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专题 2 函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题
一、考情分析
函数与导数一直是高考中的热点与难点,函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题是近年高考的热点及
难点,特别是隐零点及零点赋值经常成为导数压轴的法宝.
二、解题秘籍
(一) 确定函数零点个数
1.研究函数零点的技巧
用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断；另一方面,也可将零点
问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决．对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,
结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值；从图象的
对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间
区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数．
2. 判断函数零点个数的常用方法
(1)直接研究函数,求出极值以及最值,画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题．
(2)分离出参数,转化为a＝g(x),根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性,求出极值以及最值,画出草图．
函数零点的个数问题即是直线y＝a与函数y＝g(x)图象交点的个数问题．只需要用a与函数g(x)的极值和最
值进行比较即可．
3. 处理函数y=f(x)与y=g(x)图像的交点问题的常用方法
(1)数形结合,即分别作出两函数的图像,观察交点情况;
(2)将函数交点问题转化为方程f(x)=g(x)根的个数问题,也通过构造函数y=f(x)-g(x),把交点个数问题转化为利
用导数研究函数的单调性及极值,并作出草图,根据草图确定根的情况.
4.找点时若函数有多项有时可以通过恒等变形或放缩进行并项，有时有界函数可以放缩成常数，构造函数
时合理分离参数，避开分母为0的情况.
【例1】（2023届广东省罗定中学高三上学期调研）已知函数 ，其中
.
(1)求函数 的单调区间；
(2)讨论函数 零点的个数；
【解析】（1）由题意知： 定义域为 ， ，
令 ，解得： ， ，又 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ；当 时， ；
的单调递增区间为 ， ；单调递减区间为 .
（2）取 ，则当 时， ， ， ，
；
，由（1）知： 在 上单调递增，
当 时， ，即 在 上无零点；
下面讨论 的情况：
①当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
，
又 ， ，
在 和 上各存在一个零点，即 有两个不同零点；
②当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ，
有唯一零点 ；
③当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
， 无零点；
综上所述：当 时， 有两个不同零点；当 时， 有且仅有一个零点；当 时，
无零点.
(二) 根据函数零点个数确定参数范围
根据函数零点个数确定参数范围的两种方法
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1.直接法：根据零点个数求参数范围,通常先确定函数的单调性,根据单调性写出极值及相关端点值的范围,
然后根据极值及端点值的正负建立不等式或不等式组求参数范围；
2.分离参数法：首先分离出参数,然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参
数的不等式,再通过解不等式确定参数范围,分离参数法适用条件：(1)参数能够分类出来；(2)分离以后构造
的新函数,性质比较容易确定.
【例2】（2023届四川省成都市高三全真模拟）已知函数 ， ．
(1)若函数 在 处的切线的斜率为 ，求实数a的值（e是自然对数的底数）；
(2)若函数 有且仅有两个零点，求实数a的取值范围．
【解析】（1）因为 ，定义域为 ，故 ，
则 ，即 ，
即 ，
令 ，则 ，
又因为 在 上单调递增，且当 时， ，
所以 ，即 ， ．
（2）因为函数 有且仅有两个零点，
所以 有且仅有两个大于1的实数根，
又 ，则 ，
即 ，
令 ，则 ，
由 ，得 ，当 时， ，当 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 在 上单调递减且 ，
在 上单调递增且 时 ，
又 ， ，则 ，则 ，
即得 ，
所以 ，即 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
当 时， ，且无限趋近于0，
所以 ，故实数a的取值范围为 ．
(三)零点存在性赋值理论及应用
1.确定零点是否存在或函数有几个零点,作为客观题常转化为图象交点问题,作为解答题一般不提倡利用图象
求解,而是利用函数单调性及零点赋值理论.函数赋值是近年高考的一个热点, 赋值之所以“热”, 是因为
它涉及到函数领域的方方面面：讨论函数零点的个数(包括零点的存在性, 唯一性)； 求含参函数的极
值或最值； 证明一类超越不等式； 求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取
值范围等,零点赋值基本模式是已知 f (a) 的符号,探求赋值点 m (假定 m a )使得 f (m) 与 f (a) 异
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】号,则在 (m,a) 上存在零点．
2.赋值点遴选要领：遴选赋值点须做到三个确保：确保参数能取到它的一切值； 确保赋值点 x 落在
0
规定区间内；确保运算可行
三个优先：（1）优先常数赋值点；（2）优先借助已有极值求赋值点；（3）优先简单运算.
3.有时赋值点无法确定,可以先对解析式进行放缩,再根据不等式的解确定赋值点（见例2解法）,放缩
法的难度在于“度”的掌握,难度比较大.
【例3】（2024届北京市新高三入学定位考试）已知函数 ，曲线 在 的切
线为 ．
(1)求a，b的值；
(2)求证：函数在区间 上单调递增；
(3)求函数 的零点个数，并说明理由．
【解析】（1） ，则有 ，解得 ， ，则
.
（2）由（1）知 ， ，
设 ，因为 在 上单调递增，
则 ，所以 在 上恒成立，
所以函数 在区间 上单调递增.
（3）因为 ，令 ，
令 ，得 ，设 ，
由（2）知 在 上单调递增，且 ， ，
故存在唯一零点 使得 ，
即存在唯一零点 满足 ，即得 ，则 ，
且当 时， ，此时 单调递减，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，此时 单调递增，
所以
，
当 时， ， ，
则 ，
则函数 的零点个数为0.
(四)隐零点问题
1.函数零点按是否可求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的,称之为“显零点”；另一类是能
够判断其存在但无法直接表示的,称之为“隐零点”.
2.利用导数求函数的最值或单调区间,常常会把最值问题转化为求导函数的零点问题,若导数零点存在,但无
法求出,我们可以设其为 ,再利用导函数的单调性确定 所在区间,最后根据 ,研究 ,我们
f (x) f '(x )=0 x ,a x
0 0 0
把这类问题称为隐零点问题. 注意若 中含有参数a,关系式 是关于 的关系式,确定 的
合适范围,往往和a的范围有关.
【例4】（2024届宁夏吴忠市高三上学期月考）已知函数 在 处的切线与直线 ：
垂直．
(1)求 的单调区间；
(2)若对任意实数 ， 恒成立，求整数 的最大值．
【解析】（1）由 ，得 ，又切线与直线 ： 垂直，所以 ，
即 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
（2）对任意实数 ， 恒成立，
即对任意实数 恒成立．
设 ，即 ．
，令 ，
所以 恒成立，所以 在 上单调递增．
又 ， ，所以存在 ，使得 ，
即 ，所以 ．
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．
所以
，
当 时， ，
所以 ，由题意知 且
所以 ，即整数 的最大值为1．
三、典例展示
【例1】（2022高考全国卷乙理）已知函数
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）当 时,求曲线 在点 处的切线方程；
的
（2）若 在区间 各恰有一个零点,求a 取值范围．
【解析】（1）当 时, ,所以切点为 ,
,所以切线斜率为2
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（2） , ,
设
若 ,当 ,即
所以 在 上单调递增,
故 在 上没有零点,不合题意,
若 ,当 时,
所以 在 上单调递增,所以 ,即
所以 在 上单调递增, ,
故 在 上没有零点,不合题意.
若 ,
(1)当 ,则 ,所以 在 上单调递增,
,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以存在 ,使得 ,即 .
当 单调递减,当 单调递增,
所以当 ,当 ,
所以 在 上有唯一零点,
又 在 没有零点,即 在 上有唯一零点,
(2)当 , ,设 ,
则 ,所以 在 上单调递增,
,所以存 在,使得
当 单调递减
当 单调递增, ,
又 ,所以存在 ,使得 ,即
当 单调递增,当 单调递减
有
而 ,所以当 ,
所以 在 上有唯一零点, 上无零点,
即 在 上有唯一零点,
所以 ,符合题意,
综上得 在区间 各恰有一个零点, 的取值范围为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例2】（2023届江西省临川高三上学期期中）已知函数 ，其中
为自然对数的底数.
(1)讨论函数 的单调性，
(2)若 ，当 时， 恒成立时，求 的最大值.（参考数据： ）
【解析】（1）由 可得 .
当 时， 恒成立， 在 单调递增；
当 时，令 得 ，所以 在 单调递减，在 单调递增；
综上所述，当 时， 在 单调递增；当 时， 在 单调递减，在 单
调递增.
（2）当 时， 成立，当 时， 恒成立即 ，
设 ，则 ，
令 ，则 ，
设 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，故 ；当 时， ，故 ，
综上有 ，故 ，故 为增函数，
又 ，
因为 ，故 ，
所以 ，
故存在唯一零点 使得 ，
故当 时 单调递减当 时， ， 单调递增，故 ，
又 ，
即 ，
所以
设 ，则 ，故 为增函数，
又 ，所以 ，
所以 ，故要 且为正整数则 的最大值为3.
【例3】（2023届福建省宁德市高三高考前最后一卷）已知函数 ．
(1)讨论函数 的零点的个数﹔
(2)当 时，若对任意 ，恒有 ，求实数a的取值范围．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）令 则 ，
记 ，则 ，
当 时， ，此时 在 单调递减，
当 时， ，此时 在 单调递增，
故当 时， 取极大值也是最大值 ，
又 ，而当 时， ，故当 时， ，当 时， ，作出 的图
象如下：
因此当 时，即 ， 无交点，此时 无零点，
当 或 时，即 或 ， 有一个交点，此时 有一个零点，
当 时，即 ， 有两个交点，此时 有2个零点，
综上可知：当 时， 无零点，
当 或 有一个零点，
当 ， 有2个零点，
（2）当 时，若对任意 ，恒有 等价于：
对任意 ，恒有 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，则不等式等价于 ，
由于 ，
令 ，
当 单调递减，当 单调递增，所以 ，
故 在 单调递增，
由 得 对任意 恒成立，
两边取对数得 对任意 恒成立，
故 ，所以
故 的范围为
【例4】已知函数 的最小值为 ．
(1)求 的值；
(2)已知 , ,在 上恒成立,求 的最大值．（参考数据： ,
）
【解析】 (1)由题可知 ．令 ,解得 ；
令 ,解得 ．
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 ,解得 ．
(2)由 可得 对 恒成立．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ,则 ,令 ,
则
因为 在 上单调递增, , ,
且 的图象在 上不间断,所以存在 ,使得 ,
即 ,则 ．
所以当 时, 单调递减；当 时, 单调递增．
则 的最小值为 , ,
由对勾函数性质得, ,
所以 ,
所以 ,即 在区间 上单调递增,
所以 ．
所以存在整数 满足题意,且整数 的最大值为 ．
【例5】（2023届云南省保山市高三联考）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，函数 在 上恒成立，求整数a的最大值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）根据题意可得 ，
若 ， 在 上恒成立，此时函数 在 上单调递增；
若 ，此时 ，
当 时，满足 ，此时函数 在 ， 上单调递增；
当 时，满足 ，此时函数 在 单调递减；
若 ，此时 ，
当 时，满足 ，此时函数 在 ， 上单调递增，
当 时，满足 ，此时函数 在 单调递减；
综上可知， 时， 在 上单调递增；
时， 在 和 上单调递增，在 单调递减；
时， 在 和 上单调递增，在 单调递减；
（2）由 可得 ，解得 ；
所以 ，则 ，
易知 时， ，
若函数 在 上恒成立，等价成 在 上恒成立；
令 ，则 ；
令 ，则 在 上恒成立，
即函数 在 上单调递增，
易知 ，由于 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】而 ，且 ，所以 ；
因此 在 有且仅有一个零点 ，满足 ，且 ；
所以当 时， ，当 时， ；
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
所以 的最小值为 ，显然 ，
因此 ，又 是整数，
所以 的最大值为4.
四、跟踪检测
1．（2023届云南省保山市高三上学期期末质量监测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）当 时， ，
切线的斜率为 ，
又切点为 ，所以切线方程为 .
（2）令 ，即 ，
①若 ，则当 时， ，令 ， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，
所以 恒成立，符合题意；
②若 ，则当 时， ，不合题意；
③若 ，注意到 ，
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
因为 ，
所以存在 ，使得 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减， ，不合题意.
综上， 的取值范围为 .
2．（2023届四川省高三诊断性检测）已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)令 （a为常数），若 有两个零点 ，求实数a的取值范围.
【解析】（1）由题意可知： 的定义域为 ， ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
所以 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .
（2）由题意可知： ，其定义域为 ，
则 有两个零点 ，即 有两解，即 有两解，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，则 .
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ，
可知 ，
又因为 ，且当 趋近于 ， 趋近于0，
要使得 有两解，只需 ，所以 ，
故实数a的取值范围为 .
3．（2024届广东省揭阳市高三上学期开学考试）已知函数 .
(1)当 时，证明： ；
(2)若关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值.
【解析】（1）当 时， ，
，
令 ，得 ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 在 处取得唯一的极大值，即为最大值，
所以 ，
所以 ，
而 ，
所以 .
（2）令 .
则 .
当 时，因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
又因为 .
所以关于 的不等式 不能恒成立；
当 时， .
令 ，得 ，所以当 时， ；
当 时， .
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
故函数 的最大值为 .
令 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，
又因为 在 上单调递减，所以当 时， .
所以整数 的最小值为3.
4．（2023届黑龙江省哈尔滨市高三月考）设函数
(1)若 ， ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ，不等式 对任意 恒成立，求整数k的最大值．
【解析】（1）当 ， 时， ，所以 ，即切点为
因为 ，所以 ，
所以切线方程为 ，即 ，
（2） ，由 ，所以 ，
所以函数 在R上单调递增
不等式 ，对 恒成立，
构造 ， ，
构造 ， ，对 有 ，
所以 在 递增， ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，即 ， 在 递减，
， ，即 ， 在 递增，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，结合 ，故 ，
所以 对 恒成立 ，故 ，
所以整数k的最大值为3；
5．（2023届江苏省连云港市高三学情检测）已知函数 .
(1)判断函数 零点的个数，并证明；
(2)证明： .
【解析】（1）函数的定义域 ，
当时 时， ，函数 无零点，
当 时， ， 单调递增，
又 ， 且 图象在 上连续不断，
所以由零点存在定理得 在 上有且只有一个零点，
综上， 有且只有一个零点.
（2）要证 ，即证 ，
令 ，其中 ，
则有 ，
令 ，则 可化为 ，
因为 ，所以函数 在 单调递增，则 ，
由 ， ， ，
令 得 ，列表如下：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】- 0 +
↗
由表可知： ，即 ，仅当 ，等号成立，
由（1）可知，存在唯一的 ，使得 ，
即仅有唯一的 ，使得 ，
而 ，当 ，等号成立，
综上， 与 ，等号不能同时成立，
故 ，即 .
6．（2024届广东省深圳市罗湖区部分学校高三上学期开学模拟）已知函数 R .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，若关于x的不等式 恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】（1）函数 的定义域为R,
，
当 时，由 ， 在R上单调递增，
当 时，令 ，可得 ，令 ，可得 ，
∴ 单调递减区间为 ， 单调递增区间为 ，
∴当 时， 在R上单调递增；
当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）设 ，则 ，
（i）当 时， ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
∴ 在区间 上单调递增，则 ，
∴ 在区间 上单调递增，则 ，
∴ ，
∴ 在区间 上单调递增，则 恒成立，
（ii）若 时，则 ， ，
∴ ，使得 ，
∴ 在区间 上单调递减，则 ，与条件矛盾，
综上所述，实数m的取值范围为 .
7．（2024届山西省朔州市怀仁市第一中学校等学校2高三上学期摸底）已知函数
（ ，e为自然对数的底数）.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有且仅有3个零点，求实数a的取值范围.
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】.
①当 时，由 ，有 ，令 ，可得 ，
可得函数 的减区间为 ，
令 ，函数 的增区间为 ；
②当 时， ，
可得函数 在区间 上单调递增，无单调减区间；
③当 时， ，令 ，可得 ，
可得函数 的减区间为 ，
令 ，可得 ，或 ，所以函数 的增区间为 ， ；
④当 时， ，令 ，可得 ，
令 ，可得 ，或 ，
可得函数 的减区间为 ，增区间为 ， ；
综上，当 时，由函数 的减区间为 ，增区间为 ；
当 时，函数 在区间 上单调递增；
当 时，函数 的减区间为 ，增区间为 ， ；
当 时，函数 的减区间为 ，增区间为 ， .
（2） .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由（1）可知：
①当 时，由函数 的减区间为 ，增区间为 ，有 ，函数 没有零点，
不合题意；
②当 时，函数 单调递增，函数 最多只有一个零点，不合题意；
③当 时，函数 的减区间为 ，增区间为 ， ，
由 ，函数 最多只有一个零点，不合题意；
④当 时，函数 的减区间为 ，增区间为 ， .
由 ，若函数 有且仅有3个零点，必需 ，
令 ，有 ，
令 ，有 ，
可得函数 单调递增，有 ，
可得函数 单调递增，又由 ，
故满足不等式 的a的取值范围为 .
又由 ，可得当 时， ，
又由 ， ，
，可得函数 有且仅有3个零点.
由上知，若函数 有且仅有3个零点，实数a的取值范围为 .
8．（2023届云南省高三“云教金榜”N 1冲刺测试）设函数 ， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【解析】（1） 时，函数 的定义域为 ，
因为 ，所以，当 时， ，当 时， ，
所以 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
（2）函数 的定义域为 ，
等价于 ，
设 ，则 ，
设 ，则 恒成立，
所以 在 上单调递增，
即 在 上单调递增，当 ，当 ，
所以 ，使得 ，即 ，所以 ，
当 时， ，所以 单调递减，
当 时， ，所以 单调递增，
所以 ，
设 ，则 ，而 恒成立，
所以 为增函数，
由 ，所以 .
因为 均为减函数，所以 在 上为减函数，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以，当 时， ，所以实数 的取值范围为
9．（2024届云南省三校高三高考备考实用性联考）已知 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)当 时，证明：函数 有且仅有一个零点.
【解析】（1）当 时， ，
，
由 得 或 ，解得 或
由 得 或 ，解得 或 ，
故函数 的单调递增区间为 , ，单调递减区间为 , .
（2）当 时， ，定义域为 ，
，
设 ，
，所以 在区间 上是增函数，
，
存在唯一 ，使 ，即 ，
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，即 ，
在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，在区间 上是增函数，
当 时， 取极大值为
，
设 ， ，
所以 在区间 上是减函数.
在 内无零点，
，
在 内有且只有一个零点，
综上所述， 有且只有一个零点.
10.（2023届河南省安阳市高三上学期名校调研摸底）已知函数 ,其中 ,且
.
(1)当 时,求 的单调区间；
(2)若 只有一个零点,求 的取值范围.
【解析】 (1)当 时, ,
,
易知 在 上单调递增,且 ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以当 时, ,此时 单调递减；
当 时, ,此时 单调递增；
所以 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 ；
(2) ,
令 ,
（1）当 时,则 ,
,
当 时, ,此时 单调递增；
当 时, ,此时 单调递减；
故 ,
则 , 在 单调递增,
又 时, ； 时, ；
所以此时 在 只有一个零点；
（2）当 时,则 ,
恒成立, 在 单调递增,
且 , ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ,则 ,
故存在 ,使得 ,
当 时, ,当 时, ,
因为当 时, ,
所以当 时, , 单调递减；
当 时, , 单调递增；
当 时, 取得极小值,
由 得 ,则 ,
当 时,等号成立,
由 ,可得 ,解得 ,
综合第一问可知,当 时, 只有一个零点；
综上,若 只有一个零点,则 的取值范围是
11.（2023届三省三校高三第一次联考）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ,设 在 上的最小值为 ,求证： .
【解析】 (1)定义域： .
.
①当 ,即 时： 恒成立.故 在 上单调递减.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】②当 ,即 时：令 ,即 ,解得： ;
所以 在 上单调递减,在 上单调递增.
综上所述：当 时： 在 上单调递减；
当 时： 在 上单调递减,在 上单调递增.
(2)当 时, .
.
因为 在 上单调递增,且 , .
所以必存在点 ,使 ,即
且当 时 ,当 时 ,
所以 在区间 上单调递减,在区间 上单调递减.
所以 . .
又因 在 上单调递减.
所以 .
故 恒成立.
12． ．
（1）求 的零点个数；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）使不等式 对任意 恒成立时最大的k记为c,求当 时,
的取值范围．
【解析】（1）函数定义域是 ,
由题意 ,
当 或 时, , 时, ,
所以 在 和 上递增,在 上递减,
时, , 时, ,
, ,
极大值 极小值
所以 只在区间 上有一个零点；
（2）因为 ,所以原不等式可变为
,
令 , ,
令 ,则 , 时, , 递增, ,
,
①当 ,即 时,在 上 , 是增函数,
, ,
②当 ,即 时, , 递减,
, ；
③当 时, 在 上递增,
存在唯一的实数 ,使得 , , ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则当 时, , , 递减,
时, , , 递增,
,
,
,令 , , 时, , 递增,
所以 时, ,所以 ,
综上, ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
