柳州2025年4月高一联考数学答案_2025年05月试卷_0516广西柳州市2024-2025学年高一下学期4月联考_广西柳州市2024-2025学年高一下学期4月联考数学试卷（含答案）

柳州市高中2024级4月联考高一数学
参考答案及评分标准
2025.4
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
C A D B A C D D
二、多选题
9 10 11
选2个 选2个
选1个（A 选1个（A
选1个（A或 选2个 （AB或 选3个 （AB或 选3个
或B或 或B或
D） （AD） AD或 （ABD） AC或 （ABC）
D） C）
BD） BC）
3分 6分 2分 4分 6分 2分 4分 6分
三、填空题
28 2
12.-2 13.3 14.
3
三、解答题
15.解析：(1)a=-1时，z(1+i)  =(2-i)(1+i)  =2-i  1+i  = 5∙ 2= 10 4分
 
(2)(3+i)z=(3+i)(2-ai)=(6+a)+(2+3a)i,当a=-6时，复数(3+i)z为纯虚数；8分
(3) z = 2+ai = (2+ai)(1+i) = (2-a)+(2+a)i ,由题意，  2-a<0 ,解得：a>213分
1-i 1-i 2 2 2+a>0
16.解析：(1)由题意知函数满足  1+2x>0 ，解得- 1 <x< 1 ，即函数fx
1-2x>0 2 2
 1 1 的定义域为- ,
2 2
 ；4分
(2)fx  为奇函数，证明如下：
函数fx 
1 1
的定义域为- ,
2 2
 ，关于原点对称，
f-x  =log a1-2x  -log a1+2x  =-fx  ，故fx  为奇函数；8分
(3)fx  <0即log a1+2x  <log a1-2x  ,(a>0,a≠1)，
当a>1时，fx 
1 1
在- ,
2 2

1+2x>0
 1
上单调递增，有1-2x>0 ，解得- <x<0；
2
1+2x<1-2x
当0<a<1时，fx 
1 1
在- ,
2 2

1+2x>0
 1
上单调递减，有1-2x>0 ，解得0<x< ；
2
1+2x>1-2x
故当a>1时，关于x的不等式fx 
1
<0的解集为- ,0
2
 ；
当0<a<1时，关于x的不等式fx 
1
<0的解集为0,
2
 .15分
 1  1 
17.解析：(1)由题意知点D是CB的中点，故CD= CB= b,
2 2
   1          
则AD=CD-CA= b-a；CE=CA+AE=a+λAB=a+λb-a
2

 
=(1-λ)a+λb.4分

(2)由题意，a 

=b 
 
,a∙b=0
当AD⊥CE时，
A  D  ∙C  E  =( 1 b  -a  )∙[(1-λ)a  +λb  ]=(λ-1)a  2+ 1 λb  2 =0,∴λ-1+ 1 λ=0,λ= 2 10分
2 2 2 3
(3)λ= 1 时，A  B  ∙C  E  =(b  -a  )∙( 2 a  + 1 b  )= 1 b  2 - 2 a  2=- 1 a  2
3 3 3 3 3 3
·1·
{#{QQABIQAUogCAAABAABgCAwEgCkCQkBCAAaoOxAAQMAABAQFABAA=}#} AB  = A  B  2 = (b  -a  )2= 2a    ， CE  = C  E  2 = ( 2 a  + 1 b  )2= 5 a 
3 3 3

 
  AD∙CE
cos<AD,CE>= 
AD 

∙CE 
10
=- 15分
10
本题也可通过建立直角坐标系来解决。
18.解析：(1)因为 3a=bsinC+ 3bcosC，
由正弦定理可得 3sinA=sinBsinC+ 3sinBcosC，
sinA=sinπ-B-C  =sinB+C  =sinBcosC+cosBsinC，
3 3
即sinBcosC+cosBsinC= sinBsinC+sinBcosC，可得cosBsinC= sinBsinC，
3 3
且C∈0,π 
π
，则sinC≠0，可得tanB= 3，又因为0<B<π，所以B= .6分
3
          
1
(2)(ⅰ)BH∙BC=(BA+AH)BC=BA∙BC+AH∙BC=BA∙BC=cacosB= ac=2c2
2
a
∴ =4 11分
c
π 1
(ⅱ)∵B= ，由余弦定理，b2=a2+c2-2ac⋅ =a2+c2-ac，∵a=4c，代入上式可得b= 13c，
3 2
b2+c2-a2 13c2+c2-16c2 13
由余弦定理，cosA= = =- .15分
2bc 2⋅ 13c⋅c 13
19.解析：(1)当n=4时，f(x)=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2=1-2sin2xcos2x
1 1 3
=1- sin22x= cos4x+
2 4 4
kπ π kπ kπ π kπ
令2kπ-π≤4x≤2kπ,得 - ≤x≤ ,k∈Z,f(x)的单调递增区间为[ - , ],k∈Z.
2 4 2 2 4 2
kπ kπ π kπ kπ π
令2kπ≤4x≤2kπ+π,得 ≤x≤ + ,k∈Z,f(x)的单调递减区间为[ , + ],k∈Z.
2 2 4 2 2 4
5分
(2)当n=6时，f(x)=sin6x+cos6x=(sin2x)3+(cos2x)3
= (sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)=sin4x-sin2xcos2x+cos4x
1 3 5 3
= (sin2x+cos2x)2-3sin2xcos2x=1-3( sin2x)2=1- sin22x= - cos4x
2 4 8 8
1
∵cos4x∈[-1,1],∴f(x)∈[ ,1]. 9分
4
(3)当n=k(k∈N )时，即sinkx+coskx+a(sinx+cosx)-a≥0恒成立时a的取值集合为A ,
+ k
+∞
则a的取值范围为A .
k
k=1
①当n=1时，sinx+cosx+a(sinx+cosx)-a≥0,令t=sinx+cosx∈[- 2, 2],
p(- 2)≥0
则p(t)=(1+a)t-a≥0对t∈[- 2, 2]恒成立，∴  ,
p( 2)≥0
解得a∈[-2- 2,-2+ 2],即A =[-2- 2,-2+ 2].
1
②当n=2时，1+a(sinx+cosx)-a≥0,令t=sinx+cosx∈[- 2, 2],
q(- 2)≥0
则q(t)=at+1-a≥0对t∈[- 2, 2]恒成立，∴  ,
q( 2)≥0
解得a∈[-1- 2,-1+ 2],即A =[-1- 2,-1+ 2].
2
③当n≥3时，易知sinnx+cosnx≤sin2x+cos2x=1,
若a∈A ,即sinnx+cosnx+a(sinx+cosx)-a≥0
n
则sin2x+cos2x+a(sinx+cosx)-a≥sinnx+cosnx+a(sinx+cosx)-a≥0
即a∈A ,∴A ⊆A (n≥3)
2 n 2
综上所述，a的取值范围为A ∪A =[-2- 2, 2-1]. 17分
1 2
·2·
{#{QQABIQAUogCAAABAABgCAwEgCkCQkBCAAaoOxAAQMAABAQFABAA=}#}