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专题2.6 二次函数y=ax2(a≠0)的图像与性质（巩固篇）（专项练
习）
一、单选题
1．下列关于二次函数 的说法正确的是（ ）
A．它的图像经过点( ， ) B．它的图像的对称轴是直线
C．当x<0时，y随x的增大而减小 D．当x=0时，y有最大值为0
2．在同一直角坐标系中，二次函数 、 、 的图像的共同点是(
)
A．关于y轴对称，开口向上
B．关于y轴对称，当x＜0时，y随x 的增大而减小
C．关于y轴对称，最高点是原点
D．关于y轴对称，顶点坐标是（0，0）
3．下列关于抛物线 和 的关系的说法中，错误的是（ ）
A．它们有共同的顶点和对称轴
B．它们都是关于y轴对称
C．它们的形状相同，开口方向相反
D．点A（-2，4）在这抛物线 上，也在抛物线 的图像上．
4．同一坐标系中，抛物线 的共同特点是（ ）
A．关于 轴对称，开口向上 B．关于 轴对称， 随 的增大而增大
C．关于 轴对称， 随 的增大而减小 D．关于 轴对称，顶点是原点
5．下列关于二次函数 的说法正确的是（ ）A．它的图像经过点 B．当 时， 随 的增大而减小
C．当 时， 有最大值为 D．它的图像的对称轴是直线
6．关于抛物线y＝－x2，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是原点；②当x＞10时，
y随x的增大而减小；③当－1＜x＜2时，－4＜y＜－1；④若(m，p)、(n，p)是该抛物线上
两点，则m＋n＝0.其中正确的说法有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列说法中正确的是（ ）
A．抛物线 的顶点是原点 B．抛物线 的开口向下
C．抛物线 的开口向上 D．抛物线 的顶点是抛物线的最低点
8．关于抛物线 ，下列说法错误的是
A．开口向上 B．对称轴是y轴
C．函数有最大值 D．当x>0时，函数y随x的增大而增大
9．函数y＝ax－2 (a≠0)．与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是
A． B． C． D．
10．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2(a≠0)与y＝ax(a≠0)的大致图像可能是( )
A． B． C． D．
11．已知 a≠0，在同一坐标系中，y＝ax与y＝ax2的图像有可能是（ ）A． B． C． D．
12．已知二次函数 的图像开口向上，则直线 经过的象限是（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
13．下列图形中阴影部分面积相等的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
14．如图，已知A，A，A，…，A 是x轴上的点，且OA ＝AA＝AA＝AA＝…＝A
1 2 3 n 1 1 2 2 3 3 4 n
A＝1，分别过点A，A，A，…，A 作x轴的垂线交二次函数y＝ x2(x＞0)的图像于
－1 n 1 2 3 n
点P，P，P，…，P.若记△OA P 的面积为S，过点P 作PB ⊥A P 于点B ，记△PB P
1 2 3 n 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2
的面积为S，过点P 作PB ⊥A P 于点B ，记△PB P 的面积为S……依次进行下去，最
2 2 2 2 3 3 2 2 2 3 3
后记△P B P(n＞1)的面积为S，则S＝( )
n－1 n－1 n n nA． B． C． D．
15．如图，⊙O的半径为2，C 是函数y＝x2的图像，C 是函数y＝﹣x2的图像，则阴影部
1 2
分的面积是（ ）
A．π B．2π C．4π D．都不对
16．如图，菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线y= x2上，其中点O为坐标原点，对角
线OB在y轴上，且OB=2．则菱形OABC的面积是（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
17．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（1，﹣1），C（2，2），抛物线y＝ax2（a≠0）经过△ABC区域（包括边界），则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣1或a≥2 B． ≤a≤2
C．﹣1≤a＜0或1＜a≤ D．﹣1≤a＜0或0＜a≤2
18．如图，在边长为4的正方形 中，动点 从 点出发，以每秒1个单位长度的速
度沿 向 点运动，同时动点 从 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿
方向运动，当 运动到 点时， 、 两点同时停止运动．设 点运动的时间为 ，
的面积为 ，则 与 的函数关系的图像是（ ）
A． B．C． D．
19．如图，菱形ABCD的边长为5cm，AB边上的高DE＝3cm，垂直于AB的直线l从点A
出发，以1cm/s的速度向右移动到点C停止若直线l的移动时间为x（s），直线l扫过菱形
ABCD的面积为y（cm2），则下列能反映y关于x函数关系的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
20．如图，Rt△OAB的顶点A（－2，4）在抛物线 上，将Rt△OAB绕点O顺时针
旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为A． B． C． D．
21．如图，分别过点P(n，0)(n为正整数)作x轴的垂线，交二次函数 (x＞0)的图
n
像于点A，交直线 (x＞0)于点B ，则 的值为（ ）
n n
A． B．2 C． D．
1
22．如图，⊙O被抛物线y= x2所截的弦长AB=4，则⊙O的半径为（ ）．
2
A．2 B．2√2 C．√5 D．4
23．如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6厘米，BC=12厘米，点P、Q同时从
顶点A出发，点P沿A→B→C→D方向以2厘米/秒的速度前进，点Q沿A→D方向以1厘
米/秒的速度前进，当Q到达点D时，两个点随之停止运动．设运动时间为x秒，P、Q经
过的路径与线段PQ围成的图形的面积为y（cm2），则y与x的函数图像大致是（ ）A． B． C． D．
24．如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=2cm，动点M自点A出发沿A→B的方向，
以每秒1cm的速度运动，同时动点N自点A出发沿A→D→C的方向以每秒2cm的速度运
动，当点N到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为x（秒），△AMN的面积为y
（cm2），则下列图像中能反映y与x之间的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
25．抛物线 的开口方向是_____，顶点坐标是_____，对称轴是_____，顶点
是图像的最____点（填“高”或“低”）．
26．下列说法中正确的序号是_____________
①在函数y=﹣x2中，当x=0时y有最大值0；②在函数y=2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大
③抛物线y=2x2，y=﹣x2，y=﹣ 中，抛物线y=2x2的开口最小，抛物线y=﹣x2的开口最
大
④不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点
27．函数 的部分对应值如下表：
… 0 1 2 …
… 2 0 2 …
根据表格回答：
（1） _________， ________；
（2）函数的解析式为 _________，定义域是 ________；
（3）请再举一些对应值，猜测该函数的图像关于________轴对称．
28．已知函数 ，不画图像，回答下列各题.
（1）开口方向为______；
（2）对称轴为______；
（3）顶点坐标为______；
（4）当 时， 随 的增大而______；
（5）当 ______时， ；
（6）当 ______时，函数 的最______值是______.
29．抛物线y＝2x2的顶点，坐标为______，对称轴是______．当x______时，y随x增大而
减小；当x______时，y随x增大而增大；当x＝______时，y有最______值是______．
30．抛物线y＝ x2的开口方向_____，对称轴是_____，顶点是_____，当x＜0时，y随x
的增大而_____；当x＞0时，y随x的增大而_____；当x＝0时，y有最_____值是_____．31．函数 ，其图像是_________，开口向_____，对称轴是________，顶点坐标为
_______，图像有最_______点，函数y有最______值，是______，当 时，y随x的减
小而_______.
32．已知点A（–3，y），B（–1，y），C（2，y）在抛物线y= x2上，则y，y，y
1 2 3 1 2 3
的大小关系是__________（用“<”连接）．
33．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为
（﹣1，0）其部分图像如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＜0；②方程ax2+bx+c的两个根是
x＝﹣1，x＝3； ③2a+b＝0，④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3：⑤当x＞0，y随
1 2
x增大而减小，其中结论正确的序号是_____．
34．如图，把抛物线y= x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O
（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y= x2交于点Q，则图中阴影部分的面积
为 ．35．如图，⊙O的半径为2，C 是函数y=2x2的图像，C 是函数y=－2x2的图像，则图中阴
1 2
影部分的面积为_______．
36．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=
x2与y=– x2的图像，则阴影部分的面积是__________．
37．如图，已知A，A，A，…，A 是x轴上的点，且OA＝AA＝AA＝…＝A A＝1，
1 2 3 n 1 1 2 2 3 n－1 n
分别过点A，A，A，…，A 作x轴的垂线交二次函数y＝ x2(x＞0)的图像于点P，P，
1 2 3 n 1 2
P，…，P，若记△OAP 的面积为S，过点P 作PB⊥AP 于点B，记△PBP 的面积为
3 n 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2
S，过点P 作PB⊥AP 于点B，记△PBP 的面积为S……依次进行下去，则S＝
2 2 2 2 3 3 2 2 2 3 3 3
________，最后记△P B P(n＞1)的面积为S，则S＝________．
n－1 n－1 n n n38．下图是一个可以绕O点自由转动的转盘，⊙O的半径为2， 是函数 的图
像， 是函数 的图像， 是函数y= x的图像，则指针指向阴影部分的概
率__________.
39．设直线 与抛物线 交于 两点，点 为直线 上方的抛物线
上一点，若 的面积为 ，则点 的坐标为_________________．
40．如图，正方形的边长为3，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝
2x2与y＝－2x2的图像，则图中阴影部分的面积是______________．
41．在平面直角坐标系中，抛物线 的图像如图所示．已知 点坐标为 ，过点
作 轴交抛物线于点 ，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作轴交抛物线于点 ，过点 作 交抛物线于点 ……，依次进行
下去，则点 的坐标为_____．
42．如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝x2的第一象限部分，若B点的横坐标与纵坐
标之和等于6，则正方形OABC的面积为_____．
43．二次函数y＝ x2的图像如图所示，点A 位于坐标原点，点A，A，A，…，A 在y
0 1 2 3 2017
轴的正半轴上，点B，B，B，…，B 在二次函数y＝ x2位于第一象限的图像上．若
1 2 3 2017
△ABA，△ABA，△ABA，…，△A B A 都为正三角形，则△A B A 的边
0 1 1 1 2 2 2 3 3 2016 2017 2017 2016 2017 2017
长为____．44．如图分别过点 作 轴的垂线，交 的图像于点 ，交直线
于点 ，则 __________．
45．二次函数y=2 x2的图像如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点
B、C在函数图像上，四边形OBAC为菱形，且∠AOB=30°，则点C的坐标为_______．
46．如图，平行于 轴的直线 分别交抛物线 与 于B、
两点，过点 作 轴的平行线交 于点 ，直线 ∥ ，交 于点 ，则
_______．三、解答题
47．抛物线y＝ax2与直线y＝2x－3交于点(1，b)．
(1)求a，b的值．
(2)抛物线y＝ax2的图像上是否存在一点P，使其到两坐标轴的距离相等？若存在，求出点
P的坐标；若不存在，请说明理由．
48．在平面直角坐标系中，若抛物线 与直线 交于点 和点 ，
其中 ，点 为原点，求 的面积.
49．如图所示，已知函数y＝ax2(a≠0)的图像上的点D，C与x轴上的点A(－5，0)和B(3，0)构成 ABCD，DC与y轴的交点为E(0，6)，试求a的值．
▱
参考答案
1．C
【分析】根据二次函数的图像性质即可判断．
解：A、当x=0时，y=0≠2，故此选项错误；
B、它的图像的对称轴是直线x=0，故此选项错误；
C、当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大，故此选项正确；
D、当x=0时，y有最小值是0，故此选项错误；
故选：C．
【点拨】此题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数
的性质是解题关键．2．D
【分析】根据二次函数 的图像和性质判断所给的三个二次函数的图像和性质．
解：A选项错误，二次函数 的开口向下；
B选项错误，二次函数 ，当 时，y随着x的增大而增大；
C选项错误，二次函数 和 的最低点是原点；
D选项正确．
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数 的图像和性质，解题的关键是熟悉它的图像和性质．
3．D
【分析】根据抛物线 的性质直接回答即可．
解：抛物线 和 的性质可知，
二次项系数 的绝对值相等，所以开口方向相反，
并且都关于 轴对称，顶点都为原点，
但是点A（-2，4）在这抛物线 上，但不在抛物线 的图像上，
综上所述，A，B，C选项都正确，只有D错误，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解形如 的抛物线的性质．
4．D
【分析】形如y=ax2的抛物线共同特点就是：关于y轴对称，顶点是原点，a正负性决定开
口方向．a的绝对值大小决定开口的大小．
解：因为抛物线 都符合抛物线的最简形式y=ax2，
其对称轴是y轴，A、 开口向下，故选项错误；
B、抛物线y=ax2在x＜0时和x＞0， 随 的增大的变化情况不一样，故选项错误；
C、抛物线y=ax2在x＜0时和x＞0， 随 的增大的变化情况不一样，故选项错误；
D、抛物线y=ax2的顶点是原点，故选项正确．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的性质确定抛物线的开
口、对称轴以及顶点坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函
数的性质确定二次函数的图像是关键．
5．B
【分析】根据二次函数作出示意图，然后根据示意图逐一判断即可．
解：由题意得：
当x=-1时，y=2，故A选项错误；
当 时， 随 的增大而减小，故B选项正确；
当 时， 有小值为 ，故C选项错误；
图像的对称轴是直线 ，故D选项错误；
故选B．
【点拨】本题考查了二次函数 的图像和性质，正确的作出示意图是本题的
关键．
6．C【分析】直接根据二次函数的图像和性质逐项判断即可．
解：∵y＝－x2
∴①抛物线开口向下，顶点是原点，故该项正确；
②对称轴为x=0，当x>10时，y随x的增大而减少，故该项正确；
③当-10，所以开口向上，正确；
B. 对称轴是y轴，正确；
C. 当x=0时，函数有最小值0，错误；
D. 当x>0时，y随x增大而增大，正确；
故选:C
【点拨】考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像与系数的关系是解题的关键.
9．A
【分析】由题意分情况进行分析：①当a＞0时，抛物线开口向上，直线与y轴的负半轴相交，经过第一、三、四象限，②当a＜0时，抛物线开口向下，直线与y轴的负半轴相交，
经过第二、三、四象限，因此选择A．
解：∵在y=ax-2，
∴b=-2，
∴一次函数图像与y轴的负半轴相交，
∵①当a＞0时，
∴二次函数图像经过原点，开口向上，一次函数图像经过第一、三、四象限，
∵②当a＜0时，
∴二次函数图像经过原点，开口向下，一次函数图像经过第二、三、四象限，
故选A．
【点拨】考核知识点：二次函数图像.
10．C
【解析】
∵y=ax(a≠0)的图像是一条经过原点的直线，所以A不正确；∵当a>0时，y=ax²(a≠0)的开口
向上，y=ax（a≠0的的图像经过第一，第三象限，当a<0时y=ax²(a≠0)的开口向下，
y=ax(a≠0)的图像经过第二，第四象限，∴选项B,D不正确，选项C正确。故选C.
11．C
【分析】本题可先由一次函数y＝ax图像得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2的图
像相比较看是否一致．
解：A、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＞0，但当x＝1时，两函数图像有交点（1，
a），故A错误；
B、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＞0，故B错误；
C、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＜0，但当x＝1时，两函数图像有交点（1，a），
故C正确；
D、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＜0，故D错误．
故选：C．
【点拨】函数中数形结合思想就是：由函数图像确定函数解析式各项系数的性质符号，由
函数解析式各项系数的性质符号画出函数图像的大致形状．
12．D
【分析】二次函数图像的开口向上时，二次项系数a＞0；一次函数y=kx+b（k≠0）的一次
项系数k＞0、b＜0时，函数图像经过第一、三、四象限．解：∵二次函数y=ax2的图像开口向上，
∴a＞0；
又∵直线y=ax-1与y轴负半轴相交，
∴y=ax-1经过的象限是第一、三、四象限．
故选：D．
13．D
【解析】
首先根据各图形的函数解析式求出函数与坐标轴交点的坐标，进而可求得各个阴影部分的
面积，进而可比较出个阴影部分面积的大小关系．
解答：解：甲：直线y=-x+2与坐标轴的交点坐标为：（2，0），（0，2），故S =
阴影
×2×2=2；
乙：图中的函数为正比例函数，与坐标轴只有一个交点（0，0），由于缺少条件，无法求
出阴影部分的面积；
丙：该抛物线与坐标轴交于：（-1，0），（1，0），（0，-1），故阴影部分的三角形是
等腰直角三角形，其面积S= ×2×1=1；
丁：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为：S= xy= ×2=1；
因此③④的面积相等，
故选D．
点评：此题主要考查了函数图像与坐标轴交点坐标的求法以及图形面积的求法，是基础题，
熟练掌握各函数的图像特点是解决问题的关键．
14．A
【解析】
【分析】把x=n和x=n-1代入二次函数求出y的值，即可求出三角形的边长，根据面积公式
计算即可．
解：二次函数y= x2，由图像知：当x=n时，y= n2，
当x=n-1时，y= (n-1)2，
∴S= ×1×[ n2- (n-1)2]
n
= ．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了二次函数的点的坐标特征，三角形的面积等知识点，解此题的关
键是求出三角形的边长．
15．B
【分析】根据函数y=x2与函数y=-x2的图像关于x轴对称，得出阴影部分面积即是半圆面
积求出即可．
解：∵C 是函数y=x2的图像，C 是函数y=-x2的图像，
1 2
∴两函数图像关于x轴对称，
∴阴影部分面积即是半圆面积，
∴面积为： π×22=2π．
故选B．
【点拨】此题主要考查了二次函数的对称性，根据已知得出阴影部分面积即是半圆面积是
解题关键．
16．B
【分析】根据二次函数图像上点的坐标性质得出A，C点坐标，进而利用三角形面积求法
得出答案．
解：∵菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线y= x2上，对角线OB在y轴上，且OB=2，
∴由题意可得：A，C点纵坐标为1，故1= x2，
解得：x=± ，
故A( ，1)，C(﹣ ，1)，
∴AC=2 ，
故菱形OABC的面积是： AC OB= ×2 ×2=2 ．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质以及二次函数图像上点的坐标性质，得出A，C点坐
标是解题关键．
17．D
【分析】当抛物线经过点A时， ，当抛物线经过点B时， ，当抛物线经过点
C时， ，再根据二次函数图像开口大小的性质即可得结论．
解：如图，
当抛物线经过点A时，
当抛物线经过点B时，
当抛物线经过点C时，
由二次函数图像的性质，分以下两种情况：
（1）当 时，抛物线开口向上，且a越大，开口越小
则抛物线 经过点A是临界位置
因此， 时，抛物线必经过 区域（2）当 时，抛物线开口向下，且a越大，开口越大
则抛物线 经过点B是临界位置
因此， 时，抛物线必经过 区域
综上，a的取值范围为 或
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的图像特征，依据题意，分两种情况讨论，并正确找出相应
的临界位置是解题关键．
18．D
【分析】根据动点P从A点出发，到B停止，速度为每秒1个单位，则时间为0～4秒，动
点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，路程为8，时间为0
～4秒； 分两种情况：①当0＜t≤2时，如图，当点Q在BC上，则△APQ的面积为
，图像为二次函数的抛物线； ②当2＜t≤4时，如图，当
点Q在CD上，其面积求得为 ，是一条直线；从而可得答
案．
解：分两种情况： ①当0＜t≤2时，如图所示，由题意得：AP=t，BQ=2t ，
，
其图像是抛物线，
②当2＜t≤4时，如图所示，
，
其图像为一条直线，
故选：D．
【点拨】本题考查的是动点问题的函数图像，观察动点运动过程中所形成的△APQ的面积
分为两类，采用了分类讨论的思想，结合图形与面积公式求出函数关系式，确定一次函数
与二次函数函数类型，得出图像，掌握以上知识是解题的关键．
19．C
【解析】
【分析】先由勾股定理计算出AE，BE，从而就可以得出0≤x≤4时的函数解析式，排除掉A
和D；再得出当4＜x≤5时的函数解析式，进而排除B，从而得正确选项为C．
解：解∵菱形ABCD的边长为5cm，AB边上的高DE＝3cm，
∴在直角三角形ADE中，由勾股定理得：AE＝4cm，
∴BE＝1cm，当0≤x≤4时，由相似三角形的性质及三角形的面积公式得：y＝ ＝ ，从而函
数图像应为开口向上的抛物线，
因此排除选项A和D；
当4＜x≤5时，y＝ ，从而函数图像是直线的一部分，且y随x
的增大而增大，因此排除选项B；
综上，排除A，B和D．
故选C．
【点拨】本题是动点函数图像题型，当某部分的解析式好写时，可以写出来，结合排除法，
答案还是不难得到的．
20．C
【解析】
试题分析：∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线 上，∴ ，解得：
a=1
∴抛物线解析式为y=x2．
∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4），∴OB=OD=2．
∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，∴CD∥x轴．
∴点D和点P的纵坐标均为2．∴令y=2，得2=x2，解得： ．
∵点P在第一象限，∴点P的坐标为：（ ，2）．故选C．
21．A
【分析】根据题意写出A、B 的坐标，然后可得到 ，从而
n n
，然后进行计算即可．
解：由题意可知A、P、B 的横坐标相同，
n n n
∵P (n，0)，
n∴B (n， )，A(n， )，
n n
∴ ，
，
∴
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数和一次函数图像上点的坐标，代数式的化简，得出
是解题的关键．
22．B
【分析】由二次函数的性质以及在Rt△OCB中，利用勾股定理求出OB即可．
解：如图，连接OB，
1
∵AB=4，∴BC=2，则点B的横坐标位，y= ，x2=2，∴点B的坐标为（2，2），
2∴OC=2，在Rt△OCB中，BC=2，OC=2,由勾股定理的，OB=2√2
故选B．
23．A
【解析】
试题分析：当点P在AB上时，即0≤x≤3时，P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面
积= x× x= ；；当点P在BC上时，高不变，但底边在增大，所以P、Q经过的
路径与线段PQ围成的图形的面积关系式为一个一次函数；当P在CD上时，表示出所围成
的面积关系式，根据开口方向判断出开口向下，相应的图像为A．
考点：动点问题的函数图像．
24．D
【分析】根据动点移动是图形的面积变化，确定是属于哪一种函数，再选择图像.
解：在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=2cm，
AD+DC=AB+AD=4+2=6cm，
∵点M以每秒1cm的速度运动，
∴4÷1=4秒，
∵点N以每秒2cm的速度运动，
∴6÷2=3秒，
∴点N先到达终点，运动时间为3秒，
①点N在AD上运动时，y= AM∙AN= x∙2x=x2（0≤x≤1）；
②点N在DC上运动时，y=
AM∙AD= x×2=x（1≤x≤3），
∴能反映y与x之间的函数关系的是D选项．
故选D．
【点拨】考核知识点：函数图像.
25．向下 (-3，0) x=-3 高【分析】根据二次函数的性质：当 时，抛物线的开口向下，顶点式：
， ， 是常数， ，其中 为顶点坐标，对称轴为： ．
解：在抛物线 中，
∵ ，
∴抛物线开口向下，顶点是图像的最高点；
∵ ， ，
∴对称轴为x=-3，顶点坐标是(-3，0)；
故答案是：向下，(-3，0)，y轴，高．
【点拨】此题主要考查了二次函数的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
26．①②④
【分析】根据二次函数y＝ax2的图像与性质逐一判断即得答案
解：由函数的解析式y＝－x2，可知a=﹣1＜0，得到函数的开口向下，有最大值y=0，故①
正确；
由函数的解析式y＝2x2，可知其对称轴为y轴，对称轴的左边（x＜0），y随x增大而减小，
对称轴的右边（x＞0），y随x增大而增大，故②正确；
根据二次函数的性质，系数a决定抛物线的开口方向和开口大小，且 越大开口越小，可
知抛物线y＝2x2的开口最小，抛物线y＝－x2的开口第二小，而y 开口最大，故③
不正确；
不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点，故④正确．
综上，正确的结论是：①②④．
故答案为：①②④．
【点拨】此题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数y=ax2的与性质是解题
的关键．
27．2 8 一切实数 y
【分析】（1）把x=-1，y=2代入 ，得a=2，可得 ，把x=2，y=b代入中，得b=8；
（2）由（1）可得函数解析式，定义域是一切实数；
（3）当x=-2，x=-3，x=3时，分别计算出对应的y值，然后观察数据即可得到结论．
解：（1）把x=-1，y=2代入 ，得a=2，
∴函数解析式为： ，
把x=2，y=b代入 中，得b=8，
故答案为：a=2，b=8．
（2）函数的解析式为 ，定义域是一切实数，
故答案为： ，一切实数．
（3）当x=-2时，y=8；
当x=-3时，y=18；
当x=3时，y=18；
可得该函数的图像关于y轴对称．
故答案为：y．
【点拨】本题主要考查了二次函数 的图像和性质，熟练掌握其图像和性质是解题
的关键．
28．向下 轴 减小 大 0
【分析】根据二次函数的解析式和图像性质即可依次写出.
解：对于
（1）∵a= ＜0，∴开口方向为向下；
（2）对称轴为y轴；
（3）顶点坐标为 ；（4）当 时， 随 的增大而减小；
（5）当 =0时， ；
（6）当 =0时，函数 的最大值是0.
故填：(1). 向下(2). 轴 (3) (4).减小(5) (6) ；大；0
【点拨】本题主要考查二次函数的性质及图像，掌握二次函数的顶点式y＝ax2对应的开口
方向、对称轴、顶点坐标是解题的关键．
29． (0，0) y轴 ≤0 ＞0 0 小 0．
【解析】解：抛物线y＝2x2的顶点，坐标为（0，0），对称轴是y轴．当x≤0时，y随x增
大而减小；当x＞0时，y随x增大而增大；当x＝0时，y有最小值是0．
故答案为： （0，0） ； y轴 ； ≤0 ；＞0 ； 0 ； 小； 0．
30．上， y轴， （0，0）， 减小， 增大， 最小， 0．
【分析】根据二次函数的性质，可得答案．
解：y＝ x2的开口方向 上，对称轴是 y轴，顶点是 （0，0），当x＜0时，y随x的增
大而 减小；当x＞0时，y随x的增大而 增大；当x＝0时，y有最 最小值是 0，
故答案为上，y轴，（0，0），减小，增大，最小，0．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题关键．
31．抛物线 上 y轴 （0，0） 低 小 0 减小
【解析】
【分析】由函数图像与系数的关系及二次函数的性质，即可得到答案.
解：函数 的图像是抛物线，开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是原点（0，
0），图像有最低点，函数y有最小值，最小值是0，当 时，y随x的减小而减小；
故答案为：抛物线；上；y轴；（0，0）；低；小；0；减小.
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系及二次函数的性质，综合性较强．解题的
关键是熟记二次函数的图像和性质.
32．y＜y＜y
2 3 1【解析】
解：∵点A（﹣3，y），B（﹣1，y），C（2，y）在抛物线y= x2，∴y= ×（﹣3）
1 2 3 1
2=6，y= ×（﹣1）2= ，y= ×22= ＜ ＜6，∴y＜y＜y．故答案为y＜y＜
2 3 2 3 1 2 3
y．
1
点拨：本题主要考查二次函数图像上点的坐标特征，掌握函数图像上点的坐标满足函数解
析式是解题的关键．
33．②③④
【解析】
【分析】根据二次函数的图像与性质即可求出答案．
解：①由图像可知：抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，故①错误；
②（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点为（3，0），
∴ax2+bx+c＝0的两个根是x＝﹣1，x＝3，故②正确；
1 2
③对称轴为x＝1，
故 ＝1，
∴2a+b＝0，故③正确；
④当y＞0时，由图像可知：﹣1＜x＜3，故④正确；
⑤当x＞1时，y随着x的增大而减小，故⑤错误；
故答案为：②③④．
【点拨】本题考查二次函数的图像，解题的关键是熟练运用二次函数的图像与性质，本题
属于基础题型．
34．
【分析】根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P的坐标，过
点P作PM⊥y轴于点M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPMO的面
积，然后求解即可.
解：过点P作PM⊥y轴于点M，设PQ交x轴于点N，∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0），
∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3.
∴平移后的二次函数解析式为：y= （x+3）2+h，
将（﹣6，0）代入得出：0= （﹣6+3）2+h，解得：h=﹣ .
∴点P的坐标是（3，﹣ ）．
根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，
∴S=
35．2π
【解析】
试题分析：根据题意可知两个函数的图像关于x轴对称，通过对称性可知阴影部分为一个
半圆，求半圆的面积为π×22÷2=2π.
故答案为2π.
36．8
【解析】
函数y= x2与y=– x2的图像关于x轴对称，又因正方形的边长为4，以正方形中心为原点
建立平面直角坐标系，所以阴影部分的面积为正方形面积的一半，即4×4× =8.
点拨：本题考查了抛物线 的性质，熟知 与 的图像关于x轴对称是解决问题的关键.
37．
解：当x=1时，y= x2= ，则P（1， ），所以S= ×1× = ；
1 1
当x=2时，y= x2=2，则P（2，2），所以S= ×1×（2- ）= ；
2 2
当x=3时，y= x2= ，则P（3， ），所以S= ×1×（ -2）= ，
3 3
同样方法可得S= ，
4
所以S= ．
n
故答案是： ， ．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征：二次函数图像上点的坐标满足其解析
式．也考查了三角形面积公式．
38． ．
【解析】
分析：根据抛物线和圆的性质可以知道，图中阴影部分的面积就等于圆心角为150°，半径
为2的扇形的面积，概率=阴影部分的面积：圆的面积．
详解：抛物线y= x2与抛物线y=﹣ x2的图形关于x轴对称，直线y= x与x轴的正半轴的夹角为60°，根据图形的对称性，把左边阴影部分的面积对折到右边，
可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为150°，半径为2，所以则指
针指向阴影部分的概率= ．
故答案为： ．
点拨：本题考查的是二次函数的综合题，题目中的两条抛物线关于x轴对称，圆也
是一个对称图形，可以得到图中阴影部分的面积等于圆心角为150°，半径为2的扇
形的面积，用概率=阴影部分的面积：圆的面积．
39． 或
【分析】作出图像，首先求得线段AB的长，然后利用面积求得点P的纵坐标，从而求得
点P的坐标．
解：如图，
∵令y=2则y=x2=2，
解得：x= ，
∴A（ ，2），B（ ，2），
∴AB= ，
设点P（x，x2），
∴S = × ×x2= ，
△ABP
解得：x2=2，
∵点P在y=2上方，
∴点P的坐标为 或 ，
故答案为： 或 .【点拨】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意作出图形，难度不大．
40．4.5
【分析】函数y＝2x2与y＝－2x2的图像关于x轴对称，又因正方形的边长为3，以正方形
中心为原点建立平面直角坐标系，可得出阴影部分的面积为正方形面积的一半，即可求解．
解： 函数y＝2x2与y＝－2x2的图像关于x轴对称，
图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，
而边长为3的正方形面积为9，
所以图中的阴影部分的面积为4.5，
故答案为4.5．
【点拨】本题考查了抛物线y＝ax2的性质，熟知y＝ax2与y＝－ax2的图像关于x轴对称是
解决问题的关键．
41．
【分析】根据二次函数性质可得出点 的坐标，求得直线 为 ，联立方程求
得 的坐标，即可求得 的坐标，同理求得 的坐标，即可求得 的坐标，根据坐标
的变化找出变化规律，即可找出点 的坐标．
解：∵ 点坐标为 ，
∴直线 为 ， ，
∵ ，
∴直线 为 ，解 得 或 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴直线 为 ，
解 得 或 ，
∴ ，
∴
…，
∴ ，
故答案为 ．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征、一次函数的图像以及交点的坐标，根
据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．
42．10．
【解析】
【分析】根据点B在抛物线y＝x2的第一象限部分，可设B点坐标为（x，x2），则x＞0．
根据B点的横坐标与纵坐标之和等于6，列出方程x+x2＝6，解方程求出x的值，再根据正
方形的性质求出正方形OABC的面积．
解：∵正方形OABC的顶点B在抛物线y＝x2的第一象限部分，∴可设B点坐标为（x，x2），且x＞0．
∵B点的横坐标与纵坐标之和等于6，
∴x+x2＝6，
解得x＝2，x＝﹣3（不合题意舍去），
1 2
∴B（2，4），
∴OB2＝22+42＝20，
∴正方形OABC的面积＝ OB•AC＝ OB2＝10．
故答案为10．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，正方形的面积，求
出B点坐标是解题的关键．
43．2017
【解析】
设△A0B1A1的边长为2a，则易得点B1( a，a)，将点B1的坐标代入y＝ x2，得a＝ ×3a2，解得a＝
(a＝0舍去)．
∴△A0B1A1的边长为1.
设△A1B2A2的边长为2b，则易得点B2( b，1＋b)，将点B2的坐标代入y＝ x2，得1＋b＝
×3b2，解得b＝1(b＝－ 舍去)．
∴第二个正三角形的边长为2.
同理，可求得第三个正三角形的边长为3，
……
∴△A
2016
B
2017
A
2017
的边长为2017.
44．
【解析】
【分析】根据题意分别将x=1,x=2…x=n代入解析式，求得A 与B 的坐标，AB 的长，分
n n n n
别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果．
解：根据题意得：把x=1代入 ； 中得到
∴ ，
∴ ，
同理，把x=2代入 ； 中
得到
∴
∴
…
x=n代入 ； 中
得到
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了二次函数和一次函数的点的坐标求法及数字型的规律探索，属于规律
型试题，找出题中的规律是解本题的关键．
45．（﹣ ）
【分析】连结BC交OA于D，如图，根据菱形的性质得BC⊥OA，∠OBD=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得OD= BD，设BD=t，则OD= t，B（t， t），利用
二次函数图像上点的坐标特征得2 t2= t，得出BD= ，OD= ，然后根据菱形的
性质得出C点坐标．
解：连结BC交OA于D，如图，
∵四边形OBAC为菱形，
∴BC⊥OA，
∵∠AOB=30°，
∴∠OBD=60°，
∴OD= BD，
设BD=t，则OD= t，
∴B（t， t），
把B（t， t）代入y=2 x2得2 t2= t，解得t=0（舍去），t= ，
1 2
∴BD= ，OD= ，
故C点坐标为：（﹣ ， ）．
故答案为：（﹣ ， ）．
【点拨】本题考查了菱形的性质、二次函数图像上点的坐标特征，根据二次函数图像上点的坐标性质得出BD的长是解题关键．
46． .
【解析】
试题分析：设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出
AB的长度，再根据CD∥y轴，利用y 的解析式求出D点的坐标，然后利用y 求出点E的
1 2
坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解．
试题解析：设A点坐标为（0，a），（a＞0），
则x2=a，解得x= ，
∴点B（ ，a），
，则x= ，
∴点C（ ，a），
∵CD∥y轴，
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为 ，
∴y=( )2=3a，
1
∴点D的坐标为（ ，3a），
∵DE∥AC，
∴点E的纵坐标为3a，
∴ ，
∴x=3 ，
∴点E的坐标为（3 ，3a），
∴DE=3 - ，.
考点：二次函数综合题．
47．(1) a＝－1, b＝－1;
(2) 存在,理由见解析.．
【解析】
分析：(1)将点(1，b)代入到直线y = 2x－3，可以得出b = -1，再将(1，-1)代入到抛物线求
出a、b;(2)P(m，n)点到两坐标轴距离相等，即|m| = |n|，也即 m²= n²两点相交，即相交点
符合两个函数方程，可以得出二次函数，并且要把握住P(m，n)点到两坐标轴距离相等，
即|m| = |n|，也即 m² = n² ，然后在n = −m²－ m² 中把 m² 换为 n² ，求出n的值，最后得
到m的值，即可得到P的坐标.
本题解析：
(1)∵直线y＝2x－3过点(1，b)，
∴b＝2×1－3＝－1，∴交点坐标为(1，－1)．
∵抛物线y＝ax2过点(1，－1)，
∴－1＝a×12，∴a＝－1.
(2)若存在点P，设点P的坐标为(x，y)，
则|x|＝|y|.
∵a＝－1，∴y＝－x2，
∴x2＝|x|，∴x＝0或x＝±1，
∴点P的坐标为(0，0)或(1，－1)或(－1，－1).
点拨：本题是对抛物线知识的考查,掌握抛物线的图像、性质是解决本题的关键.
确定二次函数解析式时,要根据所给条件选择恰当的表达式.一般地,
已知抛物线上任意三点时,通常设函数解析式为一般式;当已知顶点坐标
时,通常设函数解析式为顶点式;当已知抛物线与x轴有两个交点时,通
常设函数解析式为交点式.
48． .
【分析】首先求得两个交点的坐标，然后求得直线 与y轴的交点坐标，再根据三
角形的面积公式即可得出答案．解：由题意得：
解得： 或
∵点 和点 ，其中
∴ ，
直线 与y轴的交点坐标为：（0，1）
∴
【点拨】考查了二次函数的性质，解题的关键是了解如何求得两个图像的交点坐标．
49．
【解析】
【分析】由A（-5，0）和B（3，0）得出AB=8，进一步得出CD=AB=8，所以D点的横坐
标为-4，再结合E（0，6），得出点D的纵坐标为6，代入D点坐标求得a的数值即可．
解：∵点A(－5，0)和B(3，0)，
∴AB＝8.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝8，CD∥AB.
又∵AB⊥y轴，抛物线y＝ax2的对称轴为y轴，∴CD⊥y轴，
∴DE＝ CD＝4，点D，C，E的纵坐标相同．
又∵点E的坐标为(0，6)，
∴点D的坐标为(－4，6)．
将D(－4，6)代入y＝ax2，
解得a＝ .【点拨】此题考查二次函数的性质，平行四边形的性质，利用二次函数的对称性是解决问
题的关键．
