文档内容
2025 年中考押题预测卷（吉林省卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．如果收入 元记作 元，那么支出 元记作（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【答案】A
【分析】本题考查的知识点是相反意义的量，解题关键是熟练掌握“相反意义的量的表示”．
根据正负数的含义，可得：收入记住“ ”，则支出记作“ ”，据此求解即可．
【详解】解： 收入 元记作 元，
支出 元记作 元．
故选： ．
2．若二次根式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数列不等式即可得出答案，
熟练掌握二次根式有意义的条件是解此题的关键．
【详解】解：∵二次根式 有意义，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
3．2024年新福建建设在创造性转化、创新性发展中，八闽文化焕发出新的时代光彩．第九届福建艺术节
线上线下参加活动人次超110000000．将数据110000000用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整数，
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原
数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解： ，
故选C．
4．某积木配件如图所示，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形即可得到答案．
本题考查的知识点是简单几何体的三视图，解题关键是熟练掌握三视图相关知识点．
【详解】解：从上面看，能看到半个圆，即看到的图形如下：
故选： ．
5．如图，在如图1中已知 ， ，线段m，求作 ．
作法：如图2，①作线段 ；②在 的同旁作 ， 与 的另一边交于点
C．则 就是所作三角形，这样作图的依据是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，
据此得出全等的判定方法．
【详解】解：∵ ， ，
∴这样作图的依据是 ，
故选：C．
6．玉佩，是我国古人身上常佩戴的一种饰品，如图1所示，古语有“君子无故，玉不去身”，到现在人们
也仍将谦谦君子喻为“温润如玉”．如图2，现有一块直径为 的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为
的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了扇形的面积计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式．根据圆周
角定理由 得 为 的直径，即 ，根据等腰直角三角形的性质得 ，然
后用圆的面积减去扇形的面积即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ 为 的直径，即 ，
∴ ，∴ ，
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
7．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键．利用提公因式法分解因式即
可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
8．如图，是等腰三角形钢架屋顶外框示意图，其中 ， 是横梁， 是竖梁，在焊接竖梁
时，只需要找到 的中点 ，就可以保证竖梁 与横梁 垂直，这样操作的数学依据是 ．
【答案】等腰三角形三线合一
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是
解此题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故样操作的数学依据是等腰三角形三线合一，故答案为：等腰三角形三线合一．
9．中国传统手工艺享誉海内外，扎染和刺绣体现了中国人民的智慧和创造力．某店销售扎染和刺绣两种
工艺品，已知扎染175元/件，刺绣325元/件，某天这两种工艺品的销售额为1175元．设扎染销售了x件，
刺绣销售了y件，则可列出方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了列二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
设扎染销售了x件，刺绣销售了y件，根据某天这两种工艺品的销售额为1175元，即可列出二元一次方程．
【详解】解：设扎染销售了x件，刺绣销售了y件，
由题意得 ，
故答案为： ．
10．抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩
法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如
图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题： ， ， ，
则 的度数为 ．
【答案】 /122度
【分析】本题考查平行线的性质及平行公理的推论，掌握平行线的性质是解题的关键．
过点 作 ，进而得到 ，由平行线的性质求 ，继而得到
，再根据两直线平行，同旁内角互补进行求解即可．
【详解】解：过点 作 ，∵ ，
∴
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
11．如图，在矩形 中，点 在线段 上，将 沿 翻折至 ，连接 ，若
， ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握矩形的
性质、折叠的性质、勾股定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键；由折叠的性质可知：
，则有 ， ，由矩形的性质可知
，然后可得 ，过点 作 于点E，进而可得 ，最后根据勾股定理可求解．
【详解】解：由折叠的性质可知： ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 于点E，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；故答案为 ．
三、解答题（本大题共11个小题，共87分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
12．（本题6分）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式除法运算法，是解题的关键．先根据分式除法运算
法则进行化简，然后再代入数据进行求值即可．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
13．（本题6分）在一个不透明的袋子中装有黄、白、蓝小球各1个，除颜色外，无其它差别．随机摸出
一个小球记下颜色后，放回并摇匀，再随机摸出一个，请用列表或树形图法求两次都摸到白球的概率．
【答案】
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的
关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两次都摸到白球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
黄 白 蓝
黄 （黄，黄） （黄，白） （黄，蓝）
白 （白，黄） （白，白） （白，蓝）
蓝 （蓝，黄） （蓝，白） （蓝，蓝）
共有9种等可能的结果，其中两次都摸到白球的结果有1种，
∴两次都摸到白球的概率为
14．（本题6分）如图，在菱形 中，点 、 分别在 、 边上， ，连接 、 ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
由菱形性质得， ， ，，根据全等三角形判定SAS可得 ，由全等三角形性
质即可得证．
【详解】证明：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵
∴ ．
∴ ．
15．（本题7分）如图，一次函数 与x轴交于点 ，与反比例函数 交于 ，
C两点．
(1)求m，n，k的值；
(2)点M在y轴上，若 ，求点M的坐标．
【答案】(1)5，4，4
(2) 或
【分析】（1）把A代入一次函数 ，求出m的值，然后把B的坐标代入一次函数解析式求出n的
值，最后把B的坐标代入求出反比例函数解析式即可；（2）根据 ，得出 ，再求出 ，即可求出点M的坐标．
【详解】（1）解：把 代入一次函数 得：
，
解得： ，
把 代入一次函数 得：
，
解得： ，
把 代入反比例函数 ，
；
（2）解： ，
，
，
点M的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的综合，求一次函数和反比例函数解析式，三角形面积计算，
熟练掌握待定系数法，是解题的关键．
16．（本题7分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都为 ，每个小格的顶点叫作格点，以格点
为顶点分别按下列要求画图．
(1)在图①中，画一个平行四边形 ，使其面积为 ；
(2)在图②中，画一个正方形 ，使其面积为 ；
(3)在图③中，画一个菱形 ，使其面积为 ．
【答案】(1)作图见详解
(2)作图见详解
(3)作图见详解
【分析】本题主要考查网格与勾股定理、平行四边形、正方形、菱形的性质，掌握以上知识，数形结合是关键．
（1）根据网格特点，平行四边形的性质即可求解；
（2）根据网格，勾股定理，正方形的性质即可求解；
（3）根据网格，菱形的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图所示， ，
∴平行四边形 即为所求图形；
（2）解：如图所示， ，则 ，
∴正方形 即为所求；
（3）解：如图所示， ，则 ，
∴菱形四边形 即为所求图形．
17．（本题7分）某校提倡数学学习与生活紧密结合，数学问题要源于生活，用于生活．为此该校开展了
以“生活中的数学”为主题的知识竞赛．比赛结束后，张老师分别从八年级和九年级的参赛学生中各随机
抽取了8名学生的测试成绩（满分100分，90分及以上为优秀），绘制成如下统计图．(1)八年级这8名学生成绩的众数是___________分，中位数是___________分；
(2)九年级这8名学生的平均成绩为多少分？
(3)该校八年级和九年级各有56名学生参赛，请估计此次竞赛，八年级和九年级参赛学生中成绩为优秀的
共有多少人？
【答案】(1)85,84
(2)86分
(3)35人
【分析】本题考查了众数、中位数、平均数、用样本估计总体，理解并掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据众数和中位数的定义解题即可；
（2）根据平均数的公式解题即可；
（3）用样本估计总体分别算出八、九年级的人数，然后相加即可．
【详解】（1）解：八年级这8名学生的成绩出现次数最多的是 分，∴八年级这8名学生成绩的众数是
分；
八年级这8名学生的成绩从小到大依次为：75、78、81、83、85、85、91、95，第四个数和第五个数的平
均数为： ，∴八年级这8名学生成绩的中位数是 分；
（2）解： ，
∴九年级这8名学生的平均成绩为 分；
（3）解：八年级这8名学生中优秀的有2人，∴八年级参赛学生中成绩为优秀的有 人，
九年级这8名学生中优秀的有3人，∴九年级参赛学生中成绩为优秀的有 人，
，
∴八年级和九年级参赛学生中成绩为优秀的共有 人．
18．（本题8分）综合与实践【问题情境】龙象塔位于南宁市青秀山风景区，取“水行龙力大，陆行象力大”之意．某校数学实践小组
利用所学数学知识测量龙象塔的高度．
【实践探究】下面是两个方案及测量数据：
项
测量龙象塔的高度
目
方案一：晴天，借助太阳光线构成相
方 方案二：阴天，利用锐角三角函数．测
似三角形．测量：标杆长 ，影长
案 量：距离 ，仰角 ，仰角 ．
，塔影长 ．
测
量
示
意
图
测量项 测量项
第一次 第二次 平均值 第一次 第二次 平均值
目 目
测
1.61m 1.59m 1.6m 26.4° 26.6° 26.5°
量
数
据 1.18m 1.22m 1.2m 37.1° 36.9° 37°
38.9m 39.1m 39m 34.8m 35.2m 35m
【问题解决】
(1)本次实践活动对每个测量项目测量两次，再以两次测量数据的平均数作为研究数据，这样做的目的是
______．
(2)根据“方案一”的数据，求出龙象塔 的高度；
(3)根据“方案二”的数据，求出龙象塔 的高度（参考数据： ， ，
， ， ， ）．
【答案】(1)减小误差
(2)龙象塔 的高度为52米
(3)龙象塔 的高度为52.5米
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质和锐角三角函数并进行实际应用是解题的关键．
（1）根据题意解答即可；（2）由题意可知 ，从而得出 ，代入测量的平均值进行求解即可；
（3）根据锐角三角函数的正切值分别得出 ， ，再根据 进行
求解即可．
【详解】（1）解：这样做的目的是减小误差；
（2）解：由题意可知 ，
又 ，
，
，即 ，
解得 ，
龙象塔 的高度为52米；
（3）解：在 中， ，
，
在 中， ，
，
，
，
即 ．
米，
龙象塔 的高度为52.5米．
19．（本题8分）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑， 分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间
休息了两次．跑步机上 档比 档快 米/分、 档比 档快 米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所
示，跑步累计里程 （米）与小明跑步时间 （分）的函数关系如图所示．(1)求 各档速度（单位：米/分）；
(2)求小丽两次休息时间的总和（单位：分）；
(3)小丽第二次休息后，在 分钟时两人跑步累计里程相等，求 的值．
【答案】(1) 档速度 米/分； 档速度 米/分； 档速度 米/分
(2)小丽两次休息时间的总和为 分钟
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，读懂图中的数据是解题的关键．
（1）根据图中的数据求出 档速度，计算即可得到答案；
（2）根据图中数据求出小丽每段跑步所用时间，再根据总时间即可求解；
（3）根据图中数据列方程，求解即可．
【详解】（1）解：由图得 档速度为 （米/分），
档速度为 （米/分），
档速度为 （米/分），
答： 档速度 米/分； 档速度 米/分； 档速度 米/分.
（2）解：小丽第一段跑步时间为 （分钟），小丽第二段跑步时间为 （分钟），
小丽第三段跑步时间为 （分钟），
小丽两次休息时间的总和为 （分钟），
答：小丽两次休息时间的总和为 分钟.
（3）解：根据题意得 ，
解得： ，
的值为 .
20．（本题10分）小明和小亮在复习“三角形的角平分线”的有关定理时，产生了探究“三角形的角平分
线分对边所得的两条线段和三角形的另外两边的关系”这一想法，于是决定一起来研究：特例感知
（1）情景一：如图1，在等腰 中， ， 是 的角平分线，可知 ，发现
．
情景二：如图2，在 中， ， 是 的角平分线，如果 ， ，则
______， ______， _______，发现 _______（填“>”“<”或“=”） ．
猜想验证
（2）两人猜想：三角形的一个角的平分线将其对边分为两段，这两条线段与该角的两边对应成比例．于
是给出命题：
如图3，在 中，若 是 的角平分线，则有 ．
合作分析：两人发现结论是一个比例式，认为可以尝试用相似三角形来证明，于是便过点A作 的平行
线，交 的延长线于点P，请画出图形，并帮他们写出证明过程．
知识应用
（3）如图4，在 中， ， ， ， 平分 且 ．
①求 中 边上的高；
②求 的长．【答案】（1） ， ， ，=；（2）见解析；（3）①12；②7
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，会利用相似比计算几
何计算；本题证明了角平分线性质定理和此定理的运用．
（1）由勾股定理求出 ，过点D作 于点 ，由角平分线性质定理得 ，根据
可求出 ，进而可解决问题；
（2）根据题意画出图形，证明 ，得 ，证明 ，从而可得出结论；
（3）作 的高 ，设 ，以 为公共边，运用勾股定理求解即可；
②设 与 的交点为G．由 可求出 ，再证明 ．运用相似三角形的性
质可得结论．
【详解】解：（1）在 中， ， ， ，
∴ ，
过点D作 于点 ，如图，
∵ 是 的角平分线， ，
∴
又 ，
∴ ，∴ ，
∴ ,
∴ ，
∴ ，
又发现 ，
∴ ,
故答案为： ； ； ；=；
（2）证明：如图所示．
∵ ，
∴ ．
又∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
（3）①作 的高 ，如图．设 ，则 ．
解得 ．
∴ ．
②由①可知 ，则 ．
设 与 的交点为G．
由（2）可知 ，设 ．
∴ ，解得 ．
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
21．（本题10分）已知：如图，在△ 中， ， ， ， ，点 是线段
上一动点，从点 沿 方向匀速运动，速度为 单位 ；点 是线段 上一动点，从点 沿 方向匀
速运动，速度为 单位 ，作 ， ，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间
为 ．
解答下列问题：(1)四边形 是菱形时，求 的值；
(2) 为何值时，点 在边 上；
(3)连接 、 设四边形 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式；
(4)在运动过程中，是否存在某一时刻 ，使以点 、 、 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直
接写出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) 与 之间的函数关系式为 ；
(4)以点 、 、 为顶点的三角形是等腰三角形时 的值为 或 或 ．
【分析】（ ）根据菱形的性质得出 即可求解；
（ ）由（ ）得：四边形 是平行四边形， ， ，证明 ，根据相似
三角形的性质即可求解；
（ ）设 与 交于点 ，由（ ）得：四边形 是平行四边形，则 ，再由
即可求解；
（ ）根据相似三角形的性质和勾股定理得出 ，又 ， ，然后分
当 时， 当 时， 当 时三种情况分析即可；
本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，解一元二次方程，勾股定
理，建立函数关系式，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴由勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
由题意得： ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴当 时，四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，由（ ）得：四边形 是平行四边形， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图，设 与 交于点 ，
由（ ）得：四边形 是平行四边形，
∴ ，∴
，
∴ 与 之间的函数关系式为 ；
（4）解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ；
当 时， ，整理得： ，
解得： （舍去）或 ；
当 时， ，整理得：
解得： （舍去）或 ；
综上可知：以点 、 、 为顶点的三角形是等腰三角形时 的值为 或 或 ．22．（本题12分）如图 ，已知抛物线 与 轴分别交于点 ， 点 在点 的左侧 ，
与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当 时， 的值随 的增大而减小，求 的取值范围；
(3)动点 在 上方的抛物线上，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，求 的最大值及此时点
的坐标；
(4)如图 ，已知图象 的函数解析式为 ，动直线 与图象 的交点从左到右依
次为点 ， ， ， 点 ， 能否三等分线段 ？若能，请直接写出 的长度；若不能，请说明理
由．
【答案】(1)
(2)
(3) 有最大值 ，
(4)能，
【分析】（1）将点 ， 代入 ，即可求解；
（2）由题意可知 时， 的值随 的增大而减小，则可求 ；
（3）求出直线 的解析式，设 ， ，则 ，当 时，有最大值 ，此时 ；
（4） 时， ， ， ， 时， ，
， ，由 ，可求 ，则 ．
【详解】（1）解：将点 ， 代入 ，
，
，
；
（2）解： ，
抛物线的对称轴为直线 ，
时， 的值随 的增大而减小，
；
（3）解：如图，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入得：，
，
，
设 ， ，
，
当 时， 有最大值 ，
此时 ；
（4）解：点 ， 能三等分线段 ，理由如下：
由（1）可得 ，
，
当 时， 的最小为 ，
，
时， ， ，
，
时， ， ，
，
点 ， 三等分线段 ，
，，
，
．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用根与系数的关系是
解题的关键．
