到圆心的距离 等于半径的点都在圆内 圆外各点到圆心的距离都 点P在圆外 点在圆外 大于半径，到圆心的距离 大于半径的点都在圆内注：1.“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 2.点在圆上，指的是点在圆周上，而不是点在圆面上. 三、与圆有关的概念. 1. 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图所示的弦AC； 直径：经过圆心的弦叫做直径，如图所示的直径AB. 弦与直径的关系：直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径； 2. 弧、半圆、优弧、劣弧 （1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称为弧； （2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； （3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如图所示的 （绿色部分）； （4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个字母表示，如图所示的 （蓝色部分）. ①弧与弦的区别：弧上圆上两点间的部分，是一条曲线，弦是圆上两点间的线段； ②半圆是弧，但弧不一定是半圆. 3. 圆心角：定点在圆心的角叫做圆心角，如图所示的∠AOB.（1）在同一个圆中，圆的两条半径所夹的角就是圆心角； （2）一条弧所对的圆心角只有一个. 4. 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆（半径相等的两个圆就是等圆），等圆和圆心的位置无关； 5. 等弧：能够互相重合的弧叫做等弧（长度相等的弧不一定是等弧）. Ⅱ、圆的对称性 一、圆的中心对称 1. 圆是中心对称图形，对称中心就是圆心； 2. 圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合； 3. 旋转不变性是圆的特有性质. 二、圆心角、弧、弦之间的关系 1. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等； 如图所示，∵∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD， . 2. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余 各组量都分别相等； 3. 定理成立的前提：在同圆或等圆中，如果没有这个前提条件，那么定理就是不成立的.如图所示：两个圆的圆心相同， 与 对应同一圆心角，但是 ， . 三、圆心角的度数与它所对的弧的度数之间关系 1. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等； 2. 通常我们所说的一条圆弧的度数，就是指它所对的圆心角的度数； 3. 等弧是指度数和长度都相等的弧（等弧的度数一定相等，而度数相等的弧不一定是等弧）. 四、圆的对称性 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴（任何一条直径所在的直线都是它的对称 轴），圆有无数条对称轴. 五、垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，如图所示： ∵CD是直径，且CD⊥AB，∴EA＝EB， . 若一条直线具有以下两个性质：①过圆心；②垂直一条弦；则这条直线具有以下三个性质：①平分弦； ②平分弦所对的优弧；③平分弦所对的劣弧. 圆心到圆的一条弦的距离称为弦心距. Ⅲ、确定圆的条件 一、圆的确定 1. 过一点作圆 经过一点A作圆，只要以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径作圆即可，这样 的圆可以作无数个，如图所示：2. 过两点作圆 经过两点A、B作圆，只要以与点A、B距离相等的点为圆心（线段AB垂直平分线上任一一点），以 这一点与点A（B）的距离为半径作圆即可，这样的圆也可以作无数个，如图所示： 3. 过不在同一条直线上的三个点作圆 经过不在同一条直线上的三个点A、B、C作圆，圆心到这三个点的距离相等，所以圆心在线段 AB、 线段BC的垂直平分线的交点O处，以点O为圆心，以OA（OB/OC）为半径作圆即可，这样的圆有且只 有一个，如图所示： 重要结论：不在同一条直线直线上的三个点可以确定（有且只有）一个圆. （1）过在同一条直线上的三个点不能作圆； （2）过不在同一条直线上的四个点不一定能作圆. 二、三角形的外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，如图所示：是△ABC的外接圆，△ABC为 的一个内接三角形，点O为△ABC的外心. 1. 锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形 的外部，如图所示： 2. 一个三角形只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形； 3. 三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三个顶点的距离相等. Ⅳ、圆周角 一、圆周角的概念 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 1. 圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交； 2. 圆周角与圆心角的异同 （1）圆周角顶点在圆周上，圆心角顶点在圆心处； （2）在同圆中，一条弧所对的圆周角可以有无数个，而一条弧所对的圆心角仅有一个； （3）圆周角与圆心角的共同点：两边都和圆相交. 二、圆周角定理及圆周角定理的推论 1. 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半； 2. 同弧或等弧所对的圆周角相等； 3. 在同一个圆中，同弦所对的圆周角相等或互补； 4. 直径所对的圆周角是直角，90°所对的弦是直径； 5. 相等的圆周角所对的弧相等. 三、圆内接四边形及圆内接四边形的性质1. 圆内接四边形：如果一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接四边形，这个圆 叫做这个四边形的外接圆； 2. 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补； 3. 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）. Ⅴ、直线与圆的位置关系 一、直线与圆的位置关系 直线与圆有三种位置关系，如下所示： 相交 相切 相离 直线和圆只有一个公共 直线和圆有两个公共点 直线和圆没有公共点 定义 点时，叫做直线与圆相 时，叫做直线与圆相交 时，叫做直线与圆相离 切 图示 公共点个数 2 1 0 圆心到直径的距离d与 圆半径r之间的大小关系 公共点名称 交点 切点 无 直线名称 交线/割线 切线 无 直线 与 相交 直线 与 相切 直线 与 相离 结论 判定直线与圆的位置关系通常有以下两种方法： （1）根据直线与圆的公共点的个数判断； （2）根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断. 二、切线的判定定理与切线的性质定理 1. 切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.如图所示，OA是 的一条半径，直线l经过点A且OA⊥l，则l是 的切线. 判定一条直线是否是圆的切线共有以下三种方法： （1）定义法：当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切； （2）数量关系法：当圆心到直线的距离等于半径时， 直线与圆相切； （3）判定定理法：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2. 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 如图所示：直线l是 的切线，切点为点A，则OA⊥l. 三、三角形的内切圆 1. 定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形. 2. 性质：三角形的内心就是三角形三条内角平分性的交点，内心到三角形各边的距离相等，任意三角形 的内心都在三角形的内部. 3. 三角形的内切圆的作法：作三角形任意两个内角平分线，它们的交点就是内切圆的圆心，过圆心向任 意一条边作垂线，垂线段的长度就是内切圆的半径. 补充：三角形外心与内心对比： 图形 名称 性质 位置 角度关系 外心（三角形外 接圆的圆心，三 到三角形三个顶 外心不一定在三 ∠BOC＝2∠A 角形三边中垂线 点的距离相等 角形的内部 的交点）内心（三角形内 切圆的圆心，三 到三角形三边距 内心一定在三角 角形三条内角平 离相等 形的内部 ∠BOC＝90°＋ 分线的交点） ∠A 四、切线长及切线长定理 1. 切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长； 2. 切线长定理：过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角. 拓展：如图所示：过 外一点P引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，连接OA、OB、AB，延长PO并延 长交圆于点 E，则：①垂直：OA⊥PA，OB⊥PB，OD⊥AB；②全等：△OAP≌△OBP，△OCA≌△OCB， △ACP≌△BCP；③弧相等： . Ⅵ、正多边形与圆 一、正多边形 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形. 判断一个多边形是否是正多边形（ ），必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不 可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 二、正多边形与圆的关系 一般地，用量角器把一个圆 等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边 形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的外心，外接圆的半径叫做 正多边形的半径. 1. 正多边形的有关概念(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心； (2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径； (3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角； (4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 2. 正多边形的有关计算 (1)正ｎ边形每一个内角的度数是 ； (2)正ｎ边形每个中心角的度数是 ； (3)正ｎ边形每个外角的度数是 . 3. 正多边形的性质 （1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形； （2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形； （3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边 数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心； （4）边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相 似比的平方； （5）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. Ⅶ、弧长及扇形面积 一、弧长公式 1. 弧长公式 如图所示，若把圆周长看作是360°的圆心角所对的弧长，其长度为 ，那么 的圆心角所对 的弧长公式为 （弧是圆的一部分）；在半径为R的圆中，弧长 与所对的圆心角度数 之间的关系： . 弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三 个量. 二、扇形及扇形面积公式 1. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形； 2. 扇形的面积公式： 在半径为 的圆中： （1）360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式 ； （2） 的圆心角所对的扇形面积公式 . 三、圆锥的侧面展开图 1. 母线：连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线； 2. 把一个圆锥的侧面展开会得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆 锥的母线长. 如图所示，若圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为 . 圆锥的底面半径r，高h，母线长l之间可构成一个直角三角形，所以满足 .四、圆锥的侧面积 若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积公式为 . 圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积， . 1．（2023•新疆）如图，在 O中，若∠ACB＝30°，OA＝6，则扇形OAB（阴影部分）的面积是（ ） ⊙ A．12 B．6 C．4 D．2 【分析π】先由圆周角定理可π得∠AOB的度数，然后π再根据扇形的面积公式π计算可得结果． 【解答】解：∵∠ACB＝30°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝60°， ∴ ， 故选：B． 【点评】此题主要是考查了圆周角定理，扇形的面积公式，能够熟练运用同弧所对圆周角是圆心角的一 半是解答此题的关键． 2．（2023•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相 切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC＝8，BC＝6，则DE的长是（ ）A． B． C． D． 【分析】首先求出AB＝10，先证△BOE和△BAC相似，由相似三角形的性质可求出OE，BE的长，进 而可求出CE的长和AE的长，然后再证△BDE和△BEA相似，最后利用相似三角形的性质即可求出 DE． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， 由勾股定理得： ， 连接AE，OE， 设 O的半径为r，则OA＝OE＝r， ∴⊙OB＝AB﹣OA＝10﹣r， ∵BC与半圆相切， ∴OE⊥BC， ∵∠C＝90°，即AC⊥BC， ∴OE∥AC， ∴△BOE∽△BAC， ∴ ， 即： ， 由 得： ， 由 得： ，∴ ， 在Rt△ACE中，AC＝8， ， 由勾股定理得： ， ∵BE为半圆的切线， ∴∠BED＝∠BAE， 又∠DBE＝∠EBA， ∴△BDE∽△BEA， ∴ ， ∴DE•AB＝BE•AE， 即： ， ∴ ． 故选：B． 【点评】此题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，弦切角定理，勾股定理等知识点，解 答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，灵活运用相似三角形的性质和勾股定理进行计算． 3．（2023•湖北）如图，在 O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C＝20°， ∠BPC＝70°，则∠ADC＝⊙（ ） A．70° B．60° C．50° D．40° 【分析】先根据外角性质得∠BAC＝∠BPC﹣∠C＝50°＝∠BDC，再由AB是 O的直径得∠ADB＝90° ⊙即可求得∠ADC． 【解答】解：∵∠C＝20°，∠BPC＝70°， ∴∠BAC＝∠BPC﹣∠C＝50°＝∠BDC， ∵AB是 O的直径， ∴∠ADB⊙＝90°， ∴∠ADC＝∠ADB﹣∠BDC＝40°， 故选：D． 【点评】本题主要考查了三角形的外角性质以及直径所对的圆周角是直角，熟练掌握各知识点是解决本 题的关键． 4．（2023•达州）在△ABC中，AB＝4 ，∠C＝60°，在边BC上有一点P，且BP AC，连接AP，则 AP的最小值为 【分析】作△ABC 的外接圆，圆心为 M，连接 AM、BM、CM，过 M 作 MD⊥AB 于 D，过 B 作 BN⊥AB，交BP的垂直平分线于N，连接AN、BN、PN，以N为圆心，BN（PN）为半径作圆；结合圆 周角定理及垂径定理易得AM＝BM＝CM＝4，再通过圆周角定理、垂直及垂直平分线的性质、三角形内 角和定理易得∠AMC＝∠PNB，从而易证△AMC∽△PNB，可得 即 ， 勾股定理即可求得 ，在△APN中由三角形三边关系AP≥AN﹣PN即可求解． 【解答】解：如图，作△ABC的外接圆，圆心为M，连接AM、BM、CM，过M作MD⊥AB于D，过B 作BN⊥AB，交BP的垂直平分线于N，连接AN、BN、PN，以N为圆心，BN（PN）为半径作圆；∵∠C＝60°，M为△ABC的外接圆的圆心， ∴∠AMB＝120°，AM＝BM， ∴∠MAB＝∠MBA＝30°， ∴ ， ∵MD⊥AB， ∴ ， 在Rt△ADM中， ∵AM2＝MD2+AD2， ∴ ， ∴AM＝4， 即AM＝BM＝CM＝4， 由作图可知BN⊥AB，N在BP的垂直平分线上， ∴∠PBN＝∠BPN＝90°﹣∠ABC， ∴∠PNB＝180°﹣（∠PBN+∠BPN）＝2∠ABC， 又∵M为△ABC的外接圆的圆心， ∴∠AMC＝2∠ABC， ∴∠AMC＝∠PNB， ∵ ， ∴△AMC∽△PNB， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∴PN＝BN＝2， 在Rt△ABN 中， ， 在△APN中， ， 即AP最小值为2 ， 故答案为： ． 【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，垂直 平分线的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，三角形三边之间的关系；解题的关键是结合 △ABC的外接圆构造相似三角形． 5．（2023•乐至县）如图，边长为6的正三角形ABC内接于 O，则图中阴影部分的面积是 ． ⊙ 【分析】连接并延长AO交BC于点D，连接OB、OC，则AB＝AC＝BC＝6，∠AOB＝∠AOC＝∠BOC ＝120°，OB＝OC＝OA，可证明△AOB≌△AOC，得∠BAO＝∠CAO，则AD⊥BC，所以∠ODB＝90°， BD＝CD＝3，可求得∠OBD＝∠OCD＝30°，则OD BD ，所以OB＝OA＝2OD＝2 ，则AD＝ 3 ，即可由S阴影 ＝S O ﹣S△ABC 求得S阴影 ＝12 ﹣9 ，于是得到问题的答案． ⊙ π 【解答】解：连接并延长AO交BC于点D，连接OB、OC， ∵边长为6的正三角形ABC内接于 O， ⊙∴AB＝AC＝BC＝6，∠AOB＝∠AOC＝∠BOC 360°＝120°，OB＝OC＝OA， 在△AOB和△AOC中， ， ∴△AOB≌△AOC（SAS）， ∴∠BAO＝∠CAO， ∴AD⊥BC， ∴∠ODB＝90°，BD＝CD BC＝3， ∵∠OBD＝∠OCD （180°﹣∠BOC） （180°﹣120°）＝30°， ∴ tan∠OBD＝tan30° ， ∴OD BD 3 ， ∴OB＝OA＝2OD＝2 2 ， ∴AD＝OA+OD＝2 3 ， ∴S阴影 ＝S O ﹣S△ABC ＝ ×（2 ）2 6×3 12 ﹣9 ， ⊙ π π 故答案为：12 ﹣9 ． π【点评】此题重点考查正多边形与圆、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形的面积公式和圆的面积公式等知识，正确地作 出辅助线并且求出 O的半径是解题的关键． 6．（2023•宁波）如图⊙，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切 于点D，连结AD，BE＝3，BD＝3 ．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为 ． 【分析】连接OD，DE，根据切线的性质和勾股定理求出OD＝6，然后分三种情况讨论：①当AP＝ PD时，此时P与O重合，②如图2，当AP′＝AD时，③如图3，当DP′′＝AD时，分别进行求解 即可． 【解答】解：如图1，连接OD，DE， ∵半圆O与BC相切于点D， ∴OD⊥BC， 在Rt△OBD中，OB＝OE+BE＝OD+3，BD＝3 ． ∴OB2＝BD2+OD2， ∴（OD+3）2＝（3 ）2+OD2， 解得OD＝6， ∴AO＝EO＝OD＝6， ①当AP＝PD时，此时P与O重合， ∴AP＝AO＝6； ②如图2，当AP′＝AD时， 在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°， ∴AC⊥BC，∴OD∥AC， ∴△BOD∽△BAC， ∴ ， ∴ ， ∴AC＝10，CD＝2 ， ∴AD 2 ， ∴AP′＝AD＝2 ； ③如图3，当DP′′＝AD时， ∵AD＝2 ， ∴DP′′＝AD＝2 ， ∵OD＝OA， ∴∠ODA＝∠BAD， ∴OD∥AC， ∴∠ODA＝∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴AD平分∠BAC， 过点D作DH⊥AE于点H， ∴AH＝P″H，DH＝DC＝2 ， ∵AD＝AD， ∴Rt△ADH≌Rt△ADC（HL）， ∴AH＝AC＝10， ∴AH＝AC＝P″H＝10， ∴AP″＝2AH＝20（P为AB边上一点，不符合题意，舍去）， 综上所述：当△ADP为等腰三角形时，AP的长为6或2 ．故答案为：6或2 ． 【点评】此题属于圆的综合题，考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质， 全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，综合性强，解决本题的关键是利用分类讨论思想． 7．（2023•眉山）如图，△ABC中，以AB为直径的 O交BC于点E，AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AC 于点D，延长DE交AB的延长线于点P． ⊙ （1）求证：PE是 O的切线； ⊙ （2）若 ，BP＝4，求CD的长．【分析】（1）连接OE，证明OE∥AD，即可得到结论； （2）根据锐角三角函数先求出半径和AD的长，然后证明△AEB≌△AEC（ASA），AB＝AC＝4，进而 根据线段的和差即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图，连接OE， ∵AE平分∠BAC， ∴∠OAE＝∠DAE， ∵OE＝OA， ∴∠OEA＝∠OAE， ∴∠DAE＝∠OEA， ∴OE∥AD， ∵ED⊥AC， ∴OE⊥PD， ∵OE是 O的半径， ∴PE是⊙O的切线； ⊙ （2）解：∵ ，BP＝4，OB＝OE， ∴ ， ∴OE＝2， ∴AB＝2OE＝4， ∴AP＝AB+BP＝8， 在Rt△APD中，sin∠P ，∴AD AP ， ∵AB为 O的直径， ∴∠AEB⊙＝90°＝∠AEC， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE， ∵AE＝AE， ∴△AEB≌△AEC（ASA）， ∴AB＝AC＝4， ∴CD＝AC﹣AD＝4 ， ∴CD的长为 ． 【点评】本题考查切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、解 题的关键是学会添加常用辅助线，构造基本图形解决问题． 8．（2023•呼和浩特）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，以边AC为直径作 O，与AB 边交于点D，点M为边BC的中点，连接DM． ⊙ （1）求证：DM是 O的切线； （2）点P为直线B⊙C上任意一动点，连接AP交 O于点Q，连接CQ． ⊙ ①当tan∠BAP 时，求BP的长； ②求 的最大值．【分析】（1）连接OD，CD，由AC是 O的直径，可得∠ADC＝90°，再由直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半可得MC＝MD，根据等⊙腰三角形性质可得∠MDC＝∠MCD，进而可得∠MDC+ODC＝ ∠MCD+∠OCD＝90°，即∠ODM＝90°，再利用切线的判定定理即可证得结论； （2）①分两种情况：当点P在线段BC上时，过点P作PT⊥AB于点T，利用勾股定理和解直角三角形 即可求得答案；当点P在CB的延长线上时，过点B作BK⊥AP于点K，运用勾股定理和解直角三角形 即可； ②设 CP＝n，则 AP ，利用面积法可得 CQ•AP＝AC•CP，得出 CQ ，即 ，再运用乘法公式和不等式性质可得64+n2≥16n，即可得出答案． 【解答】（1）证明：如图，连接OD，CD， ∵AC是 O的直径， ∴∠ADC⊙＝90°， ∴∠BDC＝180°﹣∠ADC＝90°， ∵点M为边BC的中点， ∴MC＝MD， ∴∠MDC＝∠MCD， ∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD， ∵∠ACB＝90°，即∠MCD+∠OCD＝90°， ∴∠MDC+ODC＝∠MCD+∠OCD＝90°， 即∠ODM＝90°， ∴DM⊥OD， ∵OD是 O的半径， ∴DM是⊙O的切线； （2）①⊙当点P在线段BC上时，如图，过点P作PT⊥AB于点T， 在Rt△ABC中，AB 10， 设PT＝x， ∵tan∠BAP ， ∴ ， ∴AT＝3PT＝3x， ∴BT＝AB﹣AT＝10﹣3x， ∵tan∠ABC ， ∴ ， 解得：x ，∴PT ， ∵sin∠ABC ，即 ， ∴BP ； 当点P在CB的延长线上时，如图，过点B作BK⊥AP于点K， ∵tan∠BAP ， ∴ ， 设BK＝a，则AK＝3a， 在Rt△ABK中，AK2+BK2＝AB2， 即（3a）2+a2＝102， 解得：a ，a （舍去）， 1 2 ∴AK＝3 ，BK ， ∵S△ABP AP•BK BP•AC，∴ ， 设BP＝m，则AP m， 在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2， 即82+（m+6）2＝（ m）2， 解得：m ，m （舍去）， 1 2 ∴BP ； 综上所述，BP的长为 或 ； ②设CP＝n，则AP ， 如图，∵AC是 O的直径， ∴CQ⊥AP， ⊙ ∵CQ•AP＝AC•CP， ∴CQ ， ∴ ，∵n＞0， ∴（n﹣8）2≥0， ∴64+n2≥16n， ∴ ， ∴ 的最大值为 ． 【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，三角形 面积，乘法公式和不等式性质等．熟练掌握圆的相关性质和解直角三角形等是解题关键． 1．（2024•朝阳区一模）如图，AB是半圆的直径，圆心为O．若AB的长为6，则弦AC的长为（ ） A．6sinA B．6cosA C． D．6tanA 2．（2024•文水县一模）如图，在 O中，点C在弧AB上．若∠AOB＝120°，∠ABC＝22°，则∠BAC的 度数为（ ） ⊙ A．36° B．37° C．38° D．39° 3．（2024•台儿庄区一模）如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的 图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面 积为（ ）A． B． C． D． 4．（202 π 4•泰兴市一模）如图，π PB是 O的切线，切π点为B，连接OP交 π O于点C，AB是 O的直径， 连接AC，若∠A＝30°，OA＝2，则⊙图中阴影部分的面积为 ⊙ ． ⊙ 5．（2024•常德一模）如图，点A，B，C在半径为R的 O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交 O于点D，连接OA，已知OE＝2，则R＝ ．⊙ ⊙ 6．（2023•舟山三模）把量角器和含30°角的三角板按如图1方式摆放，将其抽象为图2：若AB与半 O 相切于点E，OC＝2cm，∠BOF＝120°，则阴影部分的面积为 cm2． ⊙7．（2024•济阳区一模）如图， O是△ABC的外接圆，直径BD与AC交于点E，DF是 O的切线，交 BC的延长线于点F． ⊙ ⊙ （1）求证：∠F＝∠BAC； （2）若 ，CF＝1，求 O的半径． ⊙ 8．（2024•浙江模拟）在一个三角形中，如果三个内角的度数之比为连续的正整数，那么我们把这个三角 形叫做和谐三角形． （1）概念理解：若△ABC 为和谐三角形，且∠A＜∠B＜∠C，则∠A＝ °，∠B＝ °，∠C＝ °．（任意写一种即可） （2）问题探究：如果在和谐三角形ABC中，∠A＜∠B＜∠C，那么∠B的度数是否会随着三个内角比 值的改变而改变？若∠B的度数改变，写出∠B的变化范围；若∠B的度数不变，写出∠B的度数，并 说明理由． （3）拓展延伸：如图，△ABC内接于 O，∠BAC为锐角，BD为圆的直径，∠OBC＝30°．过点A作 AE⊥BD，交直径BD于点E，交BC于⊙点F，若AF将△ABC分成的两部分的面积之比为 1：2，则 △ABC一定为和谐三角形吗？”请说明理由．1．（2024•拱墅区一模）如图，在△ABC中，AB+AC BC，AD⊥BC于D， O为△ABC的内切圆，设 ⊙ O的半径为R，AD的长为h，则 的值为（ ） ⊙ A． B． C． D． 2．（2023•望江县模拟）如图，点O为△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，则△OBC的面积是（ ） A． B． C．2 D．43．（2023•攀枝花二模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作 D，E为 D ⊙ ⊙ 上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF ，则点F与点C的最小 距离为（ ） A． B． C． D． 4．（2024•永修县一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1， O是△ABC的外接圆， 点A，B，O在网格线的交点上，则cos∠ACB的值是 ⊙． 5．（2023•拱墅区校级二模）如图，已知AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，OE＝BE．点P是劣弧 ⊙ 上任意一点（不与点A，D重合），CP交AB于点M，AP与CD的延长线相交于点F，设∠PCD＝ ． ①则∠F＝ ，（用含 的代数式表示）； α α ②当∠F＝3∠PCD时，则 ．6．（2023•天河区校级三模）如图，矩形ABCD中，AB＝2， ，点E、F分别是线段AD，BC上 的动点，且AE＝CF，过D作EF的垂线，垂足为H． （1）当 时，∠BFE＝ °． （2）当E在AD上运动时，CH的最小值为 ． 7．（2024•顺庆区二模）如图，在 O中，AB为直径，AC为弦，点D为弧AC的中点，∠CDG＝∠B， DG的反向延长线与BA的延长线⊙交于点E，连接BD与AC交于点F． （1）求证：GE是 O的切线； ⊙ （2）若 ，求sinE的值． 8．（2024•宝山区二模）已知AB是半圆O的直径，C是半圆O上不与A、B重合的点，将弧AC沿直线 AC翻折，翻折所得的弧交直径AB于点D，E是点D关于直线AC的对称点． （1）如图，点D恰好落在点O处． ①用尺规作图在图中作出点E（保留作图痕迹），联结AE、CE、CD，求证：四边形ADCE是菱形； ②联结BE，与AC、CD分别交于点F、G，求 的值； （2）如果AB＝10，OD＝1，求折痕AC的长．1．如图，AB是 O的直径，CD是弦，若∠CDB＝32°，则∠ABC等于（ ） ⊙ A．68° B．64° C．58° D．32° 2．如图，已知CD为 O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E．若AE过圆心O，OA＝1．则四边形 BEOF的面积为（ ⊙ ） A． B． C． D． 3．如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12， O是它的内切圆．小明用剪刀沿着 O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（ ）⊙ ⊙A．19 B．17 C．22 D．20 4．如图，AB是 O的直径，点C，D在 O上．若∠CBA＝50°，则∠CDB＝ °． ⊙ ⊙ 5．如图，在 O 中，AB 是直径，CD⊥AB，∠ACD＝60°，OD＝2，那么 DC 的长等于 ． ⊙ 6．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积 为 ． 7．如图， O的直径AB与其弦CD相交于点E，过点A的切线交CD延长线于点F，且∠AED＝∠EAD． （1）求⊙证：AD＝FD； （2）若AE＝6， ，求 O半径的长． ⊙8．如图， O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，OC∥AD，AD交BC的延长线于点D，AB交OC于点 E． ⊙ （1）求证：AD是 O的切线； （2）若AE＝10，B⊙E＝6，求图中阴影部分的面积． 9．如图，在△ABC中，AB＝BC，AB为 O的直径，AC与 O相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E， CB延长线交 O于点F． ⊙ ⊙ （1）求证：⊙DE为 O的切线； （2）若BE＝1，B⊙F＝2，求AD的长． 1．（2024•朝阳区一模）如图，AB是半圆的直径，圆心为O．若AB的长为6，则弦AC的长为（ ）A．6sinA B．6cosA C． D．6tanA 【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角 函数的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：连接BC， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，AB＝6， ∴AC＝AB•cosA＝6cosA， ∴弦AC的长为6cosA， 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是 解题的关键． 2．（2024•文水县一模）如图，在 O中，点C在弧AB上．若∠AOB＝120°，∠ABC＝22°，则∠BAC的 度数为（ ） ⊙ A．36° B．37° C．38° D．39° 【分析】连接OC，先利用圆周角定理可得∠AOC＝44°，从而利用角的和差关系可得∠BOC＝76°，然后利用圆周角定理可得∠BAC ∠BOC＝38°，即可解答． 【解答】解：连接OC， ∵∠ABC＝22°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝44°， ∵∠AOB＝120°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝76°， ∴∠BAC ∠BOC＝38°， 故选：C． 【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 3．（2024•台儿庄区一模）如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的 图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面 积为（ ） A． B． C． D． 【分析π】作AB的垂直平分线π MN，作BC的垂直平π分线PQ，设MN与PQ π相交于点O，连接OA，OB， OC，则点O是△ABC外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明△AOC是直角三角形，从而可得 ∠AOC＝90°，然后根据图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△AOC的面积﹣△ABC的面积，进行计算即可解答． 【解答】解：如图：作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ相交于点O，连接 OA，OB，OC，则点O是△ABC外接圆的圆心， 由题意得：OA2＝12+22＝5， OC2＝12+22＝5， AC2＝12+32＝10， ∴OA2+OC2＝AC2， ∴△AOC是直角三角形， ∴∠AOC＝90°， ∵AO＝OC ， ∴图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△AOC的面积﹣△ABC的面积 OA•OC AB•1 2×1 1 ， 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适 当的辅助线是解题的关键． 4．（2024•泰兴市一模）如图，PB是 O的切线，切点为B，连接OP交 O于点C，AB是 O的直径， ⊙ ⊙ ⊙连接AC，若∠A＝30°，OA＝2，则图中阴影部分的面积为 ． 【分析】先根据切线的性质得到∠OBP＝90°，再根据圆周角定理得到∠BOC＝60°，则利用含30度角 的直角三角形三边的关系得到PB＝2 ，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S△OBP ﹣S扇形BOC 进行计算即可． 【解答】解：∵PB是 O的切线，切点为B， ∴OB⊥BP， ⊙ ∴∠OBP＝90°， ∵AB是 O的直径，∠A＝30°， ∴∠BOC⊙＝2∠A＝60°， 在Rt△OBP中，∵∠BOP＝60°， ∴PB OB＝2 ， ∴图中阴影部分的面积＝S△OBP ﹣S扇形BOC 2×2 2 ． π 故答案为：2 ． π 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和扇形的面积． 5．（2024•常德一模）如图，点A，B，C在半径为R的 O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交 O于点D，连接OA，已知OE＝2，则R＝ ． ⊙ ⊙【分析】连接OB，先利用圆周角定理可得：∠AOB＝120°，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得 ∠BOE＝60°，最后在Rt△OEB中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：连接OB， ∵∠ACB＝60°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝120°， ∵OA＝OB，OD⊥AB， ∴∠BOE ∠AOB＝60°， 在Rt△OEB中，OE＝2， ∴OB 4， ∴R＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 6．（2023•舟山三模）把量角器和含30°角的三角板按如图1方式摆放，将其抽象为图2：若AB与半 O 相切于点E，OC＝2cm，∠BOF＝120°，则阴影部分的面积为 cm2． ⊙【分析】连接 OE，根据切线的性质可得∠OEB＝90°，再利用平角定义可得∠FOC＝60°，从而在 Rt△OFC中，利用锐角三角函数的定义求出OF的长，然后在Rt△BOE中，利用含30度角的直角三角 形的性质求出BE的长，∠BOE＝60°，最后根据阴影部分的面积＝△BEO的面积﹣扇形DOE的面积， 进行计算，即可解答． 【解答】解：连接OE， ∵AB与半 O相切于点E， ∴∠OEB＝⊙90°， ∵∠BOF＝120°， ∴∠FOC＝180°﹣∠BOF＝60°， 在Rt△OFC中，OC＝2cm， ∴OF 4（cm）， ∴OE＝OF＝4cm， 在Rt△BOE中，∠B＝30°， ∴BE OE＝4 （cm），∠BOE＝90°﹣∠B＝60°， ∴阴影部分的面积＝△BEO的面积﹣扇形DOE的面积BE•OE 4 4 ＝（8 ）cm2， 故答案为：（8 ）． 【点评】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线 是解题的关键． 7．（2024•济阳区一模）如图， O是△ABC的外接圆，直径BD与AC交于点E，DF是 O的切线，交 BC的延长线于点F． ⊙ ⊙ （1）求证：∠F＝∠BAC； （2）若 ，CF＝1，求 O的半径． ⊙ 【分析】（1）连接CD，先利用切线的性质可得∠BDF＝90°，从而可得∠BDC+∠CDF＝90°，再根据 直径所对的圆周角是直角可得∠BCD＝90°，从而可得∠DCF＝90°，进而可得∠F+∠CDF＝90°，然后 利用同角的余角相等可得∠BDC＝∠F，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠BDC＝∠BAC，从而利用 等量代换可得∠F＝∠BAC，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：∠F＝∠BDC，∠DCF＝∠DCB＝90°，从而可得△DCF∽△BCD，然后利 用相似三角形的性质可得∠CDF＝∠DBC，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠DAE＝∠DBC，从而可得tan∠DAE＝tan∠CDF＝tan∠DBC ，最后在Rt△DCF中，利用锐角三角函数的定义求出 CD的长， 再在Rt△BDC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而利用勾股定理求出BD的长，即可解答． 【解答】（1）证明：连接CD， ∵DF为 O切线， ∴∠BDF⊙＝90°， ∴∠BDC+∠CDF＝90°， ∵BD是 O的直径， ∴∠BCD⊙＝90°， ∴∠DCF＝180°﹣∠BCD＝90°， ∴∠F+∠CDF＝90°， ∴∠BDC＝∠F， ∵∠BDC＝∠BAC， ∴∠F＝∠BAC； （2）解：由（1）可得：∠F＝∠BDC，∠DCF＝∠DCB＝90°， ∴△DCF∽△BCD， ∴∠CDF＝∠DBC， ∵∠DAE＝∠DBC， ∴∠CDF＝∠DBC＝∠DAE， ∵ ， ∴tan∠DAE＝tan∠CDF＝tan∠DBC ， 在Rt△DCF中，CF＝1，∴CD 2， 在Rt△BDC中，BC 4， ∴BD 2 ， ∴半径r为 ． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，三角形的外接圆与外心，根据题目的已 知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 8．（2024•浙江模拟）在一个三角形中，如果三个内角的度数之比为连续的正整数，那么我们把这个三角 形叫做和谐三角形． （1）概念理解：若△ABC为和谐三角形，且∠A＜∠B＜∠C，则∠A＝ 30 °，∠B＝ 60 °，∠C ＝ 9 0 °．（任意写一种即可） （2）问题探究：如果在和谐三角形ABC中，∠A＜∠B＜∠C，那么∠B的度数是否会随着三个内角比 值的改变而改变？若∠B的度数改变，写出∠B的变化范围；若∠B的度数不变，写出∠B的度数，并 说明理由． （3）拓展延伸：如图，△ABC内接于 O，∠BAC为锐角，BD为圆的直径，∠OBC＝30°．过点A作 AE⊥BD，交直径BD于点E，交BC于⊙点F，若AF将△ABC分成的两部分的面积之比为 1：2，则 △ABC一定为和谐三角形吗？”请说明理由． 【分析】（1）依据题意，设∠A：∠B：∠C＝（n﹣1）：n：（n+1），其中n≥2，n为正整数，从而 ，再设n＝2，由∠A：∠B：∠C＝1：2：3，故可得， ，进而可以得解； （2）依据题意，设∠A：∠B：∠C＝（n﹣1）：n：（n+1），其中n≥2，n为正整数，从而可得 ，进而可以得解； （3）依据题意，结合所给和谐三角形的定义可分两种情况讨论：①当 S△ACF ＝2S△ABF 时，如图1，连 结OA，OC，过点O作OG⊥BC于点G．由OA＝OB＝OC＝r，∠OBC＝30°，可得∠OCB＝30°， ∠BOC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，从而 ，故 ， 进而可得 ． 又∵S△ACF ＝2S△ABF ，则CF＝2BF，即 ，结合AF⊥BD，∠OBC＝30°，可得∠AFB＝ 60°＝∠BAC，又∠ABF＝∠CBA，故△ABF∽△CBA，进而AB2＝BF•BC，从而 ，解得 AB＝r，则△AOB为等边三角形，可得 ，最后求出∠ABC＝90°，即可判断得解； ②当 S△ABF ＝2S△ACF 时，如图2，连结OA，OC，过点O作OG⊥BC于点G，同理可得OA＝OB＝OC ＝r， ，∠BAC＝60°，从而 ，△ABF∽△CBA，故AB2＝BF•BC， ．进而△AOB为等腰直角三角形，则 ，从而∠ABC＝75°，由45°：60°：75°＝3：4：5，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意得：设∠A：∠B：∠C＝（n﹣1）：n：（n+1），其中n≥2，n为正整数， ∴ ． 可设n＝2，由∠A：∠B：∠C＝1：2：3， ∴ ． 故答案为：30；60；90． （2）∠B的度数不变．由题意得：设∠A：∠B：∠C＝（n﹣1）：n：（n+1），其中n≥2，n为正整 数， ∴ ． ∴∠B 的度数不变，且∠B＝60°． （3）△ABC一定为和谐三角形．理由如下：分两种情况讨论： ①当 S△ACF ＝2S△ABF 时，如图1，连结OA，OC，过点O作OG⊥BC于点G． 由OA＝OB＝OC＝r，∠OBC＝30°，可得∠OCB＝30°，∠BOC＝180°﹣30°﹣30°＝120°． ∴ ． ∴ ． ∵ ，∴ ． 又∵S△ACF ＝2S△ABF ， ∴CF＝2BF． ∴ ． ∵AF⊥BD，∠OBC＝30°， ∴∠AFB＝60°＝∠BAC． 又∵∠ABF＝∠CBA， ∴△ABF∽△CBA． ∴AB2＝BF•BC． ∴ ． ∴解得：AB＝r． ∴△AOB为等边三角形． ∵ ， ∴ ． ∴∠ABC＝90°． ∵30°：60°：90°＝1：2：3， ∴△ABC为和谐三角形． ②当 S△ABF ＝2S△ACF 时，如图2，连结OA，OC，过点O作OG⊥BC于点G．同理可得OA＝OB＝OC＝r， ∠BAC＝60°， ，△ABF∽△CBA， ∴AB2＝BF•BC． ∴ ． ∴△AOB为等腰直角三角形． ∴ ． ∴∠ABC＝75°． ∵45°：60°：75°＝3：4：5， ∴△ABC 为和谐三角形． 综上所述，△ABC一定为和谐三角形． 【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理及三角形相似判定与性质，解题时要熟练掌握并能 灵活运用是关键． 1．（2024•拱墅区一模）如图，在△ABC中，AB+AC BC，AD⊥BC于D， O为△ABC的内切圆，设 ⊙ O的半径为R，AD的长为h，则 的值为（ ） ⊙A． B． C． D． 【分析】根据三角形内切圆特点作出圆心和三条半径，分别表示出△ABC的面积，利用面积相等即可解 决问题． 【解答】解：如图所示：O为△ABC中∠ABC、∠ACB、∠BAC的角平分线交点，过点O分别作垂线相 交于AB、AC、BC于点E、G、F， S△ABC ＝S△AOB +S△BOC +S△AOC AB•R BC•R AC•R R（AB+AC+BC）， ∵AB+AC BC， ∴S△ABC R（ BC+BC） R• BC， ∵AD的长为h， ∴S△ABC BC•h， ∴ R• BC BC•h， ∴h R， ∴ ， 故选：A． 【点评】本题考查三角形内切圆的相关性质，本题掌握三角形内切圆的性质，根据已知条件利用三角形ABC面积相等推出关系式是解题关键． 2．（2023•望江县模拟）如图，点O为△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，则△OBC的面积是（ ） A． B． C．2 D．4 【分析】过点C作CH⊥BO的延长线于点H，根据点O为△ABC的内心，∠A＝60°，可得∠BOC＝ 180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝90° A＝120°，所以∠COH＝60°，利用含30度角的直角三角形可得CH的 长，进而可得△OBC的面积． 【解答】解：如图，过点C作CH⊥BO的延长线于点H， ∵点O为△ABC的内心，∠A＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝90° A＝120°， ∴∠COH＝60°， ∵OB＝2，OC＝4， ∴OH＝2 ∴CH＝2 ，∴△OBC的面积 OB•CH 2×2 2 ． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握三角形的内心定 义． 3．（2023•攀枝花二模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作 D，E为 D ⊙ ⊙ 上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF ，则点F与点C的最小 距离为（ ） A． B． C． D． 【分析】如图，取AB的中点G，连接FG，FC，GC，由△FAG∽△EAD，推出FG：DE＝AF：AE＝ 1：3，因为DE＝3，可得FG＝1，推出点F的运动轨迹是以G为圆心1为半径的圆，再利用两点之间线 段最短即可解决问题． 【解答】解：如图，取AB的中点G，连接FG．FC．GC．∵∠EAF＝90°，tan∠AEF ， ∴ ， ∵AB＝6，AG＝GB， ∴AG＝GB＝3， ∵AD＝9， ∴ ， ∴ ， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°， ∴∠FAG＝∠EAD， ∴△FAG∽△EAD， ∴FG：DE＝AF：AE＝1：3， ∵DE＝3， ∴FG＝1， ∴点F的运动轨迹是以G为圆心1为半径的圆， ∵GC 3 ， ∴FC≥GC﹣FG， ∴FC≥3 1， ∴CF的最小值为3 1． 故选：A． 【点评】本题考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学 会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 4．（2024•永修县一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1， O是△ABC的外接圆， ⊙点A，B，O在网格线的交点上，则cos∠ACB的值是 ． 【分析】连接AO并延长交 O于点D，连接BD，则∠ABD＝90°，∠ACB＝∠ADB，利用勾股定理求 解AD的长，再解直角三角形⊙可求解． 【解答】解：连接AO并延长交 O于点D，连接BD，则∠ABD＝90°，∠ACB＝∠ADB， ⊙ ∵AO ， ∴AD ， ∵AB＝4， ∴BD ∴cos∠ACB＝cos∠ADB ， 故答案为： ． 【点评】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，圆的概念及性质，构造直角三角形是解题的关键． 5．（2023•拱墅区校级二模）如图，已知AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，OE＝BE．点P是劣弧 ⊙ 上任意一点（不与点A，D重合），CP交AB于点M，AP与CD的延长线相交于点F，设∠PCD＝ ． ①则∠F＝ 60 ° ﹣ ，（用含 的代数式表示）； α α α②当∠F＝3∠PCD时，则 ． 【分析】①连接OD，BD，PO，由线段垂直平分线的性质得到△ODB是等边三角形，由圆周角定理得 到∠A ∠POB＝30°+ ，由直角三角形的性质即可求出∠PFE＝60°﹣ ． ②设圆的半径是r，OM α＝x，由∠AFE＝3∠PCD，求出 ＝15°，得到α∠POB＝90°，因此OP∥CE，推 出△POM∽△CEM，得到OM：EM＝OP：CE，代入有关α数据即可求出OM的长，得到AM，BM的长， 即可得到答案． 【解答】解：①连接OD，BD，PO， ∵弦CD⊥AB于点E，OE＝BE， ∴OD＝BD， ∵OD＝OB， ∴△ODB是等边三角形， ∴∠BOD＝60°， ∵∠PCD＝ ， ∴∠POD＝α2 ， ∴∠POB＝60α°+2 ， α ∴∠A ∠POB＝30°+ ， ∴∠PFE＝90°﹣∠A＝6 α 0°﹣ ． 故答案为：60°﹣ ； α ②∵∠AFE＝3∠αPCD， ∴60°﹣ ＝3 ， ∴ ＝15α°， α α∴∠POD＝2∠PCD＝30°， ∴∠POB＝90°， ∴OP∥CE， ∴△POM∽△CEM， ∴OM：EM＝OP：CE， ∵直径AB⊥CD， ∴DE＝CE， ∴OM：EM＝OP：ED， 设圆的半径是r，OM＝x， ∴EM r﹣x，DE r， ∴x：（ r﹣x）＝r： r， ∴x＝（2 ）r， ∴OM＝（2 ）r， ∴AM＝AO+OM＝3r r，BM＝OB﹣OM r﹣r， ∴ ． 故答案为： ．【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，关键 是证明△POM∽△CEM，求出OM与半径的数量关系，从而解决问题． 6．（2023•天河区校级三模）如图，矩形ABCD中，AB＝2， ，点E、F分别是线段AD，BC上 的动点，且AE＝CF，过D作EF的垂线，垂足为H． （1）当 时，∠BFE＝ °． （2）当E在AD上运动时，CH的最小值为 ． 【分析】（1）过点F作FM⊥BC于M，由条件可得四边形ABME是矩形，由题意可得MF＝EM，从而 问题解决； （2）连接BD交EF于点O，可证明△DOE≌△BOF，易得OD＝12，BD＝2，由DH⊥EF知，MH＝ 2，即点H在以OD中点M为圆心，1为半径的圆上运动，当点E与点A重合时，CH的值最小，由三角 函数知识即可求得此时最小值． 【解答】解：（1）过点F作FM⊥BC于M，如图， 则∠BME＝∠EMF＝90°， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴四边形ABME是矩形，∴EM＝AB＝2，BM＝AE 1， ∵AE＝CF， ∴CF＝BM 1， ∴MF＝BC﹣BM﹣CF＝2 2（ 1）＝2， ∴．ME＝MF， ∵FM⊥BC， ∠BFE＝45°， 故答案为：45； （2）连接BD交EF于点O，如图， 由矩形性质知：AD∥CB，AD＝BC＝2 ，AE＝CF， ∴∠DEF＝∠BFE，AD﹣AE＝BC﹣CF， ∴DE＝BF， ∴∠EOD＝∠FOB， ∴△DOE≌△BOF（ASA）， ∴OD＝OB， 由勾股定理得BD 4， ∴OD＝2，BD＝4， ∵DH⊥EF，设OD的中点为M， ∴MH＝1， 即点H在以点M为圆心，1为半径的圆上运动，由于点E在AD边上运动， ∴当点E与点A重合时，即EF与AC重合时，CH的值最小， ∵AC＝BD＝4，cos∠ACD ，即CH的最小值为1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了矩形的性质与判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数，确 定出点H的运动路径是解题的关键与难点． 7．（2024•顺庆区二模）如图，在 O中，AB为直径，AC为弦，点D为弧AC的中点，∠CDG＝∠B， DG的反向延长线与BA的延长线⊙交于点E，连接BD与AC交于点F． （1）求证：GE是 O的切线； ⊙ （2）若 ，求sinE的值． 【分析】（1）连接OD，利用圆周角定理和平行线的判定定理得到AC∥EG，利用垂径定理的推论得到 OD⊥AC，再利用平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）连接BC，设OD与AC交于点H，设CF＝3a，则AF＝5a，利用垂径定理得到CH＝AH AC＝ 4a，再利用相似三角形的判定与性质和平行线分线段成比例定理得到 AB＝3AE，设AE＝k，则AB＝ 3k，利用同圆的半径线段得到OA＝OB＝OD AB＝1.5k，则OE＝OA+AE＝2.5k，最后利用直角三角形 的边角关系定理解答即可． 【解答】（1）证明：连接OD，如图， ∵∠CDG＝∠B，∠B＝∠C， ∴∠CDG＝∠C， ∴AC∥EG． ∵点D为弧AC的中点， ∴ ， ∴OD⊥AC，∴OD⊥GE． ∵OD为 O的半径， ∴GE是⊙O的切线； （2）解：⊙连接BC，设OD与AC交于点H，如图， ∵ ， ∴设CF＝3a，则AF＝5a， ∴AC＝8a． ∵OD⊥AC， ∴CH＝AH AC＝4a． ∴HF＝CH﹣CF＝a． ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC⊥AC， ∴BC∥OD， ∴△BCF∽△DHF， ∴ 3， ∵AC∥EG， ∴ 3， ∴AB＝3AE， 设AE＝k，则AB＝3k， ∴OA＝OB＝OD AB＝1.5k， ∴OE＝OA+AE＝2.5k． ∴sinE ．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，垂径定理，平行线的判定 与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，直角三角形的边角 关系定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 8．（2024•宝山区二模）已知AB是半圆O的直径，C是半圆O上不与A、B重合的点，将弧AC沿直线 AC翻折，翻折所得的弧交直径AB于点D，E是点D关于直线AC的对称点． （1）如图，点D恰好落在点O处． ①用尺规作图在图中作出点E（保留作图痕迹），联结AE、CE、CD，求证：四边形ADCE是菱形； ②联结BE，与AC、CD分别交于点F、G，求 的值； （2）如果AB＝10，OD＝1，求折痕AC的长． 【分析】（1）①设AC与DE的交点为M，通过推导出AC、EO互相垂直平分，证明四边形ADCE是 菱形； ②先求出菱形ADCE的内角为60°，再推导出CF＝2FG，即可推导出EB＝6FG，可得 ； （2）当D点在O点左侧时，过O点作OM⊥AC交于M点，过点O作OH⊥AE交于H点，过点E作 EN⊥AB交于N点，设GD＝4m，则MO＝5m，EG＝4m，ED＝8m，先求出cos∠EAD ，即可分别求出AN＝4 ，ND＝4 ，EN ，ED＝8m ，得到m ，则MO ，AM ，再求AC ；当D点在O点右侧时，同理可求AC＝4 ． 【解答】（1）证明：①如图1，设AC与DE的交点为M， 由折叠可EM＝MO， ∵E、D点关于AC对称， ∴EO⊥AC， ∵EO是圆O的半径， ∴AM＝CM， ∴AC、EO互相垂直平分， ∴四边形ADCE是菱形； ②解：∵四边形ADCE是菱形， ∴∠EAC＝∠CAO＝∠ECA＝∠ACO， ∵AM⊥MO，MO AO， ∴∠MAO＝30°， ∴∠AOM＝∠MOC＝60°， ∵DO＝BO， ∴∠OEB＝∠OBE＝30°， ∴∠EGO＝90°， ∵∠FCG＝30°， ∴CF＝2FG， ∵∠CEF＝∠ECF＝30°， ∴EF＝FC＝2FG， ∵EG＝GB， ∴EB＝6FG， ∴ ；（2）解：如图2，当D点在O点左侧时，过O点作OM⊥AC交于M点，过点O作OH⊥AE交于H点， 过点E作EN⊥AB交于N点， 由对称可知，AE＝AD， ∵AO＝5，OD＝1， ∴AE＝AD＝4， ∵ED∥MO， ∴ ， 设GD＝4m，则MO＝5m， ∵E、D点关于AC对称， ∴EG＝4m， ∴ED＝8m， ∵AH＝HE＝2， ∴cos∠EAD ， ∴AN＝4 ， ∴ND＝4 ，EN ， ∴ED＝8m ， ∴m ， ∴MO ， ∴AM ，∴AC ； 如图3，当D点在O点右侧时，同理可求AC＝4 ； 综上所述：AC的长为4 或 ． 【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握折叠的性质，垂径定理，直角三角形的性质是解题的关键． 1．如图，AB是 O的直径，CD是弦，若∠CDB＝32°，则∠ABC等于（ ） ⊙ A．68° B．64° C．58° D．32° 【分析】先由圆周角定理可知∠ACB＝90°，再求出∠ADC＝58°，然后由圆周角定理求解即可． 【解答】解：∵AB是 O的直径， ⊙∴∠ADB＝90°， ∴∠ADC+∠CDB＝90°， ∴∠ADC＝90°﹣∠CDB＝90°﹣32°＝58°， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠ABC＝58°， 故选：C． 【点评】本题考查了圆周角定理；熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 2．如图，已知CD为 O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E．若AE过圆心O，OA＝1．则四边形 BEOF的面积为（ ⊙ ） A． B． C． D． 【分析】根据垂径定理求出AF＝BF，CE＝BE， ，求出∠AOD＝2∠C，求出∠AOD＝2∠A， 求出∠A＝30°，解直角三角形求出OF和BF，求出OE、BE、BF，根据三角形的面积公式求出即可． 【解答】解：如图，连接OB， ∵CD为直径，CD⊥AB， ∴ ， ∴∠AOD＝2∠C， ∵CD⊥AB，AE⊥BC， ∴∠AFO＝∠CEO＝90°，∵∠AOF＝∠COE，OA＝OC， ∴△AFO≌△CEO（AAS）， ∴∠C＝∠A， ∴∠AOD＝2∠A， ∵∠AFO＝90°， ∴∠A＝30°， ∵AO＝1， ∴OF AO ，AF OF ， 同理CE ，OE ， ∵CD⊥AB，AE⊥BC，CD、AE过O， 由垂径定理得：BF＝AF ，BE＝CE ， ∴四边形BEOF的面积S＝S△BFO +S△BEO ． 故选：B． 【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能够综合运用定理进行推理是解 此题的关键． 3．如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12， O是它的内切圆．小明用剪刀沿着 O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（ ）⊙ ⊙ A．19 B．17 C．22 D．20 【分析】设△ABC的内切圆切三边于点F，H，G，连接OF，OH，OG，得四边形OHCG是正方形，由 切线长定理可知：AF＝AG，根据DE是 O的切线，可得MD＝MF，EM＝EG，根据勾股定理可得AB ⊙＝5，再求出内切圆的半径 （AC+BC﹣AB）＝2，进而可得△ADE的周长． 【解答】解：如图，设△ABC的内切圆切三边于点F，H，G，连接OF，OH，OG， ∴四边形OHCG是正方形， 由切线长定理可知：AF＝AG， ∵DE是 O的切线， ∴MD＝⊙DF，EM＝EG， ∵∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12， ∴AB 13， ∵ O是△ABC的内切圆， ⊙ ∴内切圆的半径 （AC+BC﹣AB）＝2， ∴CG＝2， ∴AG＝AC﹣CG＝12﹣2＝10， ∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DF+EG+AE＝AF+AG＝2AG＝20． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性 质． 4．如图，AB是 O的直径，点C，D在 O上．若∠CBA＝50°，则∠CDB＝ 4 0 °． ⊙ ⊙ 【分析】根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠CDB＝∠A，然后利用互余计算出∠A，从而得到∠CDB 的度数． 【解答】解：∵AB为 O的直径， ⊙∴∠ACB＝90°， ∵∠CBA＝50°， ∴∠A＝40°， ∴∠CDB＝∠A＝40°． 故答案为：40． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对 的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 5．如图，在 O中，AB是直径，CD⊥AB，∠ACD＝60°，OD＝2，那么DC的长等于 2 ． ⊙ 【分析】根据垂径定理得到 CE＝DE， ，∠DEO＝∠AEC＝90°，利用圆周角定理求出求出 ∠DOE＝2∠A＝60°，得出∠ODE＝30°，进而根据含30度角的直角三角形的性质，求得OE＝1，勾股 定理即可得DE，垂径定理即可求得DC的长． 【解答】解：如图所示，设AB，CD交于点E， ∵AB是直径，CD⊥AB， ∴CE＝DE， ，∠DEO＝∠AEC＝90°， ∵∠ACD＝60°， ∴∠A＝30°，∴∠DOE＝2∠A＝60°， ∴∠ODE＝30°， ∴ ， ∴DE ， ∴CD＝2DE ， 故答案为： ． 【点评】此题考查了圆的垂径定理，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是掌握垂径定理，勾股定理． 6．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积 为 ． 【分析】利用扇形的面积公式求解即可． 【解答】解：由题意，∠FAB＝120°，AF＝AB＝2， ∴S阴 ， 故答案为： ． 【点评】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是记住扇形的面积S ． 7．如图， O的直径AB与其弦CD相交于点E，过点A的切线交CD延长线于点F，且∠AED＝∠EAD． （1）求⊙证：AD＝FD；（2）若AE＝6， ，求 O半径的长． ⊙ 【分析】（1）由切线的性质推出∠FAD+∠EAD＝∠F+∠AED＝∠90°，而∠AED＝∠EAD，因此∠F＝ ∠FAD，即可证明AD＝FD； （2）由锐角的余弦求出FE的长，即可得到AD的长，由cos∠EAD＝cos∠AEF ，求出AB长，即可 求出圆的半径长． 【解答】（1）证明：∵AF与圆相切于A， ∴直径AB⊥AF， ∴∠FAD+∠EAD＝∠F+∠AED＝∠90°， ∵∠AED＝∠EAD， ∴∠F＝∠FAD， ∴AD＝FD； （2）解：连接BD， ∵∠EAF＝90°， ∵ ， ∴cos∠AEF ， ∵AE＝6， ∴EF＝10， ∵∠AED＝∠EAD， ∴AD＝ED， ∴AD EF＝5，∵AB是圆的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠AED＝∠EAD， ∵cos∠EAD＝cos∠AEF ， ∴ ， ∴AB ， ∴ O半径的长是 ． ⊙ 【点评】本题考查切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 8．如图， O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，OC∥AD，AD交BC的延长线于点D，AB交OC于点 E． ⊙ （1）求证：AD是 O的切线； （2）若AE＝10，B⊙E＝6，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OA，利用已知条件OC∥AD求证∠OAD＝90°，即可求解； （2）根据已知条件可求证△AEC∽△ACB，利用相似三角形的线段比可求出半径，即可求解． 【解答】（1）证明：连接OA，∵AD∥OC， ∴∠AOC+∠OAD＝180°， ∵∠AOC＝2∠ABC＝2×45°＝90°， ∴∠OAD＝90°， ∴OA⊥AD， ∵OA是 O的半径， ∴AD是⊙O的切线； （2）∵A⊙O＝CO且∠AOC＝90°， ∴∠ACO＝∠CAO＝45°， 即∠B＝∠ACE， ∵∠CAE＝∠BAC， ∴△AEC∽△ACB， ∴ ， ∴AC2＝AE•AB＝10×（10+6）＝160， ∴AC＝4 ， ∴AO＝CO＝4 ， ∴S阴 ＝S扇形OAC ﹣S△AOC （4 ）2＝20 ﹣40． π 【点评】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积，相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用 所学的知识解决问题，属于中考常考题． 9．如图，在△ABC中，AB＝BC，AB为 O的直径，AC与 O相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E， CB延长线交 O于点F． ⊙ ⊙ （1）求证：⊙DE为 O的切线； （2）若BE＝1，B⊙F＝2，求AD的长．【分析】（1）根据已知条件证得OD∥AC即可得到结论； （2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE＝∠DEH＝∠OHE＝90°，构建矩形ODEH，根据矩 形的性质和勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵OB＝OD， ∴∠ABD＝∠ODB， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ODB＝∠ACB， ∴OD∥AC． ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∵OD是 O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：⊙如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE＝∠DEH＝∠OHE＝90°， ∴四边形ODEH是矩形， ∴OD＝EH，OH＝DE， ∵OF＝OB， ∴BH＝FH＝1， ∴OD＝EH＝EH＝2，∴AB＝2OD＝4，OH ， ∴DE＝OH ， ∴BD 2， ∴AD 2 ． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定与性质，垂径定理，等腰三角形的性质． 解题的关键：（1）熟练掌握切线的判定；（2）利用勾股定理构建方程求出AH．视图与投影 关于视图与投影在中考数学中的命题预测，会主要围绕以下几个方面展开： 投影的基本概念和性质：这包括理解什么是投影、投影线、投影面，以及平行投影和中心投影的区别。 命题可能会要求考生判断给出的投影类型，或者根据给定的投影条件进行推理。 三视图的理解和应用：三视图是中考数学中视图与投影部分的重要考点，包括主视图、俯视图和左视 图。命题可能会要求考生根据给出的几何体画出其三视图，或者根据三视图还原出几何体的形状。 投影与视图在实际问题中的应用：这部分命题可能会将投影与视图的知识与实际问题相结合，比如建 筑设计、机械制造等领域中的投影与视图问题。考生需要运用所学知识解决实际问题，体现知识的应用性 和实践性。 此外，根据中考数学的命题趋势，视图与投影这部分内容虽然分值可能不高，但属于必考内容之一。 因此，考生在复习时应该认真对待，确保掌握基本概念和解题方法，以便在考试中能够稳定发挥，取得好 成绩。Ⅰ、主视图、左视图、俯视图 一、三个视图 1. 三个视图的概念：人们从不同的方向观察某个物体，可以看到不同的图形，一般地，我们把从正面看 到的图形称为主视图；从左面看到的图形，称为左视图；从上面看到的图形，称为俯视图. 2. 常见几何体的三个视图三个视图分别从不同的方向表示物体的形状特征，单独的一个视图难以全面地反映物体的形状特征， 只有三者结合起来才能较全地反映物体的形状. 二、画几何体的三个视图 1. 三个视图的画法 （1）确定主视图的位置，画出主视图，主视图反映物体的长和高； （2）在主视图的正下方画出俯视图，俯视图反映物体的长和宽，注意与主视图“长对正”，即长相等； （3）在主视图的正右方画出左视图，左视图反映物体的高和宽，注意与主视图“高平齐”，与俯视图 “宽相等”. 2. 画三个视图的规定 在画几何体的主视图、左视图或俯视图时，看得见的部分轮廓线要画成实线，因被其他部分遮挡而看 不见的部分轮廓线要画成虚线. （1）在画图时，如果看不见的轮廓线（虚线）与看得见的轮廓线（实线）重叠，那么这时虚线不需要画 出； （2）虚线也是反映物体形状的重要部分，不可不画. 三、由三个视图确定几何体的形状 1. 由三个视图描述几何体的方法：由三个视图想象几何体的形状，应先分别根据主视图、俯视图和左视 图想象立体图形的正面、上面和左面，然后综合起来考虑整体图形； 2. 由三个视图还原几何体，首先，应该清楚常见几何体的三个视图；其次，对于稍复杂的视图，要能将 其简化为几个简单的图形；最后，根据物体的三个视图想象还原物体的形状；3. 一个摆好的几何体的三个视图是唯一的，但从一个视图反过来考虑几何体时，它有多种可能性，如主 视图是正方形的几何体可能是直棱柱、长方体、圆柱等. Ⅱ、平行投影与中心投影 知识点一、平行投影 1. 在平行光照射下，物体所产生的影子称为平行投影.（物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是 平行光线） 2. 太阳光可以看成是平行光. 3. 在平行光的照射下，相同的时刻，相近的位置的不同物体的物高与影长成比例. 如： . 利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等，利用影长计算物高时，要注意的是 测量两物体在同一时刻的影长. 二、中心投影 1. 在点光源的照射下，物体所产生的影子称为中心投影，这个“点”就是中心. 2. 路灯、台灯、手电筒的光线可以看成是一个点发出的，看以看作是点光源. 3. 在点光源的照射下，不同物体的物高与影长不成比例，同一物体离点光源越近，影子越短；离点光源 越远，影子越长. 4. 等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长. 5. 等长的物体平行于地面放置时，一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短， 但不会比物体本身的长度还短. 6. 在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在 同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 7. 光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向 也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧. 1．（2023•日照）如图所示的几何体的俯视图可能是（ ）A． B． C． D． 【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定即可． 【解答】解：从上面看得该几何体的俯视图是： ． 故选：C． 【点评】此题主要考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，考查了学生细心观察能 力，属于基础题． 2．（2023•内江）如图是由5个完全相同的小正方体堆成的物体，其正视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【解答】解：从正面看，底层有3个正方形，上层的左边是一个正方形． 故选：A． 【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 3．（2023•福建）如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）A． B． C． D． 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【解答】解：这个立体图形的俯视图是一个矩形，矩形内部中间是一个圆形． 故选：D． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图是解题关键． 4．（2023•陕西）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一 个“老碗”（图①）的形状示意图． 是 O的一部分，D是 的中点，连接OD，与弦AB交于点 ⊙ C，连接OA，OB．已知AB＝24cm，碗深CD＝8cm，则 O的半径OA为（ ） ⊙ A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm 【分析】首先利用垂径定理的推论得出 OD⊥AB，AC＝BC AB＝12cm，再设 O的半径OA为R ⊙ cm，则OC＝（R﹣8）cm．在Rt△OAC中根据勾股定理列出方程R2＝122+（R﹣8）2，求出R即可． 【解答】解：∵ 是 O的一部分，D是 的中点，AB＝24cm， ⊙ ∴OD⊥AB，AC＝BC AB＝12cm． 设 O的半径OA为R cm，则OC＝OD﹣CD＝（R﹣8）cm． 在⊙Rt△OAC中，∵∠OCA＝90°， ∴OA2＝AC2+OC2，∴R2＝122+（R﹣8）2， ∴R＝13， 即 O的半径OA为13cm． 故⊙选：A． 【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设 O的半径OA为R cm，列出关于R的方程是解 题的关键． ⊙ 5．（2023•成都）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这 个几何体的小立方块最多有 个． 【分析】根据正面看与上面看的图形，得到搭成这个几何体底层4个，上面1层最多2个小正方体． 【解答】解：根据俯视图发现最底层有4个小立方块，从主视图发现第二层最多有2个小立方块， 故最多有4+2＝6（个）小立方块． 故答案为：6． 【点评】本题考查的是三视图知识，以及由三视图判断几何体，利用三视图判断得出几何体形状是解题 关键． 6．（2023•通辽）某款“不倒翁”（如图1）的主视图是图2，PA，PB分别与 所在圆相切于点A， B，若该圆半径是10cm，∠P＝60°，则主视图的面积为 cm2． 【分析】根据题意，先找到圆心O，然后根据PA，PB分别与 ，所在圆相切于点A，B．∠P＝60° 可以得到∠AOB的度数，然后即可得到优弧AMB对应的圆心角，再根据扇形面积公式计算即可，再根 据等边三角形和顶角为120°等腰三角形的面积公式分别计算即可．【解答】解：OA⊥PA，OB⊥PB，OA，OB交于点O，如图， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°，PA＝PB， ∵∠P＝60°， ∴∠AOB＝120°，且△PAB为等边三角形， ∴优弧AMB对应的圆心角为360°﹣120°＝240°，AB OA＝10 （cm）， ∴扇形AMB的面积是： （cm2），S△PAB （10 ）2＝75 （cm2），S △AOB 102＝25 （cm2）， ∴主视图的面积 75 25 （100 ）（cm2）， 故答案为：（100 ）． 【点评】本题考查扇形面积的计算、切线的性质，解答本题的关键是求出优弧AMB的度数． 7．（2023•徐州）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我 国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆型器物，据《尔雅•释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若 一，调之环．”如图1，“肉”指边（圆环外圈），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现来看， 这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．（1）若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 ； （2）利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）： ①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合 “肉好若一”？ ②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔． 【分析】（1）根据圆环面积可进行求解； （2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可； ②先确定好圆的圆心，然后根据平行线 所截线段成比例可进行作图． 【解答】解：（1）由图1可知：璧的“肉”的面积为 ×（32﹣12）＝8 ；环的“肉”的面积为 × （32﹣1.52）＝6.75 ， π π π ∴它们的面积之比为π 8 ：6.75 ＝32：27； 故答案为32：27； π π （2）①观察图象可知，不符合“肉好若一”关系； ②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径AB，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半 径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接BE，然后分别过点C、D作BE的平行线，交 AB于 点F、G，进而以FG为直径画圆，则问题得解；如图所示： 【点评】本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的有关知识，属于中考常考 题型． 8．（2023•台湾）小义利用一副扑克牌折叠出一个套环，如图 1所示，环套的上视图为边长6公分的正八 边形，如图2所示． 请根据上述资讯回答下列问题．完整写出你的解题过程并详细解释： （1）图2的正八边形的一个内角度数为多少？ （2）已知有一个圆柱形花瓶其底面半径为8公分，假设不考虑花瓶与环套厚度，判断图 1的环套是否 能在不变形的前提下，套在此圆柱形花瓶侧面外围？ 图3呈现45°﹣45°﹣90°的三角形与22.5°﹣67.5°﹣90°的 三角形，当斜边为1时的两股近似值，供作答时参考． 【分析】（1）求出正八边形的外角，可得结论； （2）求出正八边形的边心距，可得结论． 【解答】解：（1）正八边形的外角 45°， ∴正八边形的内角＝180°﹣45°＝135°． （2）如图2中，连接OA，OB，过点O作OH⊥AB于点H．∵OA＝OB，OH⊥AB， ∴AH＝BH＝3（公分），∠AOH＝∠BOH＝22.5°， 由题意 ， ∴OH≈7.3（公分）， ∵8＞7.3， ∴图1的环套在不变形的前提下，不能套在此圆柱形花瓶侧面外围． 【点评】本题考查由三视图判定几何体，正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意， 灵活运用所学知识解决问题． 1．（2024•两江新区模拟）如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何图形，从正面看到的平面图形是（ ） A． B． C． D． 2．（2024•光明区二模）如图是小李在劳动实践课上制作的办公桌，该办公桌的主视图为（ ）A． B． C． D． 3．（2023•东洲区模拟）三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太 阳光下的影子合理的是（ ） A． B． C． D． 4．（2023•青岛三模）如图，是圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形） 的示意图．已知桌面的直径为1.6m，桌面距离地面1m，若灯泡O距离地面3m，则地面上阴影部分的 面积为（ ） A．0.64 m2 B．2.56 m2 C．1.44 m2 D．5.76 m2 5．（2023•π湖里区模拟）小红同学π 在校运会的第一天下π午先参加了200米的比π赛，一小时后再参加了400 米的比赛，摄影老师在同一个位置拍摄了她参加这两场比赛的照片（如图），其中她参加400米比赛的 照片是 （填“甲”或“乙”）．6．（2024•南昌一模）日晷仪也称日晷，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，内圈被分为十二个全等的 图形，分别标示着“十二地支”（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥），如图所示． 通过测量得到晷面内圈的半径OA为18cm．若晷针投影的长度不变，且都在晷面的内圈上，则晷针投影 在晷面上从“巳”时开始到“申”时结束（从OA旋转到OB）划过的图形面积（图中阴影部分）是 cm2． 7．（2024•海门区一模）日晷是我国古代较为普遍使用的计时仪器．如图，日晷的平面是以点O为圆心的 圆，线段BC是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点（即BC与 O相切于点D）．点A在 O上， OA为某一时刻晷针的影长，AO的延长线与 O相交于点E，与BC相⊙交于点B，连接AC，OC，⊙BD＝ CD＝30cm，OA⊥AC． ⊙ （1）求∠B的度数； （2）连接CE，求CE的长． 8．（2023•盐都区三模）盐城市某初级中学数学小组想探究：大楼影长对相邻大楼的影响．分成了两个实 验小组，在某天下午3时，同时进行了两项实验： 实验一：测量高为1.5m竹竿的影长．通过测量发现影长为1m． 实验二：探究长方体的影子．如图1是该长方体在当天下午3时阳光下投影，图2是图1中长方体的俯视图． （1）该长方体的高AB＝39cm，宽BE＝22cm． ①此时AB的影长BC为 cm； ②此时测得CE＝40cm，求tan∠BCD； （2）某小区预规划两栋一样的楼房甲、乙，朝向与“实验二”中长方体一致，俯视图如图3，相关数 据如图所示，若楼高42米，请通过计算说明实验当天下午3时甲楼的影子是否落在乙楼的墙上． 1．如图是由6个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ） A． B． C． D． 2．某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成 图 2 ， 已 知 ∠ MAD ＝ 22° ， ∠ FCN ＝ 23° ， 则 ∠ ABC 的 大 小 为 （ ）A．44° B．45° C．46° D．47° 3．下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ） A． B． C． D． 4．一幢5层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着 灯的窗口是 ．（填写相应的数字序号即可） 5．如图所示的是三个直立在地面上的艺术字母的投影（阴影部分）效果，在艺术字母“L，K，C”的投影 中，属于同一种投影是 ． 6．图（1）是一张六角凳，其俯视图为正六边形[见图（2）]，则该六边形的每个内角为 °．7．图1是某款自动旋转圆形遮阳伞，伞面完全张开时张角呈 180°，图2是其侧面示意图．已知支架AB长 为2.6米，且垂直于地面BC，悬托架AE＝DE＝0.5米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF是DE的4 倍．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳 光线的角度变化；自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直．某一时刻测得BD＝ 2米．请求出此时遮阳伞影子中GH的长度． 8．（1）画出如图所示几何体从正面、左面、上面看到的平面图形； （2）若再添加n个小正方体，使新得到的几何体从正面和左面看到的平面图形不变，则n的最大值为 ．1．（2024•两江新区模拟）如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何图形，从正面看到的平面图形是（ ） A． B． C． D． 【分析】正面看：共3列，从左往右分别有2，1，1个小正方形，据此可画出图形． 【解答】解：从正面看到的平面图形共3列，从左往右分别有2，1，1个小正方形． 故选：B． 【点评】本题考查简单组合体的三视图，解题时注意：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面， 左面，上面看得到的图形． 2．（2024•光明区二模）如图是小李在劳动实践课上制作的办公桌，该办公桌的主视图为（ ） A． B． C． D． 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看，可得选项D的图形． 故选：D． 【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 3．（2023•东洲区模拟）三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太 阳光下的影子合理的是（ ） A． B． C． D． 【分析】三根等高的木杆竖直立在平地上，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子应该同方向、长度相 等且平行． 【解答】解：A．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该一致，故本选项错误； B．在某一时刻三根等高木杆在太阳光下的影子的长度应该相同，故本选项错误； C．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理，故本选项正确； D．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该互相平行，故本选项错误． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行投影，由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成 的影子就是平行投影． 4．（2023•青岛三模）如图，是圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形） 的示意图．已知桌面的直径为1.6m，桌面距离地面1m，若灯泡O距离地面3m，则地面上阴影部分的 面积为（ ） A．0.64 m2 B．2.56 m2 C．1.44 m2 D．5.76 m2 【分析】π设C，D分别是桌面和π其地面影子的圆心，依π题意可以得到△OBCπ∽△OAD，然后由它们的对 应边成比例可以求出地面影子的半径，这样可以求出阴影部分的面积．【解答】解：如图设C，D分别是桌面和其地面影子的圆心，CB∥AD， ∴△OBC∽△OAD ∴ ，而OD＝3，CD＝1， ∴OC＝OD﹣CD＝3﹣1＝2，BC 1.6＝0.8， ∴ ， ∴AD＝1.2， ∴S ＝ ×1.22＝1.44 m2， D 即地⊙面上π阴影部分的面π积为1.44 m2． 故选：C． π 【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形 的对应边成比例求出地面影子的半径，就可以求出阴影部分的面积． 5．（2023•湖里区模拟）小红同学在校运会的第一天下午先参加了200米的比赛，一小时后再参加了400 米的比赛，摄影老师在同一个位置拍摄了她参加这两场比赛的照片（如图），其中她参加400米比赛的 照片是 甲 （填“甲”或“乙”）． 【分析】由平行光线形成的投影是平行投影，由此即可判断． 【解答】解：∵太阳光线是平行光线， ∴下午的影子随时间的变化，由短变长，∴她参加400米比赛的照片是甲． 故答案为：甲． 【点评】本题考查平行投影，关键是掌握平行投影的定义． 6．（2024•南昌一模）日晷仪也称日晷，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，内圈被分为十二个全等的 图形，分别标示着“十二地支”（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥），如图所示． 通过测量得到晷面内圈的半径OA为18cm．若晷针投影的长度不变，且都在晷面的内圈上，则晷针投影 在晷面上从“巳”时开始到“申”时结束（从 OA旋转到OB）划过的图形面积（图中阴影部分）是 108 cm2． π 【分析】首先根据题意得到∠AOB的度数，然后利用扇形的面积公式即可求解． 【解答】解：依题意所求图形的面积是一个扇形，扇形的圆心角∠AOB 4＝120°，半径OA为 18cm， ∴划过的图形面积（图中阴影部分） 108 ． 故答案为：108 ． π 【点评】此题主π要考查了扇形面积的计算，解题的关键是读懂题意找出数量关系． 7．（2024•海门区一模）日晷是我国古代较为普遍使用的计时仪器．如图，日晷的平面是以点O为圆心的 圆，线段BC是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点（即BC与 O相切于点D）．点A在 O上， OA为某一时刻晷针的影长，AO的延长线与 O相交于点E，与BC相⊙交于点B，连接AC，OC，⊙BD＝ CD＝30cm，OA⊥AC． ⊙ （1）求∠B的度数； （2）连接CE，求CE的长．【分析】（1）证明OB＝OC，再利用切线的性质证明∠∠B＝∠OCB＝∠ACO，再利用三角形内角和定 理求解； （2）求出AC，AE，利用勾股定理求解． 【解答】解：（1）如图，连接OD． ∵BC 与 O相切于点D， ∴OD⊥B⊙C， ∵BD＝DC， ∴OB＝OC， ∴∠OCB＝∠B． ∵OA⊥AC，OA为半径， ∴CA与 O相切于点A． 而BC与⊙O相切于点D， ∴∠ACB⊙＝2∠BCO， ∵∠B+∠ACB＝90°， ∴3∠B＝90°， ∴∠B＝30°； （2）由（1）知 ，∠OAC＝90°， ∵CA，CD与 O相切， ∴CA＝CD＝3⊙0．∴ ， ∴ ， 在Rt△ACE 中， （cm）． 【点评】本题考查平行投影，切线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意， 8．（2023•盐都区三模）盐城市某初级中学数学小组想探究：大楼影长对相邻大楼的影响．分成了两个实 验小组，在某天下午3时，同时进行了两项实验： 实验一：测量高为1.5m竹竿的影长．通过测量发现影长为1m． 实验二：探究长方体的影子．如图1是该长方体在当天下午3时阳光下投影，图2是图1中长方体的俯 视图． （1）该长方体的高AB＝39cm，宽BE＝22cm． ①此时AB的影长BC为 2 6 cm； ②此时测得CE＝40cm，求tan∠BCD； （2）某小区预规划两栋一样的楼房甲、乙，朝向与“实验二”中长方体一致，俯视图如图3，相关数 据如图所示，若楼高42米，请通过计算说明实验当天下午3时甲楼的影子是否落在乙楼的墙上． 【分析】（1）①根据同一时刻，楼高与楼影长的比等于竹竿长与竹竿的影长的比求解即可；②延长 EB交CD于点H，设BH＝x，在Rt△EHC和Rt△BHC中，利用勾股定理求得BH＝10，HC＝24，进而 即可求解； （2）过点G作GM⊥BE，根据楼高与影长的比求得EG＝28，再利用三角函数即可得解． 【解答】解：（1）①∵AB＝39cm，测量高为1.5m竹竿的影长．通过测量发现影长为1m．AB的影长 是BC， ∴ ，即 ， 解得BC＝26cm， 故答案为：26； ②延长EB交CD于点H， 设BH＝x，则有： 在Rt△EHC中，HC2＝402﹣（22+x）2， 在Rt△BHC中，HC2＝262﹣x2， 则有：402﹣（22+x）2＝262﹣x2， 解得：x＝10，即BH＝10， ∴HC 24， ∴tan∠BCD ． （2）如图所示，过点G作GM⊥BE于点M， 由题意得： ， ∴EG＝28， Rt△EGM中，tan∠EGM＝tan∠BCH ， ∴设EM＝5x，GM＝12x， ∴GE 13x，∴cos∠EGM ，sin∠EGM ， ∴MG＝28 ，EM ． ∵ 24， 15， ∴甲楼的影子落在乙楼的墙上． 【点评】本题主要考查了勾股定理，三角函数与投影，熟练掌握三角函数即勾股定理的内容是解题的关 键． 1．如图是由6个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【解答】解：从上边看，底层右边是三个小正方形，上层左右两侧各一个小正方形． 故选：B． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图． 2．某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成 图 2 ， 已 知 ∠ MAD ＝ 22° ， ∠ FCN ＝ 23° ， 则 ∠ ABC 的 大 小 为 （ ）A．44° B．45° C．46° D．47° 【分析】根据平行线的性质及角的和差即可求得． 【解答】解：∵某一时刻在阳光照射下，AD∥BE∥FC，且∠MAD＝22°，∠FCN＝23°， ∴∠MAD＝∠ABE＝22°，∠EBC＝∠FCN＝23°， ∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝45°． 故选：B． 【点评】本题主要考查平行投影，熟练掌握平行投影的性质是解题的关键． 3．下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ） A． B． C． D． 【分析】利用“在同一时刻同一地点路灯下的影子的方向应不一致”对各选项进行判断． 【解答】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反． 故选：D． 【点评】本题考查中心投影的特点是： ①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影 子长． ②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短， 但不会比物体本身的长度还短． 4．一幢5层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着 灯的窗口是 3 ．（填写相应的数字序号即可）【分析】根据中心投影的定义，画出图形即可． 【解答】解：如图，点O即为所求，投影中心在3号窗口． 故答案为：3． 【点评】本题考查中心投影，解题的关键是正确作出投影中心的位置，属于中考常考题型． 5．如图所示的是三个直立在地面上的艺术字母的投影（阴影部分）效果，在艺术字母“L，K，C”的投影 中，属于同一种投影是 L 、 K ． 【分析】通过判断光线是否平行确定中心投影和平移投影． 【解答】解：根据题意，字母L、K的投影为中心投影，字母C的投影为平行投影． 故答案为L、K． 【点评】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影 子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．也考查了中心投影． 6．图（1）是一张六角凳，其俯视图为正六边形[见图（2）]，则该六边形的每个内角为 12 0 °．【分析】根据多边形的外角和等于360°可得正六边形的每个外角的度数，进而得出该六边形的每个内角 的度数． 【解答】解：该六边形的每个内角为：180° 120°． 故答案为：120． 【点评】本题考查了由三视图判断几何体已经多边形的内角与外角，掌握正多边形的定义是解答本题的 关键． 7．图1是某款自动旋转圆形遮阳伞，伞面完全张开时张角呈 180°，图2是其侧面示意图．已知支架AB长 为2.6米，且垂直于地面BC，悬托架AE＝DE＝0.5米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF是DE的4 倍．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳 光线的角度变化；自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直．某一时刻测得BD＝ 2米．请求出此时遮阳伞影子中GH的长度． 【分析】根据等腰三角形的性质求出AN＝DN＝0.3，再根据勾股定理为EN的长，根据三角形内角和定 理以及平角的定义得出∠ ＝∠NDE，再根据直角三角形的边角关系即可求出GH即可． 【解答】解：如图，过点αG作GM⊥FH于点M，过点E作EN⊥AB于点N， ∵AB＝2.5米，AD＝2米， ∴AD＝2.6﹣2＝0.6（米），∵AE＝DE＝0.5米，EN⊥AB， ∴DN＝AN AD＝0.3米， 在Rt△DEN中，DN＝0.3米，DE＝0.5米， ∴EN 0.4（米）， ∵∠ +∠MGH＝90°，∠MGH+∠BGD＝180°﹣90°＝90°，∠BGD+∠BDG＝90°，∠BDG+∠NDG＝180° ﹣90α°＝90°， ∴∠ ＝∠NDE， α 在Rt△DEN中，sin∠NDE ， 在Rt△HGM中，sin∠ ， ∵GM＝DF＝0.5×4＝2（α 米）， ∴ ， ∴GH＝2.5， 即此时遮阳伞影子中GH的长度为2.5米． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行投影以及直角三角形的边角关系，掌握平行投影的性质，等 腰三角形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 8．（1）画出如图所示几何体从正面、左面、上面看到的平面图形； （2）若再添加n个小正方体，使新得到的几何体从正面和左面看到的平面图形不变，则n的最大值为 6 ．【分析】（1）根据三视图的定义画出图形； （2）为了使新得到的几何体从正面和左面看到的平面图形不变，在底层可以添加6个小正方形． 【解答】解：（1）三视图如图所示： （2）使新得到的几何体从正面和左面看到的平面图形不变，则n的最大值为6． 故答案为：6． 【点评】本题考查作图简单几何体的三视图，解题的关键是理解三视图的定义．尺规作图 关于尺规作图在中考数学中的命题预测，可以从以下几个方面来考虑： 基础尺规作图方法的考查：这是尺规作图的基础，也是中考数学中必考的内容。命题可能会涉及到作 线段、角、垂线、平行线、角平分线、线段的中点等基本的尺规作图方法。考生需要熟练掌握这些基本的 作图方法，并能够根据题目要求准确作图。 与几何图形的结合：尺规作图常常与几何图形相结合，比如三角形、四边形、圆等。命题可能会要求 考生根据给定的几何图形，利用尺规作图的方法，补全图形或解答相关问题。考生需要能够识别几何图形， 并熟练运用尺规作图的方法来解决问题。 特殊图形的尺规作图：比如三角形的外接圆、内切圆等。这类命题可能要求考生利用特定的尺规作图 方法来绘制这些特殊图形，或者通过这些特殊图形来解决相关问题。考生需要掌握这些特殊图形的尺规作 图方法，并能够理解其几何意义。 应用性问题：尺规作图的应用性问题也是中考数学中的一个重要考点。这类命题可能会将尺规作图与 实际问题相结合，比如建筑设计、机械制造等领域中的尺规作图问题。考生需要运用所学的尺规作图知识 来解决这些实际问题，体现知识的应用性和实践性。 总的来说，尺规作图在中考数学中的命题预测会注重考查考生的基础作图能力、对几何图形的理解以 及尺规作图在实际问题中的应用能力。因此，考生在备考时应该注重掌握基本的尺规作图方法，理解几何 图形的性质，并多做一些应用性的练习题来提高自己的解题能力。Ⅰ、线段相关的尺规作图 一、 作一条线段等于已知线段 ①作射线OP； ②在射线OP上截取OA＝a，OA即为所求线段. 二、作已知线段AB的垂直平分线 ①分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点M和点N； ②过点M，N作直线MN，直线MN即为线段AB的垂直平分线. 三、过一点P作已知直线的垂线 （1）点P在直线上 ①以点P为圆心，任意长为半径向点P两侧作弧，分别交直线l于A，B两点； ②分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点M； ③过点M，P作直线MP，则直线MP即为所求垂线. （1）点P在直线外①以点P为圆心，大于P到直线l的距离为半径作弧，分别交直线l于A，B两点； ②分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧交于点N； ③过点P，N作直线PN，则直线PN即为所求垂线. Ⅱ、角有关的尺规作图 一、作一个角等于已知角 ①以∠α的顶点O为圆心，以任意长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q； ②作射线O'A'； ③以O'为圆心，OP长为半径作弧，交O'A'于点M； ④以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交③中所作的弧于点N； ⑤过点N作射线O'B'，∠A'O'B'即为所求作的角. 二、作∠AOB的平分线 ①以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P； ③过点O作射线OP，OP即为∠AOB的平分线. Ⅲ、仅用无刻度直尺作图 无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结 合，熟练掌握相关性质是解题关键. 1．（2023•德州）如图，在∠AOB中，以点O为圆心，5为半径作弧，分别交射线OA，OB于点C，D， 再分别以C，D为圆心，CO的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点E，作射线OE，若OE＝8，则 C，D两点之间的距离为（ ）A．5 B．6 C． D．8 【分析】连接CE，DE，CD，设CD与OE交于点F，由作图可知，OC＝OD＝CE＝DE＝5，即四边形 OCED为菱形，则可得OF＝EF OE＝4，CF 3，则CD＝2CF＝6． 【解答】解：连接CE，DE，CD，设CD与OE交于点F， 由作图可知，OC＝OD＝CE＝DE＝5， ∴四边形OCED为菱形， ∴CD⊥OE，OF＝EF OE＝4，CF＝DF， 由勾股定理得，CF 3， ∴CD＝2CF＝6， 即C，D两点之间的距离为6． 故选：B． 【点评】本题考查作图—基本作图、菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 2．（2023•西宁）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径作 弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说法错误的是（ ）A．直线PQ是AC的垂直平分线 B．CD AB C．DE BC D．S△ADE ：S四边形DBCE ＝1：4 【分析】根据线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理一一判断即可． 【解答】解：由作图可知PQ垂直平分线段AC，故选项A正确， ∴DA＝DC，AE＝EC， ∴∠A＝∠DCA， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°， ∴∠B＝∠DCB， ∴DB＝DC， ∴AD＝DB， ∴CD AB，故选项B正确， ∵AD＝DB，AE＝EC， ∴DE BC，故选项C正确， 据三角形中位线的性质得到DE∥BC， 进而证明△ADE∽△ABC， 根据相似三角形的性质得到面积比S△ADE ：S△ABC ＝1：4； 故选：D． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．（2023•凉山州）如图，在等腰△ABC中，∠A＝40°，分别以点A、点B为圆心，大于 AB为半径画弧， 两弧分别交于点M和点N，连接MN，直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠DBC的度数是（ ） A．20° B．30° C．40° D．50° 【分析】利用基本作图得MN垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到 ∠ABD＝∠A＝40°，则计算出∠ABC＝∠C＝70°，然后计算∠ABC﹣∠ABD即可． 【解答】解：由作法得MN垂直平分AB， ∴DA＝DB， ∴∠ABD＝∠A＝40°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C （180°﹣∠A） （180°﹣40°）＝70°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°． 故选：B． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平 分线的性质和等腰三角形的性质． 4．（2023•遂宁）如图， ABCD中，BD为对角线，分别以点A、B为圆心，以大于 AB的长为半径画弧， ▱ 两弧相交于点M、N，作直线MN交AD于点E，交AB于点F，若AD⊥BD，BD＝4，BC＝8，则AE的 长为 ．【分析】根据平行四边形 性质得到AD＝BC＝8，根据垂直的定义得到∠ADB＝90°，由作图知，MN垂 直平分AB，求得AF AB＝2 ，EF⊥AB，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝8， ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝90°， ∴ 4 ， 由作图知，MN垂直平分AB， ∴AF AB＝2 ，EF⊥AB， ∴∠AFE＝∠ADB＝90°， ∵∠A＝∠A， ∴△AEF∽△ABD， ∴ ， ∴ ， ∴AE＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定 和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 5．（2023•山西）如图，在 ABCD中，∠D＝60°．以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点 ▱E，连接AE．分别以点A，E为圆心，以大于 AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于 点O，交边AD于点F，则 的值为 ． 【分析】证明△ABE是等边三角形，推出BO⊥AE，AO＝OE，可得结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠D＝∠ABC＝60°， ∴∠BAD＝180°﹣60°＝120°， ∵BA＝BE， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠BAE＝60°， ∵BF平分∠ABE， ∴AO＝OE，BO⊥AE， ∵∠OAF＝∠BAD﹣∠BAE＝120°﹣60°＝60°， ∴tan∠OAF ， ∴ ， 故答案为： ． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知 识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6．（2023•天津）如图，在每个小正方形的边长为 1的网格中，等边三角形ABC内接于圆，且顶点A，B 均在格点上． （1）线段AB的长为 ；（2）若点D在圆上，AB与CD相交于点P，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 Q，使 △CPQ为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【分析】（1）利用勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）AB ． 故答案为： ； （2）如图，点Q即为所求； 方法：取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交 于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的 延长线相交于点Q，则点Q即为所求； 理由：可以证明∠PCA＝∠QCB，∠CBQ＝∠CAP＝60°， ∵AC＝CB， ∴△ACP≌△BAQ（ASA）， ∴∠ACP＝∠BCQ，CP＝CQ， ∴∠PCQ＝∠ACB＝60°， ∴△PCQ是等边三角形． 故答案为：取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线 相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等边三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等 知识，解题的关键是学会构造全等三角形解决问题． 7．（2023•绥化）已知：点P是 O外一点． （1）尺规作图：如图，过点⊙P作出 O的两条切线PE，PF，切点分别为点E、点F．（保留作图痕迹， 不要求写作法和证明） ⊙ （2）在（1）的条件下，若点D在 O上（点D不与E，F两点重合），且∠EPF＝30°，求∠EDF的 度数． ⊙ 【分析】（1）连接OP，作OP的垂直平分线得到OP的中点M，再以M点为圆心，MO为半径作圆交 O于点E、F，则根据圆周角定理得到∠OEP＝∠OFP＝90°，从而可判断PE，PF为 O的两条切线； ⊙（2）连接OE、OF，如图，先根据切线的性质得到∠OEP＝∠OFP＝90°，则根据四边⊙形的内角和可计 算出∠EOF＝150°，当点D在优弧EF上时，利用圆周角定理得到∠EDF＝75°，当点D′在弧EF上时， 利用圆内接四边形的性质得到∠ED′F＝105°． 【解答】解：（1）如图，PE、PF为所作； （2）连接OE、OF，如图， ∵PE，PF为 O的两条切线， ∴OE⊥PE，O⊙F⊥PF， ∴∠OEP＝∠OFP＝90°， ∴∠EOF＝180°﹣∠EPF＝180°﹣30°＝150°，当点D在优弧EF上时，∠EDF ∠EOF＝75°， 当点D′在弧EF上时，∠ED′F＝180°﹣∠EDF＝180°﹣75°＝105°， 综上所述，∠EDF的度数为75°或105°． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形 的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和切线的判定与性质． 8．（2023•江西）如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作锐角△ABC，使点C在格点上； （2）在图2中的线段AB上作点Q，使PQ最短． 【分析】（1）根据锐角三角形的定义及网格线的特点作图； （2）根据网格线的特点及垂线段最短作图． 【解答】解：如图： （1）△ABC即为所求（答案不唯一）； （2）点Q即为所求． 【点评】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特征是解题的关键． 9．（2023•无锡）如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点． （1）尺规作图：请在图1中作 O，使得 O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N； ⊙ ⊙ （2）在（1）的条件下，若∠APB＝60°，PM＝3，则所作的 O的劣弧 与PM、PN所围成图形的面 ⊙积是 3 ． π 【分析】（1）先作∠APB的平分线PQ，再过M点作PB的垂线交PQ于点O，接着过O点作ON⊥PA 于N点，然后以O点为圆心，OM为半径作圆，则 O满足条件； （2）先利用切线的性质得到OM⊥PB，ON⊥PN⊙，根据切线长定理得到∠MPO＝∠NPO＝30°，则 ∠MON＝120°，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出OM ，然后根据扇形的面积公式， 利用 O的劣弧 与PM、PN所围成图形的面积＝S四边形PMON ﹣S扇形MON 进行计算． ⊙ 【解答】解：（1）如图， O为所作； ⊙ （2）∵PM和PN为 O的切线， ⊙ ∴OM⊥PB，ON⊥PN，∠MPO＝∠NPO ∠APB＝30°， ∴∠OMP＝∠ONP＝90°， ∴∠MON＝180°﹣∠APB＝120°， 在Rt△POM中，∵∠MPO＝30°， ∴OM PM 3 ，∴ O的劣弧 与PM、PN所围成图形的面积 ⊙ ＝S四边形PMON ﹣S扇形MON ＝2 3 ＝3 ． π 故答案为：3 ． π 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形 的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定与性质、扇形的面积计算． 1．（2023•岱岳区校级模拟）如图，已知 AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上 按以下步骤作图：①以点O为圆心，适▱当长度为半径作弧，分别交边 OA，OB于点D，E；②分别以 点D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点 G，则点G的坐标为（ ） A．（ 1，2） B．（ ，2） C．（3 ，2） D．（ 2，2） 2．（2023•衡水二模）如图，在△ABO中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝3，以点O为圆心，2为半径作 O，与OA交于点P，点Q是 O上一点，连接PQ，根据尺规作图得到点M，连接AM，BM，当P， ⊙Q重合时，点M也与点P重合，⊙有下列两种说法： Ⅰ：MO的最大值为2； Ⅱ：△ABM的面积的最大值为7．下列判断正确的是（ ） A．Ⅰ，Ⅱ都正确 B．Ⅰ，Ⅱ都不正确 C．Ⅰ正确，Ⅱ不正确 D．Ⅰ不正确，Ⅱ正确 3．（2023•冀州区校级模拟）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法， 其步骤是：①在 O上任取一点A，连接AO并延长交 O于点B；②以点B为圆心，BO为半径作圆 弧分别交 O于C⊙，D两点；③连接CO，DO并延长分⊙别交 O于点E，F；④顺次连接BC，CF， FA，AE，⊙ED，DB，得到六边形AFCBDE．连接AD，EF，交于⊙点G，则下列结论错误的是（ ） A．△AOE的内心与外心都是点G B．∠FGA＝∠FOA C．点G是线段EF的三等分点 D．EF AF 4．（2023•天宁区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，以点A为圆心，AC长为半 径作弧，交射线BA于点D，连结CD，则∠BCD的度数是 ． 5．（2024•番禺区一模）如图，在 ABCD中，∠DCB＝30°． （1）操作：用尺规作图法过点▱D作AB边上的高DE；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）计算：在（1）的条件下，若AD＝4，AB＝6，求梯形EBCD的面积．6．（2024•长春模拟）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，小正方 形的顶点称为格点．点A、B都在格点上，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，作出与线段AB平行的线段CD，使点C、D都在格点上； （2）在图②中，以AB为腰作等腰△ABE． （3）在图③中，作出△ABF，使△ABF的面积为3，且点F不在格点上． 1．（2024•天山区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝16，AB＝20，用直尺和圆规作图， BE交AC于点F．根据作图痕迹，下列结论错误的是（ ） A．BC＝BD B．∠CBE＝∠ABE C．AD：AF＝4：5 D．AD：DB＝1：4 2．（2023•陵城区校级一模）如图，已知正方形的顶点 A（2，0），C（0，2），D是AB的中点，以顶点 O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OC，OD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 EF的长 为半径画弧，两弧交于点G，作射线OG交边BC于点H，则点H的坐标为（ ）A．（4 ，2） B．（3 ，2） C．（ ，2） D．（ 1，2） 3．（2020•官渡区二模）如图，在平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，分 别以点B，F为圆心，大于 BF的长为半径画弧，两弧交于点G，连接AG并延长交BC于点E，连接 BF交AE于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH．若BF＝6，AB＝4，则下列结论正确的有（ ） ①四边形ABEF是菱形； ②AE＝10； ③S四边形ABEF ＝6 ； ④AH ； ⑤HO＝5． A．①③④ B．①③⑤ C．②③④⑤ D．①②③④⑤ 4．（2024•滨海新区一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形ABC内接于圆，且顶点 A，B均在格点上，顶点C是圆与网格线的交点．（Ⅰ）线段AB的长为 ； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心 O及 O上的一点 P，使得∠PCB＝ ∠PAC，并简要说明圆心O和点P的位置是如何找到的（不要求证明）⊙ ． 5．（2023•红桥区一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上， O是△ABC的内切圆． ⊙（Ⅰ）线段AC的长等于 ； （Ⅱ） O的半径的长等于 ； ⊙ （Ⅲ）P是 O上的动点，当PB PC取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出 ⊙ 点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 6．（2024•锡山区校级一模）如图，矩形ABCD中，E为AD的中点． （1）在CD边上求作一点F，使得∠CFB＝2∠ABE； （2）在（1）中，若AB＝9，BC＝6，求BF的长． 7．（2024•常州模拟）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，∠BCD＝120°，AD＝DC． （1）连接AC，则∠BAC＝ °； （2）若P为四边形ABCD边上的一点，满足∠BPC＝30°．请用无刻度的直尺和圆规作出所有的点 P （不写作法，保留作图痕迹）； （3）在（2）的条件下，若BC＝2，则CP的长为 ．8．（2024•朝阳区校级一模）如图，AB是 O的直径，C是 O上一点，连接AC，BC． （1）使用直尺和圆规，在图中过点A作⊙ O的切线AP，补⊙全图形（点P在AB上方，保留作图痕迹）； ⊙ （2）点D是弧BC的中点，连接DO并延长，分别交BC，PA于点E，F，若BC＝8，cos∠PAC ，求 线段DF的长． 1．如图，在 ABCD中，AB＝2，BC＝3，以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点M，交CD于点 ▱ N，再分别以点M，点N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧相交于点 F，射线CF交BA的延长 线于点E，则AE的长是（ ） A．1 B． C．2 D．2．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长 为半径画弧交AD于F，若BF＝AB＝10，则AE的长为（ ） A．10 B． C． D． 3．如图，∠MON＝60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B；分别以点A， B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，画射线OP；连接AB，AP， BP，过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则以下结论错误的是（ ） A．△AOB是等边三角形 B．PE＝PF C．△PAE≌△PBF D．S△AOB ＝S△APB 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧 交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点 H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为 ． 5．如图，∠MON＝33°，点P在∠MON的边ON上，以点P为圆心，PO为半径画弧，交OM于点A，连接AP，则∠APN＝ ． 6．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．通过观察尺规作图的痕迹，可以求得∠DAE＝ 度． 7．如图，△ABC是 O的内接三角形，∠ABC＝45°，请用无刻度的直尺按要求作图． （1）如图1，请在⊙图1中画出弦CD，使得CD＝AC． （2）如图2，AB是 O的直径，AN是 O的切线，点B，C，N在同一条直线上，请在图中画出 △ABN的边AN上的中⊙线BD． ⊙ 8．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均落在格点上，以AB为直径的半 圆的圆心为O，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图： （1）请在图1中作出△ABC的AC边上的高BD； （2）请在图2中线段BC上确定一点F，使得OF∥AC； （3）请在图3中作出 O的切线AE． ⊙9．如图在网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，A、B、C、D、M、N、K均为 格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并回答问题． 【操作】在图1中， ①过点D画AC的平行线DE（E为格点）； ②过点B画AC的垂线BF，交AC于点F，交DE于点G，连接AG． 【发现】在图1中，BF与FG的数量关系是 ；AG的长度是 ． 【应用】在图2中，点P是边MK上一点，在MN上找出点H，使PH⊥MN． 1．（2023•岱岳区校级模拟）如图，已知 AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上 按以下步骤作图：①以点O为圆心，适▱当长度为半径作弧，分别交边 OA，OB于点D，E；②分别以 点D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点 G，则点G的坐标为（ ） A．（ 1，2） B．（ ，2） C．（3 ，2） D．（ 2，2） 【分析】依据勾股定理即可得到 Rt△AOH中，AO ，依据∠AGO＝∠AOG，即可得到AG＝AO，进而得出HG 1，可得G（ 1，2）． 【解答】解：∵ AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2）， ∴AH＝1，HO＝▱2， ∴Rt△AOH中，AO ， 由题可得，OF平分∠AOB， ∴∠AOG＝∠EOG， 又∵AG∥OE， ∴∠AGO＝∠EOG， ∴∠AGO＝∠AOG， ∴AG＝AO ， ∴HG 1， ∴G（ 1，2）， 故选：A． 【点评】本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图 形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法 和规律． 2．（2023•衡水二模）如图，在△ABO中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝3，以点O为圆心，2为半径作 O，与OA交于点P，点Q是 O上一点，连接PQ，根据尺规作图得到点M，连接AM，BM，当P， ⊙Q重合时，点M也与点P重合，⊙有下列两种说法： Ⅰ：MO的最大值为2； Ⅱ：△ABM的面积的最大值为7． 下列判断正确的是（ ）A．Ⅰ，Ⅱ都正确 B．Ⅰ，Ⅱ都不正确 C．Ⅰ正确，Ⅱ不正确 D．Ⅰ不正确，Ⅱ正确 【分析】取OP的中点I，连接IM，过点I作IH⊥AB于点H，判断出点M的运动轨迹，可得结论． 【解答】解：取OP的中点I，连接IM，过点I作IH⊥AB于点H. ∵∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4， ∴AB 5， 由作图可知OM⊥PQ， ∴∠OMP＝90°， ∴点M的运动轨迹是以I为圆心，1为半径的圆， ∴当点M与P重合时，OM的值最大，最大值为2，故（Ⅰ）正确． ∵∠A＝∠A，∠IHA＝∠AOB＝90°， ∴△AIH∽△ABO， ∴ ， ∴ ， ∴IH ， 当点M运动到HI的延长线上时，△ABM的面积最大，最大值 5×（1 ）＝7，故（Ⅱ）正确． 故选：A．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，轨迹等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．（2023•冀州区校级模拟）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法， 其步骤是：①在 O上任取一点A，连接AO并延长交 O于点B；②以点B为圆心，BO为半径作圆 弧分别交 O于C⊙，D两点；③连接CO，DO并延长分⊙别交 O于点E，F；④顺次连接BC，CF， FA，AE，⊙ED，DB，得到六边形AFCBDE．连接AD，EF，交于⊙点G，则下列结论错误的是（ ） A．△AOE的内心与外心都是点G B．∠FGA＝∠FOA C．点G是线段EF的三等分点 D．EF AF 【分析】A、正确．证明△AOE是等边三角形，EF⊥OA，AD⊥OE，可得结论． B、正确．证明∠AGF＝∠AOF＝60°，可得结论． C、正确．证明FG＝2GE，可得结论． D、错误．证明EF AF，可得结论． 【解答】解：在正六边形AEDBCF中，∠AOF＝∠AOE＝∠EOD＝60°， ∵OF＝OA＝OE＝OD， ∴△AOF，△AOE，△EOD都是等边三角形， ∴AF＝AE＝OE＝OF，OA＝AE＝ED＝OD， ∴四边形AEOF，四边形AODE都是菱形， ∴AD⊥OE，EF⊥OA， ∴△AOE的内心与外心都是点G，故A正确，∵∠EAF＝120°，∠EAD＝30°， ∴∠FAD＝90°， ∵∠AFE＝30°， ∴∠AGF＝∠AOF＝60°，故B正确， ∵∠GAE＝∠GEA＝30°， ∴GA＝GE， ∵FG＝2AG， ∴FG＝2GE， ∴点G是线段EF的三等分点，故C正确， ∵AF＝AE，∠FAE＝120°， ∴EF AF，故D错误， 故选：D． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形的内心，外 心等知识，解题的关键是证明四边形AEOF，四边形AODE都是菱形，属于中考常考题型． 4．（2023•天宁区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，以点A为圆心，AC长为半 径作弧，交射线BA于点D，连结CD，则∠BCD的度数是 10 ° 或 100 ° ． 【分析】分两种情况画图，由作图可知得AC＝AD，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即 可． 【解答】解：如图，点D即为所求；在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°， ∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°， 由作图可知：AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC （180°﹣80°）＝50°， ∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣50°＝10°； 由作图可知：AC＝AD′， ∴∠ACD′＝∠AD′C， ∵∠ACD′+∠AD′C＝∠BAC＝80°， ∴∠AD′C＝40°， ∴∠BCD′＝180°﹣∠ABC﹣∠AD′C＝180°﹣40°﹣40°＝100°． 综上所述：∠BCD的度数是10°或100°． 故答案为：10°或100°． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键 是掌握基本作图方法． 5．（2024•番禺区一模）如图，在 ABCD中，∠DCB＝30°． （1）操作：用尺规作图法过点▱D作AB边上的高DE；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）计算：在（1）的条件下，若AD＝4，AB＝6，求梯形EBCD的面积． 【分析】（1）根据三角形的高的定义以及垂线的作图方法作图即可． （2）由平行四边形的性质可得AB＝CD＝6，∠A＝∠DCB＝30°，在Rt△ADE中，可得DE2，AE＝AD•cos30° ，则BE＝6 ，利用梯形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）如图，DE即为所求． （2）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD＝6，∠A＝∠DCB＝30°． 在Rt△ADE中，∠A＝30°， ∴DE 2，AE＝AD•cos30° ， ∴BE＝6 ， ∴梯形EBCD的面积为 ． 【点评】本题考查作图—复杂作图、平行四边形的性质、梯形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学 知识解决问题． 6．（2024•长春模拟）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，小正方 形的顶点称为格点．点A、B都在格点上，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，作出与线段AB平行的线段CD，使点C、D都在格点上； （2）在图②中，以AB为腰作等腰△ABE． （3）在图③中，作出△ABF，使△ABF的面积为3，且点F不在格点上． 【分析】（1）利用平移变换的性质作出图形（答案不唯一）； （2）根据等腰三角形的定义画出图形； （3）取 P，Q，连接PQ在PQ上取一点F，连接AF，BF，△ABF即为所求．【解答】解：（1）如图①中，线段CD即为所求（答案不唯一）； （2）如图②中，△ABE即为所求； （3）如图③中，△ABF即为所求． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行线的判定和性质，三角形的面积，等腰三角形的判定和 性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 1．（2024•天山区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝16，AB＝20，用直尺和圆规作图， BE交AC于点F．根据作图痕迹，下列结论错误的是（ ） A．BC＝BD B．∠CBE＝∠ABE C．AD：AF＝4：5 D．AD：DB＝1：4 【分析】由作图知，BE平分∠ABC，求得BC＝BD，∠CBE＝∠ABE，故A，B不符合题意；连接DF， 根据全等三角形 的判定和性质定理得到 DF＝CF，∠BDF＝∠BCF＝90°，根据勾股定理得到 AC 12，求得AD＝AB﹣BD＝4，得到AD：BD＝4：16＝1：4，故D不符合题意；根据勾 股定理得到AF ，求得AD：AF＝3：5，故C符合题意． 【解答】解：由作图知，BE平分∠ABC， ∴BC＝BD，∠CBE＝∠ABE，故A，B不符合题意；连接DF， ∵BF＝BF， ∴△CBF≌△DBF（SAS）， ∴DF＝CF，∠BDF＝∠BCF＝90°， ∵BC＝16，AB＝20， ∴AC 12，AD＝AB﹣BD＝4， ∴AD：BD＝4：16＝1：4，故D不符合题意； ∵AF2＝AD2+DF2， ∴AF2＝42+（12﹣AF）， ∴AF ， ∴AD：AF＝3：5，故C符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，直角三角形30°角的性质，直角三角形斜边中线的性质，等边三角 形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握直角三角形30°角的性质，属于中考常考题型． 2．（2023•陵城区校级一模）如图，已知正方形的顶点 A（2，0），C（0，2），D是AB的中点，以顶点 O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OC，OD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 EF的长 为半径画弧，两弧交于点G，作射线OG交边BC于点H，则点H的坐标为（ ）A．（4 ，2） B．（3 ，2） C．（ ，2） D．（ 1，2） 【分析】延长AB交射线OG于点I，由勾股定理可得OD，由∠DOI＝∠DIO可得DI，进而可得IB，由 △COH∽△BIH，可得 ，再解关于CH的分式方程便可解答． 【解答】解：如图，延长AB交射线OG于点I， ∵正方形的顶点A（2，0），C（0，2）， ∴AO＝OC＝AB＝BC＝2，∠A＝90°，AB∥OC， ∵D是AB的中点， ∴AD＝BD＝1， 在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD ， 由题意可得：AG平分∠COD， ∴∠COG＝∠IOD， ∵AB∥OC， ∴∠COG＝∠DIO， ∴∠DIO＝∠IOD，∴DI＝DO ， ∴BI 1， ∵AB∥OC， ∴△COH∽△BIH， ∴ ， ∴ ， 解得CH 1． 经检验CH 1是原分式方程的解，且符合题意， ∴H（ 1，2）． 故选：D． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，坐标与图形性质，正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理， 等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识；根据相似三角形的性质列方程是解题关键． 3．（2020•官渡区二模）如图，在平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，分 别以点B，F为圆心，大于 BF的长为半径画弧，两弧交于点G，连接AG并延长交BC于点E，连接 BF交AE于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH．若BF＝6，AB＝4，则下列结论正确的有（ ） ①四边形ABEF是菱形； ②AE＝10； ③S四边形ABEF ＝6 ； ④AH ； ⑤HO＝5．A．①③④ B．①③⑤ C．②③④⑤ D．①②③④⑤ 【分析】①由尺规作图的过程可知，直线AE是线段BF的垂直平分线，∠FAE＝∠BAE，再根据平行四 边形的性质证明BA＝BE＝AF＝FE，进而可得四边形ABEF是菱形； ②根据四边形ABEF是菱形，对角线互相垂直平分，利用勾股定理即可得AE的长，进而可以判断； ③根据四边形ABEF是菱形，即可求出菱形的面积，进而可以判断； ④根据等面积法即可求出AH的长，进而可以判断； ⑤根据菱形的性质可得HO是斜边AE的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可判断． 【解答】解：①由尺规作图的过程可知，直线AE是线段BF的垂直平分线，∠FAE＝∠BAE， ∴AF＝AB，EF＝EB， ∵AD∥BC， ∴∠FAE＝∠AEB， ∴∠AEB＝∠BAE， ∴BA＝BE， ∴BA＝BE＝AF＝FE， ∴四边形ABEF是菱形，故①正确； ②∵四边形ABEF是菱形， ∴BO⊥AO，OB＝OF BF＝3，AB＝4， ∴AO ， ∴AE＝2AO＝2 ，故②错误； ③∵四边形ABEF是菱形， ∴S菱形ABEF AE•BF 2 6＝6 ，故③正确；④∵四边形ABEF是菱形， ∴BE＝AB＝4， ∵S△ABE BE•AH AE•BO， ∴AH ，故④正确； ⑤∵四边形ABEF是菱形， ∴O是AE的中点， ∴在Rt△AHE中，HO是斜边AE的中线， ∴HO AE ，故⑤错误． 故正确的有①③④， 故选：A． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，解 决本题的关键是综合运用以上知识． 4．（2024•滨海新区一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形ABC内接于圆，且顶点 A，B均在格点上，顶点C是圆与网格线的交点． （Ⅰ）线段AB的长为 ； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心 O及 O上的一点 P，使得∠PCB＝ ∠PAC，并简要说明圆心O和点P的位置是如何找到的（不要求证明）⊙ 取圆与网格线的交点 D ， E ， F ， G ，连接 DE ， FG ， DE 与 FG 交于点 O ，点 O 即为所求圆心；取格点 M ， N ， S ， T ，连接 MN ， ST ， 与网格线分别相交于点 J ， K ，连接 JK 并延长与 BC 相交于点 H ，连接 OH 并延长与 O 相交于点 P ，即 为所求 ． ⊙ 【分析】（1）由勾股定理即可求得线段AB的长；（2）根据同圆中，直角所对的弦是直径即可得出圆心；根据中位线的性质得出H是BC的中点；根据 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧可得 PC＝PB，根据圆周角即可得出∠PCB＝ ∠PAC． 【解答】解：（1）由勾股定理可得： ， 故答案为： ； （2）取圆与网格线的交点D，E，F，G，连接DE，FG，DE与FG交于点O，点O即为所求圆心；取 格点M，N，S，T，连接MN，ST，与网格线分别相交于点J，K，连接JK并延长与BC相交于点H，连 接OH并延长与 O相交于点P，即为所求． 如图： ⊙ 根据点A与点B在格点上，借助格点确定圆与网格线的交点D，E，F，G，使得∠EAD＝∠FBG＝ 90°， ∴DE，FG均为圆上的直线， ∴DE与FG交点O即为所求圆心； 取格点M，N，S，T，连接MN，ST，与网格线分别相交于点J，K，连接JK，可得JK∥BF；连接JK 并延长与BC相交于点H， ∴H是BC的中点； 连接OH并延长与 O相交于点P， ∴OH垂直平分BC⊙， ∵ ， ∴∠PCB＝∠PAC． 【点评】本题考查了复杂作图，勾股定理与网格问题，圆周角定理，垂径定理，三角形中位线的应用等， 解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． 5．（2023•红桥区一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上， O是△ABC的内切圆． ⊙（Ⅰ）线段AC的长等于 5 ； （Ⅱ） O的半径的长等于 ； ⊙ （Ⅲ）P是 O上的动点，当PB PC取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出 ⊙ 点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 连接 OP ， OC ，延长 OC 交 AB 于点 H ， 在 OC 上取一点 K 使得 OK ，连接 BK 交 O 于点 P ． ⊙ 【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解； （Ⅱ）利用面积法求解； （Ⅲ）连接OP，OC，延长OC交AB于点H，在OC上取一点K使得OK ，连接BK．构造相似三 角形把问题转化为两点之间线段最短． 【解答】解：（Ⅰ）线段AC的长等于 5， 故答案为：5； （Ⅱ）设 O的半径的长为x， ⊙ 则 （5+5+8）x 8×3， 解得：x ， 故答案为： ；（Ⅲ）连接OP，OC，延长OC交AB于点H，在OC上取一点K使得OK ，连接BK交 O于点 ⊙ P． 由题意AC＝BC＝5，AB＝8，CH＝3， ∴OC＝3 ， ∴OP2＝OK•OC， ∴ ， ∵∠POK＝∠POC， ∴△POK∽△COP， ∴ ， ∴PK PC， ∴PB PC＝PB+PK≥BK， 当当点P在线段B K上时，PB PC的值最小． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理，三角形的内切圆与内心等知识，解题的关键是学会添加 常用辅助线吗，构造相似三角形解决问题． 6．（2024•锡山区校级一模）如图，矩形ABCD中，E为AD的中点． （1）在CD边上求作一点F，使得∠CFB＝2∠ABE； （2）在（1）中，若AB＝9，BC＝6，求BF的长．【分析】（1）过点E作EF⊥BE交CD于点F即可； （2）根据矩形的性质和勾股定理可得EF2+BE2＝BF2，结合（1）得（32+DF2）+（32+62）＝（9﹣DF） 2+62，解得DF＝1，再根据勾股定理即可求出BF的长． 【解答】解：（1）如图，过点E作EF⊥BE交CD于点F，点F即为所求； 延长BE和CD交于点M， ∴∵四边形ABCD是矩形， ∴CD∥AB， ∴∠M＝∠ABE，∠CFB＝∠ABF， ∵E为AD的中点． ∴DE＝AE， 在△DEM和△AEB中， ， ∴△DEM≌△AEB（AAS）， ∴EM＝EB， ∵EF⊥BE， ∴FE是线段MB的垂直平分线， ∴FM＝FB， ∴∠M＝∠FBM， ∵∠CFB＝∠M+∠FBM，∠ABF＝∠ABE+∠FBM， ∴∠CFB＝2∠ABE； （2）∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝9，AD＝BC＝6， ∴DE＝AE＝3， ∵EF2+BE2＝BF2， ∴（32+DF2）+（32+92）＝（9﹣DF）2+62， 解得DF＝1， ∴CF＝CD﹣DF＝9﹣1＝8， ∴BF 10． BF的长． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，矩形的性质，解决本题的关键是根据矩形的性质找到点F． 7．（2024•常州模拟）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，∠BCD＝120°，AD＝DC． （1）连接AC，则∠BAC＝ 3 0 °； （2）若P为四边形ABCD边上的一点，满足∠BPC＝30°．请用无刻度的直尺和圆规作出所有的点 P （不写作法，保留作图痕迹）； （3）在（2）的条件下，若BC＝2，则CP的长为 2 或 2 或 4 ． 【分析】（1）连接AC，首先证明△ACD是等边三角形，进而可以解决问题； （2）作AC的垂直平分线，垂足为O，以O为圆心，AO为半径画圆交CD，AD于点P ，P ，P 与A重 1 2 3 合； （3）结合（2）分三种情形讨论即可解决问题． 【解答】解：（1）如图，连接AC， ∵BC∥AD，∠DCB＝120°， ∴∠D+∠DCB＝180°， ∴∠D＝60°，∵DC＝DA， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠DAC＝60°， ∵AB⊥BC， ∴∠CBA＝∠BAD＝90°， ∴∠BAC＝30°， 故答案为：30； （2）如图所示，作AC的垂直平分线，垂足为O，以O为圆心，AO为半径画圆交CD，AD于点P ， 1 P ，P 与A重合， 2 3 点P ，P ，P 即为所求； 1 2 3 （3）当P 与A重合时，∠BP C＝30°，此时CP ＝2BC＝4， 3 3 3 连接CP ， 2 ∵AC为直径， ∴CP ⊥AD， 2 ∴四边形BCP A是矩形， 2 ∴CP ＝AB＝2 ， 2 当CB＝CP 时，∠CP B＝∠CBP ＝30°，此时CP ＝2， 1 1 1 1 综上所述，CP的长为2或2 或4． 故答案为：2或2 或4． 【点评】本题考查等边三角形的判定、矩形的判定、30度的直角三角形的性质、勾股定理等知识，解 题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 8．（2024•朝阳区校级一模）如图，AB是 O的直径，C是 O上一点，连接AC，BC． （1）使用直尺和圆规，在图中过点A作⊙ O的切线AP，补⊙全图形（点P在AB上方，保留作图痕迹）； ⊙（2）点D是弧BC的中点，连接DO并延长，分别交BC，PA于点E，F，若BC＝8，cos∠PAC ，求 线段DF的长． 【分析】（1）作∠PAC＝∠ABC，得 O的切线AP； （2）由（1）知∠PAC＝∠ABC，∠A⊙CB＝90°，根据三角函数的定义得到AB＝10，根据垂径定理得到 OD⊥BC，BE＝4，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）如图，作∠PAC＝∠ABC，得 O的切线AP； （2）由（1）知∠PAC＝∠ABC，∠ACB＝90°，⊙ ∵cos∠PAC ， ∴cos∠ABC ， ∴AB＝10， ∵点D是弧BC中点， ∴ ， ∴OD⊥BC，BE BC 8＝4， ∵PA⊥AB，OD⊥BC， ∴∠FAO＝∠OEB＝90°， ∵∠AOF＝∠BOE， ∴△AOF∽△EOB， ∴ ，∵OE 3， ∴ ， ∴OF ， ∴DF 5 ． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，垂径定理，圆周 角定理，三角函数的定义，熟练掌握切线的判定和性质定理是解题的关键． 1．如图，在 ABCD中，AB＝2，BC＝3，以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点M，交CD于点 ▱ N，再分别以点M，点N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧相交于点 F，射线CF交BA的延长 线于点E，则AE的长是（ ）A．1 B． C．2 D． 【分析】先利用基本作图得到CE平分∠BCD，则∠BCE＝∠DCE，再根据平行四边形的性质和平行线 的性质得到∠E＝∠DCE，则∠E＝∠BCE，所以BE＝BC＝3，从而可求出AE的长． 【解答】解：由作法得CE平分∠BCD， ∴∠BCE＝∠DCE， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠E＝∠DCE， ∴∠E＝∠BCE， ∴BE＝BC＝3， 而BE＝BA+AE＝2+AE， 即2+AE＝3， ∴AE＝1． 故选：A． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的 性质和平行四边形的性质． 2．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长 为半径画弧交AD于F，若BF＝AB＝10，则AE的长为（ ） A．10 B． C． D． 【分析】设AE交BF于点O，证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出OA即可解决问题． 【解答】解：设AE交BF于点O，连接EF，如图所示： 由题意可知：AB＝AF，AE⊥BF， ∴OB＝OF，∠BAE＝∠EAF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC∴∠EAF＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE＝AF， ∵AF∥BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AB＝AF， ∴四边形ABEF是菱形， ∴OA＝OE，OB＝OF BF＝5， 在Rt△AOB中，OA 5 ， ∴AE＝2OA＝10 ． 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是判定四边 形ABEF是菱形． 3．如图，∠MON＝60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B；分别以点A， B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，画射线OP；连接AB，AP， BP，过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则以下结论错误的是（ ）A．△AOB是等边三角形 B．PE＝PF C．△PAE≌△PBF D．S△AOB ＝S△APB 【分析】利用等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，和菱形的判定定理对每 个选项进行逐一判断即可得出结论． 【解答】解：∵以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B， ∴OA＝OB， ∵∠MON＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴A的结论正确，不符合题意； ∵分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P， ∴PA＝PB， 在△OPA和△OPB中， ， ∴△OPA≌△OPB（SSS）， ∴∠POA＝∠POB． ∵PE⊥OM，PF⊥ON， ∴PE＝PF． ∴B的结论正确，不符合题意； ∵PE⊥OM，PF⊥ON， ∴∠PEA＝∠PFB＝90°． 在Rt△PAE和Rt△PBF中， ， ∴Rt△PAE≌Rt△PBF（HL）． ∴C的结论正确，不符合题意； 由作图过程可知：OB与PB不一定相等， ∴四边形OAPB不一定是菱形，∴S△AOB 不一定等于S△APB ． ∴D的结论错误，符合题意， 故选：D． 【点评】本题主要考查了等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，基本作图和 菱形的判定定理，利用基本作图的过程得出线段相等的条件是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧 交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点 H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为 6 ． 【分析】直接利用基本作图方法得出DE垂直平分AB，AF＝AH，再利用等腰三角形的性质、线段垂直 平分线的性质得出AF+FC＝BF+FC＝AH+CH＝BC，即可得出答案． 【解答】解：由基本作图方法得出：DE垂直平分AB， 则AF＝BF， 可得AF＝AH，AC⊥FH， ∴FC＝CH， ∴AF+FC＝BF+FC＝AH+CH＝BC＝3， ∴△AFH的周长为：AF+FC+CH+AH＝2BC＝6． 故答案为：6． 【点评】此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确得出 AF+FC＝BF+FC＝AH+CH＝BC是解题关键． 5．如图，∠MON＝33°，点P在∠MON的边ON上，以点P为圆心，PO为半径画弧，交OM于点A，连 接AP，则∠APN＝ 66 ° ．【分析】由作图可知，PO＝PA，根据等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质解决问题即可． 【解答】解：由作图可知，PO＝PA， ∴∠PAO＝∠O＝33°， ∴∠APN＝∠O+∠PAO＝66°， 故答案为：66°． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理 解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．通过观察尺规作图的痕迹，可以求得∠DAE＝ 2 5 度． 【分析】利用基本作图得到DF垂直平分AB，AE平分∠DAC，则DB＝DA，∠DAE ∠DAC，所以 ∠DAB＝∠B＝40°，再利用三角形内角和计算出∠BAC＝90°，则∠DAC＝50°，从而得到∠DAE＝25°． 【解答】解：由作图痕迹得DF垂直平分AB，AE平分∠DAC， ∴DB＝DA，∠DAE ∠DAC， ∴∠DAB＝∠B＝40°， ∵∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣40°﹣50°＝90°， ∵∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝90°﹣40°＝50°， ∴∠DAE 50°＝25°． 故答案为：25． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的 性质和线段垂直平分线的性质． 7．如图，△ABC是 O的内接三角形，∠ABC＝45°，请用无刻度的直尺按要求作图． （1）如图1，请在⊙图1中画出弦CD，使得CD＝AC． （2）如图2，AB是 O的直径，AN是 O的切线，点B，C，N在同一条直线上，请在图中画出 ⊙ ⊙△ABN的边AN上的中线BD． 【分析】（1）利用直尺即可作图； （2）复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法． 【解答】 （1）如图1：连接AO并延长交圆于点D，连接CD，则CD＝AC．CD即为所求作的图形． （2）如图：连接AC、ON交于点P，连接BP交AN于点D，则BD就是边AN上的中线．BD即为所求 作的图形． 【点评】本题考查了复杂作图、线段的垂直平分线，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质， 再逐步操作． 8．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均落在格点上，以AB为直径的半 圆的圆心为O，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图： （1）请在图1中作出△ABC的AC边上的高BD； （2）请在图2中线段BC上确定一点F，使得OF∥AC； （3）请在图3中作出 O的切线AE． ⊙ 【分析】（1）延长AC交 O于点D，连接BD即可； （2）利用三角形的三条中⊙线交于一点解决问题即可；（3）取格点E，连接AE即可． 【解答】解：（1）如图1中，线段BD即为所求； （2）如图2中，线段OF即为所求； （3）如图3中，直线AE即为所求． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意， 灵活运用所学知识解决问题． 9．如图在网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，A、B、C、D、M、N、K均为 格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并回答问题． 【操作】在图1中， ①过点D画AC的平行线DE（E为格点）； ②过点B画AC的垂线BF，交AC于点F，交DE于点G，连接AG． 【发现】在图1中，BF与FG的数量关系是 BF ＝ GF ；AG的长度是 ． 【应用】在图2中，点P是边MK上一点，在MN上找出点H，使PH⊥MN． 【分析】（1）【操作】根据题意作图即可； （2）【发现】BC＝CD＝3结合AC∥DE可得BF＝GF．由 可求得BF＝GF，CF的长， 再在Rt△AFG中利用勾股定理计算AG的长度即可； （3）【应用】利用等腰三角形的对称性及三线合一作图即可． 【解答】解：（1）【操作】如图所示，DF，BF，AG即为所求． （2）【发现】∵BC＝CD＝3，AC∥DE， ∴ ， ∴BF＝GF， ∴AC所在直线是线段BG的垂直平分线， ∴AG＝AB， ∵AB ， ∴AG ． 故答案为：BF＝GF， ． （3）【应用】 如图所示，点H即为所求． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是理解题意，学会利 用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．中考模拟卷 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．第19届亚运会在浙江杭州举行，下列与杭州亚运会相关的图案中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．若3×32m×33m＝311，则m的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（ ） A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1 4．阅读材料：已知|4﹣1|表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|4+1|可以看作|4﹣（﹣1）|， 表示4与﹣1两数在数轴上所对应的两点间的距离．若|x+1|＝3，则符合条件的整数x的值为（ ） A．﹣4 B．2 C．﹣4或2 D．不存在 5．一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为 ．现要在楼梯上铺一条 地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度3米，则地毯的面积至少需要（ ） θ A． 米2 B．（4+4tan ）米2 θ C． 米2 D．3（4+4tan ）米2 θ6．下列命题是假命题的是（ ） A．直线y＝x+4与y轴交于点（0，4） B．在一次函数y＝﹣2x+3中，y随着x的增大而增大 C．矩形的对角线相等 D．若 0，则x+y＝﹣1 7．王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的 （ ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是 8．如图，已知∠AOB＝60°，以点O为圆心，与角的两边分别交于C，D两点，D为圆心，大于 ，两 条圆弧交于∠AOB内一点P，连结OP，过点P作直线PE∥OA交OB于点E，过点P作直线PF∥OB交 OA于点F，OP＝6cm，则四边形PFOE的面积是（ ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5 ，点P在线段BC上运动（含B、C两点），将点P为绕点A 逆时针旋转60°到点Q，连接DQ，则线段DQ的最小值为（ ）A． B．5 C． D．3 10．如图1，质量为m的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状 态下，弹簧的初始长度为10cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力， 弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度△l（cm）之间 的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（ ） A．小球从刚接触弹簧就开始减速 B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为2cm D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为4cm 二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分） 11．若分式 无意义，则 ． 12． 的整数部分是 ． 13．一次函数y＝kx+b（k，b为常数且k≠0）的图象如图所示，且经过点（﹣2，0），则关于x的不等式 kx+b＞0的解集为 ． 14．如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠D＝ 度． ▱15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，AE与BD相交于点P，则线段AP＝ ． 16．正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，已知正方形BEFG 的边长为3，则△DEK的面积为 ． 三．解答题（共10小题，满分88分） 17．（8分）计算： （ ）﹣1﹣4sin45°﹣（ ）0． π 18．（8分）解不等式组： ，并写出它的所有正整数解． 19．（8分）如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长 线于点F． （1）求证：AD＝CF； （2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形， 证明你的结论．20．（8分）不透明的袋子里装有2个标有数字﹣1的小球，1个标有数字0的小球和若干个标有数字2的 小球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，是标有数字﹣1的概率为 ． （1）袋子里标有数字2的小球有 个； （2）丽丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点 M的横坐标，再将此球放 回、摇匀，然后由静静再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标， 请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，并求出点M落在坐标轴上的概率． 21．（8分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之 气．”某校为了解学生在停课不停学中的阅读情况（七、八年级学生人数相同），某周从七、八年级学 生中分别随机抽查了40名同学，调查了他们周一至周五的阅读情况，根据调查情况得到如下统计图表： 年级 参加阅读人数 周一 周二 周三 周四 周五 七年级 25 30 35 40 30 八年级 20 31 29 35 45 合计 45 61 64 75 75 （1）根据上述统计图表，八年级周一至周五平均阅读时间的中位数为 分钟； （2）若七年级参加阅读人数的方差为 ，八年级参加阅读人数的方差为 ，则 （填 “＞”，“＜”或“＝”）． （3）请你结合周一至周五阅读人数统计表，估计该校七、八年级共1200名学生中，周一至周五平均每 天有多少人进行阅读？22．（8分）如图，点A（a，2）在反比例函数 的图象上，AB∥x轴，且交y轴于点C，交反比例函 数 的图象于点B，已知AC＝2BC． （1）求反比例函数 的解析式； （2）点D为反比例函数 图象上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD中点时，求△OAD的 面积． 23．（8分）甲、乙两地间的直线公路长为600千米，一辆轿车与一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以 各自的速度相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶， 1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不 计）最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离 y（千米）与轿车所用的时间x（小时）的 关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）货车的速度是 千米/时，t的值是 ，轿车的速度是 千米/时； （2）求轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数表达式； （3）求货车出发多长时间两车相距120千米．24．（10分）如图，已知线段AB＝8，点D为线段AB上的任意一点（点D不与A，B重合），过点D作 DC⊥AB，且CD＝4，过A，C，D三点作 O交BC于点P，连接AP交CD于点E． （1）若AP平分∠BAC． ⊙ ①求∠ACD的度数： ②求CE的长： （2）作直径垂直AB交AB于M，AP于点N．记AM＝x，MN＝y，求y与x之间的函数关系式，并说明 当MN的长度最大时，直线BC与 O相切． ⊙ 25．（10分）如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE． （1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是 ； 位置关系是 ； （2）[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与 BE的数量关系与位置关系，并说明理由；（3）[应用]：在（2）情况下，连接GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB ，AE＝1，求线段 DG的长． 26．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C， 动直线l：y＝kx+3a经过点B，交y轴于点D，与抛物线另一交点为E． （1）若点C的坐标为（0，﹣3），求抛物线的解析式； （2）如图1，点P为x轴上一动点（不与点B重合），连接BC，PE，PC，求 的值； （3）如图2，连接AD，BC，M，N分别是AD，BC的中点，MN交x轴于点F，则当a为何值时， △AMF与△BFN相似？中考临考押题模拟卷（通用） 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．第19届亚运会在浙江杭州举行，下列与杭州亚运会相关的图案中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念判断即可． 【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这 个图形叫做轴对称图形． 2．若3×32m×33m＝311，则m的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加可得 1+2m+3m＝11，再解即 可． 【解答】解：∵3×32m×33m＝311， ∴31+2m+3m＝311， ∴1+2m+3m＝11， m＝2， 故选：A． 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法，关键是掌握同底数幂的乘法法则． 3．关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（ ） A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1 【分析】由一元二次方程根的判别式，解出即可． 【解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，∴（﹣2）2﹣4×1×a＝0， 解得，a＝1； 故选：C． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根． 4．阅读材料：已知|4﹣1|表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|4+1|可以看作|4﹣（﹣1）|， 表示4与﹣1两数在数轴上所对应的两点间的距离．若|x+1|＝3，则符合条件的整数x的值为（ ） A．﹣4 B．2 C．﹣4或2 D．不存在 【分析】根据数轴上两点之间距离的含义解答即可． 【解答】解：根据题意，|x+1|＝3可以看作表示x与﹣1两数在数轴上所对应的两点问的距离为3， ∵﹣1﹣3＝﹣4，﹣1+3＝2， ∴符合条件的整数x的值为﹣4或2． 故选：C． 【点评】本题考查了数轴上两点间的距离，掌握数轴上两点之间距离的含义是关键． 5．一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为 ．现要在楼梯上铺一条 地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度3米，则地毯的面积至少需要（ ） θ A． 米2 B．（4+4tan ）米2 θ C． 米2 D．3（4+4tan ）米2 θ 【分析】由三角函数表示出BC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果． 【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝AC•tan ＝4tan （米）， ∴AC+BC＝4+4tan （米）， θ θ ∴地毯的面积至少θ需要3×（4+4tan ）（米2）； θ故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC是解决问题的关键． 6．下列命题是假命题的是（ ） A．直线y＝x+4与y轴交于点（0，4） B．在一次函数y＝﹣2x+3中，y随着x的增大而增大 C．矩形的对角线相等 D．若 0，则x+y＝﹣1 【分析】根据一次函数的性质，矩形的性质，二次根式的性质逐个判断即可． 【解答】解：A．直线y＝x+4与y轴交于点（0，4），是真命题，不符合题意； B．在一次函数y＝﹣2x+3中，y随着x的增大而增大，是假命题，符合题意； C．矩形的对角线相等，是真命题，不符合题意； D．若 0，则x+y＝﹣1，是真命题，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查了一次函数的性质，矩形的性质，二次根式的性质，熟练掌握相关的性质是解答 本题的关键． 7．王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的 （ ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是 【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答． 【解答】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分， ∴他所作的线段AD应该是△ABC的中线， 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的 关键．8．如图，已知∠AOB＝60°，以点O为圆心，与角的两边分别交于C，D两点，D为圆心，大于 ，两 条圆弧交于∠AOB内一点P，连结OP，过点P作直线PE∥OA交OB于点E，过点P作直线PF∥OB交 OA于点F，OP＝6cm，则四边形PFOE的面积是（ ） A． B． C． D． 【分析】过P作PM⊥OB于M，再判定四边形OEPF为平行四边形，再根据勾股定理求出边和高，最 后求出面积． 【解答】解：过P作PM⊥OB于M， 由作图得：OP平分∠AOB， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵PE∥OA，PF∥OB， ∴四边形OEPF为平行四边形，∠EPO＝∠POA＝30°， ∴∠POE＝∠OPE， ∴OE＝PE， 设OE＝PE＝x cm， 在Rt△PEM中，PE2﹣MP2＝EM2，即： ， 解得： ， ∴ ． 故选：B． 【点评】本题考查了基本作图，掌握平行四边形的判定定理，勾股定理及平行四边形的面积公式是解题 的关键． 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5 ，点P在线段BC上运动（含B、C两点），将点P为绕点A 逆时针旋转60°到点Q，连接DQ，则线段DQ的最小值为（ ） A． B．5 C． D．3 【分析】如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H．利用 全等三角形的性质证明∠AFQ＝90°，推出∠AEF＝60°，推出点Q在射线FE上运动，求出DH，可得结 论． 【解答】解：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABP＝∠BAD＝90°， ∵△ABF，△APQ都是等边三角形， ∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA， ∴∠BAP＝∠FAQ，在△BAP和△FAQ中， ， ∴△BAP≌△FAQ（SAS）， ∴∠ABP＝∠AFQ＝90°， ∵∠FAE＝90°﹣60°＝30°， ∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°， ∵AB＝AF＝5，AE＝AF÷cos30° ， ∴点Q在射线FE上运动， ∵AD＝BC＝5 ， ∴DE＝AD﹣AE ， ∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°， ∴DH＝DE•sin60° ， 根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为 ， 故选：A． 【点评】本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角 形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点 Q 的在射线FE上运动，属于中考选择题中的压轴题． 10．如图1，质量为m的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状 态下，弹簧的初始长度为10cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力， 弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度△l（cm）之间 的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（ ）A．小球从刚接触弹簧就开始减速 B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为2cm D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为4cm 【分析】根据图象给出的信息分析出小球何时开始减速，小球下落最低点时弹簧的长度，小球速度最大 时，弹簧的长度即可解答． 【解答】解：由图象可知，弹簧压缩2cm后开始减速，故选项A不符合题意； 由图象可知，当弹簧被压缩至最短，小球的速度最小为0，故选项B不符合题意： 由图象可知小球速度最大时，弹簧压缩2cm，此时弹簧的长度为10﹣2＝8cm，故选C不符合题意； 由图象可知，当小球下落至最低点时，弹簧被压缩的长度为 6cm时，此时弹簧的长度为 10﹣6＝4 （cm），故选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，用数形结合的思想解决问题． 二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分） 11．若分式 无意义，则 1 ． 【分析】根据分式无意义的条件（分母为零）确定x的值，然后代入二次根式进行计算并化简． 【解答】解：∵分式 无意义， ∴﹣2+x＝0， 解得：x＝2， ∴原式 1， 故答案为：1． 【点评】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义（分母不为零），分式无意义（分母为零），分 式值为零（分子为零且分母不为零）的条件是解题关键．12． 的整数部分是 5 ． 【分析】先判断 的大小，然后再判断 的大小，从而根据其整数部分即可． 【解答】解：∵ ，即 ， ∴ ， ， ∴ 的整数部分为5， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握估算无理数的整数部分． 13．一次函数y＝kx+b（k，b为常数且k≠0）的图象如图所示，且经过点（﹣2，0），则关于x的不等式 kx+b＞0的解集为 x ＜﹣ 2 ． 【分析】结合函数图象，写出直线在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：当x＜﹣2时，y＞0， 所以不等式kx+b＞0的解集为x＜﹣2． 故答案为：x＜﹣2． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 y＝kx+b的值 大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或 下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 14．如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠D＝ 11 4 度． ▱ 【分析】由平行四边形的性质得DC∥AB，则∠ACD＝∠BAC，由折叠得∠B′AC＝∠BAC，则∠ACD＝∠B′AC，所以∠1＝2∠ACD＝44°，求得∠ACD＝22°，则∠BCD＝∠ACD+∠2＝66°，即可求得∠D ＝180°﹣∠BCD＝114°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，AD∥CB， ∴∠ACD＝∠BAC， 由折叠得∠B′AC＝∠BAC， ∴∠ACD＝∠B′AC， ∴∠1＝∠ACD+∠B′AC＝2∠ACD， ∵∠1＝∠2＝44°， ∴2∠ACD＝44°， ∴∠ACD＝22°， ∴∠BCD＝∠ACD+∠2＝22°+44°＝66°， ∴∠D＝180°﹣∠BCD＝180°﹣66°＝114°， 故答案为：114． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、轴对称的性质、三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角的和等知识，证明∠ACD＝∠B′AC是解题的关键． 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，AE与BD相交于点P，则线段AP＝ ． 【分析】利用矩形的性质和直角三角形的性质，勾股定理求得AE的长度，设AP＝x，则PE＝5﹣x，再 利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【解答】解：∵E为BC的中点， ∴BE BC＝3， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABC＝90°，∴AE 5． 设AP＝x，则PE＝5﹣x， ∵AD∥BC， ∴△APD∽△EPB， ∴ ， ∴ ， ∴x ． ∴AP ． 故答案为： ． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练 掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 16．正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，已知正方形BEFG 的边长为3，则△DEK的面积为 9 ． 【分析】连BD、GE、FK，则DB∥GE∥FK，在梯形DBEG和梯形GEKF中，根据三角形的等积变换 可得，S△GED ＝S△GEB ，S△GEK ＝S△GEF ，则可得S阴影 ＝S正方形BEFG ，再根据正方形BEFG的边长为3，解 答出即可．运用平行线间的距离处处相等，同底等高来求面积，想起会更简便． 【解答】解：如图，连BD、GE、FK，则DB∥GE∥FK， 在梯形DBEG中，S△GED ＝S△GEB ， 同理可得，S△GEK ＝S△GEF ，∴S阴影 ＝S△GED +S△GEK ， ＝S△GEB +S△GEF ， ＝S正方形BEFG ， ∵正方形BEFG的边长为3， ∴S阴影 ＝3×3＝9． 故答案为：9． 【点评】本题主要考查三角形的面积及等积变换，应用了正方形的性质、三角形及梯形的性质，体现了 转化思想． 三．解答题（共10小题，满分88分） 17．（8分）计算： （ ）﹣1﹣4sin45°﹣（ ）0． π 【分析】先计算 、（ ）﹣1、（ ）0，再代入特殊角的函数值算乘法，最后算加减． π 【解答】解：原式＝2 3﹣4 1 ＝2 3﹣2 1 ＝2． 【点评】本题考查了实数的混合运算，掌握“a0＝1（a≠0）”、“a﹣p （a≠0，p是正整数）”、 特殊角的三角函数值是解决本题的关键． 18．（8分）解不等式组： ，并写出它的所有正整数解． 【分析】求出一元一次不等式组的解集，再取符合条件的正整数即可．【解答】解： ， 由①得，x≥﹣2， 由②得，x＜3， ∴不等式组的解集为﹣2≤x＜3， 所有正整数解有：1、2． 【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取 大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 19．（8分）如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长 线于点F． （1）求证：AD＝CF； （2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形， 证明你的结论． 【分析】（1）由CF∥AB，得∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA，又AE＝CE，可证△ADE≌△CFE （AAS），即得AD＝CF； （2）由AD＝CF，AD∥CF，知四边形ADCF是平行四边形，若AC⊥BC，点D是AB的中点，可得CD AB＝AD，即得四边形ADCF是菱形． 【解答】（1）证明：∵CF∥AB， ∴∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA， ∵点E是AC的中点， ∴AE＝CE， ∴△ADE≌△CFE（AAS）， ∴AD＝CF；（2）解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形，证明如下： 由（1）知，AD＝CF， ∵AD∥CF， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AC⊥BC， ∴△ABC是直角三角形， ∵点D是AB的中点， ∴CD AB＝AD， ∴四边形ADCF是菱形． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质及菱形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理及菱 形的判定定理． 20．（8分）不透明的袋子里装有2个标有数字﹣1的小球，1个标有数字0的小球和若干个标有数字2的 小球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，是标有数字﹣1的概率为 ． （1）袋子里标有数字2的小球有 2 个； （2）丽丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点 M的横坐标，再将此球放 回、摇匀，然后由静静再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标， 请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，并求出点M落在坐标轴上的概率． 【分析】（1）设袋子里标有数字2的小球有m个，由概率公式可列方程为 ，求出m的值， 即可得出答案． （2）根据题意列表即可．由表格可得出所有等可能的结果数以及点 M落在坐标轴上的结果数，再利用 概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）设袋子里标有数字2的小球有m个， 由题意得， ， 解得m＝2， 经检验，m＝2是原方程的解且符合题意，∴袋子里标有数字2的小球有2个． 故答案为：2． （2）列表如下： ﹣1 ﹣1 0 2 2 ﹣1 （﹣1，﹣ （﹣1，﹣ （﹣1， （﹣1， （﹣1， 1） 1） 0） 2） 2） ﹣1 （﹣1，﹣ （﹣1，﹣ （﹣1， （﹣1， （﹣1， 1） 1） 0） 2） 2） 0 （0，﹣ （0，﹣ （0，0） （0，2） （0，2） 1） 1） 2 （2，﹣ （2，﹣ （2，0） （2，2） （2，2） 1） 1） 2 （2，﹣ （2，﹣ （2，0） （2，2） （2，2） 1） 1） 由表格可知，共有25种等可能的结果． 其中点M落在坐标轴上的结果有：（﹣1，0），（﹣1，0），（0，﹣1），（0，﹣1），（0，0）， （0，2），（0，2），（2，0），（2，0），共9种， ∴点M落在坐标轴上的概率为 ． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题 的关键． 21．（8分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之 气．”某校为了解学生在停课不停学中的阅读情况（七、八年级学生人数相同），某周从七、八年级学 生中分别随机抽查了40名同学，调查了他们周一至周五的阅读情况，根据调查情况得到如下统计图表： 年级 参加阅读人数 周一 周二 周三 周四 周五 七年级 25 30 35 40 30 八年级 20 31 29 35 45 合计 45 61 64 75 75 （1）根据上述统计图表，八年级周一至周五平均阅读时间的中位数为 2 4 分钟； （2）若七年级参加阅读人数的方差为 ，八年级参加阅读人数的方差为 ，则 ＜ （填“＞”， “＜”或“＝”）．（3）请你结合周一至周五阅读人数统计表，估计该校七、八年级共1200名学生中，周一至周五平均每 天有多少人进行阅读？ 【分析】（1）根据中位数的定义即可得出答案； （2）由统计图可得八年级平均阅读时间的中位数；根据统计表中数据得出七年级参加阅读人数的平均 数，再按照方差的计算公式计算即可； （3）用抽样中七八年级周一至周五参加阅读的人数之和除以七八年级的抽样人数之和的 5倍除以 100%，再乘以1120，计算即可． 【解答】解：（1）由统计图可得八年级平均阅读时间的中位数为24； 故答案为：24； （2）七年级参加阅读人数的平均数为：（25+30+35+40+30）÷5＝32， 七年级参加阅读人数的方差为： [（25﹣32）2+（30﹣32）2+（35﹣32）2+（40﹣32）2+（30﹣ 32）2]＝26， 八年级参加阅读人数的平均数为：（20+31+29+35+45）÷5＝32， 八年级参加阅读人数的方差为： [（20﹣32）2+（31﹣32）2+（29﹣32）2+（35﹣32）2+（45﹣ 32）2]＝66.4， ∴ ； 故答案为：＜； （3） （人）， 答：周一至周五平均每天约有960人进行阅读． 【点评】本题考查了根据统计图表计算或分析中位数、方差等统计量，以及根据抽样结果对总体数据作出估计，熟练掌握相关统计知识及其应用是解题的关键． 22．（8分）如图，点A（a，2）在反比例函数 的图象上，AB∥x轴，且交y轴于点C，交反比例函 数 的图象于点B，已知AC＝2BC． （1）求反比例函数 的解析式； （2）点D为反比例函数 图象上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD中点时，求△OAD的 面积． 【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数 求得点A坐标，根据AC＝2BC求出点B的坐标，然后 把点B的坐标代入 中求得k的值，即可求出 的解析式． （2）设 ．根据AD的中点E在y轴上求出点D和点E坐标，然后根据三角形面积公式求解即 可． 【解答】解：∵（1）∵点A（a，2）在反比例函数 的图象上， ∴ ．∴a＝2． ∴A（2，2）． ∵AB∥x轴，且交y轴于点C， ∴AC＝2． ∵AC＝2BC， ∴BC＝1． ∴B（﹣1，2）． ∴把点B坐标代入 得 ． ∴k＝﹣2． ∴该反比例函数的解析式为 ． （2）设 ． ∵A（2，2），点E为AD的中点， ∴ ． ∵点E在y轴上， ∴ ． ∴n＝﹣2． ∴D（﹣2，1）， ． ∴ ． ∴ ， ． ∴S△OAD ＝S△OEA +S△OED ＝3．∴△OAD的面积为3． 【点评】本题考查根据函数值求自变量，待定系数法求反比例函数解析式，中点坐标，熟练掌握这些知 识点是解题关键． 23．（8分）甲、乙两地间的直线公路长为600千米，一辆轿车与一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以 各自的速度相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶， 1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不 计）最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离 y（千米）与轿车所用的时间x（小时）的 关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）货车的速度是 6 0 千米/时，t的值是 4 ，轿车的速度是 9 0 千米/时； （2）求轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数表达式； （3）求货车出发多长时间两车相距120千米． 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出货车的速度、t的值以及轿车的速度； （2）根据函数图象中的数据，可以计算出轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间 的函数表达式； （3）根据（1）中的结果和图象，利用分类讨论的方法，可以得到货车出发多长时间两车相距120千米． 【解答】解：（1）由图象可得， 货车的速度为：60÷1＝60（千米/时）， t＝（600÷60﹣1﹣1）÷2＝4， 轿车的速度为：360÷4＝90（千米/时）， 故答案为：60，4，90； （2）当0≤x≤4时，设轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数表达式是y ＝kx， ∵点（4，360）在该函数图象上，∴4k＝360， 解得k＝90， 即当0≤x≤4时，轿车距其出发地的距离 y（千米）与所用时间 x（小时）之间的函数表达式是 y＝ 90x； 当4＜x≤5时，y＝360； 当5＜x≤9时，设轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数表达式是y＝ mx+n， ∵点（5，360），（9，0）在该函数图象上， ∴ ， 解得 ， 即当5＜x≤9时，轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数表达式是y＝﹣ 90x+810， 由上可得，轿车距其出发地的距离 y（千米）与所用时间 x（小时）之间的函数表达式是 y ； （3）设货车出发a小时时两车相距120千米， 两车相遇之前：60a+90（a﹣1）＝600﹣120， 解得a＝3.8， ∵3.8﹣1＝2.8＜4， ∴a＝3.8时符合题意； 两车相遇之后且轿车维修好之前：60a+90（a﹣1）＝600+120， 解得a＝5.4， ∵5.4﹣1＝4.4＞4， ∴a＝5.4不符合题意， ∴60a+90×4＝600+120， 解得a＝6，当a＝6时，6﹣1＝5，此时轿车刚刚维修好，符合题意； 轿车维修好之后：由上可知，当货车行驶6小时时，两车相距120千米，又因为轿车速度大于货车速度， 故两车越来越近，距离不可能是120千米； 由上可得，货车出发3.8小时或6小时时两车相距120千米． 【点评】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 24．（10分）如图，已知线段AB＝8，点D为线段AB上的任意一点（点D不与A，B重合），过点D作 DC⊥AB，且CD＝4，过A，C，D三点作 O交BC于点P，连接AP交CD于点E． （1）若AP平分∠BAC． ⊙ ①求∠ACD的度数： ②求CE的长： （2）作直径垂直AB交AB于M，AP于点N．记AM＝x，MN＝y，求y与x之间的函数关系式，并说明 当MN的长度最大时，直线BC与 O相切． ⊙ 【分析】（1）①利用圆周角定理和全等三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理以及特殊角 的三角函数值解答即可； ②利用勾股定理和相似三角形的判定与性质解答即可； （2）利用垂径定理和相似三角形的判定与性质列出 比例式即可得到结论；利用配方法和二次函数的性 质即可求得MN的最大值，利用等腰直角三角形的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可． 【解答】解：（1）①∵CD⊥AB， ∴CA是 O的直径， ∴AP⊥B⊙C， ∴∠BPA＝∠CPA＝90°． ∵AP平分∠BAC， ∴∠BAP＝∠CAP． 在△ACP和△ABP中， ，∴△ACP≌△ABP（ASA）， ∴AC＝AB＝8． ∵CD＝4，DC⊥AB， ∴sin∠CAD ， ∴∠CAD＝30°． ∴∠ACD＝90°﹣∠CAD＝60°； ②∵CD⊥AB， ∴∠BAP+∠B＝∠BCD+∠B＝90°， ∴∠BAP＝∠BCD， ∵∠BPA＝∠BDC＝90°， ∴△EDA∽△BDC， ∴ ， ∵AD 4 ， ∴BD＝AB﹣AD＝8﹣4 ， ∴ ， ∴DE＝8 12． ∴CE＝CD﹣DE＝16﹣8 （2）如图， ∵OM⊥AB， ∴AM＝DM，∠AMN＝90°．∵AM＝x， ∴AD＝2AM＝2x， ∴BD＝8﹣2x． ∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°， ∴∠AMN＝∠BDC＝90°． ∵∠NAM＝∠DCB， ∴△AMN∽△CDB， ∴ ， ∴ ， ∴y＝MN 2x， ∴y与x之间的函数关系式为y 2x； ∵点D为线段AB上的任意一点（点D不与A，B重合）， ∴x＞0，8﹣2x＞0， ∴0＜x＜4． ∵y 2x 2， 0， ∴当x＝2时，即当AM＝2时，MN取得最大值为2， 此时，AM＝2，AD＝2AM＝4，BD＝8﹣AD＝4， ∵CD＝4，CD⊥AB， ∴△ADC与△BDC均为等腰直角三角形， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°， ∴AC⊥BC， ∵AC为圆的直径，∴直线BC与 O相切． 【点评】本题⊙主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾 股定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，配方法，圆的切线的判定，等腰直角 三角形的判定与性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． 25．（10分）如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE． （1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是 DG ＝ BE ；位 置关系是 DG ⊥ BE ； （2）[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与 BE的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）[应用]：在（2）情况下，连接GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB ，AE＝1，求线段 DG的长． 【分析】（1）先判断出△ABE≌△ADG，进而得出BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，再利用等角的余角相 等即可得出结论； （2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出△ABE∽△ADG，得出DG＝2BE，∠ABE＝∠ADG，再利 用等角的余角相等即可得出结论； （3）先求出BE，进而得出BE＝AB，即可得出四边形ABEG是平行四边形，进而得出∠AEB＝90°，求 出BE的长，借助（2）得出的相似，即可得出结论． 【解答】解：（1）DG＝BE，DG⊥BE，理由如下： ∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， ∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°， ∴∠BAE＝∠DAG， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴BE＝DG； 如图2，延长BE交AD于Q，交DG于H，∵△ABE≌△DAG， ∴∠ABE＝∠ADG， ∵∠AQB+∠ABE＝90°， ∴∠AQB+∠ADG＝90°， ∵∠AQB＝∠DQH， ∴∠DQH+∠ADG＝90°， ∴∠DHB＝90°， ∴BE⊥DG， 故答案为：DG＝BE，DG⊥BE； （2）DG＝2BE，BE⊥DG，理由如下： 如图3，延长BE交AD于K，交DG于H， ∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形， ∴∠BAD＝∠EAG， ∴∠BAE＝∠DAG， ∵AD＝2AB，AG＝2AE， ∴ ， ∴△ABE∽△ADG， ∴ ，∠ABE＝∠ADG， ∴DG＝2BE， ∵∠AKB+∠ABE＝90°， ∴∠AKB+∠ADG＝90°， ∵∠AKB＝∠DKH， ∴∠DKH+∠ADG＝90°， ∴∠DHB＝90°， ∴BE⊥DG； （3）如图4，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形） 设EG与AD的交点为M， ∵EG∥AB， ∴∠DME＝∠DAB＝90°，在Rt△AEG中，AE＝1， ∴AG＝2AE＝2， 根据勾股定理得：EG ， ∵AB ， ∴EG＝AB， ∵EG∥AB， ∴四边形ABEG是平行四边形， ∴AG∥BE， ∵AG∥EF， ∴点B，E，F在同一条直线上，如图5， ∴∠AEB＝90°， 在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE 2， 由（2）知，△ABE∽△ADG， ∴ ， 即 ， ∴DG＝4．【点评】此题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三 角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握正方形得性 质和矩形的性质，证明△ABE≌△ADG和△ABE∽△ADG是解本题的关键，属于中考常考题型． 26．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C， 动直线l：y＝kx+3a经过点B，交y轴于点D，与抛物线另一交点为E． （1）若点C的坐标为（0，﹣3），求抛物线的解析式； （2）如图1，点P为x轴上一动点（不与点B重合），连接BC，PE，PC，求 的值； （3）如图2，连接AD，BC，M，N分别是AD，BC的中点，MN交x轴于点F，则当a为何值时， △AMF与△BFN相似？【分析】（1）利用待定系数法将点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入求得解析式即可． （2）表示出抛物线和动直线l的解析式，根据动直线l交y轴于点D，与抛物线另一交点为E，列出方 程，求得E的坐标，分别表示出S△PEB 和S△PBC 即可求解． （3））因为∠AFM＝∠BFN，所以只需要再有一对角相等，则△AMF∽△BFN，分情况①当∠FAM＝ ∠FBN 时，AD∥BC，证得 AD 与 BC 不可能平行，舍去．②当∠AMF＝∠FBN 时，sin∠AMF＝ sin∠FBN，求出M、F、N的坐标，作辅助线，表示出sin∠AMF和sin∠FBN，列出方程，求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C （0，﹣3）， ∴ ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3． 答：抛物线的解析式y＝x2﹣2x﹣3． （2）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0）， ∴ ， ∴b＝﹣2a，c＝﹣3a， ∴y＝ax2﹣2ax﹣3a， ∵动直线l：y＝kx+3a经过点B，∴3k+3a＝0， ∴k＝﹣a， ∴动直线l：y＝﹣ax+3a， ∵动直线l交y轴于点D，与抛物线另一交点为E， ∴ax2﹣2ax﹣3a＝﹣ax+3a，D（0，3a）， ∴x ＝﹣2，x ＝3（舍去）， 1 2 ∴E（﹣2，5a）， ∴ ， ， ∴ ． 答： 的值为 ． （3）∵∠AFM＝∠BFN， ∴只需要再有一对角相等，则△AMF∽△BFN， ①当∠FAM＝∠FBN时，AD∥BC， ∵C（0，﹣3a），D（0，3a），A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AD与BC不可能平行，舍去． ②当∠AMF＝∠FBN时，sin∠AMF＝sin∠FBN， ∵D（0，3a），A（﹣1，0）， ∴ ， ∵B（3，0），C（0，﹣3a）， ∴ ， ∴ ，如图，过点F作FK⊥AM交于点K， ∴ ， ． ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵B（3，0），C（0，﹣3a）， ∴ ， ∴ ， ∴ ，∴ ， 即当 时，△AMF∽△BFN． 答：当 时，△AMF与△BFN相似． 【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，勾股定理的应 用．