文档内容
2025 年中考第三次模拟考试（四川成都卷）
数学·全解全析
A卷（共100分）
第I卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一
项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 的倒数是（ ）
A． B．-2025 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了绝对值、相反数、倒数的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
先根据绝对值、相反数的定义化简 ，再根据倒数的定义即可解答．
【详解】解： ，
的倒数是 ，
故选：D．
2．做最好的自己！将这六个字写在如图的一个盒子的展开图上，然后将它折成正方体盒子，当上面的字
是“己”时，下面的字是（ ）
A．做 B．最 C．好 D．己
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个
正方形，根据这一特点作答，注意正方体的空间图形，从相对面入手．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“做”与“己”是相对面，
“最”与“的”是相对面，
“自”与“好”是相对面；
故选：A．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查乘法公式及积的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据完全平方公式、平方差公式及积的乘方可进行求解．
【详解】解：A、 ，原计算错误，故不符合题意；
B、 ，原计算错误，故不符合题意；
C、 ，原计算错误，故不符合题意；
D、 ，原计算正确，故符合题意；
故选D．
4．点 的横坐标是 ，且到 轴的距离为5，则 点的坐标是（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是点的坐标的几何意义，横坐标的绝对值就是点到 轴的距离，纵坐标的绝对值就是
点到 轴的距离，熟练掌握该知识点是解题的关键．点 到 轴的距离为5， 点的纵坐标是 或 ，又因
为点 的横坐标是 ，从而得到点的坐标．
【详解】解： 点 到 轴的距离为5，
点的纵坐标是 或 ，
点 的横坐标是 ，
点的坐标是 或 ．
故选：B．
5．某校八（1）班在2024年秋季运动会中，参加跳绳比赛的10名学生的参赛成绩如图所示，对于这10名
学生的参赛成绩，下列说法正确的是（ ）
A．平均数是95分 B．众数是90分 C．中位数是95分 D．方差是15
【答案】B
【分析】本题主要考查了平均数，众数，中位数和方差的定义，熟练掌握这些知识点是解决问题的关键，
根据相关知识点一一判断即可；
【详解】解：A．这组数据的平均数为 ，此选项错误，不符合题意；
B．这组数据中90分出现5次，次数最多，所以这组数据的众数为90分，此选项正确，符合题意；
C．这组数据的中位数为 ，此选项错误，不符合题意；
D．这组数据的方差为 ，此选项错误，不符合题意；故选：
6．在 中， 相交于点O，下列条件中，不能判定这个四边形是菱形的是（ ）
A． B． C． 平分 D．
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．根据
平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．
【详解】解：A、由一组邻边相等的平行四边形是菱形，故能判定这个四边形是菱形，不符合题意；
B、由对角线垂直的平行四边形是菱形，故能判定这个四边形是菱形，不符合题意；
C、如图，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵平行四边形 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由一组邻边相等的平行四边形是菱形，故能判定这个四边形是菱形，不符合题意；
D、∵平行四边形 中， ，
有 ，
∴ ，即 ，
∴四边形 是矩形，故不能判定这个四边形是菱形，符合题意；
故选：D．
7．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸：氨生其
下，蔓日长一尺，问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？大意是：已知墙高9尺，长在墙头的瓜蔓每天向下长
7寸；同时，长在墙下的葫芦每天向上长1尺，问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多
少？（注： ）设两蔓相遇时瓜蔓的长度为 寸，葫芦蔓的长度为 寸，则下列方程组正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是行程问题中的相遇，读懂题意，找出数量关系，列出二元一次方程组是解答关键．设两蔓相遇时瓜蔓的长度为 寸，葫芦蔓的长度为 寸，根据两蔓相遇时，它们的长度之和等于高度 寸，
两蔓生长天数相同来列出方程求解．
【详解】解： 1尺 寸，
高9尺就是 寸，
所以 ．
故选：D．
8．如图，在平行四边形 中， ， ，小明按以下步骤作图：
第一步：以点 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交 ， 于点 ， ；
第二步：分别以 ， 为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧在 内交于点 ；
第三步：作射线 ，交 于点 ，交 延长线于点 ．
作图后，小明还得到四个结论：① ；② ；③ ；④ ．关于这些结论
哪些是正确的，下面选项中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④
【答案】B
【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综
合．先由作图得到 为 的角平分，利用平行线证明 ，从而得到 ，
再利用平行四边形的性质得到 ，再证明 ，分别求出 ， ，
即可以判定．
【详解】解：由作图可知， 为 的角平分，
∴ ，故①正确；
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故③正确；∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④错误；
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②正确，
故选：B．
第II卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．若m，n为实数，且m＝ +8，则m+n的算术平方根为 ．
【答案】3
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出x、y的值，根据算术平方根的概念解答即可．
【详解】解：依题意得：1﹣n≥0且n﹣1≥0，
解得n＝1，
所以m＝8，
所以m+n的算术平方根为： ＝3．
故答案是：3．
【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，掌握运算法则是解题关键
10．方程 的解为 ．
【答案】
【分析】此题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检
验即可得到分式方程的解．
【详解】解： ，
方程两边同时乘 得： ，
解得： ，
经检验， 时， ，分式方程的解为 ，故答案为： ．
11．“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以等边三角形 的三个顶点
为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”．若等边三角形 的边长为2，
则该“莱洛三角形”的周长等于 ．
【答案】
【分析】本题考查弧长的计算，等边三角形的性质，由弧长公式 （弧长为l，圆心角度数为n，圆
的半径为r），求出 的长，即可解决问题．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ 的长 ，
∴“莱洛三角形”的周长等于 的长 ．
故答案为： ．
12．有三张材质、大小、背面图案完全相同卡片，分别写了三种不同的化学元素“O—氧”、“K—钾”、
“H—氢”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一张卡片，翻到写着非金属元素卡片的概率是
．
【答案】
【分析】本题主要考查了简单随机事件概率的求法，根据公式求出答案即可；
【详解】解：由题意可知：完成事件的总的可能数为3种，而非金属元素的卡片种类共有2种，
所以根据概率公式即可求得 ,
故答案为： ．
13．如图，点A，B在直线EF的同一侧，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D，AC=2，BD=CD=4．Q是直线
EF上的一个动点，AQ+BQ的最小值为a，|AQ－BQ|的最大值为b，则a2+b2的值为 ．【答案】72
【详解】延长AC到点A'，使AC=A'C，连接A'B交EF于点Q，此时AQ+BQ的值最小，理由如下：
如图1，连接OA'，QA．∵AC⊥EF，AC=A'C，∴A，A'关于EF对称，∴OA=OA'，AQ=A'Q，
AC=A'C=2，∴A'B=A'Q+BQ=AQ+QB，OA+OB=OA'+OB．∵OA'+OB>A'B，∴OA+OB>AQ+QB，
∴AQ+QB的值最小，最小值a为线段A'B的长度，过点A'作直线A'M⊥BD交延长线于点M．
图1
∵AA'⊥EF，BD⊥EF，A'M⊥BD，∴四边形CA'MD为矩形，∴A'C=DM=2，A'M=CD=4，
∴BM=BD+DM=4+2=6，在Rt A'MB中，由勾股定理，得A'B= =2 ，∴a=2 ．
如图2，连接BA并延长交直线△EF于点Q，此时|AQ－BQ|的值为最大，理由如下：∵|AQ－BQ|=AB，
AB≥|OA－OB|，∴|AQ－BQ|≥|OA－OB|，∴最小值b为线段AB的长，过点A作AN⊥BD于点N．
图2
∵AC⊥EF，BD⊥EF，AN⊥BD，∴四边形CDNA为矩形，∴AN=CD=4，DN=AC=2，∴BN=BD－DN=4
－2=2．在Rt ABN中，由勾股定理，得AB= =2 ，∴b=2 ，∴a2+b2=（2 ）2+
=72． △
三、解答题（本大题共5个小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14．（1）计算： ；
【答案】
【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，先化简各数，再进行加减运算即可，熟
练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
【详解】解：原式（2）解不等式组： ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律求出
不等式组的解集即可．
【详解】解： ，
由①得， ，
由②得， ，
不等式组的解集为 ．
15． 年1月 日，《哪吒2》正式上映，该电影剧情精彩、特效震撼，还精准传递了中国传统文化，
从而引起了不同年龄段观众的共鸣，特成为中国动画电影的一部杰出作品．月月为了解本校学生对该电影
的关注程度．对她所在学校的学生进行了随机抽样调查，将调查结果分为：A（实时关注）、B（关注较
多）、C（关注较少）、D（没有关注）四类，并将调查结果绘制成如图所示的统计图．请根据图中信息，
解答下列问题：
(1)求本次抽样调查的学生人数，请补全条形统计图；
(2)若该校共有 名学生，请求出“B（关注较多）”的学生人数；
(3)若“A（实时关注）”中有2名男生和2名女生，现从中随机抽取2人深入了解，请用树状图或列表法
求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1)见解析；(2) ；(3)
【分析】本题考查了统计与概率的知识．掌握概率公式∶概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
（1）先根据D类人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个小组人数之和等于总人数求出C类别人数，
从而补全图形；
（2）从抽样调查中可知B(关注较多)的人数占抽样人数的比例可求该校“B(关注较多)”的学生人数；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出1名男生和1名女生的结果数，然后根据概率公式计
算．
【详解】（1）解：依题意得，抽样调查的学生总数： (人)
C（关注较少）人数： (人)画图为
（2）解：依题意得：
B（关注较多）占抽样调查的学生总数比：
B（关注较多）的学生人数： (人)
答：“B（关注较多）”的学生人数为 人．
（3）解：画树状图为∶
共有12种等可能的结果，其中1名男生和1名女生的结果数为8种，
所以恰好抽到1名男生和1名女生的概率 ．
16．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分
之一处．已知试管 ， ，试管倾斜角 为 ．实验时，为了保持装置稳定，导气管紧
贴水槽壁 ，延长 交 的延长线于点 ，（点 ， ， ， 在一条直线上），经测得：
， ，求铁架台和点 的水平距离 的长度（结果精确到 ）．（参考数
据： ， ， ）
【答案】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是
解题的关键．过点 分别作 ， ，垂足分别为 、 ，在 中得出 的长，
进而求得 的长，根据 ，即可求解．
【详解】解：过点 分别作 ， ，垂足分别为 、 ，∵ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ， ．
在 中， ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
答：线段 的长度约为 ．
17．已知：如图， 为 的一条弦，延长 的直径 至 点，连 ，使得 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，求半径 的长．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)
【分析】本题主要考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定等，熟知切线
的判定定理，相似三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）连接 ，先由等边对等角得到 ，再由直径所对的圆周角是直角推出
，则可证明 ，即 ，据此可证明结论；
（2）证明 ，利用相似三角形的性质即可证明结论；
（3）根据（2）所证，求出 的长，进而求出 的长即可得到答案．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，∵ ，
∴ ，
∵ 为圆 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ 是半径，
∴ 为圆 的切线；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：由（2）可知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
18．如图，一次函数 （ ）的图像与反比例函数 （ ）的图像交于点 ，
．（在平面直角坐标系中，若两点分别为 ， ，则 中点坐标为
）(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)利用图像，直接写出不等式 的解集；
(3)已知点 在 轴上，点 在反比例函数图像上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请求
出点D的坐标．
【答案】(1) ， ；(2) 或 ；(3)
【分析】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法，解不等式等知识，解题的
关键是掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）设点 ， ，分 ， 是对角线， ， 是对角线， ， 是对角线三种情况
讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， 在反比例函数 图像上，
∴ ，解得： ，
∴反比例函数的表达式为： ；
∴ ，
∴ ，
∴点 ，
∵点 ， 在一次函数 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴一次函数的表达式为： ．
（2）解：由（1）得 ， ，当一次函数 的图像在反比例函数 的图像上时， ，
∴ 或 时， ．
（3）解：∵点 在 轴上，点 在反比例函数图像，
∴设点 ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴①当 ， 是对角线，
∴ ，解得： ，∴
点D的坐标为 ；
②当 ， 是对角线时，
∴ ，解得： ，
∴点D的坐标为 ；
③当 ， 是对角线时，
∴ ，解得： ，
∴点D的坐标为 ；
综上所述，点的坐标为： ， ， 时，以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边
形．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．如图，D为△ABC内一点， 平分 ， ，垂足为D，交 于点E， ，， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的判定与性质，根据题意可得 为等腰三角形，
， ，即可求解．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 为等腰三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
20．已知 和 是方程 的两个解，则 的值为 ．
【答案】2027
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．
根据题意可得 ， ，原式变形为 ，代入计算即可．
【详解】解：∵ 和 是方程 的两个解，
∴ ， ，
∴ ，
∴
．
21．甲、乙两人参与两个科技项目： （人工智能算法开发）和 （物联网设备开发）．在项目 中，甲第一天能开发 个 模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少 个）比前一天减少 个；乙第一天
能开发 个 模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少 个）比前一天减少 个；在项目 中，甲
每天固定开发 个 模块，乙每天固定开发 个 模块．两人每日需选择不同项目工作，且在某一项目
连续工作少于 天时不可切换项目．
①甲在项目 连续工作 天能开发 模块 个；
②一个科技系统需 个 模块和 个 模块，则 天最多能组装 套系统．
【答案】
【分析】①由题意列出算式即可；
②由题意得甲在项目 连续工作 天最多能开发 模块 个，甲在项目 连续工作 天最多能开发 模
块 个，乙在项目 连续工作 天最多能开发 模块 个，乙在项目 连续工作 天最多能开发 模块
个，每6天为一个循环，每6天组装 套系统，最后两天甲开发 模块 个，乙开发 模
块 个，再列式计算即可．
【详解】解：①由题意可得：甲在 项目连续工作 天能开发 模块
个；
② 一个科技系统需 个 模块和 个 模块，
天两模块同时开发出数量最多，
甲在项目 连续工作 天最多能开发 模块 个，乙在项目 连续工作 天最
多能开发 模块 个，
甲在项目 连续工作 天最多能开发 模块 个，乙在项目 连续工作 天最多能开发 模块
个，
∴每6天为一个循环，每6天组装 套系统，
∵
最后两天甲开发 模块 个，乙开发 模块 个，
天最多能组装 模块 套系统．
天最多能组装 模块 套系统．
∴26太难最多能组装189套系统，
故答案为：① ；② ．
【点睛】本题考查的知识点是有理数混合运算，解题关键是根据题意列出算式解答．
22．在矩形 中， ， ，将矩形 绕点A顺时针旋转得到矩形 ，点B的对应
点 落在直线 上，连接 ，则 的长度为 ．【答案】 或
【分析】延长 ，过点 作 交于点E，证明 ，求出 ， ，结合勾股定理
求解即可得到答案；画出图形，连接 ， ，先用勾股定理求出 ，再利用两边对应成比例且夹角
相等证明 即可求出答案；
【详解】解：延长 ，过点 作 交于点E，
∵矩形 绕点A顺时针旋转得到矩形 ， ， ， ，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， ，
∴ ，
∴ ，
如图所示，连接 ， ，
∵矩形 绕点A顺时针旋转得到矩形 ， ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理以及三角形相似的判定与性质，解题的关键在于
根据题目要求画出旋转后的图形，再连接相应的线段，证明三角形相似，利用勾股定理和相似三角形的性
质求出线段的长．
23．开口向下的抛物线 经过点 ，且 ．下列结论：① ；②
；③已知点 在抛物线上，若 ，则 ；④若方程
有两个不相等的实数根，则 ．其中正确结论的序号是 ．
【答案】②④
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由题意可得抛物线的对称轴为直线 ，进而由
得 ，得到 ，即可判断①；由抛物线经过点 ，得 ，得 ，
即得 ，又由对称轴得 ，可得 ，即可得 ，即可判断
②；利用二次函数的性质可判断③；由方程 有两个不相等的实数根，可得抛物线
与 轴有两个不同的交点，根据根的判别式可判断④；综上即可求解，掌握二次函数的
图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线 经过点 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵抛物线开口向下，∴ ，
∴ ，故①错误；
∵抛物线经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵对称轴 ，抛物线开口向下，
∴当 时， 随 的增大而增大，
∵ ，
∴ ，故③错误；
∵方程 有两个不相等的实数根，
∴抛物线 与 轴有两个不同的交点，
即抛物线 与 轴有两个不同的交点，
∴ ，
∴ ，故④正确；
综上，正确结论的是②④，故答案为：②④．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
24．某服装店经销 ， 两种T恤衫，进价和售价如下表所示：
品名
进价（元/件） 45 60
售价（元/件） 66 90
(1)第一次进货时，服装店用6000元购进 ， 两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？
(2)受市场因素影响，第二次进货时， 种T恤衫进价每件上涨了5元， 种T恤衫进价每件上涨了10元，
但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进 ， 两种T恤衫共150件，且 种T恤衫的购进量不超过种T恤衫购进量的2倍，设此次购进 种T恤衫 件，两种T恤衫全部售完可获利 元．
①请求出 与 的函数关系式；
②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．
【答案】(1) 元；(2)① ；②服装店第二次获利不能超过第一次获利
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，
正确理解题意列出对应的方程组，不等式和函数关系式是解题的关键。
（1）设购进 种T恤衫 件，购进 种T恤衫 件，根据服装店用6000元购进 ， 两种T恤衫共120件
列出方程组求解即可；
（2）①设第二次购进 种T恤衫 件，则购进 种T恤衫 件，根据 种T恤衫的购进量不超过
种T恤衫购进量的2倍列出不等式求出m的取值范围，再根据利润等于单件利润乘以销售量分别求出两种
T恤衫的利润，求和即可得到答案；②利用二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）解：设购进 种T恤衫 件，购进 种T恤衫 件，
根据题意列出方程组为： ，
解得 ，
∴全部售完获利 （元）．
（2）解：①设第二次购进 种T恤衫 件，则购进 种T恤衫 件，
根据题意 ，
解得 ，
∴
；
②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下：
由①可知， ，
∵ ，一次函数 随 的增大而减小，
∴当 时， 取最大值， （元），
∵ ，
∴服装店第二次获利不能超过第一次获利．
25．抛物线与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ．已知 ，抛物线的顶点坐标为 ，点 是抛
物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点 在线段 上方的抛物线上运动（不与 ， 重合），过点 作 ，垂足为 ，
交 于点 ．作 ，垂足为 ，求△PEF的面积的最大值；
(3)如图2，点 是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上，是否存在点 ，使得以点 ， ， ，
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1) ；(2) ；(3)存在， 或 或
【分析】本题主要考查了二次函数的表达式，二次函数图象的性质，一次函数的表达式，一次函数图象的
性质，三角形面积最值问题，判定平行四边形求动点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质并
灵活应用．
（1）根据顶点坐标假设抛物线顶点式表达式，将 点坐标代入即可求出抛物线表达式；
（2）求出二次函数图象与坐标轴的交点坐标，求出一次函数图象的表达式，根据一次函数图象的性质判
断出等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质，斜边最大时面积最大，假设出相关点的坐标，表示出斜
边长度，从而得出最长斜边，即可求出最大面积；
（3）根据平行四边形的判定定理，分别以 为平行四边形的边和对角线来进行分类讨论，对边平行且相
等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，假设出点的坐标，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为 ，
∴假设抛物线的表达式为 ，
将 代入得，
，
解得 ，
∴抛物线的表达式为 ；
（2）解：令 ,则 ，
令 ，则 ，
解得 ，
∴ ， ， ，
假设直线 的表达式为 ，将 代入得， ，
解得 ，
∴直线 的表达式为 ，
∵ ，
∴△ADE是等腰直角三角形，
也是等腰直角三角形，
当斜边 最大时， 的面积最大，
假设 ， ，
求顶点横坐标为 ， ，顶点纵坐标为 的最大值，
，
是等腰直角三角形，
，
∴ 的面积为 ；
（3）解：分两种情况讨论，
①当 为平行四边形的边时，则有 ，且 ，
如图，过点 作对称轴的垂线，垂足为 ，设 交对称轴于点 ，
则 ，
在 和 中， ，
，
，点 到对称轴的距离为3，
又 ，
抛物线对称轴为直线 ，
设点 ，则 ，
解得： 或 ，
当 时，代入 ，得： ，
当 时，代入 ， ，
点 坐标为 或 ；
②当 为平行四边形的对角线时，
如图，设 的中点为 ，
， ，
，
点 在对称轴上，
点 的横坐标为 ，设点 的横坐标为 ，
根据中点公式得： ，
，此时 ，
；
综上所述，点 的坐标为 或 或 ．
26．如图，在平行四边形 中，O为 的中点，直线l与边 重合，将直线l绕点B旋转，旋转角
为 ， 直线l于点M， 直线l于点N，连接 、 ．
(1)如图①，当直线l绕点B逆时针旋转 （ ）时，请直接写出 、 的数量关系是_______；
(2)如图②，当直线l绕点B顺时针旋转 （ ）时，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由；
(3)若旋转角 ，当平行四边形 为正方形，且边长为 时，请直接写出线段 的长．
【答案】(1) ；(2)成立，理由见解析；(3) 或
【分析】（1）如图，延长 ，交 于点 ，通过证明 ，再根据直角三角形中位线性质，
进而证出 ；
（2）如图， 延长 、 ， 交于点 ， 通过证明 ，再根据直角三角形中位线性质，进
而证出 ；
（3）情况 ：如图，逆时针旋转 ，先证出 ， 再根据直角三角形性质及勾股定理
可求出 长；情况 ：如图，顺时针旋转 ， 延长 、 交于点 ， 连接 ， 并过 点作
， 通过证明 推出 ， 再通过证明 ， 推出 为
等腰直角三角形，再通过 得出 ，最后可求出 ．
【详解】（1）延长 ，交 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 中点，
∴ ，
∴在 与 中
，
∴ ，
∴ ，
为直角三角形，
∴ ；
（2）解：成立，理由为：
延长 、 ， 交于点 ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∵ 为 中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为直角三角形，
∴ ；
（3）情况 ：如图，逆时针旋转 ，
∵ 为正方形的对角线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
，
，
∴在 中， ，
同理 ，
；情况 ：如图，顺时针旋转 ，延长 、 交于点 ，连接 ，并过 点作
，
，
∴ ，
∵ 为 中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 为直角三角形，
∴ ，
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
，
，
∴在 中， ，
，
综上： 的长为 或 ．【点睛】本题考查三角形全等证明、等腰三角形性质、勾股定理、平行线判定、直角三角形相关性质、正
方形性质等知识点，根据题意做出正确的辅助线是解题的关键．
