文档内容
2025 年中考第二次模拟考试（四川成都卷）
数学·全解全析
A卷（共100分）
第I卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一
项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，
单位：元），王老师当天微信收支的最终结果是（ ）
A．收入4元 B．支出2元 C．支出6元 D．支出9元
【答案】A
【分析】本题考查有理数加法的实际应用．准确的列出算式，正确的进行计算，是解题的关键．将所有的
数字相加，根据所得结果进行判断即可．
【详解】解：由题意，得： ；
∴王老师当天微信收支的最终结果是收入4元；故选A．
2．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“育”字所在的面相对的面上标的字是（ ）
A．坚 B．持 C．并 D．举
【答案】B
【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解
题的关键．
根据正方体的表面展开图找相对面的方法：一线隔一个，即可得出答案．
【详解】解：原正方体中与“育”字所在的面相对的面上标的字是持，故选：B．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了整式的运算，根据单项式除以单项式法则，积的乘方法则，幂的乘方法则，合并同类
项法则，平方差公式逐项判定即可．
【详解】解：A． ，原计算错误；B． ，原计算错误；
C． ，原计算错误；
D． ，原计算正确，
故选：D．
4．已知点 与点 的连线平行于 轴，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了坐标与图形性质，利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系，
解题的关键是掌握平行于 轴的直线上点的坐标特征．
根据平行于 轴的直线上点的坐标特征得到 ，然后解一元一次方程即可．
【详解】解：∵ 轴，
∴点 和点 的纵坐标相同，
即 ，
∴ ，故选： ．
5．巴中市今年3月1日至7日每天的最高气温（单位：℃）依次为：17，19，15，15，14，12，13，关于
这组数据下列说法不正确的是（ ）
A．中位数是15 B．众数是15 C．平均数是15 D．方差是5
【答案】D
【分析】本题主要考查众数，平均数，中位数，方差的概念，属于基础题．
由众数，平均数，中位数，方差的概念求解可得结论．
【详解】解：整理得：12，13，14，15，15，17，19，
中位数：15；
众数：15；
平均数： ，
方差： ；
故选：D．
6．周末，小刚去正在装修的房屋查看进度，放在地上的一块地板砖吸引了他的注意，于是他找来卷尺进
行如下操作：①测量地板砖的两组对边长度是否分别相等；②测量地板砖的两条对角线是否相等，以此判
断地板砖的表面是否为矩形．小刚的判断依据是（ ）A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．有三个角是直角的四边形是矩形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，熟练掌握平行四边形和矩形的判定是解题的关键．利
用①判定平行四边形，再利用②判定矩形，即可得判断依据．
【详解】解：由①测量地板砖的两组对边长度是否分别相等，
即 ， ，
则可判断四边形 是平行四边形；
由②测量地板砖的两条对角线是否相等，
即 ，
则利用“对角线相等的平行四边形是矩形”可判断四边形 是矩形；
故选：A．
7．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马
送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已
知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为 天，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意是解题关键．设规定时间为 天，根据速度 路程 时间
列分式方程即可．
【详解】解：设规定时间为 天，
则可列方程为 ，故选：A
8．如图，在□ABCD中， ， ，以点A为圆心， 长为半径画弧交 于点F；以点A为圆
心，适当长为半径画弧分别交 、 于M、N两点；分别以点M、N为圆心，大于 长为半径画弧，
两弧在平行四边形内交于点G，连接 并延长交 于E，连接 、 ， 分别交 、 于P、Q
两点，下列结论不正确的是（ ）
A． 平分 B．四边形 是菱形 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了作图—基本作图、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，
由作图可得， ， 平分 ，即可判断A；由角平分线的定义结合平行线的性质得出，推出 ，即可判断B；由菱形的性质得出 ， ，
即可判断C；证明△FGD∽△ABD，得出 ， ，再证明△ABP∽△EQP，得出
，即可判断D；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由作图可得， ， 平分 ，故A正确；
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是菱形，故B正确；
∴ ， ，
∴ ，故C正确；
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴△FGD∽△ABD，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴△ABP∽△EQP，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故D错误，
故选：D．
第II卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．已知 ，则 __________．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，正确求出 、 的值是解题的关键，根据
二次根式有意义列出 ，求出 的值，即可求出 的值，然后代入计算即可．
【详解】解：根据题意得， ，解得 ，
，
，故答案为： ．
10．将半径为6的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为__________．
【答案】3
【分析】本题考查了圆锥的计算．易得圆锥的母线长为6，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的
底面周长，除以 即为圆锥的底面半径．
【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为 ，
∴圆锥的底面半径为 ，故答案为：3
11．围棋起源于中国，棋子分黑白两色，一个不透明的盒子中装有6个黑色棋子和若干个白色棋子，每个
棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是 ，则盒中棋子的总个数是_______个．
【答案】24
【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．根据黑色棋子除以
相应概率可以算出棋子的总数．
【详解】解：由题意，盒中棋子的总个数是 个 故答案为：
12．如图，已知菱形 的周长为8，面积为 为 的中点，若 为对角线 上一动点，记
的最大值为 ，记 的最小值为 ，则 __________．
【答案】
【分析】过点C作 ，交 与点 ，再根据菱形的面积求出 ，根据勾股定理求出 ，可得
点E和点 重合，即可得出 的最小值为 ，然后根据点C和点A关于 对称，可知
，进而当点P与点B重合时，得出 的最大值为 ，即可得出答案．【详解】解：过点C作 ，交 与点 ，
∵菱形的周长为8，面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
在 中， ．
∵点E是 的中点，
∴ ，
∴点E和点 重合．
根据三角形的三边关系可知 ，
∴ ．
∵点C和点A关于 对称，
∴ ，
即 ．
当点P与点B重合时，得出 的最大值为 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据轴对称求线段和最小，三角形三边关系等，确定点
的位置是解题的关键．
13．若不等式组 有解，则a的取值范围是__________．
【答案】
【分析】本题考查了求不等式的解集．根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无
解），可得答案．
【详解】解：解不等式 得 ，
解不等式 得 ，
∵不等式组有解，∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14．（1）计算
（2）解分式方程
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，解分式方程：
（1）先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂和负整数指数幂，最后根据实数的运算法则求解即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，再检验即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验，当 时， ，
∴ 是原方程的解．
15．某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生
成绩进行统计，按成绩分成 ， 五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答
下列问题：学生成绩扇形统计
等级 成绩
A
60 x<70
90 x≤100
(1)学生成绩频数分布直方图中A等级的频数 ___________，扇形统计图中D等级的圆心角度数为
___________，补全学生成绩频数分布直方图；
(2)若成绩在60分及以上为及格，全校共有3200名学生，估计成绩及格的学生有多少人？
(3)本次成绩前四名有2名女生和2名男生，若从这四人中随机抽取2名同学代表学校参加比赛，请用画树
状图或列表法求出恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)16， ；频数分布直方见解析；(2)2944人；(3)
【分析】（1）先根据等级 的人数和所占百分比求出本次调查的人数，进而求出 和 的人数，求出扇
形统计图中D等级的圆心角度数，然后补全频数分布直方图即可；
（2）根据用样本评估总体的性质计算，即可得到答案；
（3）根据题意画出正确的树状图，据此根据树状图进一步分析求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得等级 的学生人数为：50人，等级 的学生人数占比为： ，
本次调查随机抽取的学生总数为： （人 ，等级 的学生人数占比为： ，
等级 的学生人数为： （人 ，
即 ，
等级 的学生人数为： （人 ，即 ，
等级 的学生人数为70人，
扇形统计图中D等级的圆心角度数为 ，
等级 的学生人数为： （人 ，
频数分布直方图如下：
；
故答案为：16， ；
（2）解：成绩在60分及以上的学生人数占比为： ，
全校估计成绩及格的学生有2944人；
（3）解：画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能得结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
所以恰好是一名男生和一名女生的概率 ．
【点睛】本题考查了调查统计的知识，列表法或树状图法求概率，解题的关键是熟练掌握频率分布直方图、
扇形统计图、用样本评估总体的性质，从而完成求解．
16．小吉购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图如图2，测得底座
的高为 ， ，支架长 为 ，面板长 为 ， 为 （厚度忽略不计）．(1)求支点 离桌面 的高度．
(2)当面板 绕点 转动时，面板与桌面的夹角 满足 ，当面板与桌面的夹角增大时，点
离桌面 的高度也随之增大，问当面板 绕点 转动过程中，点 离桌面 最大高度与最小高度的差是多
少？（计算结果保留根号）
【答案】(1) ；(2)
【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键．
（1）过点C作 于点F，过点B作 于点M，则四边形 是矩形，可得
，从而得到 ，再利用锐角三角函数，解答即可求解；
（2）过点CC作CN∥l，过E作 于点H，则 ，分别求出 所成的角为 和
时， 的值，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点C作 于点F，过点B作 于点M，
则 ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即支点C离桌面l的高度为； ；
（2）解：如图，过点C作 ，过E作 于点H，
则 ，∵ ，
∴ ，
当 时，
；
当 时， ；
∴当面板 绕点C转动过程中，E离桌面l最大高度与最小高度的差是 ．
17．如图，在△ABC中， ，以 为直径的⊙O分别交 ， 于点 ， ， 于点 ，
交 的延长线于点 ．
(1)求证：直线 是⊙O的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析；(2) 的长是
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得： ， ，进而得到 ，推
出 ，结合 ，即可得证；
（2）由 ，可得 ，由（1）可得： ， ，推出 ，
得到 ，可求出 ，进而求出 ，然后根据 求出 ，最后根据
，即可求解．
【详解】（1）证明：如图1，连接 ，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
是⊙O的半径，
直线 是⊙O的切线；
（2）如图2， ， 是⊙O的直径，
，
由（1）可得： ， ，
，
，
，
，
，
，
，即 的长是 ．【点睛】本题考查切线的判定，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角函数，解题的关键
是掌握相关知识．
18．如图，在平面直角坐标系 中，反比例函数 图象上有A，B两点，其中点B在点A右侧，连接
．
(1)如图1，设A点坐标为 ，若 ， ，且 ．
①求k的值；
②若 的面积为 ，求点B的坐标；
(2)如图2，延长 交反比例函数的图象于点C，连接 ，点 为 上一点，连接 并延长交
于点E．若 的面积与△BEC的面积相等，是否存在直线 ，使得点E始终在该直线下方，若存
在，请求出a的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①4；② ；(2)存在，3
【分析】（1）①依题意，得 ，再解n的值，即可作答；
②过点A作 轴于点M，过点B作 轴于点N，易得 ，进而用坐标可以表示出
的长度，建立方程求解即可；
（2）连接 ，易证E是 中点，进而可表示出点A坐标，求出反比例函数表达式，设出B点坐标，再
表示出E点坐标即可得解．
本题考查了反比例函数与几何综合，求反比例函数的解析式，因式分解法解方程，正确掌握相关性质内容
是解题的关键．
【详解】（1）解：（1）①∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ，∴A点坐标为 ，
∴ ；
②过点A作 轴于点M，交 于一点K，过点B作 轴于点N，
设点B的坐标为 ，
∵反比例函数 图象上有A，B两点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的面积为 ，
∴ ，
即 ，
整理可得： ，
解得 （负值舍去），
∴点B的坐标为 ．
（2）解：连接 ，∵ 的面积与△BEC的面积相等，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵O为 中点，
∴
∴E为 中点，
∴ 为△ABC的中位线
∴ ，
∵D点坐标为 ，
∴A点坐标为 ，
则3×6=18，
∴反比例函数表达式为 ，
设点B的坐标为 ，
∴点C的坐标为 ，
∵A点坐标为 ，E为 中点，
∴ ，
∴点E的坐标为 ，
∵点B在点A右侧，
∴ ，
∴ ，∴点E始终在直线 的下方，
∴a的最小值为3．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．如图，在矩形 中， ，点E为 的中点，点F是 边上一点，且 ．连接
，将 沿 折叠，若点C的对应点P恰好落在 上，则a的值为________．
【答案】
【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理等知识，根据矩形的性质、折叠的性质可得出 ，
，根据 证明Rt ABE≌Rt APE，得出 ， ，然后在Rt ADF中，根据勾
股定理求解即可．
△ △ △
【详解】解：连接 ，
在矩形 中， ，
∴ ， ，
∵点E为 的中点，
∴ ，
∵折叠，
∴ ， ， ，
又 ，
∴Rt ABE≌Rt APE(HL)，
∴ ，
△ △
在 中， ， ，
∴ ，
解得 （负值舍去），
故答案为： ．20．已知 是一元二次方程 的两个不相等实数根，则代数式 的值是
_____．
【答案】36
【分析】本题主要考查了方程的解的定义．一般解题思路是，把表示根的字母代入方程得到相关的等式，
再把所求的代数式变形成已知条件的形式，把已知条件整体代入即可．根据方程根的定义，分别把 ，
代入方程可得 ， ，再把代数式 变形代值则可．
【详解】解： 是一元二次方程 的两个不相等实数根，
， ， ，
， ，
．
故答案为：36
21．已知两个正数a，b，可按规则 扩充为一个新数c在a，b，c三个数中取两个较大的数，
按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作，（1）若 ，
按上述规则操作三次，扩充所得的数是_______；（2）若 ，经过6次操作后扩充所得的数为
（m，n为正整数），则 的值为_______．
【答案】 255 21
【分析】（1）a=1，b=3，按规则操作三次，第一次：c=7，第二次：c=31，第三次：c=255由此即可求解；
（2）p>q>0，按规则重复两次，第一次得： ，第二次得：
，所得新数大于任意旧数，故经过6次扩充，所得数为 ，即可求解．
【详解】（1）第一次， ；第二次， ；第三次， ；
（2）第一次， ；
第二次， ；
第三次 ；
第四次， ；
第五次， ；第六次， ，所以 ．
故答案为（1）255；（2）21．
【点睛】本题考查了推理与论证，整式规律探究，新定义运算，主要考查学生分析解决问题的能力，求出
经过6次操作后扩充所得的数是关键．
22．如图， 是 斜边 上的中线， ，点 在边 上，连接 ， ，
当△DEF与 相似时，线段 的长为_______．
【答案】 或
【分析】根据 是 斜边 的中线得到 ，进而得到 ，根据
△DEF与 相似， 得到 或 ，所以分三种情况讨论：
①△DEF ∽△DBC；②△EDF ∽△DBC；③△FDE ∽△DBC；分别求解即可．
【详解】解： 是 斜边 的中线， ，
，
∴ ，
当△EDF ∽△DBC时，
∴ ，则 ，
∵在 中， ，
，
，则 ,
，
，
∴ ，
当△FDE ∽△DBC或△EDF ∽△DBC时，
，又 ，
，
，，
，
，
，
，
∴
综上所述， 的长为 或
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，
三角函数的应用，解题的关键是分情况讨论相等的角．
23．已知两点 ， 都在抛物线 上．
（1）若 ， ，则 _____；（用含 的代数式表示）
（2）若对于实数 ， （ ， ），都有 ，则 的取值范围是_______．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）由题意易得 的两个根为 ，然后根据根与系数的关系取得 的关系，即可求解；
（2）根据题意可知点 ， 的中点需满足在对称轴的左侧或者右侧，然后分类进行求解即
可．
【详解】解：（1）∵当 ， ，且 ， 是抛物线 上
任意两点，
∴ 的两个根为
∴
∴ ，
∵ ，
∴∴
故答案为： ．
（2）对于实数 ， （ ， ），都有 ，
∴
∴
当 时，
即
当 时，
即
综上所述，
故答案为： ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
24．某超市销售 ， 两种型号的篮球，已知采购3个 型篮球和2个 型篮球需要220元，采购1个
型篮球和4个 型篮球需要290元．
(1)该超市采购1个 型篮球和1个 型篮球分别需要多少元？
(2)若该超市准备采购50个这两种型号的篮球，总费用不超过2550元，则最多可采购 型篮球多少个？
(3)在（2）的条件下，若该超市以每个 型篮球58元和每个 型篮球98元的价格销售完采购的篮球，能否
实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)该超市采购1个 型篮球需要30元，1个 型篮球需要65元
(2)最多可采购 型篮球30个
(3)能，该超市共有3种采购方案． 方案1：采购 型篮球22个， 型篮球28个；方案2：采购 型篮球
21个， 型篮球29个；方案3：采购 型篮球20个， 型篮球30个．
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用：
（1）设该超市采购1个 型篮球需要 元，1个 型篮球需要 元，根据采购3个 型篮球和2个 型篮
球需要220元，采购1个 型篮球和4个 型篮球需要290元，列出方程组进行求解即可；
（2）设采购 型篮球 个，则采购 型篮球 个，根据题意，列出不等式进行求解即可；
（3）根据利润不少于1540元，列出不等式，求出 的范围，结合（2）中 的范围，即可得出结果．
【详解】（1）解：设该超市采购1个 型篮球需要 元，1个 型篮球需要 元．根据题意，得
解得
答：该超市采购1个 型篮球需要30元，1个 型篮球需要65元．
（2）设采购 型篮球 个，则采购 型篮球 个．
根据题意，得 ，
解得 ，所以 的最大值为30．
答：最多可采购 型篮球30个．
（3）根据题意，得 ，
解得 ．
因为 ，且 为正整数，所以 可取28，29，30，
所以能实现利润不少于1540元的目标，该超市共有3种采购方案．
方案1：采购 型篮球22个， 型篮球28个；
方案2：采购 型篮球21个， 型篮球29个；
方案3：采购 型篮球20个， 型篮球30个．
25．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与 轴交于 和 ，与 轴正半
轴交于点 ，且 ，点 为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在线段 下方的抛物线上存在点 ，使 ，求 点坐标．
(3)若在抛物线上有一点 ，使 ，求 点坐标．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式．
（2）设 ，过点 作 轴交 于点 ，如图1，运用待定系数法求得直线 的解析式为 ，则 ，进而得出 ，根据 即求解 点坐标．
（3）如图2，过点 作 轴于点 ，连接 ，则 ， ， ，根据等腰
直角三角形的性质可得， ， ， ， ， ，由三角函数定
义可得， ，过点 在 轴下方作 轴，使 ，连接 交抛物线于另一个
点 ，可推出 ，求出直线 的解析式为 ，在联立方程组求解即可得到答案．
【详解】（1） 抛物线 与 轴交于 和 ，
设抛物线的解析式为 ，
，
，
，
点的坐标为 ，
将 代入 中，
解得 ，
抛物线解析式为 ，
即 ．
（2）由（1）得 ，
，
设 ，过点 作 轴交 于点 ，如图1，设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得： ，直线 的解析式为 ，
则 ，
，
，
，
，
，
解得： ．
（3） ，
抛物线的顶点 ，
如图2，过点 作 轴于点 ，连接 ，
则 ， ， ，
是等腰直角三角形，
， ，
， ，
是等腰直角三角形，
， ，
∴∠CBD=∠CBO+∠DBF=90°，
BD √2 1
∴tan∠DBC= = = ，
BC 3√2 3过点 在 轴下方作 轴，使 ，连接 交抛物线于另一个点 ，
则 ， ， ，
，
，
设直线 的解析式为 ，
则
解得：
直线 的解析式为 ．
联立方程组得
解得 ， ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，三角形的面
积，三角函数的定义，等腰直角三角形的判定和性质等，熟练掌握二次函数的性质和待定系数法等相关知
识是解题的关键．
26．在等边△ABC中，点D在直线 上，连接 ，过点B作 于点H．
(1)如图1，点D在 的延长线上， ， ，求 的长度；
(2)如图2，点D在 边上，点E在 边上，且 ， 与 交于点F，若点F恰是 的中点，请用等式表示 与 的数量关系，并证明；
(3)如图3，点D在 边上，过点H作 ．连接 、 ，将 沿 翻折至
，连接 ， ，请直接写出当 取得最大值时 的值．
【答案】(1) ；(2) ；证明见解析；(3)
【分析】（1）过点A作 于点E，根据等边三角形的性质得出 ， ，
解直角三角形得出 ，求出 ，设 ，则 ，根据勾股定理得出
，求出 ，最后得出答案即可；
（2）过点E作 于点G，证明 ，得出 ， ，设 ，
则 ， ，求出 ，证明 ，得出
，设 ，则 ，求出 ，根据
，求出 ，得出 ，求出
，即可得出答案；
（3）延长 ，交 于点G，证明四边形 为平行四边形，得出 ， ，证明
，得出 ，说明点N在以 为直径的圆上运动，取 的中点O，以点
O为圆心 为半径作圆，连接 并延长，交 于点N，此时 最大，设 ，则
，解直角三角形，求出 ， ，最
后根据 ，代入求出结果即可．
【详解】（1）解：过点A作 于点E，如图所示：
∵△ABE为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
根据勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，负值舍去，
∴ ．
（2）解： ，理由如下：
过点E作 于点G，如图所示：
∵△ABE为等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴△ABE ≌△CAD，
∴ ， ，
∴ ，
∵∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点F为 的中点，
∴ ，设 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：延长 ，交 于点G，如图所示：
根据折叠可知： ， ， ，
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，，
∴ ，
∵等边△ABC中 ，
∴△BCN ≌△ABH，
∴ ，
∴点N在以 为直径的圆上运动，
取 的中点O，以点O为圆心 为半径作圆，连接 并延长，交 于点N，此时 最大，
设 ，则 ，
∵△ABC为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图，过点D作 于点K，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∵ ， ，
∴△AOD ≌△AKD，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，折叠的性质，平行四边形的判定和性质，平行线的性
质，三角形全等的判定和性质，确定圆的条件，等边三角形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，
熟练掌握相关判定和性质．
