文档内容
2025 年中考第三次模拟考试（吉林卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．有理数 的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义解答即可，掌握倒数的定义是解题的关键．
【详解】解：有理数 的倒数是 ，
故选： ．
2．截至2025年2月底，《哪吒之魔童闹海》成为全球动画电影票房冠军，该片还成为中国首部进入全球
影史票房榜前十的动画电影．在选项的四个图中，能由左图经过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查图形的平移，根据平移前后图形的形状，大小和方向都不发生改变，只是位置发生改变，
进行判断即可．
【详解】解：在选项的四个图中，能由左图经过平移得到的是：故选：B．
3．斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图，这是斗形构件“三才升”的示意图，则它的左视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．主视图：从正面看到的物体的
形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义
求解，注意看不见的线应当画虚线，即可．
【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，
形状如图所示：
故选：C．
4．若 是关于 的方程 的解，则 的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】把 代入方程把问题转化为关于a的方程求解．
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程解的定义．
【详解】解：∵ 是关于x的方程 的解，
∴ ，∴ ．
故选：A．
5．某药品经过两次降价，每瓶零售价由188元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百
分率为x，根据题意列方程得( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为x，则第一次降价后的售价为
元，则第二次降价后的售价为 ，据此可得答案．
【详解】解：由题意得， ，
故选：B．
6．如图，在平行四边形 中， ， ，小明按以下步骤作图：
第一步：以点 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交 ， 于点 ， ；
第二步：分别以 ， 为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧在 内交于点 ；
第三步：作射线 ，交 于点 ，交 延长线于点 ．
作图后，小明还得到四个结论：① ；② ；③ ；④ ．关于这些结论
哪些是正确的，下面选项中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④
【答案】B
【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综
合．先由作图得到 为 的角平分，利用平行线证明 ，从而得到 ，再利用平行四边形的性质得到 ，再证明 ，分别求出 ， ，
即可以判定．
【详解】解：由作图可知， 为 的角平分，
∴ ，故①正确；
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∵ ，故③正确；
∴∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④错误；
∴ ，
，
∵ ，故②正确，
∴故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
7．要使代数式 有意义，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式中的被开方数必须是非负数进行解题即可．熟练
掌握相关的知识点是解题的关键．【详解】解： 代数式 有意义，
，
．
故答案为： ．
8．在平面直角坐标系中，点 关于 轴对称的点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标特征，根据关于 轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，
即可求解．
【详解】解：点 关于 轴对称的点的坐标是 ，
故答案为： ．
9．元旦期间，小明买了2支笔和3张贺卡作为礼物送给好朋友们，共用去了8元，设每支笔 元，则每张
贺卡 元．（用 的代数式表示）
【答案】
【分析】本题考查列代数式，熟练理解题意结合买了2支笔和3张贺卡作为礼物送给好朋友们，共用去了
8元即可得出每张贺卡价格的代数式表达．
【详解】解：由题意可得每张贺卡价格为： ，即 元．
故答案为： ．
10．如图， 是半圆 的直径，点 是弧 上的一点， ，则 的度数为 度．
【答案】 /42度
【分析】本题考查圆的内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．
由圆的内接四边形的性质求得 ，再由圆周角定理得出 ，由三角形内角和定理进而可直接答案．
【详解】解：∵ 是半圆 的直径，
，
∵ ，
，
故答案为： ．
11．如图，二次函数 的图象与x轴的正半轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，
对称轴为直线 ，且 ．有下列结论：① ；② ；③ ；④关于 的方程
有一个根为 ．其中正确结论为 ．
【答案】③④
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题
关键．先根据抛物线的开口向下，与 轴的交点位于 轴的负半轴上可得 ，再根据二次函数的
对称轴可得 ，则 ，由此即可判断①错误；根据当 时， 即可判断②错误；根据
即可判断③正确；先求出 ，代入抛物线的解析式可得 ，再将
代入方程等号的左边进行检验即可判断④正确．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，与 轴的交点位于 轴的负半轴上，
∴ ，
∵抛物线 的对称轴为直线 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，则结论①错误；
由 得： ，
由图象可知，当 时， ，
∴ ，
∴ ，则结论②错误；
当 时， ，
∴ ，
由函数图象可知， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，则结论③正确；
∵ ， ，
∴ ，
将点 代入函数 得： ，
∵ ，
∴ ，即 ，
将 代入 得：
，
∴关于 的方程 有一个根为 ，则结论④正确；综上，正确的结论为③④，
故答案为：③④．
三、解答题（本大题共11个小题，共87分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
12．（6分）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】
【分析】本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是关键．
运用整式的混合运算法则计算，再代入计算即可．
【详解】解：
，
当 时， 原式 ．
13．（6分）为了参加学校举办的“聿之杯”足球联赛，某中学甲班去商场购买了A品牌足球1个、B品牌
足球2个，共花费210元；乙班购买了品牌A足球3个、B品牌足球1个，共花费230元．求购买一个A种
品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？
【答案】 元， 元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用（其他问题），读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程
组是解题的关键．
设购买一个 种品牌足球需 元，一个 种品牌足球需 元，由题意得 ，解方程组即可求出
答案．
【详解】解：设购买一个 种品牌足球需 元，一个 种品牌足球需 元，
由题意得： ，
解得： ，
答：购买一个 种品牌的足球需 元，购买一个 种品牌的足球需 元．
14．（6分）一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号H、O、C、N的小球，这些小球除元素符号外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，用画树状图或列表的方法，求所标元素能组成“ ”
的概率．
【答案】
【分析】本题考查了概率的计算，掌握树状图法或列表法求概率是解题的关键．先根据题意列表，再由列
表得出所有等可能的结果数以及符合题意的结果数，最后根据概率的计算公式即可求解．
【详解】解：列表如下：
由列表可知，共有12种等可能的结果，其中所标元素能组成“ ”的有2种情况，
所标元素能组成“ ”的概率 ．
答：所标元素能组成“ ”的概率为 ．
15．（7分）如图，已知菱形 的对角线相交于点O，延长 至点E，使 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关
性质内容是解题的关键．
（1）先由菱形的性质得 ，再结合 ，则四边形 是平行四边形，即可作答．
（2）结合（1）的四边形 是平行四边形，故 ，则 再运用四边形
是菱形，所以 ，最后运用直角三角形的两个锐角互余进行列式计算，即可作答．【详解】（1）证明：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ；
（2）解：由（1）可知，四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
16．（7分）图①、图②均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为 ，
点 、 、 、 均在格点上，在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所作
图形的顶点均在格点上，不要求写出作法．
(1)在图①中以线段 为边作一个四边形 ，使四边形 既是轴对称图形又是中心对称图形；
(2)在图②中以线段 为边作一个四边形 ，使四边形 只是中心对称图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了网格问题，中心对称图形与轴对称图形的性质，正方形与平行四边形的性质，掌握以
上知识是解题的关键．
（1）根据网格的特点画出正方形 ，即可求解；
（2）根据网格的特点作出平行四边形 ，即可求解．
【详解】（1）解：如图，四边形 就是所要求作的四边形．（2）解：如图，四边形 就是所要求作的四边形．（答案不唯一）
17．（7分）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧
面结构示意图（ 是基座的高， 是主臂， 是伸展臂， ）．已知基座高度 为 ，主
臂 长为 ，测得主臂伸展角． ．（参考数据： ， ， ，
）
(1)求点P到地面的高度；
(2)若挖掘机能挖的最远处点Q，此时 ，求Q点到N点的距离．
【答案】(1)点P到地面的高度约为
(2)Q点到N点的距离约为
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线是解题的关键．
（1）作 于点B，延长 交 于点A．先证明四边形 是矩形．则，求出 ．由 即可得到答案；
（2）由勾股定理求出 ，则 ．再证明 ．得到
．由 即可得到答案．
【详解】（1）解：作 于点B，延长 交 于点A．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
由题意得： ，
∴ ．
∴四边形 是矩形．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
答：点P到地面的高度约为 ；
（2）∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．∴ ．
∴ ．
答：Q点到N点的距离约为 ．
18．（8分）为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛，并从七年级和八年级的学生中
分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用x表示，共分为
四组:A． ，B． ，C． ，D． ），得到如下不完全的信息：
七、八年级所抽学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 n
八年级 m 86
八年级抽取的竞赛成绩在B组中的数据为：89，88，86，86，86，86
七年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：99，98，96，96，94，92，92，90，90，89，88，88，88，82，
81，77，77，76，73，66
请根据以上信息完成下列问题：
(1)填空： ________， ________，并补全八年级的成绩条形统计图；
(2)根据以上数据，你认为该中学七年级和八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更优秀？请说明理由（写出一
条理由即可）；
(3)规定90分及其以上为优秀，该校七年级和八年级参加知识竞赛的学生各有1600名，请你估计七年级和
八年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀的共有多少人？
【答案】(1) ， ，图见解析
(2)七年级学生的竞赛成绩更优秀，理由见解析(3)估计七年级和八年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有 人
【分析】本题考查了条形统计图，平均数、中位数和众数，样本估计总体，掌握相关的统计知识是解题的
关键．
（ ）根据中位数和众数的定义可求出 ，根据条形统计图求出成绩在 组的学生人数，即可补全八年
级的成绩条形统计图；
（ ）根据平均数、中位数和众数判断即可；
（ ）用 分别乘以七、八年级参加知识竞赛的优秀人数占比再求和即可求解；
【详解】（1）解：由题意可得， ，
∵七年级抽取的学生竞赛成绩中 分的人数最多，
∴ ，
故答案为： ， ，
由八年级的成绩条形统计图可得，成绩在 组的学生人数为 人，
∴补全八年级的成绩条形统计图如下：
（2）解：七年级学生的竞赛成绩更优秀，理由如下：
两个年级学生竞赛成绩的平均数相同，但七年级学生竞赛成绩的中位数和众数都高于八年级学生的，所以
七年级学生的竞赛成绩更优秀；
（3）解： ，
答：估计七年级和八年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有 人．
19．（8分）小明骑自行车从体育馆去往火车站，小聪骑自行车从火车站去往体育馆，两人同时出发．出
发 后小明停下休息，直至与小聪相遇后，以原速度继续骑行，比小聪先到达终点．设小聪骑行时间为
x（单位： ），两人之间的距离为y（单位： ），图中的折线表示y与x之间的函数关系．信息读取：
（1）体育馆、火车站两地之间的距离为 ；
（2）求小明、小聪各自骑自行车的速度；
（3）求两人出发多少小时后相距 ．
【答案】（1）60；（2） ；（3） 或
【分析】本题考一次函数的实际应用．解答本题的关键是明确题意，利用图象来解答．
（1）直接观察图象，即可求解；
（2）先求出小聪骑自行车的速度，两人骑自行车的速度之和，即可求解；
（3）先求出点 ， ， ，可求出 和 的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：直接观察图象得：体育馆、火车站两地之间的距离为 ；
故答案为：60
（2）解：小聪骑自行车的速度为 ，
两人骑自行车的速度之和为 ，
所以小明骑自行车的速度为 ；
（3）解：根据题意得：点 ，
两人相遇的时间为 ，
小明到达的时间为 ，此时两人之间的距离为 ，
∴ ， ，
设 的解析式为 ，
把点 ， 代入得：，解得： ，
∴ 的解析式为 ，
同理直线 的函数表达式为 ，
∵两人出发后相距 ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
即两人出发 或 后相距 ．
20．（10分）【感知】如图①点 均在 上， ，则 的大小为______度．
【探究】小明遇到这样一个问题：如图②， 是等边三角形 的外接圆，点 在 上（点 不与点
重合），连接 ．求证： ．小明发现，延长 至点 ，使 ，连接
，通过证明 ．可推得 是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：
证明：延长 至点 ，使 ，连接 ．
四边形 是 的内接四边形， ，
，
是等边三角形， ，
．请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③， 是 的外接圆， ，点 在 上，且点 与点 在 的
两侧，连接 ，若 ，求 的值．
【答案】45；见解答； ．【分析】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，
作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
（1）根据圆周角定理即可得出答案；
（2）先构造出 ，得出 ，进而得出 是等边三角形，即可得出结论；
（3）先构造出 ，进而判断出 ，进而得出 是等腰直角三角形，即可
得出结论；
【详解】（1）解： ，
（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），
故答案为：45；
（2）证明：延长 至点 ，使 ，连接 ．
四边形 是 的内接四边形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
为等边三角形，
；
（3）解：如图③，
延长 至点 ，使 ，连接 ．四边形 是 的内接四边形，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
21．（10分）如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ， ， ．动点
从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；同时，动点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度
为 ．以 ， 为邻边的平行四边形 的边 与 交于点 ．设运动时间为 ，
解答下列问题：
(1)当点 在 的垂直平分线上时，求 的值；
(2)连接 ，是否存在某一时刻 ，使 ？若存在，求出 的值：若不存在，请说明理
由．
(3)是否存在某一时刻，使点 在 的平分线上？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)存在，当 时，
(3)存在，当 时，点 在 的平分线上
【分析】（1）过点 作 于点 ，交 于点 ，当点 在 的垂直平分线上时， ，
用等面积法求出 ，再用含 的式子表示 、 ，再利用 可求出 ；
（2）连接 ，过点 作 于点 ，先用含 的式子表示 ，再利用 ，将 用含
的式子表示，通过面积关系可求出 ；
（3）点 在 的平分线上，过点 作 于点 ， ，交 的延长线于点 ，得到
，用等面积法求出 ，再利用 求出 ，即可求解．
【详解】（1）解：如图，当点 在 的垂直平分线上时，过点 作 于点 ，交 于点 ，
四边形 是菱形，对角线 ， 相交于点 ，
， ， ，
，
，
菱形 的面积为 ，即 ，
，
，
由题意得： ， ，四边形 是平行四边形，
， ，
点 在 的垂直平分线上，
，
，
，，即 ，
解得： ；
（2）存在，
如图，连接 ，过点 作 于点 ，
， ， ， ，
，
，即 ，
，
， ，
，
，即 ，
，
，
，
， ，
，
整理得： ，
解得： ，当 时， ；
（3）存在，
如图，点 在 的平分线上，过点 作 于点 ， ，交 的延长线于点 ，
，
，
，
，
， ，
，
，即 ，
，
当 时，点 在 的平分线上．
【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，
勾股定理，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键．
22．（12分）【阅读理解】函数过定点的含义就是：不管参数(即待定系数）取什么值，函数都过的这个点就是定点；如函数 经过定点 ，因为无论 取什么值，函数一定经过点 ，因此函数经过
的定点就是 ；
因此，我们可以把函数过定点的问题转化为与参数无关的问题进行解决．
【尝试运用】（1）二次函数 的图象必经过定点坐标为_____；
（2）试说明抛物线 一定经过非坐标轴上的一点 ，并求出点 的坐标；
【思维拓展】
（3）如图 ，若 、 是抛物线 上的动点， ，且它们的横坐标分别为 、 ，连接 、 ．
证明：直线 过定点 ；
如图 ， 轴， 轴，若 ， ．要使过原点 的直线恰好平分四边形
面积，请直接写出 的最小值，及此时这条直线的解析式．
【答案】（ ） 或 ；（2） ；（3） 见解析； ， ．
【分析】（ ）根据题意 ，当 时即可求解；
（ ）由 ，当 时即可求解；
（ ） 过 作 轴于点 ，过 作 轴于点 ，证明 ，得 ，即
，求出直线 解析式 即可；
先求出 ， ，得到四边形 面积为 ，根据题意列出关系式即可求解；本题考查了二次函数的图象及性质和一次函数，读懂题意，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（ ）由 ，
当 时，无论 取什么值都有 ，
∴图象必经过定点 或 ，
故答案为： 或 ；
（ ）由 ，
，
，
当 时，解得： ， ，无论 取什么值都会经过定点 ， ，
∵ 是非坐标轴上的点，
∴ ；
（ ） 过 作 轴于点 ，过 作 轴于点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设直线 解析式为 ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴直线 解析式为 ，
则 经过定点 ；
由 经过定点 ，直线 解析式为 ，
∵ ，
∴直线 解析式为 ，
联立 ，解得 ， ，
∴ ， ，
∵ 轴， 轴， ，
∴ ， ，
∴四边形 面积为 ，
设平分四边形 面积的直线为 ，且交 于点 ，∴ ， ， ，
∴ 最小值可以为 ，此时四边形 为 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 点横坐标为 ，
∴ ，代入 得 ，
则解析式为 ，
∴ 的最小值为 ，此时这条直线的解析式 ．
