(完整版)圆锥曲线知识点总结(经典版)_高中三年全科资料_高中三年全科资料_数学

圆锥曲线的方程与性质 1．椭圆 （1）椭圆概念 平面内与两个定点F 、F 的距离的和等于常数2a（大于|FF |）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆 1 2 1 2 的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有|MF ||MF |2a。 1 2 x2 y2 y2 x2 椭圆的标准方程为：  1（a b0）（焦点在x轴上）或  1（a b0）（焦点在y轴 a2 b2 a2 b2 上）。 注：①以上方程中a,b的大小a b0，其中b2 a2 c2； x2 y2 y2 x2 ②在  1和  1两个方程中都有a b0的条件，要分清焦点的位置，只要看x2和 y2的分 a2 b2 a2 b2 x2 y2 母的大小。例如椭圆  1（m0，n0，mn）当mn时表示焦点在x轴上的椭圆；当mn时 m n 表示焦点在 y轴上的椭圆。 （2）椭圆的性质 x2 y2 ①范围：由标准方程  1知|x|a，| y|b，说明椭圆位于直线xa，y b所围成的矩形里； a2 b2 ②对称性：在曲线方程里，若以y代替 y方程不变，所以若点(x,y)在曲线上时，点(x,y)也在曲线上， 所以曲线关于x轴对称，同理，以x代替x方程不变，则曲线关于 y轴对称。若同时以x代替x，y代替 y 方程也不变，则曲线关于原点对称。 所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心 叫椭圆的中心； ③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令 x0，得 y b，则B (0,b)，B (0,b)是椭圆与 y轴的两个交点。同理令 y 0得xa，即A(a,0)， 1 2 1 A (a,0)是椭圆与x轴的两个交点。 2 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时，线段AA 、BB 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长 1 2 1 2半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在RtOB F 中，|OB |b，|OF |c，|B F |a， 2 2 2 2 2 2 且|OF |2|B F |2 |OB |2，即c2 a2 b2； 2 2 2 2 c ④离心率：椭圆的焦距与长轴的比e 叫椭圆的离心率。∵a c0，∴0e1，且e越接近1，c就 a 越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时 椭圆越接近于圆。当且仅当a b时，c0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2  y2 a2。 2．双曲线 （1）双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（||PF ||PF ||2a ）。 1 2 注意：①式中是差的绝对值，在 02a|FF | 条件下；|PF ||PF |2a 时为双曲线的一支； 1 2 1 2 |PF ||PF |2a时为双曲线的另一支（含F 的一支）；②当2a |FF |时，||PF ||PF ||2a 表示两条射 2 1 1 1 2 1 2 线；③当2a |FF |时，||PF ||PF ||2a不表示任何图形；④两定点F,F 叫做双曲线的焦点，|FF |叫做 1 2 1 2 1 2 1 2 焦距。 （2）双曲线的性质 x2 y2 ①范围：从标准方程  1，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线x  a的外侧。即 a2 b2 x2  a2， x  a即双曲线在两条直线x  a的外侧。 x2 y2 ②对称性：双曲线  1关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点 a2 b2 x2 y2 是双曲线  1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 a2 b2 x2 y2 ③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线  1的方程里，对称轴是x,y轴，所 a2 b2 x2 y2 以令 y  0得x  a，因此双曲线和x轴有两个交点A (a,0)A (a,0)，他们是双曲线  1的顶点。 2 a2 b2 令x  0，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个 端点。 2）实轴：线段A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段B B 叫做双 2 2 曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。 ④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从 x2 y2 图上看，双曲线  1的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。 a2 b2 ⑤等轴双曲线： 1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：a b； 2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： y  x ；（2）渐近线互相垂直。 注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其 他几个亦成立。 3）注意到等轴双曲线的特征a b，则等轴双曲线可以设为：x2  y2 ( 0) ，当 0时交点在x轴， 当 0时焦点在 y轴上。 x2 y2 y2 x2 ⑥注意  1与  1的区别：三个量a,b,c中a,b不同（互换）c相同，还有焦点所在的坐标 16 9 9 16 轴也变了。 3．抛物线 （1）抛物线的概念 平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做 抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。 方程 y2 2px  p 0  叫做抛物线的标准方程。 p p 注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（ ,0），它的准线方程是x ； 2 2 （2）抛物线的性质 一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其 他几种形式：y2 2px，x2 2py，x2 2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如 下表：y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py 标准方程 (p 0) (p 0) (p 0) (p 0) y y y l l F o F x F o x l o x 图形 p p p p 焦点坐标 ( ,0) ( ,0) (0, ) (0, ) 2 2 2 2 p p p p 准线方程 x x y  y  2 2 2 2 范围 x0 x0 y0 y0 对称性 x轴 x轴 y轴 y轴 顶点 (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) 离心率 e1 e1 e1 e1 说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶 点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调 p的几何意义：是焦点到准线 的距离。 4. 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理 一、方程的曲线： 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的 实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上 的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。 点与曲线的关系：若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P(x,y)在曲线C上f(x,y )=0；点P(x,y)不在曲线 0 0 0 0 0 0 0 0 C上f(x,y)≠0。 0 0 两条曲线的交点：若曲线C，C 的方程分别为f(x,y)=0,f(x,y)=0,则点P(x,y)是C，C 的交点 1 2 1 2 0 0 0 1 2 f (x ,y )0 { 1 0 0 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没 f (x ,y )0 2 0 0 有交点。 二、圆： 1、定义：点集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2 D E (2)一般方程：①当D2+E2-4F＞0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为( , )半径 2 2 D E 是 D 2  E 2  4F 。配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+ )2+(y+ )2=D2  E2 -4F 2 2 2 4 D E ②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(- ,- ); 2 2 ③当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形. （3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x,y)，则｜MC｜＜r点M在圆C内，｜ 0 0 MC｜=r点M在圆C上，｜MC｜＞r点M在圆C内，其中｜MC｜= (x -a)2 (y -b)2 。 0 0 （4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点；直 线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。 AaBbC ②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d  A2 B2 与半径r的大小关系来判定。 三、圆锥曲线的统一定义： 平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e ＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当0 ＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线。 四、椭圆、双曲线、抛物线： 椭圆 双曲线 抛物线 1．到两定点F,F 的距离之 1 2 1．到两定点F,F 的距离之差的 和为定值2a(2a>|FF|)的 1 2 1 2 绝对值为定值2a(0<2a<|FF|) 点的轨迹 1 2 与定点和直线的距离相等的 定义 的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之 点的轨迹. 2．与定点和直线的距离之比为 比为定值e的点的轨迹. 定值e的点的轨迹.（e>1） （00)  1(a>0,b>0) y2 2px 方程 a2 b2 a2 b2 程 x  acos x  asec 参数   x  2pt2 y bsin y btan  (t为参数) 方程 (参数为离心角） (参数为离心角） y  2pt 范围 ─axa，─byb |x|  a，yR x0 中心 原点O（0，0） 原点O（0，0） (a,0), (─a,0), 顶点 (a,0), (─a,0) (0,0) (0,b) , (0,─b) x轴，y轴； x轴，y轴; 对称轴 x轴 长轴长2a,短轴长2b 实轴长2a, 虚轴长2b. p 焦点 F(c,0), F(─c,0) F(c,0), F(─c,0) F( ,0) 1 2 1 2 2 a2 a2 p x=± x=± x=- c c 2 准 线 准线与焦点位于顶点两侧， 准线垂直于长轴，且在椭圆 准线垂直于实轴，且在两顶点的 且到顶点的距离相等. 外. 内侧. 焦距 2c （c= a2 b2 ） 2c （c= a2 b2 ） c c 离心率 e  (0 e1) e  (e 1) e=1 a a 【备注1】双曲线： ⑶等轴双曲线：双曲线x2y2a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率e 2. x2 y2 ⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.  与 a2 b2 x2 y2 x2 y2  互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：  0. a2 b2 a2 b2 x2 y2 x2 y2 x y ⑸共渐近线的双曲线系方程：  (0)的渐近线方程为  0如果双曲线的渐近线为  0时， a2 b2 a2 b2 a bx2 y2 它的双曲线方程可设为  (0). a2 b2 【备注2】抛物线： p p （1）抛物线 y2=2px(p>0)的焦点坐标是( ,0)，准线方程x=- ，开口向右；抛物线 y2=-2px(p>0)的焦点坐 2 2 p p p p 标是(- ,0)，准线方程x= ，开口向左；抛物线x2=2py(p>0)的焦点坐标是(0, )，准线方程y=- ，开 2 2 2 2 口向上； p p 抛物线x2=-2py（p>0）的焦点坐标是（0,- ），准线方程y= ，开口向下. 2 2 p （2）抛物线 y2=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离 MF  x  ；抛物线 y2=-2px(p>0)上的点M(x0,y0) 0 2 p 与焦点F的距离 MF  x 2 0 p p （3）设抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为 ，顶点到准线的距离 ，焦点 2 2 到准线的距离为p. （4）已知过抛物线 y2=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)， 2p p2 p 则弦长 AB =x x +p或 AB  (α为直线AB的倾斜角)，y y p2，x x  , AF  x  ( AF 1 2 sin2 1 2 1 2 4 1 2 叫做焦半径). 五、坐标的变换： （1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施 坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程. （2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平 移，简称移轴。 （3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是（x,y)，在新坐标系x ′O′y′ x x'h x' xh 中的坐标是(x',y').设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则 或 y  y'k y' yk 叫做平移(或移轴)公式. （4）中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表： 方 程 焦 点 焦 线 对称轴 (x-h)2 (y-k)2 a2 x=h + =1 (±c+h,k) x=± +h a2 b2 c y=k 椭圆 (x-h)2 (y-k)2 a2 x=h + =1 (h,±c+k) y=± +k b2 a2 c y=k(x-h)2 (y-k)2 a2 x=h - =1 (±c+h,k) x=± +k a2 b2 c y=k 双曲线 (y-k)2 (x-h)2 a2 x=h - =1 (h,±c+h) y=± +k a2 b2 c y=k p p (y-k)2=2p(x-h) ( +h,k) x=- +h y=k 2 2 p p (y-k)2=-2p(x-h) (- +h,k) x= +h y=k 2 2 抛物线 p p (x-h)2=2p(y-k) (h, +k) y=- +k x=h 2 2 p p (x-h)2=-2p(y-k) (h,- +k) y= +k x=h 2 2 六、椭圆的常用结论： 1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角. 2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的 两个端点. 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. x2 y2 x x y y 5. 若P(x ,y )在椭圆  1上，则过P 的椭圆的切线方程是 0  0 1. 0 0 0 a2 b2 0 a2 b2 x2 y2 6. 若P(x ,y )在椭圆  1外，则过P 作椭圆的两条切线切点为P、P，则切点弦PP 的直线方程是 0 0 0 a2 b2 0 1 2 1 2 x x y y 0  0 1. a2 b2 x2 y2 7. 椭圆  1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F，F ，点P为椭圆上任意一点FPF ，则椭圆的焦点 a2 b2 1 2 1 2  角形的面积为S b2 tan . F 1 PF 2 2 x2 y2 8. 椭圆  1（a＞b＞0）的焦半径公式 a2 b2 |MF |aex ,|MF |aex (F(c,0) ,F (c,0) M(x ,y )). 1 0 2 0 1 2 0 09. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点 F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A、A 为椭圆长轴上的顶点，AP和AQ交于点M，AP和AQ 1 2 1 2 2 1 交于点N，则MF⊥NF. x2 y2 b2 11. AB是椭圆  1的不平行于对称轴的弦，M(x ,y )为AB的中点，则k k  ，即 a2 b2 0 0 OM AB a2 b2x K   0 。 AB a2y 0 x2 y2 x x y y x 2 y 2 12. 若P(x ,y )在椭圆  1内，则被Po所平分的中点弦的方程是 0  0  0  0 ； 0 0 0 a2 b2 a2 b2 a2 b2 【推论】： x2 y2 x2 y2 x x y y x2 y2 1、若P(x ,y )在椭圆  1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是   0  0 。椭圆  1 0 0 0 a2 b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 （a＞b＞o）的两个顶点为A(a,0),A (a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P P 时AP 与AP 交点的轨迹方程 1 2 1、 2 1 1 2 2 x2 y2 是  1. a2 b2 x2 y2 2、过椭圆  1 (a＞0, b＞0)上任一点A(x ,y )任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直 a2 b2 0 0 b2x 线BC有定向且k  0 （常数）. BC a2y 0 x2 y2 3、若P为椭圆  1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F, F 是焦点, PFF , PF F ， a2 b2 1 2 1 2 2 1 ac   则  tan cot . ac 2 2 x2 y2 4、设椭圆  1（a＞b＞0）的两个焦点为F、F,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PFF 中，记 a2 b2 1 2 1 2 sin c FPF , PFF ,FF P，则有  e. 1 2 1 2 1 2 sinsin a x2 y2 5、若椭圆  1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F、F，左准线为L，则当0＜e≤ 21时，可在椭圆上 a2 b2 1 2 求一点P，使得PF 是P到对应准线距离d与PF 的比例中项. 1 2 x2 y2 6、P为椭圆  1（a＞b＞0）上任一点,F,F 为二焦点，A为椭圆内一定点，则 a2 b2 1 22a| AF ||PA||PF |2a| AF |,当且仅当A,F ,P三点共线时，等号成立. 2 1 1 2 (xx )2 (y y )2 7、椭圆 0  0 1与直线Ax ByC  0有公共点的充要条件是 a2 b2 A2a2  B2b2  (Ax  By C)2. 0 0 x2 y2 8、已知椭圆  1（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP OQ.（1） a2 b2 1 1 1 1 4a2b2 a2b2    ;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为 ;（3）S 的最小值是 . |OP|2 |OQ|2 a2 b2 a2 b2 OPQ a2 b2 x2 y2 9、过椭圆  1（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P， a2 b2 |PF | e 则  . |MN | 2 x2 y2 10、已知椭圆  1（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x ,0), a2 b2 0 a2 b2 a2 b2 则  x  . a 0 a x2 y2 11、设P点是椭圆  1（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F、F 为其焦点记FPF ，则 a2 b2 1 2 1 2 2b2  (1)|PF ||PF | .(2) S b2 tan . 1 2 1cos PF 1 F 2 2 x2 y2 12、设A、B是椭圆  1（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB , a2 b2 2ab2 |cos| PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA| .(2) a2 c2cos2 2a2b2 tantan1e2.(3) S  cot. PAB b2 a2 x2 y2 13、已知椭圆  1（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A、 a2 b2 B两点,点C在右准线l上，且BC  x轴，则直线AC经过线段EF 的中点. 14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 七、双曲线的常用结论： 1、点P处的切线PT平分△PFF 在点P处的内角. 1 2 2、PT平分△PFF 在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两 1 2 个端点. 3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交. 4、以焦点半径PF 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支） 1 x2 y2 x x y y 5、若P(x ,y )在双曲线  1（a＞0,b＞0）上，则过P 的双曲线的切线方程是 0  0 1. 0 0 0 a2 b2 0 a2 b2 x2 y2 6、若P(x ,y )在双曲线  1（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P、P，则切点弦 0 0 0 a2 b2 1 2 x x y y PP 的直线方程是 0  0 1. 1 2 a2 b2 x2 y2 7、双曲线  1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F，F ，点P为双曲线上任意一点FPF ，则双曲 a2 b2 1 2 1 2  线的焦点角形的面积为S b2cot . F 1 PF 2 2 x2 y2 8、双曲线  1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F(c,0) , F (c,0)）当M(x ,y )在右支上时， a2 b2 1 2 0 0 |MF |ex a,|MF |ex a；当M(x ,y )在左支上时，|MF |ex a,|MF |ex a。 1 0 2 0 0 0 1 0 2 0 9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于 焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF. 10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A、A 为双曲线实轴上的顶点，AP和AQ交于点M，AP 1 2 1 2 2 和AQ交于点N，则MF⊥NF. 1 x2 y2 b2x 11、AB是双曲线  1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x ,y )为AB的中点，则K K  0 ， a2 b2 0 0 OM AB a2y 0 b2x 即K  0 。 AB a2y 0 x2 y2 x x y y x 2 y 2 12、若P(x ,y )在双曲线  1（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是 0  0  0  0 . 0 0 0 a2 b2 a2 b2 a2 b2 x2 y2 x2 y2 x x y y 13、若P(x ,y )在双曲线  1（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是   0  0 . 0 0 0 a2 b2 a2 b2 a2 b2 【推论】：x2 y2 1、双曲线  1（a＞0,b＞0）的两个顶点为A(a,0),A (a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P P 时 a2 b2 1 2 1、 2 x2 y2 AP 与AP 交点的轨迹方程是  1. 1 1 2 2 a2 b2 x2 y2 2、过双曲线  1（a＞0,b＞o）上任一点A(x ,y )任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点， a2 b2 0 0 b2x 则直线BC有定向且k  0 （常数）. BC a2y 0 x2 y2 3、若P为双曲线  1（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F, F 是焦点, PFF , a2 b2 1 2 1 2 ca   ca   PF F ，则  tan cot （或  tan cot ）. 2 1 ca 2 2 ca 2 2 x2 y2 4、设双曲线  1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F、F,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PFF a2 b2 1 2 1 2 sin c 中，记FPF , PFF ,FF P，则有  e. 1 2 1 2 1 2 (sinsin) a x2 y2 5、若双曲线  1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F、F，左准线为L，则当1＜e≤ 21时，可在双 a2 b2 1 2 曲线上求一点P，使得PF 是P到对应准线距离d与PF 的比例中项. 1 2 x2 y2 6、P为双曲线  1（a＞0,b＞0）上任一点,F,F 为二焦点，A为双曲线内一定点，则 a2 b2 1 2 | AF |2a|PA||PF | ,当且仅当A,F ,P三点共线且P和A,F 在y轴同侧时，等号成立. 2 1 2 2 x2 y2 7、双曲线  1（a＞0,b＞0）与直线Ax ByC  0有公共点的充要条件是A2a2 B2b2 C2. a2 b2 x2 y2 8、已知双曲线  1（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP OQ. a2 b2 1 1 1 1 4a2b2 a2b2 （1）    ;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为 ;（3）S 的最小值是 . |OP|2 |OQ|2 a2 b2 b2 a2 OPQ b2 a2 x2 y2 9、过双曲线  1（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交 a2 b2|PF | e x轴于P，则  . |MN | 2 x2 y2 10、已知双曲线  1（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x ,0), a2 b2 0 a2 b2 a2 b2 则x  或x  . 0 a 0 a x2 y2 11、设P点是双曲线  1（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F、F 为其焦点记FPF ，则 a2 b2 1 2 1 2 2b2  (1)|PF ||PF | .(2) S b2cot . 1 2 1cos PF 1 F 2 2 x2 y2 12、设A、B是双曲线  1（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，PAB , a2 b2 2ab2 |cos| PBA,BPA，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)|PA| . |a2 c2cos2| 2a2b2 (2) tantan1e2.(3) S  cot. PAB b2 a2 x2 y2 13、已知双曲线  1（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相 a2 b2 交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC  x轴，则直线AC经过线段EF 的中点. 14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线 垂直. 15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 八、抛物线的常用结论： 4acb2 b ①ay2byc x顶点(  ). 4a 2a ②y22px(p0)则焦点半径 PF  x P ;x22py(p0)则焦点半径为 PF  y P . 2 2 ③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.x2pt2 x2pt ④y22px（或x22py）的参数方程为 （或 ）（t为参数）. y2pt y2pt2 y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py ▲y ▲y ▲ y ▲ y 图形 x x x x O O O O p p p p 焦点 F( ,0) F( ,0) F(0, ) F(0, ) 2 2 2 2 p p p p 准线 x x y y 2 2 2 2 范围 x0,yR x0,yR xR,y0 xR,y0 对称轴 x轴 y轴 顶点 （0,0） 离心率 e1 p p p p 焦点 PF  x PF   x PF  y PF   y 1 1 1 1 2 2 2 2 圆锥曲线的性质对比 圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 标准方程 (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 a>b>0 (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 a>0,b>0 y^2=2px p>0 范围 x∈[-a,a] y∈[-b,b] x∈(-∞,-a]∪[a,+∞) y∈R x∈[0,+∞) y∈R 对称性 关于x轴,y轴,原点对称 关于x轴,y轴,原点对称 关于x轴对称 顶点 (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0) 焦点 (c,0),(-c,0) (c,0),(-c,0) (p/2,0) 【其中c^2=a^2-b^2】 【其中c^2=a^2+b^2】 准线 x=±(a^2)/c x=±(a^2)/c x=-p/2渐近线 —————————— y=±(b/a)x ————— 离心率 e=c/a,e∈(0,1) e=c/a,e∈(1,+∞) e=1 焦半径 ∣PF1∣=a+ex ∣PF2∣=a-ex ∣PF1∣=∣ex+a∣∣PF2∣=∣ex-a ∣PF∣=x+p/2 ∣ 焦准距 p=(b^2)/c p=(b^2)/c p 通径 (2b^2)/a (2b^2)/a 2p 参数方程 x=a·cosθ y=b·sinθ，θ为参 x=a·secθ x=2pt^2 y=2pt,t 数 为参数 y=b·tanθ,θ为参数 过圆锥曲 (x0·x/a^2)+(y0·y/b^2)=1 (x0x/a^2)-(y0·y/b^2)=1 y0·y=p(x+x0) 线上一点 (x0,y0)的切线方程 斜率为k y=kx±√[(a^2)·(k^2)+b^2] y=kx±√[(a^2)·(k^2)-b^2] y=kx+p/2k 的切线方 程