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2025 年中考第一次模拟考试（吉林卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．用科学记数法表示0.00000005，结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整数，
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原
数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：0.00000005用科学记数法表示为 ，
故选：C．
2．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思为：今有两数若意义相反，则分别
叫做正数与负数．如果温度上升 ，记作 ，那么温度下降 ，记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正负数的意义，根据温度上升 ，记作 ，故温度下降 ，记作 ，即可
作答．
【详解】解：∵温度上升 ，记作 ，
∴温度下降 ，记作 ，
故选：D．
3．如图是由 5个形状大小完全相同的小正方体搭成的一个几何体，则它的俯视图是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三视图的知识．根据俯视图是从物体的上面看得到的视图进行判断即可．
【详解】解：根据立体图可知该俯视图是：
．
故选：C．
4．把图中的风车图案绕着中心O旋转，旋转后的图案与原来的图案重合，旋转角的度数至少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了旋转对称图形，即把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种
图形叫做旋转对称图形，旋转的角度叫旋转角．根据旋转对称图形的定义求解即可．
【详解】解：观察发现，该图形可以平分成四部分，即旋转 的整数倍，可与原来的图案重合，
旋转角的度数至少为 ，
故选：C．
5．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a的值不可能是（ ）
A． B．0 C．1 D．3
【答案】D
【分析】根据根的判别式得到 ，然后解关于a的不等式，即可求出a的范围．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ．
只有3符合题意，
故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握相关知识是解题关键．
6．如图， 是 的半径， 是弦， ，点 在 上，若 ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，熟练掌握知识点是解题的关键．由垂径定理得 ，再
由圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵ 是弦， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
7．单项式 的系数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了单项式的概念，熟练掌握单项式的概念是解题的关键．
根据单项式的概念即可得到答案．
【详解】解：单项式 的系数是 ，
故答案为： ．
8．因式分解： ．【答案】
【分析】本题考查了分解因式，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公
因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因
式．
本题先提取公因式 后，继续应用平方差公式分解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
9．式子 有意义，则x的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式的解集，根据被开方数是非负数列不等式求解即可．
【详解】解：∵式子 有意义，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
10．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的
）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点 在同一水平线上，
和 均为直角， 与 相交于点 ．测得 ， ， 则树高
．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题意可知： ，从而可以得到 ，然后代入数据计算，即可得到 的长．
【详解】解：由题意可得： ， ， ， ，，
，
即 ，
解得： ，
树高 ，
故答案为： ．
11．如图，点 ， 是抛物线 ： 上的两点，将抛物线 向左平移得到抛物线
，且曲线段AB扫过的阴影部分面积为5，则抛物线 的解析式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移、二次函数的综合题等知识点，掌握数形结合思想成为解题
的关键．
由题意知，图中阴影部分的面积是平行四边形的面积，根据点A、B的坐标求得该平行四边形的一高为1，
结合平行四边形的面积公式求得底边长为5，即平移距离是5，然后结合平移规律解答即可．
【详解】解：如图：∵曲线段 扫过的面积为5（图中的阴影部分），点 ， ，
∴平行四边形 的高为 ，
∵曲线段AB扫过的阴影部分面积为5，
∴ ，即 ，
即将函数 的图象沿x轴向左平移5个单位长度得到一条新函数的图象，∴抛物线 的解析式是 ，即 ．
故答案为： ．
三、解答题（本大题共11个小题，共87分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
12．（6分）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，4
【分析】本题考查了整式的加减以及求值．先合并同类项，再将 代入求值即可．
【详解】解：
，
当 ， ．
13．（6分）小明和小亮对航天知识都非常感兴趣，他们在中国载人航天网站上了解到，航天知识分为
“梦圆天路”“飞天英雄”“探秘太空”“巡天飞船”等模块．他们决定先从“梦圆天路”“飞英雄”
“探秘太空”三个模块中各随机选择一个进行学习，分别设这三个模块为A、B、C．请用画树状图（或列
表）的方法，求小明和小亮选择相同模块的概率．
【答案】树状图见详解，
【分析】本题考查用列表法或树状图法求概率．根据题意画出树状图即可得到本题答案．
【详解】解：画树状图如下：
，
设：小明和小亮选择相同模块的事件为A，
由树状图可知，共分为 种情况，
选择相同模块的情况为： ，共3种情况，∴ ，
故答案为： ．
14．（6分）如图，点 ， ， ， 在同一直线上，点 和点 分别在直线 的两侧，且 ，
， ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键．根据 可知 ，
结合 ， ，即可判定 ．
【详解】证明： ，
，
，
， ，
．
15．（7分）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 （千帕）是气球的体
积 （立方米）的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求该反比例函数的表达式；（不用写自变量的取值范围）
(2)当气球内的气压为 千帕时，求气球的体积．
【答案】(1)
(2) 立方米
【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质，根据点在反比例函数图象上，求出反比例系数，再根据反比例函数的性质，进行解答，即可．
（1）设 ，根据点 在反比例函数图象上，代入 ，求出 ，即可；
（2）根据题意，当 ，代入反比例函数解析式，求出 ，即可．
【详解】（1）解：设 ，
由函数图象可得，点 在反比例函数图象上，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数的表达式为 ．
（2）解：由（1）得，反比例函数的表达式为： ，
当 时，
∴ ，
答：当气球内的气压为 千帕时，气球的体积为 立方米．
16．（7分）露营爱好者在露营时为遮阳和防雨会借助垂直于地面的树干搭建一种“天幕”（如图1），其
截面示意图是轴对称图形（如图2），对称轴是垂直于地面的支撑杆 ，用绳子拉直 后系在树干
上的点 处，使得 ， ， 在一条直线上，通过调节点 的高度可控制“天幕”的开合，若
米， 于点 ．（参考数据： ， ， ）
(1)天晴时打开“天幕”，若 ，求遮阳宽度 ；（结果保留一位小数）
(2)下雨时收拢“天幕”， 由 减小到 ，求点 下降的高度．（结果保留一位小数）
【答案】(1) 米
(2) 米
【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角形的值的计算方法是解题的关键．（1）根据题意可得， ，在 中， ，由即可求解；
（2）在 中， ，如图所示： 旋转到 ，则 米，过点 作
交 于点 ，则 ，在 中， ，由 ，即可求
解．
【详解】（1）解： ，且 ，
平分 ， ，
，
，
在 中， ，
米，
（米），则 （米），
故遮阳宽度 约为7.7米；
（2）解：∵在 中， ，
（米），
当 从 变为 ，
如图所示： 旋转到 ，则 米，
过点 作 交 于点 ，则 ，
在 中， ，
米，
，
（米），
点下降到 点的距离为1.0米．
17．（7分）如图是 的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点 、 均在小正方形的顶点
上．按下列要求作图，且所画的点均在小正方形的顶点上．(1)在图①中画出以 、 、 、 为顶点的四边形，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为
10；
(2)在图②中画出以 、 、 、 为顶点的四边形，使其既是轴对称图形，又是中心对称图形，且面积为
15．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的性质，平行四边形的性质，矩形的性质，网格与勾股定
理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）作出四边形 为平行四边形，且 运用割补法列式算出平
行四边形 的面积为10；
（2）依题意，作出四边形 为矩形，且 ， ，结合矩
形的面积公式为 ．
【详解】（1）解：四边形 即为所求，如图所示：
则四边形 为平行四边形，是中心对称图形，且
则
∴平行四边形 的面积为10；
（2）解：如图，四边形 即为所求．依题意，四边形 为矩形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，
且 ， ，
∴矩形的面积公式为 ．
18．（8分）2024年11月20日，是我国第一艘无人飞船−−神舟一号任务成功25周年．为普及航空航天
知识，提升学生民族自豪感，南山某校当日组织七、八年级全体同学开展航空航天知识竞赛．现从七、八
年级各随机抽取15名学生的竞赛成绩进行数据整理分析：
【数据收集】
七年级：69，70，71，74，76，80，83，84，85，85、89，92，93，96，98；
八年级：57，68，74，76，79，82，85，88，88，88，90，91，92，92，95；
【数据整理】
七年
0 1 a 6 4
级
八年
1 1 3 5 5
级
【数据分析】
平均
年级 中位数 众数
数
七年级 83 b 85
八年级 83 88 c
根据以上信息，解答下列问题：
(1)a= ，b= ，c= ；
(2)你认为哪个年级竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)竞赛成绩在90分及以上的学生可以获得奖品，如果该校七年级有540名学生，八年级有600名学生，估
计七、八年级可以获得奖品的学生总人数为多少？【答案】(1)4；84；88
(2)八年级的成绩较好，理由见解析
(3)344
【分析】本题主要考查了中位数，众数，及其应用，用样本估计总体的数量，
（1）根据频数的定义，中位数和众数的确定方法，求出a、b、c的值即可；
（2）利用中位数和众数进行分析即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可．
【详解】（1）解：由表格知，七年级竞赛成绩在 的人数是 ；
七年级竞赛成绩最中间的是84，所以中位数 ；八年级竞赛成绩出现次数最多的是88，所以众数
.
故答案为：4，84，88；
（2）解：八年级的成绩较好，理由如下：
两个年级的平均数相同，八年级的中位数和众数均比七年级高，所以八年级的成绩较好．
（3）解： （人）；
答：七、八年级可以获得奖品的学生总人数为 344人．
19．（8分）综合与实践
【问题情境】水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组进行
了以下的试验与研究．
【实践发现】在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每5min记录一次容器中的水量，得到如下
表的一组数据：
时间 0 5 10 15 20 …
盛水量
5 20 35 50 65 …【问题解决】
(1)请根据表中信息在坐标系中描点、连线，画出 关于 的函数图象，根据图象发现容器内盛水量
与滴水时间 符合学习过的______函数（选填“正比例”或“一次”）；
(2)根据以上判断，求 关于 的函数关系式；
(3)一个人一天大约饮用1600毫升水，在这种滴水状态下，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏
水量可供一人饮用大约多少天？（结果保留整数）
【答案】(1)图象见解析，一次
(2) ；
(3)这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用约81天．
【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求出一次函数解析式是关键．
（1）根据表格数据，画出函数图象，从图象观察符合一次函数图象特征即可；
（2）待定系数法求出一次函数解析式即可；
（3）先计算出一天的漏水量，再计算出一月的漏水量，最后与1600作除法运算即可．
【详解】（1）解： 关于 的函数图象如图所示：
从所画图象看，符合一次函数的特征．
故答案为：一次；
（2）解：设一次函数解析式为 ，将点 ， 代入解析式得：
，解得 ，
一次函数解析式为 ；
（3）解：一天 ，一天的盛水量 ，
一月的盛水量 ，
可供一人饮用 （天 ，
答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用约81天．
20．（10分）问题提出
如图1，点M、N把线段 分割成 三条线段，如果以 为边的三角形是一个
直角三角形，则称点M、N是线段 的勾股分割点．
（1）如图1， 、 是线段 的勾股分割点，且 ， ，则 的长为_____；
问题证明
（2）如图2， 中， ，折 ，使得点 都与 重合，折痕分别为 ，求
证：点 是线段 的勾股分割点；
迁移应用
（3）如图3，正方形 中， 分别交 与点 ．若 ．请直
接写出 的长．
【答案】（1） 或 ；（2）见解析；（3） 或 ．
【分析】（1）分 为直角边和斜边两种情况利用勾股定理求解即可；
（2）先求出 的度数，由折叠的性质可得 ，则可求
出 ，在 中，由勾股定理得 ，则 ，
（3）将 绕点A逆时针旋转 到 的位置，连接 ，证明 ，再证明，则 勾股定理得到 ，设 ，则
，则 ，解得 即可．
【详解】（1）解：当 为直角边时，则 ；
当 为斜边时，则 ；
∴ 的长为 或 ；
（2）证明：∵ ，
∴ ；
由折叠的性质可得 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴点E、F是线段 的勾股分割点；
（3）∵四边形 是正方形，
∴
将 绕点A逆时针旋转 到 的位置，连接 ，
则 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴
∵
∴ ，
设 ，则 ，∴ ，解得 ，
即 的长为 或 ．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质、解一元二次方程、旋转的性质
等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
21．（10分）如图所示，在等腰直角三角形 中， ， ， 于点D，点P从
点A出发，沿A→C方向以 的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作 交 于点
Q，以线段 为边作等腰直角三角形 ，且 （点M，C位于 异侧），设点P的运动时
间为x（ ）， 与 重叠部分的面积为y（ ）．
(1)如图2，当点M落在 上时， _______；
(2)求点M落在 上时x的值；
(3)若M点在 下方时，求重叠部分面积y与运动时间x的函数表达式．
【答案】(1)4；(2) ；
(3) ．
【分析】（1）先证明四边形 是正方形，则 ，由 是等腰直角三角形得到 ，
则 是等腰直角三角形，得到 ，得 ，即可得到答案；
（2）由等腰直角三角形 中， ，得到 ， 是等腰直角三角形，得到
，由 ， 得到 ，则 是等腰直角三角形，则 ，
可证明 ，则 ，设 ，则 ，求出 ，得到
，即可得到答案；
（3）分Q在 下方和Q在D上方两种情况，分别进行求解即可．
【详解】（1）当点M落在 上时，如图①：
， ， 是等腰直角三角形，
， .
四边形 是正方形.
.
是等腰直角三角形，是等腰直角三角形.
.
.
，
故答案为：4；
（2）点M落在 上时，如图②：
∵等腰直角三角形 中， ，
， 是等腰直角三角形，
∵ ，
，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
又∵ ，
，
，
设 ，则 ，，
解得： ，
，
；
（3）i）当Q在 下方时，如图③：
， ，
，
， 是等腰直角三角形，
，
，
， ，
，
，
，
，
， ，
，；
ii）当Q在D上方时，如图④：
， ，
，
， ，
在等腰直角三角形 中， ，
，
，
综上所述，
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、求
函数解析式等知识，熟练掌握相似三角形的判定和数形结合是解题的关键．
22．（12分）定义： ， ，以 长度为边在 轴上方作等边三角形 ，当函数
与 在第一象限内有交点，称为“特别函数”．(1)如图 ，当 时，一次函数 是“特别函数”，求 的取值范围；
(2)如图 ，函数 是“特别函数”，求 的取值范围；
(3)如图 ，在 的条件下，函数 与 交于点 ， ，求 的值；
(4)当 时，函数 最大值与最小值的差为 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4) ，
【分析】本题考查了一次函数，二次函数的性质和图像和三角形结合综合问题，熟练掌握二次函数，一次
函数的性质和图像是解题的关键；
（1）过 作 轴垂线交于点 ，根据等边三角形的性质求出点 的坐标，代入函数求出 的值；
（2）根据 ， 点坐标求出直线 的解析式，求出顶点坐标；进而求出 的取值范围；
（3）别过点 与 作 轴垂线，分别交 于点 ， ，根据 ，求出 ，则
，求出 的坐标，从而求出 的值
（4）分别对 ， ， ， ， 五种情况讨论，求得 的值；
【详解】（1）解：过 作 轴垂线交于点 ，等边三角形
（2）解： ，
直线 的解析式为：
函数的顶点坐标为：
解得：（3）解：分别过点 与 作 轴垂线，分别交 于点 ，
，
， （舍）
（4）解：①当 时，最大值为
最小值为
②当 时，
最大值为
最小值为
无解
③当 时，
最大值为
最小值为
无解
， （舍）④当 时，
最大值为
最小值为
（舍）， （舍）
⑤当 时，
最大值为
最小值为
（舍）综上： ，
