文档内容
2025 年中考第二次模拟考试（吉林卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．计算： （ ）
A．2 B． C．8 D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的减法，掌握有理数减法法则是关键．根据有理数的减法运算法则计算即可求
解．
【详解】解： ，
故选：D ．
2．2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约 的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标
志着我国对月球背面的研究又进入一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据
384000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为
整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同；
据此求解即可．
【详解】解： ．
故选：D．
3．在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源
之早，如图是集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三视图的知识．主视图是从正面所看到的图形，根据定义和立体图形即可得出选项．
【详解】
解：主视图是从正面所看到的图形，该立体图形的主视图是：
故选：D．
4．在平面直角坐标系中，点 一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查点横纵坐标与所在象限的关系，判定点P的横纵坐标的符号即可得解．
【详解】解：∵ ，
∴
∵ ，
∴点 一定在第四象限．
故选：D．
5．已知 是方程组 的解，则 的值是（ ）
A．2 B．4 C．0 D．7【答案】A
【分析】本题考查了方程组的解．将方程组的解代入 得的新的二元一次方程组，然后观察发现，
两式相加即可完成解答．
【详解】解：把 代入方程组得： ，
① ②得： ，
则 ，
故选：A．
6．如图， 是以 为直径的半圆上的两点， ，连接 ．若 ， ，
则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先连接 ，证明 后，将阴影面积转化为扇形 即可．
【详解】如图，连接 ， 交 于点 ．
且与 对应的弧均为
根据圆周角的定理，可得：
与 对应的弧均为
根据圆周角的定理，可得：是等边三角形．
同理，可得 是等边三角形
（AAS）
阴影部分的面积即为扇形 的面积，即：
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的判定以及扇形面积等，解题的关键在
于将阴影面积转化为扇形 来求．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
7．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，提公因式法进行因式分解即可．
【详解】解： ；
故答案为： ．
8．如图所示，在杭州亚运会上一名中国运动员在跪姿射击时是由左手、左肘、左肩、右肩构成两个三角形，这样做的数学依据是 ．
【答案】三角形的稳定性
【分析】本题主要考查了三角形稳定性的知识，理解三角形的稳定性是解题关键．根据三角形的稳定性，
即可获得答案．
【详解】解：在杭州亚运会上一名中国运动员在跪姿射击时是由左手、左肘、左肩、右肩构成两个三角形，
这样做的数学依据是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
9．某汽车销售4S店10月份销售某型号新能源汽车20辆，由于该型号汽车优越的经济适用性，销量快速
上升，12月份该公司销售该型号汽车达45辆．设该4S店销售该型号汽车11月份和12月份的平均增长率
为 ，根据题意可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用12月份该公司销售该型号汽车的数量 10月份该公司销
售该型号汽车的数量 （ 增长率） ，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：依题意得： ，
故答案为： ．
10．成语“立竿见影”在《辞源》里的解释为“竿立而影现，喻收效迅速．”希望小组开展了运用阳光下
的影长测量学校内旗杆高度的实践活动．小组内同学进行了如下操作：如图，同一时刻在阳光照射下，旗
杆 的影长 ，小明的影长 ，已知小明的身高 ，则旗杆 的高为
．【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的应用和平行投影，解题的关键是根据相似三角形的性质得到同一时刻同
一地点物体的高度与其影长的比相等．
设该旗杆的高度为 ，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等，即有
，然后解方程即可．
【详解】解：设该旗杆的高度为 ，
根据题意，得 ，
解得： ．
即该旗杆的高度是 ．
故答案为： ．
11．如图1，先把一张矩形纸片 上下对折，设折痕为 ；如图2，再把点B叠在折痕线上，得到
，过B点作 ，分别交 于点P、Q，若 则 ．
【答案】
【分析】延长 交 于F，通过折叠的性质证明出 ，则 ，继而 垂直平分 ，
故 ，那么 ，由折叠的性质可得 ，继而 ，再解直角三角形
即可．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
由折叠得 ， ，
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
延长 交 于F，如图，∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，把握
折叠的性质证明出 角是解题的关键．
三、解答题（本大题共11个小题，共87分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
12．（6分）先化简,再求值: ,其中 ．
【答案】
【分析】本题考查整式的化简求值问题．先将整式化简,再将 代入化简结果中,即可求得本题答案．
【详解】解: ,
,
,
将 代入 中得: ,故答案为: ．
13．（6分）用方程（组）解答问题：购买蓝、黑两种布料共140米，共花了540元，其中蓝布料每米3元，
黑布料每米5元，求：两种布料各购买了多少米？
【答案】蓝布料买了80米，黑布料买了60米
【分析】设蓝布料购买了x米，则黑布料购买了（140－x）米．根据“共花了540元，其中蓝布料每米3
元，黑布料每米5元，”可列出方程，解出即可．
【详解】解：设蓝布料购买了x米，则黑布料购买了（140－x）米．
依题意，得：3x＋5（140－x）＝540
解这个方程，得x＝80，
∴140－x＝60，
答：蓝布料买了80米，则黑布料买了60米．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
14．（6分）一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号H、O、C、N的小球，这些小球除元素
符号外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，用画树状图或列表的方法，求所标元素能组成“ ”
的概率．
【答案】
【分析】本题考查了概率的计算，掌握树状图法或列表法求概率是解题的关键．先根据题意列表，再由列
表得出所有等可能的结果数以及符合题意的结果数，最后根据概率的计算公式即可求解．
【详解】解：列表如下：
由列表可知，共有12种等可能的结果，其中所标元素能组成“ ”的有2种情况，
所标元素能组成“ ”的概率 ．
答：所标元素能组成“ ”的概率为 ．
15．（7分）如图，四边形 是平行四边形，E为 延长线上一点， ，连接 交 于点
F，连接 、 、 ．(1)若 ，求 的度数；
(2)已知 ，求证：四边形 是平行四边形．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和平行线的
性质等知识点．
（1）根据平行四边形的性质得出 ， ，根据平行线的性质得出 ，求
出 ，根据 得出即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出 ，求出 ，根据全等三角形的性质得出
，再根据平行四边形的判定得出结论即可．
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，又∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
16．（7分）如图，在 的正方形网格纸中，已知格点 和格点线段 ，请按要求画出 为对角线的
格点四边形（顶点均在格点上）．
(1)在图①中画出四边形 ，使得四边形 是中心对称图形，且点M在四边形 的内部（不
包括边界上）．
(2)在图②中画出四边形 ，使得四边形 既是轴对称图形，又是中心对称图形，且点 在四边
形 的内部（不包括边界上）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定定理和正方形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理和正方形的
判定是解本题的关键．
（1）根据题意可以作一个平行四边形，根据平行四边形的判定定理∶一组对边平行且相等的四边形是平
行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，或四条边相等的四边形即菱形，作图；
（2）可以作一个正方形，根据正方形的判定：四条边相等且有一个角是直角的四边形，作图即可．
【详解】（1）如图，∵ ，
∴四边形 是平行四边形，符合题意，
（2）如图， ，
∴四边形 是菱形，符合题意；17．（7分）每年春季都是流感高发期．为“预防流感，守护健康”增强学生防疫意识，某中学八、九年
级举办了防疫知识问答竞赛．现八、九年级各随机抽取了20名学生的知识竞赛分数（单位：分）进行整理
和分析，当分数不低于95分为优秀，下面给出部分信息．
八、九年级被抽取的学生防疫知识竞赛分数的中位数、众数、优秀率如下表：
年级 中位数 众数 优秀率
八年级 a 95 n%
九年级 95 b 60%
(1)填空：a＝______；b＝______；m＝______；n＝______；并补全条形统计图；
(2)若该校八、九年级各有500名学生，估计这两个年级的学生知识竞赛成绩优秀的总人数．
(3)根据以上数据分析，你认为八、九年级哪个年级防疫知识掌握的更好？请说明理由（写出一条理由即
可）
【答案】(1) ， ，5，50，详见解析(2)这两个年级的学生知识竞赛成绩优秀的总人数是550
(3)我认为九年级更优秀，详见解析
【分析】（1）根据统计图结合中位数、众数可进行求解；
（2）根据两个年级的优秀率可进行求解；
（3）根据题意可直接进行求解．
【详解】（1）解：八年级被抽取学生防疫知识竞赛成绩为95分的人数为 （人），
其中位数 ，
由扇形统计图知九年级被抽取学生防疫知识竞赛成绩为100分的人数最多，
所以其中位数 ，
九年级成绩优秀的人数为 （人），
得分为100分的人数为 （人），
得分为100分的人数所占百分比为 ，
，即 ，
八年级成绩优秀的人数所占百分比 ，即 ，
补全图形如下：
；
（2）解： （人），
答：这两个年级的学生知识竞赛成绩优秀的总人数是550；
（3）解：我认为九年级更优秀，
理由如下：九年级中位数95大于八年级中位数92.5，所以九年级更优秀．
【点睛】本题主要考查中位数、众数、条形统计图及扇形统计图，熟练掌握中位数及众数的求法是解题的
关键．
18．（8分）乐乐和佳佳同时从学校出发，分别骑自行车沿同一条路线到体育馆进行锻炼，图中折线和线段 分别表示乐乐和佳佳离学校的距离 （米）与时间 （分钟）之间的函数关系，且
两人骑车速度均保持不变．根据图中信息，解答下列问题：
(1)乐乐的速度为________米/分钟，佳佳比乐乐早________分钟到达体育馆；
(2)求图中 段 与 的函数关系式，并写出 的取值范围；
(3)出发后经过16分钟，两人相距多少米？
【答案】(1)300，2
(2) ；
(3)出发后经过16分钟，两人相距800米．
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式及速度、时间和路程之间的关系
是解题的关键．
（1）根据速度=路程÷时间分别求出乐乐和佳佳的速度，再由时间=路程÷速度求出佳佳到达体育馆所用时
间，从而计算佳佳比乐乐早多长时间到达体育馆；
（2）根据时间=路程÷速度求出 段所用的时间，从而求出点B的坐标，再利用待定系数法求 段y与x
的函数关系式即可；
（3）将 代入 段y与x的函数关系式，求出对应的y值；根据路程=速度×时间求出佳佳16分钟的
路程，从而求出出发后经过16分钟两人之间的距离．
【详解】（1）解：乐乐的速度为 （米/分钟）；
佳佳的速度为 （米/分钟），
佳佳到达体育馆所用时间为 （分钟），
∴佳佳比乐乐早 （分钟）到达体育馆．
故答案为：300，2；
（2）解： ，则 ，
∴ ．设 段y与x的函数关系式为 （k、b为常数，且 ）．
将坐标 和 分别代入 ，
得 ，
解得 ，
∴ 段y与x的函数关系式为 ；
（3）解：当 时， ，
（米），
（米）．
答：出发后经过16分钟，两人相距800米．
19．（8分）图1是某品牌实物投影仪，图2是它的示意图，折线 表示固定支架， 垂直水平
桌面 于点O，点B为旋转点， 可转动，当 绕点B顺时针旋转时，投影探头 始终垂直于水平
桌面 ，经测量： ．（参考数据：
）
(1)如图2， ， ．
①填空： °；②投影探头的端点D到桌面 的距离为 ．
(2)如图3，将（1）中的 向下旋转，当 时，求投影探头的端点D到桌面 的距离．
【答案】(1)①160；②45；
(2)
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，矩形的性质和判定，
对于（1），过点B作 交 于点F，过点A作 ，交 于点G，根据平行线的性质得，可知 ；再根据 ，求出 ，最后根据点D到桌面的距离
是 得出答案；
对于（2），如图所示，延长 交 于点H，作 ，与 延长线相交于点M，作 ，
则四边形 是矩形，先求出 ，进而求出 ，再求出 ，最后根据
得出答案．
【详解】（1）解：如图所示，
过点B作 交 于点F，过点A作 ，交 于点G，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
在 中， ，
∴ ，
∴点D到桌面的距离是 ；
故答案为：①160；②45；
（2）解：如图所示，延长 交 于点H，过点B作 ，与 延长线相交于点M，过A作
于点F，则四边形 是矩形，
由题意得 ， ，
，
，
，
在 中， ，
，
，
∴投影探头的端点D到桌面 的距离为 ．20．（10分）综合与探究：已知正方形 中， 是 上一动点，过点 作 交正方形的外角
的平分线于点 ．
(1)【动手操作】
如图①，在 上截取 ，连接 ，根据题意在图中画出图形，图中 _____度；
(2)【深入探究】
E是线段 上的一个动点，如图②，过点 作 交直线 于点 ，以 为斜边向右作等腰直角
三角形 ，点 在射线 上，求证： ；
(3)【拓展应用】
在（2）的条件下，若 是射线 上的一个动点， ， ，求线段 的长．
【答案】(1)画图见解析；135
(2)证明见解析
(3)3或7
【分析】（1）根据题意作图即可，由正方形的性质可得 ，由 ，得到 ，
根据平角的性质即可求解；
（2）如解图②，在 上截取 ，连接 ，则 ，可证 ，
由此即可求解；
（3）如解图①，四边形 是正方形，可证 ，得到 ，如解图②，当点
在线段 上时，可得 是等腰直角三角形，可得 ， ，可得 ；如解图③，当点 在 延长线上时，延长 至点 ，使 ，连接 ，则 是等腰直角三角
形，由题意可得 ．
【详解】（1）解：根据题意，画出图形如解图①，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：135；
（2）证明：如解图②，在 上截取 ，连接 ，则 ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
， ，
， ，
， ，
，
．（3）解：如解图①， 四边形 是正方形，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如解图②，当点 在线段 上时，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
．
，即 ，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，，
；
如解图③，当点 在 延长线上时，延长 至点 ，使 ，连接 ，
则 是等腰直角三角形，
， ， ，
，
，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
．
综上所述，线段 的长为3或7．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等
知识的综合运用，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论思想是解题的关键．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系 中，点A的坐标为 ，以 为边在第一象限作平行四边形
，其中 ， ．点 从点 出发，沿 边向点 移动，过点 作 的垂线，交折线
于点 ．将平行四边形 在 的左侧部分沿 折叠，点O的对应点 落在x轴上，设折叠
部分与平行四边形 的重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ， ．(1)当重叠部分为三角形时（如图1），求S和 的函数关系式（不写 的取值范围）；
(2)当重叠部分为四边形时，请直接写出 的取值范围；
(3)在点 从点 移动到点 的过程中，S是否有最大值？如果有，请求出S的最大值；如果没有，请说明
理由．
【答案】(1)
(2) 或 ；
(3)有，
【分析】（1）分别画出图形，求出函数解析式即可；
（2）分两种情况画出图形，进行解答即可；
（3）分五种情况求出各自的最大值，从中即可得到答案．
【详解】（1）解：当点Q在 上，重叠部分为三角形，如图1，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴
当点P与点A重合时，如图2，重叠部分为三角形，
∵ ，
∴ ，
∴
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴
∴
综上可知，当重叠部分为三角形时，S和 的函数关系式为
（2）∵ ，
∴ ，
如图3， 与A重合，则 ，
∴ ，
∴ ，
如图4，点C的对称点与点B重合 ，∵
∴
由折叠可知， ，
∴ ，
∴
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当重叠部分为四边形时，t的取值范围是 或 ；
（3）有
①当 时，重叠部分为三角形，
，
②当 时，重叠部分是四边形，当 时，S有最大值，如图3所示，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
③当 时，重叠部分为五边形，如图5，同理可得， 是等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∴
当 时， 有最大值 ，
④当 时，重叠部分是四边形，
当 时， 有最大值， ，
⑤当 时， ，
综上可知， 的大值为
【点睛】此题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、函数解析式、等边三角形的判定和性质、含
角的直角三角形的性质、折叠性质等知识，分类讨论和数形结合是解题的关键．
22．（12分）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水
平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数
据如下表所示，设 的读数为x， 读数为y，抛物线的顶点为C．(1)（Ⅰ）列表：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
x 0 2 3 4 5 6
2.2 6.2
y 0 1 4 9
5 5
（Ⅱ）描点：请将表格中的 描在图2中；
（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；
(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直
直尺测量其水平跨度为 ，竖直跨度为 ，且 ， ，为了求出该抛物线的开口大小，该数
学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：
方案一：将二次函数 平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为 ．
①此时点 的坐标为________；
②将点 坐标代入 中，解得 ________；（用含m，n的式子表示）
方案二：设C点坐标为
①此时点B的坐标为________；
②将点B坐标代入 中解得 ________；（用含m，n的式子表示）
(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系 中有A，B两点， ，且 轴，二次函数
和 都经过A，B两点，且 和 的顶点P，Q距线段 的距离之
和为10，求a的值．【答案】(1)图见解析， ；
(2)方案一：① ；② ；方案二：① ；② ；
(3)a的值为 或 ．
【分析】（1）描点，连线，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据图形写出点 或点B的坐标，再代入求解即可；
（3）先求得 ， ， 的顶点坐标为 ，再求得 顶点距线段 的距
离为 ，得到 的顶点距线段 的距离为 ，得到 的顶点坐标为 或
，再分类求解即可．
【详解】（1）解：描点，连线，函数图象如图所示，
观察图象知，函数为二次函数，
设抛物线的解析式为 ，
由题意得 ，
解得 ，∴y与x的关系式为 ；
（2）解：方案一：①∵ ， ，
∴ ，
此时点 的坐标为 ；
故答案为： ；
②由题意得 ，
解得 ，
故答案为： ；
方案二：①∵C点坐标为 ， ， ，
∴ ，
此时点B的坐标为 ；
故答案为： ；
②由题意得 ，
解得 ，
故答案为： ；
（3）解：根据题意 和 的对称轴为 ，
则 ， ， 的顶点坐标为 ，
∴ 顶点距线段 的距离为 ，∴ 的顶点距线段 的距离为 ，
∴ 的顶点坐标为 或 ，
当 的顶点坐标为 时， ，
将 代入得 ，解得 ；
当 的顶点坐标为 时， ，
将 代入得 ，解得 ；
综上，a的值为 或 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，抛物线的平移等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关
键．
