文档内容
2025 年中考第三次模拟考试（吉林卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6
C B C A B B
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
7．
8．
9．
10． /42度
11．③④
三、解答题（本大题共8个小题，共87分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
12．（6分）
【详解】解：
（2分）
（3分）
，（5分）
当 时， 原式 ．（6分）
13．（6分）
【详解】解：设购买一个 种品牌足球需 元，一个 种品牌足球需 元，
由题意得： ，（3分）解得： ，（5分）
答：购买一个 种品牌的足球需 元，购买一个 种品牌的足球需 元．（6分）
14．（6分）
【详解】解：列表如下：
（3分）
由列表可知，共有12种等可能的结果，其中所标元素能组成“ ”的有2种情况，
所标元素能组成“ ”的概率 ．
答：所标元素能组成“ ”的概率为 ．（6分）
15．（7分）
【详解】（1）证明：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ；（3分）
（2）解：由（1）可知，四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．（7分）
16．（7分）
【详解】（1）解：如图，四边形 就是所要求作的四边形．（3分）
（2）解：如图，四边形 就是所要求作的四边形．（答案不唯一）
（7分）
17．（7分）
【详解】（1）解：作 于点B，延长 交 于点A．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
由题意得： ，
∴ ．
∴四边形 是矩形．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
答：点P到地面的高度约为 ；（3分）（2）∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
答：Q点到N点的距离约为 ．（7分）
18．（8分）
【详解】（1） ， ，（2分）
由八年级的成绩条形统计图可得，成绩在 组的学生人数为 人，
∴补全八年级的成绩条形统计图如下：
（4分）
（2）解：七年级学生的竞赛成绩更优秀，理由如下：
两个年级学生竞赛成绩的平均数相同，但七年级学生竞赛成绩的中位数和众数都高于八年级学生的，所以
七年级学生的竞赛成绩更优秀；（6分）
（3）解： ，
答：估计七年级和八年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有 人．（8分）
19．（8分）
【详解】（1）60（2分）
（2）解：小聪骑自行车的速度为 ，两人骑自行车的速度之和为 ，
所以小明骑自行车的速度为 ；（4分）
（3）解：根据题意得：点 ，
两人相遇的时间为 ，
小明到达的时间为 ，此时两人之间的距离为 ，
∴ ， ，
设 的解析式为 ，
把点 ， 代入得：
，解得： ，
∴ 的解析式为 ，
同理直线 的函数表达式为 ，
∵两人出发后相距 ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
即两人出发 或 后相距 ．（8分）
20．（10分）
【详解】（1）45；（1分）
（2）证明：延长 至点 ，使 ，连接 ．
四边形 是 的内接四边形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
，
，
为等边三角形，
；（5分）
（3）解：如图③，
延长 至点 ，使 ，连接 ．
四边形 是 的内接四边形，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，（10分）
21．（10分）
【详解】（1）解：如图，当点 在 的垂直平分线上时，过点 作 于点 ，交 于点 ，四边形 是菱形，对角线 ， 相交于点 ，
， ， ，
，
，
菱形 的面积为 ，即 ，
，
，
由题意得： ， ，四边形 是平行四边形，
， ，
点 在 的垂直平分线上，
，
，
，
，即 ，
解得： ；
（4分）
（2）存在，
如图，连接 ，过点 作 于点 ，
， ， ， ，
，，即 ，
，
， ，
，
，即 ，
，
，
，
， ，
，
整理得： ，
解得： ，
当 时， ；
（7分）
（3）存在，
如图，点 在 的平分线上，过点 作 于点 ， ，交 的延长线于点 ，
，
，
，，
， ，
，
，即 ，
，
当 时，点 在 的平分线上．
（10分）
22．（12分）
【详解】（ ）由 ，
当 时，无论 取什么值都有 ，
∴图象必经过定点 或 ，
故答案为： 或 ；（2分）
（ ）由 ，
，
，
当 时，解得： ， ，无论 取什么值都会经过定点 ， ，
∵ 是非坐标轴上的点，
∴ ；（4分）
（ ） 过 作 轴于点 ，过 作 轴于点 ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设直线 解析式为 ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴直线 解析式为 ，
则 经过定点 ；（8分）
由 经过定点 ，直线 解析式为 ，∵ ，
∴直线 解析式为 ，
联立 ，解得 ， ，
∴ ， ，
∵ 轴， 轴， ，
∴ ， ，
∴四边形 面积为 ，
设平分四边形 面积的直线为 ，且交 于点 ，
∴ ， ， ，
∴ 最小值可以为 ，此时四边形 为 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 点横坐标为 ，∴ ，代入 得 ，
则解析式为 ，
∴ 的最小值为 ，此时这条直线的解析式 ．（12分）
